Axiom´ aticas n˜ ao completas

Cap´ıtulo

3.6 Axiom´ aticas n˜ ao completas

Finalizamos este cap´ıtulo mostrando duas axiomatiza¸c˜oes n˜ao completas da

LPC. Estes dois exemplos servirão para mostrar duas coisas: (1) os cuidados que devemos tomar ao tentar axiomatizar uma determinada lógica (no caso, a LPC); e (2) uma técnica que pode ser utilizada para provar que um sistema é incompleto ou, mas geralmente, para provar que uma determinada fórmula n˜ ao é demonstr´ avel num dado sistema axiomático. Portanto, esta técnica serve também para provar a independência dos axiomas de uma dada ax- iomática, isto é: para provar que o sistema obtido de eliminar um dos seus axiomas não consegue provar o axioma eliminado.

Nesta se¸cão , “Completude” e “Corre¸cão” referem-se a “Completude Fraca” e “Corre¸cão Fraca”, respectivamente.

Deﬁni¸c˜ao 3.6.1. Considere a assinatura proposicional C 4 dada por C ₀4 =

{⊥}

, C ₂4 =

_{∨

_⇒}

e C _n4 =

_∅

nos outros casos. O sistema axiom´atico P escrito na linguagem L(C 4) consiste dos seguintes axiomas e regras de inferˆencia:

(Ax1) (ϕ

_∨

ϕ)

_⇒

ϕ (Ax2) ϕ

_⇒

(ψ

_∨

ϕ)

(Ax3) (ϕ

_⇒

ψ)

_⇒

((γ

_∨

ϕ)

_⇒

(ψ

_∨

γ )) (MP) ϕ ϕ

⇒

Defini¸cão 3.6.2. Uma valora¸c˜ ao para P é uma fun¸cão v : L(C 4)

_→

2 tal que:

1. v(

_⊥

) = 0;

2. v(ϕ

_∨

ψ) =

_

(v(ϕ), v(ψ)); 3. v(ϕ

_⇒

ψ) = _{(v(ϕ), v(ψ)),}

onde

_

: 22

_→

2 e _{: 2}2

_→

_{2 são as fun¸cões de verdade clássicas (veja}

Subse¸c˜ao 2.2.1).

Observe que a semântica de P coincide com a semântica clássica para os conectivos

_{⊥

_∨

_⇒}

(um conjunto adequado), portanto as tautologias de P (nesta linguagem e nas linguagens Prop, Prop₁ e Prop₂, se usarmos as abrevia¸cões usuais) são as clássicas.

Proposi¸cão 3.6.3. O sistema P é correto com rela¸c˜ ao às suas valora¸c˜ oes. Demonstra¸cão: Imediata: os axiomas são tautologias clássicas, e a regra (MP) preserva validade: se as premissas são verdadeiras, então a conclusão é também verdadeira.

Porém, podemos observar que o sistema P não é completo com rela¸cão à sua semântica clássica:

Proposi¸cão 3.6.4. O sistema P n˜ ao é completo com rela¸c˜ ao às suas valora¸c˜ oes.

Demonstra¸cão: Basta provar que existe uma tautologia (com rela¸cão às suas valora¸cões, ou seja, uma tautologia clássica na linguagem L(C 4)) que não é demonstrável em P. Considere a fórmula ϕ = (

_{⊥ ⇒}

p₀). Claramente ϕ é uma tautologia. Provaremos que ϕ não é demonstrável em P usando a

técnica seguinte: exibiremos uma semântica alternativa para P que valide seus axiomas e suas regras de inferência (portanto, P será correto para essa semântica alternativa). Porém, ϕ não será uma tautologia com rela¸cão a essa semântica, portanto não poderá ser um teorema de P. Considere então a seguinte semântica para P: as valora¸cões são fun¸cões como na Defini¸cão 3.6.2, mas agora v(

_⊥

) = 1 para toda v. Dado que

_⊥

não aparece explicitamente nos axiomas e nas regras de P, vemos que P é correto com rela¸cão a esta nova semântica. Mas, claramente, ϕ não é tautologia com rela¸cão a esta semântica, pois para qualquer valora¸cão v tal que v( p0) = 0 temos que

v(ϕ) = 0. Portanto ϕ n˜ao pode ser um teorema de P, pela corre¸c˜ao de P

com rela¸c˜ao a esta semˆantica.

Um motivo óbvio na falha de P para axiomatizar a LPC é a ausência de axiomas e regras governando o s´ımbolo primitivo

_⊥

da linguagem de P. Um fato intuitivo básico com rela¸cão à axiomatiza¸cão de sistemas lógicos é que deveriamos colocar regras e axiomas para cada conectivo declarado na assinatura, caso contrário nos vemos expostos a fenómenos de incompletude como o que acabamos de apresentar.

Mas as coisas não são tão fáceis, e mesmo colocando axiomas que repre- sentam as inferências básicas de uma lógica intuitivamente suficientes para gerá-la, podemos ter surpressas. Mostraremos a seguir uma extensão de P

acrescentando alguns axiomas para a constante

_⊥

e para a nega¸c˜ao derivada

¬

ϕ := (ϕ

_{⇒ ⊥}

), que ainda resultará ser incompleta. A prova de incompletude é análoga à prova da Proposi¸cão 3.6.4, mas agora utilizaremos uma semântica trivalente, isto é, com três valores de verdade.

