A Física das extensões autoadjuntas: partícula na caixa

Matheus Curado Ferreira

A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na

Caixa.

Niterói

2019

Matheus Curado Ferreira

A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa.

Trabalho de monografia apresentado ao curso de graduação em Física -Bacharelado, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial à conclusão do curso.

Universidade Federal Fluminense

Orientador: Prof. Dr. Rubens L.P.G. do Amaral

Niterói

2019

Matheus Curado Ferreira

A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa.

Trabalho de monografia apresentado ao curso de graduação em Física -Bacharelado, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial à conclusão do curso.

Prof. Dr. Rubens L.P.G. do Amaral Universidade Federal Fluminense - UFF

Prof. Dr. Nivaldo A. Lemos

Universidade Federal Fluminense - UFF

Prof. Dr. Marco Moriconi

Universidade Federal Fluminense - UFF

Niterói

2019

Ficha catalográfica automática - SDC/BIF Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155

F383f Ferreira, Matheus Curado

A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa. / Matheus Curado Ferreira ; Rubens Luis Pinto Gurgel do Amaral, orientador. Niterói, 2019.

43 f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2019.

1. Extensões Autoadjuntas. 2. Partícula na Caixa. 3. Interações tipo Delta de Dirac. 4. Física Matemática. 5. Produção intelectual. I. Amaral, Rubens Luis Pinto Gurgel do, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.

-O mistério da beleza é descrito pelas curvas que compõem o indivíduo, assim como a Física de um problema, que se encontra nas condições de contorno.

Resumo

Neste trabalho faremos uso de técnicas desenvolvidas em Física Matemática, para tentar esclarecer algumas questões sobre um dos problemas mais elementares abordado em cursos de graduação em Física, normalmente na disciplina de Mecânica Quântica. Quando sujeitamos uma partícula confinada em uma dimensão a condições de contorno mais gerais possíveis, surgem estados de energia negativa. O que seriam esses estados? Já que não há interação com nenhum potencial tipo poço, qual é a sua origem? Apresentamos um estudo da Física das extensões autoadjuntas de operadores simétricos, e por consequência desenvolvemos uma proposta para explicar tal fenômeno.

Palavras-chave: Extensões Autoadjuntas, Partícula na Caixa, Interação

tipo Delta de Dirac, Estabilidade das Condições de Contorno, Física Matemática.

Abstract

In this paper we will use techniques developed in Mathematical Physics, to try to clarify some questions about one of the most elementary problems addressed in undergraduate Physics courses, usually in the discipline of Quantum Mechanics. When we subject a one dimensional confined particle to the most general boundary conditions possible, negative energy states arise. What are these states? Since there is no interaction with any potential wells. We show a study about the physics of self-adjoint extensions of symmetric operators, and in consequence develop a proposal to explain such phenomenon.

Keywords: Self-Adjoint Extensions, Particle in a Box, Dirac Delta type

Sumário

1 Introdução 10

2 Operadores Simétricos e Autoadjuntos em Mecânica Quântica 13

2.1 Operadores Simétricos . . . 13

2.1.1 Operador Momento confinado em 1D . . . 14

2.2 Adjunto de um Operador . . . 15

2.3 Operador Autoadjunto . . . 17

2.4 Indices de deficiência . . . 18

2.4.1 Operador Momento confinado em 1D . . . 18

3 Operador H confinado em 1D 21 4 Operador H com interações tipo Delta de Dirac 26 4.1 Delta de Dirac na Origem . . . 26

4.1.1 Operador Adjunto de H . . . 27

4.2 Operador H no domínio D ˚R
. . . 28

4.2.1 Formas de Assimetria . . . 28

4.3 Funções Delta de Dirac . . . 30

5 E.A.A num intervalo a partir de funções Delta de Dirac 34 5.1 Transmutação das condições . . . 34

5.1.1 Casos especiais . . . 36

6 Conclusão 39

Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 40

10

1

Introdução

A mecânica quântica trouxe grandes inovações, marcando uma nova era na ciência, onde o homem passa a acessar escalas atômicas, podendo assim desenvolver novos materiais como transistores, semicondutores, prever a existência de novas partículas, estudar efeitos de magnetização, supercondutividade e superfluidez dentre outros fenômenos. Ela traz a tona o caráter discreto da natureza, baseada em seis postulados e com uma matemática própria regida pela álgebra linear, mas com algumas sutilezas.

Com um Nobel em 1932 [7], W. Heisenberg Formaliza essa teoria, que vinha emergindo de grandes resultados como o efeito fotoelétrico [5] e o trabalho de Max Planck para com a catástrofe ultravioleta [6]. Em 1933 fica irrefutável a eficácia da mecânica quântica, quando Dirac e Schrödinger, dividem o Prêmio Nobel pela descoberta de novas formas produtivas da teoria atômica [8]. Essencialmente, Erwin Schrödinger com sua célebre equação, traz à tona o caráter ondulatório da matéria, e sua relação direta com a óptica, já Paul A.M. Dirac, cria uma formulação relativística para o elétron, e em consequência prevê a existência do pósitron, a antipartícula do elétron, ou seja, sua antimatéria.

Nos cursos de graduação em física é comum o estudo de tal disciplina, mas pouco se fala sobre os bastidores dessa teoria, de fato, os grandes nomes citados anteriormente tiveram um protagonismo essencial em cada um de seus trabalhos, mas nenhuma teoria que leva décadas para se desenvolver, pode se dar luxo de ter somente alguns nomes, muitas foram as contribuições. John von Neumann foi um dos grandes matemáticos que notou que a estrutura lógica de sistemas quânticos era diferente da de sistemas clássicos. Em 1929 ele lança um trabalho sobre operadores Hermitianos não limitados [3], trazendo à tona o importante trabalho de David Hilbert, que gerou os então conhecidos espaços de Hilbert, que é uma generalização do espaço euclidiano que não precisa estar restrita a um número finito de dimensões. O objetivo dessa monografia é apresentar o conceito de operador autoadjunto, e

1 Introdução 11

discutir sua importância para uma interação delta de Dirac, definida em um domínio finito. Usamos como referência trabalhos publicados recentemente, e alguns livros destinados a cursos de pós-graduação em física. A compreensão da noção sobre as famílias de extensões autoadjuntas de operadores simétricos é cada vez mais importante. A relação entre essas famílias e as condições de contorno está na raiz de diversas aplicações modernas, dado que um observável mensurável é descrito por um único operador autoadjunto. Em [1] M.Asorey, mostra que tanto para uma teoria bosônica, quanto para uma teoria fermiônica, o princípio fundamental da conservação de carga, está fortemente relacionado ao fato do Hamiltoniano ser autoadjunto.

Agora peço a atenção do leitor para um trabalho muito interessante que ilustra a importância dos operadores em mecânica quântica. Que se encontra em [2] e mostra um "aparente paradoxo". Vamos considerar a seguinte situação, uma partícula num poço infinito unidimensional, ou seja,

V(x) = 0, x ∈ [−L 2, L 2]; V (x) = ∞, |x| ≥ L 2. (1.1)

Onde os estados estacionários são dados por Hψ = Eψ, e H é definido da seguinte forma, H≡ − ¯h 2_d2 2mdx2, D(H) =  φ , Hφ ∈ L2(−L 2, L 2), φ (± L 2) = 0  . (1.2)

Dados os seguintes autoestados,

Ψn(x) = r 2 Lcos  (2n − 1)π x L , E 0 n= ¯h2 2m  (2n − 1)π L 2 , (1.3)

que representam as autofunções normalizadas de paridade par, para uma partícula de massa m confinada em [−L₂, +L₂] por um poço de potencial infinto unidimensional com a condição de contorno Ψ(±L₂) = 0, podemos tomar um estado definido, tal que

Ψ = − r 30 L5(x 2₋L2 4 ), |x| ≤ L 2; Ψ(x) = 0, |x| ≥ L 2 . (1.4)

Fazendo uma expansão nas autofuncões dadas em (1.3), encontramos Ψ(x) =

_∑

(−1)n−1 (2n − 1)3

8√15

1 Introdução 12

Quando tomamos hE2i, temos1

hE2i =

_∑

∑

hE2i = (Ψ,H2Ψ) = 0, (1.7)

ou seja, aqui reside um paradoxo, será que toda a mecânica quântica foi por água baixo? A resposta é não! As funções φ possuem uma restrição segundo a definição do operador (1.2), mas HΨ não, o que nos leva à

(HΨ,HΨ) 6= (Ψ,H2Ψ). (1.8)

Mas como assim?! O que ocorre aqui é que a função HΨ não vai a zero nos extremos, não há restrição para HΨ, ou seja, HΨ não pertence ao domínio do operador H. Em muitos livros-texto a nível de graduação, a definição de operador envolve somente a ação que esse operador realiza. Mas uma definição mais rigorosa, deveria explicitar também o domínio em que ele atua. Afinal queremos encontrar observáveis, ou seja, operadores que estejam de acordo com as leis fundamentais da Mecânica Quântica. Como foi dito anteriormente eles devem ser autoadjuntos. E como saber se são, ou não? Abordaremos algumas técnicas para isso no Capítulo 2.

