Aqui a perturbação também mantém a condição φ (L+) = 0.
Isso mostra que há uma estabilidade nas condições de contorno de Dirichlet, mas não nas de Neumann, esse comportamento havia sido observado no trabalho precursor de H.Englisch e P.Šeba [11].
Na nossa presente análise essa estabilidade não se deve propriamente a algo peculiar da condição inicial. Olhando para a matriz em (5.3) vemos que é o elemento nulo dessa matriz que é responsável por essa limitação. Isso sugere, tendo em vista o trabalho de Kurasov, tratar, para o caso da condição de Dirichlet, com a perturbação bem simples dada por
H0= −D2x −→ −D2x(1 + X4δ (x − ε )) + X4Dxδ1(x − ε). (5.8)
Nesse caso, invés de (5.3), teremos
φ (ε+) φ0(ε+) ! = 1 −X4 0 1 ! φ (ε−) φ0(ε−) ! ≡ V φ (ε −) φ0(ε−) ! . (5.9)
A condição inicial de Dirichlet será transmutada na condição de Robin φ0(0+) = −X4φ (0+).
Vemos assim que a condição de Dirichlet não é totalmente estável. Observamos adicionalmente que também o caso que tratamos inicialmente, particularizado para X2= 2 poderia ser objeto de investigação.
5.2
Autovalores
Queremos analisar o impacto das perturbações no espectro dos Hamiltonianos. Os autovalores do Hamiltoniano são descritos pelas condições dadas nas equações (3.29). Vamos tomar o caso αL= α0. A matriz U é da forma
U= e
−2iα0 0
0 e2iα0
!
= cos 2iα0− i sin 2iα0 0
0 cos 2iα0+ i sin 2iα0
!
5.2 Autovalores 38
Na notação do capítulo 3, em termos da matriz identidade e da matriz de Pauli, U= cos 2α01 − i sin 2α0σ3.
Temos m0= cos 2α0e m3= sin 2iα0, com m1= m2= 0.
Nesse caso, para −1 < m0< 1, as energias positivas são dadas, usando (3.29),
por
En= nπ
e há um estado com energia negativa, (3.31), dada por E= − 1 L2 1 + m0 1 − m0 = − 1 L2 1 + cos 2α0 1 − cos 2α0 .
Assim a introdução das interações tipo delta de Dirac, que equivale a fazer α0−→ α00
em (5.2) e portanto em (5.1), tem um impacto mudando os valores das energias. Como é possível ter energias negativas para uma partícula livre em uma caixa?
No caso particular de condições de Neumann, α0= π/2 temos m0= −1 e m3= 0
e não há energia negativa. Nesse caso testemunhamos a origem da energia negativa associada a condição de Robin obtida após a introdução da interação com δ e δ1. Após tomar ε −→ 0 as funções delta "ficam escondidas" no limite da barreira de potencial infinita responsável por limitar a partícula ao intervalo 0 < x < L. Mas elas deixam como herança a mudança da condição de contorno de Neumann para Robin. E com isso emerge a energia negativa
No caso particular de condições de Dirichlet, α0= 0, temos m0 = 1 e m3= 0 e
novamente não há energia negativa. Nesse caso a perturbação com X1δ + X2δ1não é
suficiente para introduzir o estado com energia negativa. Mas a perturbação adicional X4 6= 0 descrita em (5.8) é sim suficiente para mudar esse panorama e introduzir o
39
6
Conclusão
