Semˆ antica da LPC 1 Semˆ antica dos conectivos

Na defini¸cão da linguagem da LPC (isto é, na defini¸cão do conjunto Prop) t´ınhamos como conectivos lógicos apenas os operadores

_∨

_¬

. Observe que estes conectivos não têm nenhum significado: são apenas s´ımbolos, portanto eles não têm o sentido usual de “ou” e “não”. Para que isso aconte¸ca, inter- pretaremos os conectivos

_∨

_¬

utilizando fun¸c˜oes (chamadas de fun¸c˜ oes de verdade ), que envolvem os valores de verdade 1 (“verdadeiro”) e 0 (“falso”). Seja 2 o conjunto 2 =

_{

0, 1

_}

dos valores de verdade. Deﬁnimos fun¸c˜oes

−

: 2

_→

2 e

_

: 22

_→

2 através das seguintes tabelas (adotaremos eventual- mente as mesmas conven¸cões de nota¸cão infixa da Se¸cão 2.1 com rela¸cão aos operadores binários, escrevendo o operador entre os argumentos):

p q p

_

q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p

₋

p 1 0 0 1

A partir da´ı, podemos definir indutivamente o valor de verdade 1 ou 0 de uma proposi¸cão a partir do valor de suas componentes atômicas. For- malmente, definimos uma fun¸cão valora¸c˜ ao v : Prop

_→

2 como segue:

Defini¸cão 2.2.1. Uma fun¸cão v : Prop

_→

2 ´e uma valora¸c˜ ao (cl´assica) se satisfaz o seguinte:

1. v(ϕ

_∨

ψ) =

_

(v(ϕ), v(ψ)); 2. v(

_¬

ϕ) =

₋

(v(ϕ)).

Observa¸cão 2.2.2. Note que sempre é poss´ıvel definir valora¸cões, por causa do Teorema 2.1.15. Com efeito, basta considerar uma fun¸cão v0 :

V →

arbitr´aria. Usando o Teorema 2.1.15 e as fun¸c˜oes

_∨

_¬

definidas pelas tabelas-verdade acima, temos que existe uma única valora¸cão v : Prop

_→

2 estendendo v0, isto ´e, tal que v( p) = v0( p) para toda vari´avel proposicional

p. A partir desta observa¸cão vemos que uma valora¸cão é determinada pelos valores que ela toma nas variáveis proposicionais, isto é:

Proposi¸c˜ao 2.2.3. Se v e v s˜ ao duas valora¸c˜ oes que coincidem em

_V

(ou seja, tais que v( p) = v( p) para toda p

_{∈ V}

) ent˜ ao v(ϕ) = v(ϕ) para toda ϕ

_∈

Prop , portanto v = v.

Demonstra¸c˜ao: Imediata, usando o Teorema 2.1.15.

Gra¸cas à Proposi¸cão 2.2.3 vemos que, para definir uma valora¸cão, basta dar uma fun¸cão v0 :

V →

2. Por outro lado, podemos reﬁnar este resultado,

mostrando que o valor de verdade v(ϕ) dado a uma fórmula ϕ por uma valora¸cão v depende apenas dos valores de verdade v( p) das variáveis p que ocorrem em ϕ.

Proposi¸c˜ao 2.2.4. Seja ϕ uma f´ ormula. Se v e v s˜ ao duas valora¸c˜ oes tais que v( p) = v( p) para toda p

_∈

Var _(ϕ) ent˜_{ao v(ϕ) = v}_(ϕ).

Demonstra¸c˜ao: Por indu¸c˜ao na complexidade n = l(ϕ).

Se n = 1 ent˜ao ϕ

_{∈ V}

e o resultado vale trivialmente. Suponha que, dado n

_≥

1, o resultado vale para toda senten¸ca ϕ tal que l(ϕ)

_≤

n, e seja ϕ tal que l(ϕ) = n + 1. Temos dois casos para analisar:

Caso 1: ϕ =

_¬

ψ. Dado que Var _{(ψ) =} Var _{(ϕ) ent˜ao v e v} _{coincidem em}

todas as vari´aveis de ψ , sendo que l(ψ) = n. Portanto, v(ψ) = v(ψ), donde v(

_¬

ψ) =

₋

(v(ψ)) =

₋

(v(ψ)) = v(

_¬

ψ).