Começaremos a monografia revisando alguns conceitos que não são usualmente abordados em um curso de graduação, apresentaremos o teorema de von Neumann sobre os índices de deficiência, onde ele determina se um operador é ou não um operador autoadjunto, e se não for, se existe uma extensão sua que seja.

Neste trabalho estamos interessados em estudar operadores autoadjuntos que descrevem situações em que a partícula esteja confinada em um intervalo. Discutiremos o que ocorre quando descontinuidades na função são geradas por um potencial delta de Dirac e/ou sua primeira derivada adicionado ao Hamiltoniano livre.

Para o capítulo 2 os livros que ajudaram o desenvolver este trabalho foram [12] e [14]. Já os capítulos três e quatro tivemos como referência [2], [9] e [10]. E o último capítulo, foi a proposta apresentada por nós para explicar os fenômenos abordados nos capítulos anteriores, mas o trabalho [11] foi de grande ajuda.

1_{A soma ∑} 1

(2n−1)2 pode ser obtida calculando a norma da função |x| através do teorema de Parseval

13

2

Operadores Simétricos e

Autoadjuntos em Mecânica

Quântica

Neste Capítulo discutiremos o teorema dos índices de deficiência de John von Neumann, para isso é preciso revisar e aprender alguns conceitos sobre operadores lineares autoadjuntos. Tomaremos como ponto de partida os operadores simétricos.

2.1

Operadores Simétricos

Comecemos definindo um operador linear.

Definição: Um operador A no espaço de HilbertH é uma aplicação

x7→ y = Ax , x ∈ D(A) , y ∈H

definida no subconjunto D(A) de H . O operador A é Linear se D(A) é um espaço vetorial e

A(αx1 + β x2) = αAx1 + β Ax2 , ∀ x1, x2∈ D(A) ; ∀ α , β ∈ C .

Aqui D(A) é o domínio de A e y = Ax, é o conjunto de suas imagens. A partir daqui podemos definir os operadores simétricos, ou Hermitianos.

Definição: Um operador linear B definido num domínio denso1 do espaço de Hilbert é chamado simétrico se

(Bx, y) = (x,By) ∀x,y ∈ D(B) . (2.1)

1_{O leitor pode estar se perguntando, porque estamos falando de operadores densos? Ao invés de}

operadores definidos em todo o espaço de Hilbert. A maioria dos operadores de interesse físico são ilimitados, logo são no máximo densos emH . Isso é bem explicado no capítulos 11 e 12 de [12]. Sugestão: faça a leitura sobre o teorema Hellinger-Toeplitz.

2.1 Operadores Simétricos 14

Equivalentemente, veremos, B é simétrico se e somente se D(B) ⊂ D(B†)e se Bx = B†x, para todo x ∈ D(B). Vejamos a seguir um exemplo de uma partícula em 1D confinada entre [0,L], para ilustrar a importância dos conceitos até aqui abordados.

2.1.1

Operador Momento confinado em 1D

Vamos considerar operador momento linear, P = −i¯h_dxd (onde por convenção adotaremos ¯h = 1), agindo em um espaço de funções2 definidas no intervalo fechado [0,L]. Seu domínio é inicialmente definido por,

D(P) = {φ ,φ0∈ L2([0,L]); φ (0) = φ (L) = 0}. (2.2) Se ele é simétrico deve valer que,

(Pφ , ψ) = (φ ,Pψ) ∀φ ,ψ ∈ D(P) . (2.3) Onde, (Pφ , ψ) = Z L 0 −idφ (x) dx ψ (x)dx . (2.4)

De fato, integrando por partes,

(Pφ , ψ) = iφ (x)ψ(x)|L₀− i Z L 0 φdψ(x) dx dx, (2.5) ou seja, (Pφ , ψ) − (φ ,Pψ) = −i[φ (L)ψ(L) − φ (0)ψ(0)] = 0 . (2.6) P será simétrico pois devido a (2.2), a última equação será satisfeita.

Tentemos resolver a equação de autovalores para esse operador: −i d

dxψp(x) = pψp(x), tem por solução única

ψp(x) = eipx,

que não pertence ao domínio do operador P, descrito em (2.2). Assim não há autovetores (nem no sentido generalizado de funções não normalizáveis) e a interpretação de P como observável é problemática.

Uma solução é definir condições menos restritivas, como por exemplo, uma

2_{é preciso especificar os requerimentos de "suavidade"para as funções φ e φ}0_{. Não discutiremos}

2.2 Adjunto de um Operador 15

condição de contorno periódica

D₀(P) = {φ ,φ0∈ L2([0,L]); φ (L) = φ (0)}, (2.7) que permitirá obter soluções da equação de autovalores para o operador e mais, os autovalores definam um conjunto discreto.

Entretanto, poderíamos escolher condições mais gerais ψ(L) = eiθψ (0), e definir um novo domínio Dθ(P)para P que será,

D_θ(P) = {φ ,φ0∈ L2([0,L]); φ (L) = eiθφ (0)}, (2.8) com θ ∈ [0,2π]. O que está acontecendo aqui? Cada valor diferente de θ dentro do intervalo [0,2π], corresponderá a um operador distinto e a uma situação física diferente. Um exemplo seria tomarmos θ = 0, e então cairíamos na situação usualmente associada a uma partícula com condições periódicas numa caixa unidimensional, ou uma partícula em um circulo. Agora se a partícula estiver carregada e imersa em um campo magnético, a periodicidade da função pode ser modificada, e teremos θ 6= 0. Concluímos que esse problema, operador momento em uma caixa unidimensional, admite infinitas condições de contorno parametrizadas por θ . Dizemos que P tem infintas extensões autoadjuntas(E.A.A’s), e que cada extensão dessa vai representar uma física diferente.

2.2

Adjunto de um Operador

Assim como na seção anterior, aqui temos de rever alguns conceitos que certamente foram estudados durante o curso de álgebra linear e que precisam de um certo cuidado. Antes de definirmos o que é um operador autoadjunto, precisamos definir o adjunto de um operador. Se B é um operador densamente definido, então o adjunto de B, B† _{é único}3_.

Definição: Seja B : D(B) ⊆ H → H um operador linear densamente definido. Por

definição:

v∈ D(B†) ,

3_{Se B não é denso emH , então B não admite um adjunto, pois haverá mais de um B}†_{associado a}

2.2 Adjunto de um Operador 16

se existe um vetor w ∈H , tal que

(v, Bu) = (w, u), ∀u ∈ D(B), (2.9)

e definimos:

B†v= w.

Assim, obtemos o operador adjunto B†: D(B†) ⊆H → H . Para que essa definição faça sentido e w esteja univocamente definido, D(B) deve ser denso em H . De fato, se a relação (2.9) é verdadeira, quando trocarmos w por w0, então , teremos:

(w − w0, u) = 0, ∀u ∈ D(P) . (2.10) Uma vez que D(B) é denso emH , concluímos que w = w0. Assim o adjunto B† está univocamente definido.