Vimos a importância de uma definição mais rigorosa de operadores em Mecânica Quântica, mostramos a diferença entre operadores simétricos(ou Hermitianos) e operadores autoadjuntos, dado que muitos livros-texto de cursos de graduação acabam passando a "ideia" de que basta a um operador ser hermitiano para representar um observável. No capítulo 2 deixamos claro que isso pode não ser verdade! A partir da introdução das definições dos operadores, fizemos uso do Teorema de von Neumann (2.4) para o caso de uma partícula confinada. Constatamos a existência de estados de energia negativa, o que não é uma característica "usual" desse tipo de sistema. Como o estudo de famílias de E.A.A,s não é um tema muito difundido, tanto em graduações quanto em cursos de pós graduação, não é de se espantar que situações como a apresentada no capítulo 3, gerem no mínimo um desconforto. Isso fica evidente no exemplo citado ao final do capítulo 3, onde A.Z.Capri acaba sendo "infeliz" em sua solução para o problema proposto. Para explicar a origem desse estado de energia negativa, apresentamos e fizemos uso de várias ferramentas importantes, como o operador construído por Kurasov (4.25) a partir de teoria de distribuições e as formas de assimetria (4.2.1) descritas por Gitman em [9]. Por fim, mostramos no capítulo 5 que esse estado de energia negativa, emerge da inter-relação de algumas condições de contorno nos extremos com as condições de contorno devido a interações tipo funções delta e sua derivada. O efeito da delta e de sua derivada se escondem no limite da barreira de potencial infinito e sempre que tomamos o limite ε → 0, o que "representava"a função delta, será levado em novas condições de contorno. Com relação a estabilidade das condições de contorno, concluímos que tal propriedade depende do tipo de interação proveniente de (4.25). Sempre haverá um tipo de interação, para qualquer condição de contorno que seja capaz de modificá-la e eventualmente faça emergir um estado de energia negativa, ou seja, não há estabilidade nas condições de contorno para o caso aqui estudado.
40
APÊNDICE A -- Condições de contorno a
partir das funções teste
Dadas a seguintes funções teste,
φ1(x) = ( 0, |x| > 2ε, 1, |x| < ε, e φ2(x) = ( 0, |x| > 2ε, x, |x| < ε, construiremos as condições de contorno
ψ 0 (+0) − ψ0(−0) + X1ψM(0) + (X2− iX3)ψ 0 M(0) = 0 , ψ (−0) − ψ (+0) + (X2+ iX3)ψM(0) + X4ψ 0 M(0) = 0 .
Exigiremos a validade de Lxψ = Eψ , onde
Lx= −D2x(1 + X4δ ) + iDx(2X3δ − iX4δ1) + X1δ + (X2− iX3)δ1
como distribuição. Aplicaremos essa condição às duas funções teste anteriores. Para a primeira função teste,
Lψ(φ1) = Eψ(φ1) ≈ O(ε).
Temos que
Lxψ (φ1) = ψ(−∂x2φ1) + X4δ (−ψ ∂x2φ1) + i2X3δ (−ψ ∂xφ1)+
+X4δ0(−ψ∂xφ1) + X1δ (ψ φ1) + (X2− iX3)δ0(ψφ1).
Integrando termo a termo da expressão anterior, e tomando o limite em que ε → 0, temos 1) ψ(−∂x2φ1): ψ (−∂x2φ1) ≡ − Z −ε −∞ ψ ∂ 2 xφ1dx− Z +∞ ε ψ ∂x2φ1dx= − Z −ε −∞ ∂x(ψ∂xφ1 )dx + Z −ε −∞ ∂xψ ∂xφ1 dx+
Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 41 − Z ∞ ε ∂x(ψ∂xφ1)dx+ Z +∞ ε ∂xψ ∂xφ1dx≈ Z −ε −∞ ∂x(∂xψ φ1)dx+ Z +∞ ε ∂x(∂xψ φ1)dx = (ψ0(0−)−ψ0(0+)) . 2) X4δ (−ψ ∂x2φ1): ∂x2φ1(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ ∂x2φ1) = 0 . 3) i2X3δ (−ψ ∂xφ1): ∂xφ1(0) = 0 =⇒ i2X3δ (−ψ ∂xφ1) = 0 . 4) X4δ0(−ψ∂xφ1): ∂xφ1(0) = 0, ∂x2φ1(0) = 0 =⇒ X4δ0(−ψ∂xφ1) = 0 . 5) X1δ (ψ φ1): X1δ (ψ φ1) = X1ψM(0) ,
onde do lado direito figura o valor médio na origem. 6) (X2− iX3)δ0(ψφ1):
(X2− iX3)δ0(ψφ1) = −(X2− iX3)(ψ0φ + ψ φ0)M= −(X2− iX3)ψM0 (0) .