Defini¸cão 3.6.5. O sistema P+ definido sobre L(C 4) é a extensão de P

obtida pelo acr´escimo dos seguintes axiomas a P (onde

_¬

ϕ denota ϕ

_{⇒ ⊥}

): (Ax4)

_{⊥ ⇒}

(Ax5) ϕ

_⇒

(

_¬

_⇒

ψ) (Ax6)

_¬¬

_⇒

ϕ (Ax7) ϕ

_{⇒ ¬¬}

ϕ (Ax8)

_¬

_∨

Primeiro de tudo, observemos que os acr´escimos feitos ao sistema P s˜ao classicamente corretos.

Proposi¸cão 3.6.6. O sistema P +é correto com rela¸c˜ ao à semˆ antica cl´ assica de valora¸c˜ oes v tais que v(

_⊥

) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Imediata.

Para provar a incompletude de P+ com rela¸cão à semântica clássica intro- duzimos uma semântica alternativa para o sistema, tal que P+ é correto com rela¸cão a essa semântica; porém, essa semântica não valida uma certa tautologia clássica.

Deﬁni¸c˜ao 3.6.7. Seja 3 =

_{

0, 1₂, 1

_}

. Uma valora¸c˜ ao∗ para P +´e uma fun¸c˜ao v : L(C 4)

_→

3 tal que:

1. v(

_⊥

) = 0;

2. v(ϕ

_∨

ψ) =

_

(v(ϕ), v(ψ)); 3. v(ϕ

_⇒

ψ) = _{(v(ϕ), v(ψ)),}

onde

_

: 32

_→

3 e _{: 3}2

_→

_{3 são as fun¸cões de verdade definidas pelas}

matrices abaixo.



1 1/2 0 1 1 1 1 1_/ 2 1 0 0 0 1 0 0  ₁ 1_/₂ ₀ 1 1 0 0 1_/ 2 1 1/2 1 0 1 1 1

(Aqui, o primeiro argumento das fun¸c˜oes

_

e _{´e dado pela primeira coluna}

de cada matriz, e o segundo argumento vem dado pela primeira linha de cada matriz; por exemplo, ₍1

2, 1) = 1.) A no¸cão de conseqüência semântica

|

=∗

´e deﬁnida como segue: Γ

_|

=_∗ ϕ se, para toda valora¸c˜ao∗ v, se v(γ ) = 1 para toda γ

_∈

Γ, ent˜ao v(ϕ) = 1.

₋

p 1 0

1_/

2 1

0 1

Proposi¸cão 3.6.8. O sistema P + é correto com rela¸c˜ ao à semˆ antica de valora¸c˜ oes ∗ da Defini¸c˜ ao 3.6.7.

Demonstra¸cão: Uma verifica¸cão rotineira, que deixamos como exerc´ıcio para o leitor.

Proposi¸cão 3.6.9. O sistema P + n˜ ao é completo com rela¸c˜ ao à semˆ antica de valora¸c˜ oes cl´ assicas.

Demonstra¸c˜ao: A f´ormula ϕ = ( p0

⇒

p0) é uma tautologia clássica, porém

não é uma tautologia com rela¸cão à semântica de valora¸cões∗ para P+ in- troduzida na Defini¸cão 3.6.7. Com efeito, qualquer valora¸cão∗ v tal que v( p0) = 1₂ produz v(ϕ) = 1₂, portanto

|

=∗ ϕ. Pela Proposi¸c˜ao 3.6.8 temos

que

_

P+ ϕ. Logo, P+ não é uma axiomática completa para a LPC.

Como conseqüência imediata da prova da Proposi¸cão 3.6.9 obtemos que P+

n˜ao satisfaz o Teorema da Dedu¸c˜ao: com efeito, temos que p0



P+ p₀, por´em



P+ ( p0

⇒

p0). O mesmo fenômeno acontece com a rela¸cão de conseqüência

semˆantica

_|

=∗.

No documento Lógica Para Computação - Marcelo Finger (páginas 71-75)

Axiom´ aticas n˜ ao completas

Cap´ıtulo

3.6 Axiom´ aticas n˜ ao completas

{⊥}

{∨

⇒}

∅

∨

⇒

⇒

∨

⇒

⇒

∨

⇒

∨

⇒

→

⊥

∨



⇒



→

→

{⊥

∨

⇒}

⊥ ⇒

⊥

⊥

⊥

⊥

¬

⇒ ⊥

¬

⇒ ⊥

⊥ ⇒

⇒

¬

⇒

¬¬

⇒

⇒ ¬¬

¬

∨

⊥

{

}

→

⊥

∨



⇒



→

→





|

|

∈

−

⇒

|







⇒

|

_{∨

_⇒}

_∅

_∨

_⇒

_⇒

_∨

_⇒

_⇒

_∨

_⇒

_∨

_→

_⊥

_∨

_

_⇒

_

_→

_→

_{⊥

_∨

_⇒}

_{⊥ ⇒}

_⊥

_⊥

_⊥

_⊥

_{⇒ ⊥}

_¬

_{⇒ ⊥}

_{⊥ ⇒}

_⇒

_¬

_⇒

_¬¬

_⇒

_{⇒ ¬¬}

_¬

_∨

_⊥

_{

_}

_→

_⊥

_∨

_

_⇒

_

_→

_→

_

_|

_∈

₋

_

_|