Aqui devemos recobrar a atenção, uma vez que é fácil confundir os conceitos de operador adjunto, autoadjunto e simétrico, vejamos a diferença definindo o operador auto-adjunto. Vamos nos restringir a operadores B, que sejam simétricos, ou seja que satisfazem à condição (2.1). Assim, para tal operador, qualquer elemento v do seu domínio, permite definir um w = B†v, de tal modo que o par {v,w} satisfaz a (2.9) levando a que v ∈ D(B†_{)e B}†_{v= Bv. A questão é que em geral, os vetores do domínio}

de B podem não esgotar o domínio de B†. Nesses casos o adjunto B† será uma extensão do operador simétrico B, dizemos que B ⊂ B†. Como exemplo, aplicaremos essa definição ao caso do operador momento linear (2.2), onde φ (0) = φ (L) = 0.

Seu adjunto é dado por,

(η, φ ) = (ψ,Pφ ), ∀φ ∈ D(P), ∀ψ ∈ D(P†). (2.11) Integrando por partes, temos

(ψ,Pφ ) = −iψ(x)φ (x)|L₀−

Z L

0

(−idψ(x)

dx )φ (x)dx. (2.12)

Como o primeiro termo do lado direito da equação acima é nulo , devido a φ (0) = φ (L) = 0, fica definido que η = Pψ , mas note que D(P) 6= D(P†).

2.3 Operador Autoadjunto 17

2.3

Operador Autoadjunto

Vejamos agora como é definido um operador autoadjunto, e a sutil diferença entre ele, o adjunto e o operador simétrico.

Definição: Um operador T : D(T ) →H densamente definido em H é dito ser um

operador autoadjunto se T = T†. Assim, um operador T : D(T ) →H densamente definido é autoadjunto se D(T ) = D(T†) e T ψ = T†ψ para todo ψ ∈ D(T ) = D(T†). Naturalmente, tem-se também (φ , T ψ) = (T φ , ψ) para todos φ , ψ ∈ D(T ). É evidente também que todo operador autoadjunto é simétrico.

A recíproca da última afirmação não é verdadeira! Como vimos em (2.1), um operador pode ser simétrico, mas não necessariamente autoadjunto e isso fica evidente quando calculamos seu adjunto (2.11). Em algumas literaturas, principalmente as que são voltadas para a graduação, os operadores autoadjuntos e simétricos (ou Hermitianos) são usados como sinônimos. Operadores simétricos, mas não autoadjuntos, podem não ter um espectro real. Um exemplo simples de um operador autoadjunto é o operador posição ˆx em H , é fácil ver que ele é simétrico, pois ele satisfaz diretamente a relação (2.1),

( ˆxφ , ψ) = Z ∞ −∞xφ (x)ψ(x)dx = Z ∞ −∞φ (x)xψ (x)dx = (φ , ˆxψ) . ∀ φ , ψ ∈ D( ˆ x) ⊆H . (2.13) Já seu adjunto, ficará definido da seguinte forma : ∀ φ ∈ D( ˆx†), ∃ ζ ∈H ; (ζ,ψ) = (φ , ˆxψ) ∀ψ ∈ D( ˆx), logo Z ∞ −∞ζ (x)ψ (x)dx = Z ∞ −∞φ (x)xψ (x)dx = Z ∞ −∞xφ (x)ψ(x)dx (2.14) donde, Z ∞ −∞ζ (x) − xφ (x) ψ (x)dx = 0 =⇒ (ζ − xφ ,ψ ) = 0 ∀ψ ∈ D( ˆ x). (2.15) Como D( ˆx)é denso emH , e a equação acima diz que xφ = ζ ∈ H , isso implica que φ ∈ D( ˆx), o que nos leva à D( ˆx†) = D( ˆx), ou seja, ˆxé autoadjunto.

Dessa forma, fica clara a sutil diferença entre os operadores e a necessidade de se definir o domínio no qual eles atuam.

2.4 Indices de deficiência 18

2.4

Indices de deficiência

A técnica desenvolvida por von Neumann e 1929 [3], nos permite saber se um operador simétrico pode ser estendido ou não, a um operador autoadjunto, além disso existe uma sistemática para construir as diversas extensões autoadjuntas (E.A.A’s). Nosso intuito aqui é fazer uso dessa ferramenta, deixaremos a referência de um artigo mais recente onde se faz uma revisão deste teorema, de uma forma mais rigorosa em [4]. Na teoria de von Neumann dois subespaços associados a um operador, serão chamados de subespaços de deficiência, dados por

N+= {ψ ∈ D(A†), A†ψ = +iλ ψ λ > 0}, N−= {ψ ∈ D(A†), A†ψ = −iλ ψ λ > 0}, e os índices de deficiência (n+,n−) serão definidos por

n+= dimN+ ,

n₋= dimN− .

Teorema: Para um operador A com índices de deficiência (n+,n−) existem três

possibilidades:

1. Se n+ = n− = 0, então, A é essencialmente4

2. Se n+ = n− = n ≥ 1, então, A admite infinitas extensões autoadjuntas,

parametrizadas pela matriz unitária n × n (n2parâmetros reais). 3. Se n+ 6= n−, então A não tem extensões autoadjuntas.

Uma vez encontrado o domínio em que P é simétrico, devemos a partir das definições e usando o teorema acima, determinar os índices de deficiência, daí descrever o domínio de todas as extensões autoadjuntas. A seguir apresentaremos alguns exemplos que serão úteis para a discussão do próximo capítulo.

2.4.1

Operador Momento confinado em 1D

Aplicando o teorema dos indices de deficiência ao caso (2.2), dado que seu adjunto já foi calculado em (2.11), temos que a dimN± é encontrado a partir das

4_{Se um operador é essencialmente adjunto, então A}†_{é uma extensão de A , de tal forma que A}†_atua

2.4 Indices de deficiência 19

soluções linearmente independentes de,

P†ψ±(x) = (−i

d dx)

†

ψ±(x) = ±iλ ψ±(x) . (2.16)

Onde são soluções,

ψ±(x) = Be∓λ x. (2.17)

Como estamos em um intervalo finito [0,L] , ambas as soluções ψ±(x) = Be∓λ x são

de quadrado integrável, ou seja, os índices de deficiência são (1,1). Sabemos pelo teorema de von Neumann, que essas extensões autoadjuntas são parametrizadas por U(1), o que está de acordo com o que vimos anteriormente em (2.1.1). Vamos denotar essas extensões por Pθ = (P,Dθ), que são dadas por,

D_θ(P) = {φ ,φ0∈ L2([0,L]); φ (L) = eiθφ (0)} . (2.18) A partir dessas novas condições de contorno, podemos encontrar os autovalores e os autovetores, P_θφn(x,θ ) = 2π L vφn(x,θ ), v= n + θ 2π, n= 0, ± 1, ±, 2,... (2.19) φn(x,θ ) = 1 √ Le 2iπv_Lx_{, (φ} m,φn) = δ[mn. (2.20)

Qual a importância disso? Para ilustrar, voltemos ao problema abordado na introdução deste trabalho (1.3). Aqui faremos uma translação para que a função de onda se adéque ao domínio que estamos trabalhando, ou seja x → x +L₂, que nos leva à

Ψ = r

30

L5x(x − L). (2.21)

Sua expressão em autofunções é dada por,

Ψ =

_∑

Aqui podemos observar que a probalibildade de encontrar uma partícula de momento

2πv

L irá depender de θ , ou seja para cada θ haverá uma física diferente.

Um outro caso interessante que ilustra a importância do teorema de John von Neumann, é o operador momento definido no eixo real, ou seja de (−∞, + ∞), as soluções (2.15) nesse caso não serão de quadrado integrável, assim os índices de

2.4 Indices de deficiência 20

deficiência passam a ser (0,0) e o operador é autoadjunto. Entretanto, se definirmos o operador apenas no semi-eixo real (0,∞), é fácil ver que uma das soluções de (2.15) é de quadrado integrável, e a outra não! O que nos leva a concluir que os índices de deficiência são (1,0), ou seja, não existem extensões autoadjuntas (E.A.A’s) para o operador momento definido no semi-eixo real.

21

3

Operador H confinado em 1D

Seguindo os mesmos passos da seção anterior, agora faremos o caso para operador hamiltoniano definido como H = −_2m1 _dxd22 (por conveção faremos m = 1₂).