Somando as equações acima, chegamos na primeira das condições de contorno, ψ
0
(+0) − ψ0(−0) + X1ψM(0) + (X2− iX3)ψ
0
M(0) = 0 .
Analogamente para a segunda função teste, teremos
Lxψ (φ2) = ψ(−∂x2φ2) + X4δ (−ψ ∂x2φ2) + i2X3δ (−ψ ∂xφ2)+
+X4δ0(−ψ∂xφ2) + X1δ (ψ φ2) + (X2− iX3)δ0(ψφ2).
Novamente integrando termo a termo e tomando o limite ε → 0 1) ψ(−∂x2φ2): ψ (−∂x2φ2) = − Z −ε −∞ ψ ∂ 2 xφ2dx− Z +∞ ε ψ ∂x2φ2dx= −ψ(0−) + ψ(0+) . 2) X4δ (−ψ ∂x2φ2): ∂x2φ2(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ ∂x2φ2) = 0 . 3) i2X3δ (−ψ ∂xφ2): i2X3δ (−ψ ∂xφ2) = −i2X3ψM(0) . 4) X4δ0(−ψ∂xφ2): X4δ0(−ψ∂xφ2) = X4(ψ0φ0+ ψφ0)M= X4ψM0 (0) .
Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 42
5) X1δ (ψ φ2):
φ2(0) = 0 =⇒ X1δ (ψ φ2) = 0 .
6) (X2− iX3)δ0(ψφ2):
(X2− iX3)δ0(ψφ2) = −(X2− iX3)(ψ0φ + ψ φ0)M= −(X2− iX3)ψM(0) .
Somando os resultados encontrados acima, encontramos a segunda condição de contorno,
ψ (−0) − ψ (+0) + (X2+ iX3)ψM(0) + X4ψ
0
43
Referências Bibliográficas
[1] M.Asorey. Boundary Effects in Bosonic and Fermionic Field Theories. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, vol. 12, no. 06, 1560004 (2015). arXiv:1501.03752v1.
[2] Guy Bonneau, Jacques Faraut, Galliano Valent. Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics. Am.J.Phys. 69 (2001) 322. arXiv:quant-ph/0103153v1.
[3] J. von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitischer Funktional operatoren. Math. Ann. vol. 102 , 49-131, 1929.
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[5] Planck, M.(1900) Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237–45, English translation by D. ter Haar 1967 The Old Quantum Theory(Pergamon Pres).
[6] Einstein, A. Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light. Annalen der Physik 17 , 132-148 , 1905.
[7] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1932/summary/ [8] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/summary/
[9] D.M. Gitman, I.V. Tyutin, B.L. Voronov. Self-adjoint Extensions in Quantum Mechanics (Birkhäuser, Basiléia), 2012.
[10] P. Kurasov. Distribution Theory for Discontinuous Test Functions and Differential Operators with Generalized Coefficients. Journal of Mathematical Analysis and Applications 201, 297-323 (1996) Article NO. 0256.
[11] H. Englisch , P.Šeba. The stability of the Dirichlet and Neumann boundary conditions. Reports on Mathematical Physics, Volume 23, Issue 3, p. 341-348 (1986). [12] Lemos, Nivaldo A. Convite à Física Matemática (Livraria da Física, São Paulo) 2013.
[13] Anton Z. Capri. Problems Solutions in Nonrelativistic Quantum Mechanics (World Scientific) 2002.