Estamos trabalhando no espaço de Hilbert L2(a,b), ou seja, buscamos autofunções que sejam de quadrado integrável num domínio D(a,b). Primeiramente vamos considerar o operador (H,D0(H)), tal que

D₀(H) = {φ ∈ Dmax(0,L) ∈ L2([0,L]) , φ (0) = φ (L) = φ

0

(0) = φ0(L) = 0}; (3.1) seja densamente definido. O termo Dmax simboliza o conjunto de funções que são

duplamente diferenciáveis, tal que a derivada segunda seja de quadrado integrável. É fácil ver que H é simétrico, pois satisfaz

(Hψ,φ ) = (ψ, Hφ ), ψ , φ ∈ D0(H) . (3.2)

Assim, o adjunto de H é definido da seguinte forma, H†ψ =ψ , com a igualdade ae seguir válida para qualquer φ ∈ D0

(ψ ,φ ) = (ψ , Hφ ),e D(H †_{) = D} max(0,L) . (3.3) Mas, (ψ,Hφ ) = Z L 0 ψ (x)(−d 2_{φ (x)} dx2 )dx (3.4)

integrando por partes, temos

−ψ(x)φ0(x)|L₀+ Z L 0 ψ0(x)φ 0 (x)dx . (3.5)

Integrando por parte novamente o último termo, encontramos que (ψ,Hφ ) = −ψ(x)φ0(x)|L₀+ ψ0(x)φ (x)|L0− Z L 0 (d 2_{ψ (x)} dx2 )φ (x)dx , (3.6)

3 Operador H confinado em 1D 22

mas os dois primeiros termos são nulos devido a condição (3.1), ou seja, (ψ,Hφ ) = Z L 0 (−d 2_{ψ (x)} dx2 )φ (x)dx ≡ (H † φ , ψ ) . (3.7)

Concluímos então queψ = He

†

ψ = −d

2

ψ (x)

dx2 , que define o adjunto de H.

Para encontrar os índices de deficiência, resolveremos (− d

2

dx2)

†

ψ (x) = ±ik2₀ψ (x), (3.8)

com k0> 0 e que nos levará à,

− d

2

dx2ψ (x) ∓ ik 2

0ψ (x) = 0, (3.9)

que é parecida com a equação de um oscilador harmônico simples. Suas soluções são dadas por,

φ±= a±ek±x+ b±e−k±x, k±=

(1 ∓ i) √

2 k0 . (3.10)

Agora estejamos atentos ao caso que corresponde o kernel deste trabalho. Como não há restrição nos valores das funções ψ(x) nos extremos, todas as soluções de (3.9) pertencem a L2(0,L) e ambas são linearmente independentes, temos que os índices são n+ = n− = 2, ou seja, as E.A.A’s são parametrizadas pelas matrizes U (2). Para

descrever essas matrizes e consequentemente as condições de contorno, faremos uso da forma sesquilinear "B(φ ,ψ)", que pode ser construída a partir do produto interno

B(φ ,ψ) ≡ 1 2i((H † ψ ,φ ) − (ψ ,H†φ )), (3.11) (H†φ ,ψ ) = −φ0(x)ψ(x)|L₀+ Z L 0 φ0(x)ψ 0 (x)dx . (3.12) (φ ,H†ψ ) = −φ (x)ψ 0 (x)|L₀+ Z L 0 φ0(x)ψ 0 (x)dx . (3.13) (H†φ ,ψ ) − (φ ,H†ψ ) = φ (L)ψ 0 (L) − φ0(L)ψ(L) − φ (0)ψ0(0) + φ0(0)ψ(0) . (3.14) Mas estamos em dívida com o leitor! Pois nada falamos sobre essa nova ferramenta apresentada em (3.11), isso será devidamente esclarecido no próximo capítulo. Voltando ao problema, como definimos que o estado φ pertence ao domínio em que estamos avaliando este operador H, faremos ψ =⇒ φ para que B(φ ,ψ) =⇒ B(φ ,φ ) e num Dmax(0,L) vamos exigir que B(φ ,φ ) seja identicamente nulo. Assim

conseguiremos construir nossas condições de contorno, (H†φ ,φ ) − (φ ,H†φ ) = φ (L)φ

0

3 Operador H confinado em 1D 23

que nos leva à,

B(φ ,φ ) = 1 2i((φ (L)φ 0 (L) − φ0(L)φ (L) − φ (0)φ0(0) + φ0(0)φ (0))) . (3.16) Dada a identidade, 1 2i(xy− xy) = 1 4(|x + iy| 2_{− |x − iy|}2_{), (3.17)}

e aplicando x = Lφ0(L)e y = φ (L) de um lado e x = Lφ0(0) e y = φ (0) de outro, chegamos em um soma de termos positivo definidos com outros negativos

4LB(φ ,φ ) = |Lφ0(0) − iφ (0)|2+ |Lφ0(L) + iφ (L)|2− |Lφ0(0) + iφ (0)|2− |Lφ0(L) − iφ (L)|2. O domínio que admite a extensão autoadjunta é um subespaço de Dmax(0,L) onde

B(φ ,φ ) é identicamente nulo. Assim conseguimos as condições de contorno que estendem o operador H e ao mesmo tempos restringem o operador H† para que fiquem iguais. De fato o lado direito da equação anterior se anula se montamos as condições de contorno da seguinte forma,

Lφ0(0) − iφ (0) Lφ0(L) + iφ (L) ! = U Lφ 0 (0) + iφ (0) Lφ0(L) − iφ (L) ! . (3.18)

Aqui aparece a matriz unitária U . Cada escolha de U define um operador HU= H_U†. O

conjunto de todas as matrizes U define a família de E.A.A,s. Para analisar U façamos a seguinte parametrização,

U = eiψM, detM= 1, =⇒ detU = e2iψ, ψ ∈ [0,2π ] . (3.19) E para construir M usaremos as matrizes de Pauli,

τ1= 0 1 1 0 ! , τ2= 0 −i i 0 ! , τ3= 1 0 0 −1 ! . (3.20)

introduzindo as quatro coordenadas mµ a matriz M será,

M= m0− im3 −m2− im1 m₂− im1 m0+ im3

!

= m0I− i~m.~τ . (3.21)

A condição de detM = 1 é obtida com as coordenadas m = (m0, ~m)restringidas por

m2₀+ ~m.~m= 1, ⇐⇒ m∈ S3 . (3.22) Então, tomando como ponto de partida (3.18) podemos calcular o espectro do

3 Operador H confinado em 1D 24

Hamiltoniano numa caixa. Soluções propostas: φ (s,x) = Ae isx L _{+ Be} −isx L _{, Φ =} A B ! . (3.23)

Substituindo em (3.18), podemos definir duas novas matrizes, Lφ0(0) − iφ (0) Lφ0(L) + iφ (L) ! = iR(s)Φ, Lφ 0 (0) + iφ (0) Lφ0(L) − iφ (L) ! = iT (s)Φ . (3.24) Onde, R(s) = s− 1 −s − 1 (s + 1)eis −(s − 1)e−is

!

, T (s) = s− 1 −s + 1 (s − 1)eis −(s + 1)e−is

!

. (3.25)

Enfim, chegamos a duas equações

(R(s) −UT (s))Φ = 0 , (3.26)

det(R(s) −UT (s)) = 0 . (3.27)

E é a segunda equação na qual estamos interessados, pois ela nos fornece o espectro do Hamiltoniano. A partir dela, um cálculo direto usando a seguinte identidade (válida para matrizes 2 × 2),

det(A − B) = detA + detB + tr(AB) − trA × trB , (3.28) leva às descrições dos autovalores

E= s

2

L2 > 0, 2s[sin(ψ) cos(s) − m1] = sin(s)[cos(ψ)(s

2_{+ 1)) − m}

0(s2− 1))] (3.29)

E= 0, s =⇒ 0 ↔ 2 sin(ψ) − cos(ψ) = 2m1+ m0 (3.30)

E= −r

2

L2 < 0, s= ir ↔ 2r[sin(ψ) cosh(r) − m1] = sinh(r)[− cos(ψ)(r

2_{− 1)) + m}

0(r2+ 1)]

(3.31) Aqui observamos que os autovalores não dependem dos parâmetros m2 e m3. O

resultado mais interessante descrito por esse espectro são as possíveis soluções de energia negativa E < 0, que não são comuns em casos de partícula em um poço. Mas então, o que está acontecendo aqui? Será que para uma partícula confinada numa caixa, existem possíveis estados de energia negativa? O que eles representam fisicamente? E porquê não são soluções quando sujeitamos a partícula a condições

3 Operador H confinado em 1D 25

de contorno mais "triviais"? (exemplo 2.1.1).

Um caso curioso que ressalta a importância do estudo de E.A.A,s é apresentado no livro Problems Solutions in Nonrelativistic Quantum Mechanics de Anton Z. Capri [13]. No exercício 6.8 do capítulo 6, ele propõe que encontremos os índices de deficiência e todas as E.A.A’s para o operador Hamiltoniano num intervalo finito (o mesmo problema abordado nesta seção). Porém ao resolver o problema, Capri faz uma escolha em sua solução que limita suas condições de contorno, logo ele não mapea todas as E.A.A,s pois a condição de contorno que ele calcula, não é a mais geral1.

1_{A condição de contorno mais geral para esse problema foi calculada neste trabalho, e se encontra}

26

4

Operador H com interações tipo

Delta de Dirac

Com o objetivo de responder as questões que surgiram no capítulo anterior, faremos uma análise no caso em que o operador hamiltoniano para uma partícula livre no espaço infinito, é acrescido de um potencial delta de Dirac ou derivada da delta de Dirac.

4.1

Delta de Dirac na Origem

Aqui devemos ter muita cautela, pois não sabemos como as funções ψ e φ , respondem ao acoplamento da delta no hamiltoniano. Dado isso, façamos a seguinte suposição: Iniciamos com um operador H definido em L2_{(R) exceto em algum intervalo}

na origem, ou seja

DH= D ˚R
= D(−∞, 0) ∪ D(0, + ∞), ˚R = (−∞,0) ∪ (0, + ∞), (4.1)

onde todas as funções ψ são absolutamente contínuas e elas e suas derivadas, vão a zero em vizinhanças próximas da origem (x = 0). Esse comportamento na vizinhança de x = 0 caracteriza uma possível singularidade induzida por interações tipo delta. O subespaço D ˚R
é denso em L2(R).

Nosso operador ficará definido como,

H: ( D_H= D ˚_R
, Hψ = −d2ψ dx2 ∀ψ ∈ D ˚R
. (4.2)

É fácil observar que esse operador é simétrico, pois (Hψ, φ ) = (ψ,Hφ ) ∀ψ ∈ DH .

4.1 Delta de Dirac na Origem 27

4.1.1

Operador Adjunto de H

Sendo H densamente definido num espaço de Hilbert H , D(H†) é o conjunto de vetores ψ ∈H para os quais existemψ ∈e H tal que

(ψ ,φ ) = (ψ ,Hφ )_e ∀φ ∈ DH (4.3)

Resolver o lado direito da equação acima, seria repetir a mesma conta já realizada no capítulo anterior (3.6) , que nos leva à

(ψ,Hφ ) = −ψ(x)φ0(x)|0∞ −∞+ ψ 0 (x)φ (x)|0∞ −∞− Z ∞ −∞ (d 2_{ψ (x)} dx2 )φ (x)dx (4.4)

Como estamos lidando com um domínio que não inclui a origem, as duas primeiras equações do lado direito de (4.4) se reescrevem da seguinte maneira,

−ψ(x)φ0(x)|0∞ −∞= −ψ(x)φ 0 (x)|∞ 0 − ψ(x)φ 0 (x)|0_−∞ (4.5) e ψ0(x)φ (x)| 0 ∞ −∞= ψ 0 (x)φ (x)|∞ 0 + ψ 0 (x)φ (x)|0−∞ (4.6)

Como as funções vão a zero no infinito, nos sobra a seguinte expressão, −ψ(0+_)φ0₍₀+_{) + ψ(0}−_)φ0₍₀−_{) + ψ}0

(0+_{)φ (0}+_{) − ψ}0₍₀−_{)φ (0}−_{) (4.7)}

Observe que todos os termos da equação acima são nulos, pois φ é nulo na origem, o que reduz a expressão (4.4), para a seguinte forma

(ψ,Hφ ) = − Z ∞ −∞ (d 2_{ψ (x)} dx2 )φ (x)dx (4.8) em outras palavras, (ψ,Hφ ) = (H†ψ ,φ ) = (−d 2 ψ (x) dx2 ,φ (x)), (4.9)

que define o adjunto do operador H. A seguir faremos uma breve reflexão em cima de um resultado que a priori, pode parecer um tanto redundante,

(H†ψ ,φ ) − (ψ ,Hφ ) = 0 , (4.10)

o que significa dizer que, ψ (+0)φ

0

4.2 Operador H no domínio D ˚R
28

A equação acima nos diz que H† é o adjunto de H , mas, ela também nos diz que H não é autoadjunto. Tudo isso deve-se ao fato de que ψ não precisa estar definida num domínio que exclua a origem (nada falamos sobre ψ(0)), logo o domínio de H† não coincide com o de H. Vimos no capítulo anterior, como construir as E.A.A,s identificando equações análogas a (4.11) como uma forma sesquilinear. Aqui temos uma situação em que os domínios diferem, ou seja, a equação (4.11) tem algumas informações implícitas que serão exploradas nas próximas seções.

4.2

Operador H no domínio D ˚

_R

O operador H definido em (4.2) , nos levará à mesma equação (3.10) do caso finito realizado no capítulo anterior. Todavia, aqui o domínio do operador H é diferente, de forma que em algum intervalo na origem as funções em ψ ∈ DH se anulam. O domínio

de H†não requer continuidade da função e de sua derivada na orígem, como veremos em seguida. Com isso, podemos procurar soluções para a equação que define os índices de von Neumann em duas regiões: No semi-eixo negativo tendendo a zero pela esquerda, e no semi-eixo positivo tendendo a zero pela direita.

As soluções são, ψ1±(x) = ( a_±e− √ k(1∓i)√ 2 x_{, x > 0.} 0, x< 0. ψ2±(x) = ( 0, x> 0. b±e √ k(1∓i)√ 2 x_{, x < 0.} (4.12)

Assim, para cada semi-eixo temos duas soluções diferentes. Os índices são (n+,n−)=(2,2). O que nos levá a seguinte pergunta: Se existem E.A.A,s deste operador,

como encontra-las? Sabemos pelo teorema, que as mesmas são soluções rotuladas pelo grupo U (2). Uma maneira de encontrar a matriz U é fazendo uso da forma sesquilinear, mas o que significa essa forma? No capítulo anterior, fez-se necessário o uso de tal ferramenta. Agora precisamos justificar e explicar sua utilização.

4.2.1

Formas de Assimetria

Pela definição (2.1), um operador simétrico A é um operador densamente definido que satisfaz a condição,

4.2 Operador H no domínio D ˚R
29

O critério de simetria de um operador A densamente definido, é de que todos os elementos da matriz sejam reais, isto é

(φ , Aφ ) − (Aφ ,φ ) = (φ , Aφ ) − (Aφ ,φ ) = 2iIm(φ , Aφ ) = 0, ∀φ ∈ D(A) . (4.14) É natural introduzirmos duas formas definidas para o operador adjunto A† em seu domínio D(A†): a forma sesquilinear B_A†(η,ϕ) dada por,

B_A†(η,ϕ) = (η, A†ϕ ) − (A†η ,ϕ ), ∀η , ϕ ∈ D(A†) . (4.15)

E sua forma quadrática C_A†(ϕ), que é uma restrição de B_A†(η,ϕ) para o caso diagonal

ϕ = η

C_A†(ϕ) = B_A†(ϕ,ϕ) = 2iIm(ϕ,A†ϕ ), ∀ϕ ∈ D(A†) . (4.16)

A forma B_A† é anti-Hermitiana, enquanto a forma C_A† é puramente imaginária:

B_A†(η,ϕ) = −B_A†(η,ϕ) , C_A†(ϕ) = −C_A†(ϕ) . (4.17)

Podemos determinar B_A† a partir de C_A†, com a seguinte expressão

B_A†(η,ϕ) = 1 4  h C_A†(η + ϕ) −C_A†(η − ϕ) i − ihC_A†(η + iϕ) −C_A†(η − iϕ) i (4.18) que também é chamada de formula de polarização.

Cada uma destas formas mede a assimetria do operador adjunto A†, isto é, uma medida do quanto a extensão de A se desvia de um operador simétrico. Portanto, chamamos B_A† e C_A†, respectivamente de a forma de assimetria sesquilinear e a

forma de assimetria quadrática. Se B_A† = 0, ou equivalentemente, C_A† = 0, então A†

é simétrico e A é essencialmente autoadjunto. Fazendo uma análise mais profunda com respeito a essas formas aqui apresentadas, é possível mostrar que, para um operador linear densamente definido de subespaços de deficiência finitos, sempre haverá uma forma assimétrica. Uma abordagem mais rigorosa sobre esse assunto é feita por D.M. Gitman em [9].

Voltando ao problema da adjunticidade do operador H inicialmente definido. Queremos identificar um domínio estendido para o operador simétrico (4.2) tal que a forma sesquilinear (4.11) se anule para ψ e φ pertencentes a esse domínio. Dada a equivalência com a forma quadrática temos de exigir que nesse domínio

C_A†(φ 0

4.3 Funções Delta de Dirac 30

Podemos reescreve-la como, φ (+0)φ 0 (+0) − φ0(−0)φ (−0) − φ (+0)φ0(+0) + φ0(−0)φ (−0) = i 2k0 (a†a− b†b) (4.20) onde b= k0φ (+0) − iφ 0 (+0) k₀φ (−0) + iφ0(−0) ! , a = k0φ (+0) + iφ 0 (+0) k₀φ (−0) − iφ0(−0) ! . (4.21)

O que nos leva às seguintes condições de contorno, k₀φ (+0) − iφ0(+0) k₀φ (−0) + iφ0(−0) ! = U k0φ (+0) + iφ 0 (+0) k₀φ (−0) − iφ0(−0) ! . (4.22) ou seja, b= U a , ∀U ∈ U (2) (4.23)

A equação (4.22) mostra que existe uma E.A.A para cada escolha da matriz U em U(2). O questionamento que o leitor deve estar se fazendo nesse momento é : Como relacionar a matriz U e as condições de contorno associadas a ela (4.22), com a Delta de Dirac? Isso foi bem respondido por P. Kurasov em [10], e será o tema da próxima seção.

4.3

Funções Delta de Dirac

Com um rigor necessário, Kurasov faz uso da teoria de distribuições, e reescreve as condições de contorno mais gerais determinadas em (4.22) em termos de relações entre o valor da função de onda e de sua derivada primeira em cada lado da singularidade. φ (0+) φ0(0+) ! = V φ (0 −₎ φ0(0−) ! . (4.24)

a partir daí ele constrói um único operador definido com funções delta e sua derivada que induz essa condições, caracterizando a origem física de todas as E.A.A’s, para o caso mais geral de uma interação singular na origem.

Esse operador é dado por,

L_x= −D2_x(1 + X₄δ ) + iDx(2X3δ − iX4δ1) + X1δ + (X2− iX3)δ1. (4.25)

4.3 Funções Delta de Dirac 31

Cada termo dessa expressão deve ser entendido no contexto de teoria de distribuições1. Lx atuando em ψ é uma soma de termos, cada termo dessa soma é

entendido como distribuição, somente a soma total desses termos deve fazer sentido como função. A derivada vista como distribuição2 é tal que dada uma função teste φ , temos que (φ , Dxψ ) ≡ Z +∞ −∞ (−∂xφ )ψ dx = Z 0 −∞(−∂xφ )ψ dx + Z +∞ 0 (−∂x φ )ψ dx . (4.26)

Kurasov, mostra que podemos extrair as condições de contorno mais gerais, partindo do operador (4.25) aplicado a uma função de onda

L_xψ (x) =ψ (x)e (4.27)

e coletando os termos proporcionais a função delta e a sua derivada no lado esquerdo. Como a ação do operador na função de onda deve resultar em outra função de onda e não em uma distribuição singular, cada um desses termos deve ser nulo. Alternativamente para qualquer função teste φ , deve ser válida a equação

(φ ,Lxψ (x)) = (φ ,ψ (x))e (4.28) Todavia, queremos entender o que acontece na região da descontinuidade, motivados a compreender o efeito que essa interação causa nas soluções, usaremos duas funções teste especiais, para construir as condições de contorno encontradas por Kurasov.

As funções teste são:

φ1(x) = ( 0, |x| > 2ε. 1, |x| < ε. φ2(x) = ( 0, |x| > 2ε. x, |x| < ε. (4.29) φ1(x) é a função degrau "esmerilhada"(i.e. interpolada suavemente) entre ε ≤ |x| ≤ 2ε

e φ2(x) é a função rampa, também "esmerilhada" entre ε ≤ |x| ≤ 2ε. Aplicando as

funções teste no operador (4.25) separadamente3, e tomando ε =⇒ 0, chegamos às seguintes condições de contorno:

ψ

0

(+0) − ψ0(−0) + X1ψM(0) + (X2− iX3)ψ

0

M(0) = 0 (4.30)

1_{Explicar a construção deste operador e o surgimento de cada termo associado a ele, foge dos}

escopo deste trabalho, mas caso o leitor se sinta curioso encontrará essa explicação em [10]

2_{Uma outra referência sobre teoria de distribuições pode ser encontrar no capítulo 9 de [12]} 3_{Essa conta está explicitada no apêndice.}

4.3 Funções Delta de Dirac 32

e

ψ (−0) − ψ (+0) + (X2+ iX3)ψM(0) + X4ψ

0

M(0) = 0 . (4.31)

Onde ψM(0) = 1₂(ψ(+0) + ψ(−0)). Isso nos leva às mesmas condições de contorno

encontradas por Kurasov:

ψ (+0) ψ0(+0) ! =   (2+X2)2−X1X4+X32 (2−iX3)2+X1X4−X₂2 −4X4 (2−iX3)2+X1X4−X₂2 4X1 (2−iX3)2+X1X4−X22 (2−X2)2−X1X4+X32 (2−iX3)2+X1X4−X22  × ψ (−0) ψ0(−0) ! , (4.32)

onde X = (X1,X2,X3,X4) ∈ R4, com seu domínio definido por ψ ∈ L2(R\{0}), para

todas as funções ψ que sejam são absolutamente contínuas. Até aqui, encontramos as condições de contorno mais gerais para uma interação "tipo" delta na origem, (4.25), entretanto, ainda não relacionamos essas condições de contorno (4.32) com as E.A.A,s vistas na seção anterior, ou seja, com a matriz U que é parametrizada por m= (m1,m2,m3,m4)e Ψ (3.21) .

Para não ter de fazer sempre um algebrismo cansativo toda vez que busquemos determinar U , iremos reescrever a matriz U em termos dos parâmetros X = (X₁,X₂,X₃,X₄), encontrados na condição de contorno (4.32).

Primeiramente façamos, 2α ≡ (2 + X2) 2_{− X} 1X4+ X₃2 (2 − iX3)2+ X1X4− X₂2 , 2iβ k₀ ≡ −4X4 (2 − iX3)2+ X1X4− X₂2 , e 2θ ≡ (2 − X2) 2_{− X} 1X4+ X₃2 (2 − iX3)2+ X1X4− X₂2 2iγk0≡ 4X1 (2 − iX3)2+ X1X4− X₂2 . O que nos leva à,

ψ (+0) ψ0(+0) ! = 2α 2iβ k0 2iγk0 2θ ! × ψ (−0) ψ0(−0) ! . (4.33)

Não é difícil traduzir para a forma, k₀φ (+0) − iφ0(+0) k0φ (−0) + iφ 0 (−0) ! = U k0φ (+0) + iφ 0 (+0) k0φ (−0) − iφ 0 (−0) ! .

4.3 Funções Delta de Dirac 33

E com um pouco de algebrismo, chegamos em

U =   α +γ +β −θ α −γ +β +θ 4(γβ +αθ ) α −γ +β +θ 1 α −γ +β +θ −α+γ+β +θ α −γ +β +θ   (4.34)

Como exemplo façamos o caso de somente uma interação Delta, que equivale a fazer X₁6= 0 e X₂= X₃= X₄= 0, ou seja α = 1 2 , β = 0 , θ = 1 2 , γ = X₁ 2ik0 . Substituindo em (4.34) chegamos em,

U= 1 2ik0− X1 X₁ 2ik0 2ik0 X1 ! (4.35)

Por outro lado, se escolhêssemos X26= 0 e X1= X3= X4= 0, ou seja

α = 2 + X2 2(2 − X2) , β = 0 , γ = 0 , θ = 2 − X2 2(2 + X2) . Substituindo em (4.34) , temos U= 1 2 −X2 1₄ 1 4 X2 ! (4.36)

Dada as condições de contorno (4.22) , uma vez que calculemos U teremos toda a informação sobre o comportamento da interação "tipo" Delta, ou seja, U + (4.22) nos da toda a física que envolve o problema. Até aqui, conseguimos definir todas as ferramentas necessárias para finalmente, tentarmos entender o que significa o surgimento de um estado ligado, para uma partícula confinada em uma dimensão.

34

5

E.A.A num intervalo a partir de

funções Delta de Dirac

Vimos que o Hamiltoniano para uma partícula livre em uma dimensão num intervalo de [0,L] pode ser associado a várias extensões autoadjuntas de um operador simétrico inicial. Nesse capítulo vamos mostrar como as interações singulares, tipo delta de Dirac, podem gerar várias E.A.A’s e como isso está relacionado ao surgimento de um estado de energia negativa.

5.1

Transmutação das condições

Partindo da equação (3.18) faremos a escolha

U = e

−i2α0 ₀

0 ei2αL

!

. (5.1)

Aqui as condições de contorno ficaram separadas, a direita e a esquerda do intervalo independentemente. O que nos leva às chamadas condições de Robin:

φ (0) = L tan α0φ0(0) e φ (L) = L tan αLφ0(L). (5.2)

O argumento também vale no sentido contrário, ou seja, a condição (5.2) implica na descrição com a matriz U em (5.1).

A questão que nos propomos analisar é: qual é o efeito da introdução de uma interação singular tipo delta de Dirac na proximidade de cada extremidade do intervalo. Assim, inicialmente acrescentamos uma interação com uma função delta de Dirac e sua derivada primeira, descrita da seguinte forma

5.1 Transmutação das condições 35

localizadas no ponto x = ε. Ora, chamando x0= x − ε, já vimos em (4.32) como essa interação afeta as condições de contorno no entorno do ponto x = ε (ou x0= 0). Nesse caso particular X3= X4= 0, a equação (4.32) assume a forma

φ (ε+) φ0(ε+) ! =   2+X2 2−X2 0 4X1 4−X₂2 2−X2 2+X2   φ (ε−) φ0(ε−) ! (5.3)

Agora vamos supor que a evolução da função de onda entre o ponto x = 0 e o ponto x = ε seja suave. Isto é supomos que φ (ε−) = φ (0) + O(ε) e que φ0(ε−) = φ0(0) + O(ε). Assim, a primeira das condições (5.2), referente ao lado esquerdo, pode ser identificada como uma restrição para os valores da função de onda de (5.3)

φ (ε−) = L tan α0φ0(ε−) + O(ε). (5.4)

Substituindo a equação acima em (5.3) e fazendo o limite ε =⇒ 0 , concluímos que

φ0(0+) = " 4X1 (2 + X₂)2+  2 − X2 2 + X₂2 2 cot α0 L # φ (0+) ≡ cot α 0 0 L φ (0 +_{). (5.5)}

Vemos então que as funções delta em x = ε −→ 0 transmutaram uma condição de Robin com α0 em uma nova condição de Robin com α00. Escolhendo X1e X2 pode-se

escolher o valor de α₀0.

Um tratamento análogo e independente pode ser reproduzido no extremo oposto do intervalo com perturbações em x = L − ε, acrescentando ao Hamiltoniano o termo

∆LH= −X1δ (x − L + ε ) − X2δ0(x − L + ε).

Aqui os sinais de X1 e X2 foram invertidos por conveniência. De fato a troca dos sinais

leva a matriz V −→ V−1em (5.3). Assim podemos trocar os papeis dos lados esquerdo e direito da singularidade, isto é

φ ((L − ε )−) φ0((L − ε)−) ! =   2+X2 2−X2 0 4X1 4−X2 2 2−X2 2+X2   φ ((L − ε )+) φ0((L − ε)+) ! ≡ V φ ((L − ε ) +₎ φ0((L − ε)+) ! . (5.6)

5.1 Transmutação das condições 36

da segunda das condições (5.2), a equação

φ0(L−) = " 4X1 (2 + X2)2 + 2 − X2 2 + X2 2 cot αL L # φ (L−) ≡  cot α 0 L L  φ (L−). (5.7)

Poderíamos mudar as condições de contorno independentemente em cada extremo do intervalo ajustando os parâmetros Xi de maneira independente para cada caso.

Após tomar o limite ε −→ 0 a função de onda estará definida entre 0 e L e será contínua nesse intervalo. Não há mais singularidade no Hamiltoniano para 0 < x < L. Toda a referência às funções delta terá sido levada às novas condições de contorno.

5.1.1

Casos especiais

Voltemos a analisar a condição em x = ε. Há dois casos particulares que devem ser observados. Quando a condição inicial (5.2) corresponde a α0= π/2 a tangente é

infinita e temos a condição de Neumann

φ0(0−) = 0.

Nesse caso a introdução da perturbação, ou seja, a condição de contorno transmutada (5.5) resultará numa condição de Robin genérica

φ0(0+) = 4X1 (2 + X2)2

φ (0+),

no caso de X1 6= 0. Isto é, na presença da função delta independentemente da

presença da derivada da delta temos cot α00

L =

4X1

(2+X2)2. O mesmo ocorre se fizermos

a análise no extremo oposto αL= π/2.

Entretanto, se α0= 0, ou αL= 0 temos a condição inicial de Dirichlet

φ (0−) = 0.

Nesse caso a perturbação mantém a condição φ (0+) = 0.

E o mesmo ocorre para o caso em que x = L − ε, φ (L−) = 0.

5.2 Autovalores 37

Aqui a perturbação também mantém a condição φ (L+) = 0.

Isso mostra que há uma estabilidade nas condições de contorno de Dirichlet, mas não nas de Neumann, esse comportamento havia sido observado no trabalho precursor de H.Englisch e P.Šeba [11].

Na nossa presente análise essa estabilidade não se deve propriamente a algo peculiar da condição inicial. Olhando para a matriz em (5.3) vemos que é o elemento nulo dessa matriz que é responsável por essa limitação. Isso sugere, tendo em vista o trabalho de Kurasov, tratar, para o caso da condição de Dirichlet, com a perturbação bem simples dada por

H₀= −D2_x −→ −D2_x(1 + X4δ (x − ε )) + X4Dxδ1(x − ε). (5.8)

Nesse caso, invés de (5.3), teremos

φ (ε+) φ0(ε+) ! = 1 −X4 0 1 ! φ (ε−) φ0(ε−) ! ≡ V φ (ε −₎ φ0(ε−) ! . (5.9)

A condição inicial de Dirichlet será transmutada na condição de Robin φ0(0+) = −X4φ (0+).

Vemos assim que a condição de Dirichlet não é totalmente estável. Observamos adicionalmente que também o caso que tratamos inicialmente, particularizado para X₂= 2 poderia ser objeto de investigação.

5.2

Autovalores

Queremos analisar o impacto das perturbações no espectro dos Hamiltonianos. Os autovalores do Hamiltoniano são descritos pelas condições dadas nas equações (3.29). Vamos tomar o caso αL= α0. A matriz U é da forma

U= e

−2iα0 ₀

0 e2iα0

!

= cos 2iα0− i sin 2iα0 0

0 cos 2iα0+ i sin 2iα0

!

5.2 Autovalores 38

Na notação do capítulo 3, em termos da matriz identidade e da matriz de Pauli, U= cos 2α01 − i sin 2α0σ3.

Temos m0= cos 2α0e m3= sin 2iα0, com m1= m2= 0.

Nesse caso, para −1 < m0< 1, as energias positivas são dadas, usando (3.29),

por

En= nπ

e há um estado com energia negativa, (3.31), dada por E= − 1 L2 1 + m0 1 − m0 = − 1 L2 1 + cos 2α0 1 − cos 2α0 .

Assim a introdução das interações tipo delta de Dirac, que equivale a fazer α0−→ α00

em (5.2) e portanto em (5.1), tem um impacto mudando os valores das energias. Como é possível ter energias negativas para uma partícula livre em uma caixa?

No caso particular de condições de Neumann, α0= π/2 temos m0= −1 e m3= 0

e não há energia negativa. Nesse caso testemunhamos a origem da energia negativa associada a condição de Robin obtida após a introdução da interação com δ e δ1. Após tomar ε −→ 0 as funções delta "ficam escondidas" no limite da barreira de potencial infinita responsável por limitar a partícula ao intervalo 0 < x < L. Mas elas deixam como herança a mudança da condição de contorno de Neumann para Robin. E com isso emerge a energia negativa

No caso particular de condições de Dirichlet, α0= 0, temos m0 = 1 e m3= 0 e

novamente não há energia negativa. Nesse caso a perturbação com X1δ + X2δ1não é

suficiente para introduzir o estado com energia negativa. Mas a perturbação adicional X4 6= 0 descrita em (5.8) é sim suficiente para mudar esse panorama e introduzir o

39

6

Conclusão

Vimos a importância de uma definição mais rigorosa de operadores em Mecânica Quântica, mostramos a diferença entre operadores simétricos(ou Hermitianos) e operadores autoadjuntos, dado que muitos livros-texto de cursos de graduação acabam passando a "ideia" de que basta a um operador ser hermitiano para representar um observável. No capítulo 2 deixamos claro que isso pode não ser verdade! A partir da introdução das definições dos operadores, fizemos uso do Teorema de von Neumann (2.4) para o caso de uma partícula confinada. Constatamos a existência de estados de energia negativa, o que não é uma característica "usual" desse tipo de sistema. Como o estudo de famílias de E.A.A,s não é um tema muito difundido, tanto em graduações quanto em cursos de pós graduação, não é de se espantar que situações como a apresentada no capítulo 3, gerem no mínimo um desconforto. Isso fica evidente no exemplo citado ao final do capítulo 3, onde A.Z.Capri acaba sendo "infeliz" em sua solução para o problema proposto. Para explicar a origem desse estado de energia negativa, apresentamos e fizemos uso de várias ferramentas importantes, como o operador construído por Kurasov (4.25) a partir de teoria de distribuições e as formas de assimetria (4.2.1) descritas por Gitman em [9]. Por fim, mostramos no capítulo 5 que esse estado de energia negativa, emerge da inter-relação de algumas condições de contorno nos extremos com as condições de contorno devido a interações tipo funções delta e sua derivada. O efeito da delta e de sua derivada se escondem no limite da barreira de potencial infinito e sempre que tomamos o limite ε → 0, o que "representava"a função delta, será levado em novas condições de contorno. Com relação a estabilidade das condições de contorno, concluímos que tal propriedade depende do tipo de interação proveniente de (4.25). Sempre haverá um tipo de interação, para qualquer condição de contorno que seja capaz de modificá-la e eventualmente faça emergir um estado de energia negativa, ou seja, não há estabilidade nas condições de contorno para o caso aqui estudado.

40

APÊNDICE A -- Condições de contorno a

partir das funções teste

Dadas a seguintes funções teste,

φ1(x) = ( 0, |x| > 2ε, 1, |x| < ε, e φ2(x) = ( 0, |x| > 2ε, x, |x| < ε, construiremos as condições de contorno

ψ 0 (+0) − ψ0(−0) + X₁ψM(0) + (X2− iX3)ψ 0 M(0) = 0 , ψ (−0) − ψ (+0) + (X2+ iX3)ψM(0) + X4ψ 0 M(0) = 0 .

Exigiremos a validade de Lxψ = Eψ , onde

L_x= −D2_x(1 + X4δ ) + iDx(2X3δ − iX4δ1) + X1δ + (X2− iX3)δ1

como distribuição. Aplicaremos essa condição às duas funções teste anteriores. Para a primeira função teste,

Lψ(φ1) = Eψ(φ1) ≈ O(ε).

Temos que

L_xψ (φ1) = ψ(−∂x2φ1) + X4δ (−ψ ∂x2φ1) + i2X3δ (−ψ ∂xφ1)+

+X4δ0(−ψ∂xφ1) + X1δ (ψ φ1) + (X2− iX3)δ0(ψφ1).

Integrando termo a termo da expressão anterior, e tomando o limite em que ε → 0, temos 1) ψ(−∂_x2φ1): ψ (−∂_x2φ1) ≡ − Z −ε −∞ ψ ∂ 2 xφ1dx− Z +∞ ε ψ ∂_x2φ1dx= − Z −ε −∞ ∂x(ψ∂xφ1 )dx + Z −ε −∞ ∂xψ ∂xφ1 dx+

Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 41 − Z ∞ ε ∂x(ψ∂xφ1)dx+ Z +∞ ε ∂xψ ∂xφ1dx≈ Z −ε −∞ ∂x(∂xψ φ1)dx+ Z +∞ ε ∂x(∂xψ φ1)dx = (ψ0(0−)−ψ0(0+)) . 2) X4δ (−ψ ∂x2φ1): ∂_x2φ1(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ ∂x2φ1) = 0 . 3) i2X3δ (−ψ ∂xφ1): ∂xφ1(0) = 0 =⇒ i2X3δ (−ψ ∂xφ1) = 0 . 4) X4δ0(−ψ∂xφ1): ∂xφ1(0) = 0, ∂x2φ1(0) = 0 =⇒ X4δ0(−ψ∂xφ1) = 0 . 5) X1δ (ψ φ1): X₁δ (ψ φ1) = X1ψM(0) ,

onde do lado direito figura o valor médio na origem. 6) (X2− iX3)δ0(ψφ1):

(X2− iX3)δ0(ψφ1) = −(X2− iX3)(ψ0φ + ψ φ0)M= −(X2− iX3)ψM0 (0) .

Somando as equações acima, chegamos na primeira das condições de contorno, ψ

0

(+0) − ψ0(−0) + X1ψM(0) + (X2− iX3)ψ

0

M(0) = 0 .

Analogamente para a segunda função teste, teremos

L_xψ (φ2) = ψ(−∂x2φ2) + X4δ (−ψ ∂x2φ2) + i2X3δ (−ψ ∂xφ2)+

+X4δ0(−ψ∂xφ2) + X1δ (ψ φ2) + (X2− iX3)δ0(ψφ2).

Novamente integrando termo a termo e tomando o limite ε → 0 1) ψ(−∂_x2φ2): ψ (−∂_x2φ2) = − Z −ε −∞ ψ ∂ 2 xφ2dx− Z +∞ ε ψ ∂_x2φ2dx= −ψ(0−) + ψ(0+) . 2) X4δ (−ψ ∂x2φ2): ∂_x2φ2(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ ∂_x2φ2) = 0 . 3) i2X3δ (−ψ ∂xφ2): i2X3δ (−ψ ∂xφ2) = −i2X3ψM(0) . 4) X4δ0(−ψ∂xφ2): X₄δ0(−ψ∂xφ2) = X4(ψ0φ0+ ψφ0)M= X4ψM0 (0) .

Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 42

5) X1δ (ψ φ2):

φ2(0) = 0 =⇒ X1δ (ψ φ2) = 0 .

6) (X2− iX3)δ0(ψφ2):

(X2− iX3)δ0(ψφ2) = −(X2− iX3)(ψ0φ + ψ φ0)M= −(X2− iX3)ψM(0) .

Somando os resultados encontrados acima, encontramos a segunda condição de contorno,

ψ (−0) − ψ (+0) + (X2+ iX3)ψM(0) + X4ψ

0

43

Referências Bibliográficas

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