Caso 2: ϕ = (ψ

_∨

γ ). Dado que Var _(ψ)

_⊆

Var _{(ϕ) ent˜ao v e v} _coincidem

em todas as vari´aveis de ψ, sendo que l(ψ)

_≤

n. Portanto, v(ψ) = v(ψ). Analogamente provamos que v(γ ) = v(γ ) e ent˜ao v(ψ

_∨

γ ) =

_

(v(ψ), v(γ )) =



(v(ψ), v(γ )) = v(ψ

_∨

γ ). Isto conclui a demonstra¸c˜ao.

Observa¸cão 2.2.5. Podemos caracterizar as valora¸cões da maneira seguinte: uma valora¸cão é uma fun¸cão v : Prop

_→

2 satisfazendo o seguinte:

1. v(ϕ

_∨

ψ) =



1 se v(ϕ) = 1 ou v(ψ) = 1 0 caso contr´ario

2. v(

_¬

ϕ) =



1 se v(ϕ) = 0 0 se v(ϕ) = 1

As defini¸cões semânticas (isto é, através de tabelas-verdade) da nega¸cão e da disjun¸cão correspondem com as nossas intui¸cões: dadas duas proposi¸cões P e Q (na linguagem natural), então a proposi¸cão composta “P ou Q” deve ser verdadeira se uma delas (ou as duas) são verdadeiras, e deve ser falsa se as duas componentes P e Q são falsas. Isto é descrito pela fun¸cão de

verdade

_

definida acima. Por outro lado, a proposi¸cão “não P ” (ou “não é o caso que P ” ) é verdadeira se P é falsa, e vice-versa. Este comportamento é representado pela tabela da fun¸cão

₋

deﬁnida acima.

E claro que existem outros conectivos na linguagem natural que podem ser modelados (de maneira simplista) atrav´es de tabelas-verdade. Os conectivos que analisaremos semanticamente a seguir s˜ao os que correspondem com a assinatura proposicional C 2 (veja Exemplo 2.1.6).

A conjun¸c˜ ao

_

: 22

_→

2 e a implica¸c˜ ao material _: 22

_→

_{2 s˜ao deﬁnidas}

atrav´es das seguintes tabelas-verdade:

p q p

_

q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p _q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Observe que a tabela da conjun¸cão coincide com as nossas intui¸cões com rela¸cão à conjun¸cão de duas proposi¸cões: a conjun¸cão “P e Q” é verdadeira apenas no caso em que ambas componentes, P e Q, o são. Por outro lado, a implica¸cão material é mais complicada de justificar. Em princ´ıpio, pode-se pensar que a no¸cão de implica¸c˜ ao esta relacionada com a no¸cão de causa- efeito: dizer que “P implica Q” sugere que P é uma causa para Q. Esta leitura surge, por exemplo, quando são enunciadas leis ou regras da forma “Se P , então Q” (por exemplo, na f´ısica). Esta leitura pressupõe portanto uma rela¸cão entre os antecedente P e o consequente Q. A interpreta¸cão que é feita em lógica clássica da implica¸cão é diferente: trata-se apenas da preserva¸c˜ ao da verdade . Assim, afirmar que “P implica Q” nada mais diz do que a verdade de P garante a verdade de Q. Para ser mais expl´ıcito, uma implica¸cão é verdadeira se, toda vez que o antecedente é verdadeiro, então o consequente também o é. Assim, uma frase do tipo ‘Roma é a capital de Itália implica que Brasil está situado na América do sul’ deve ser con- siderada verdadeira, do ponto de vista da lógica clássica (e no atual estado das coisas), dado que a verdade do antecedente é mantida no consequente. Em outras palavras, uma implica¸cão material “P implica Q” é falsa (numa dada situa¸cão) quando o antecedente P é verdadeiro mas o consequente Q é falso. Nessa situa¸cão, não é o caso que a verdade de P foi preservada por Q. A defini¸cão de implica¸cão impõe que um antecedente falso implique qualquer proposi¸cão (verdadeira ou falsa), uma vez que não é o caso que

o anteced

o antecedente foi verente foi verdadeirdadeiro e o e o consequeno consequente foi falso. te foi falso. Isto tem como con-Isto tem como con- seq¨

seqüûência encia que, que, partindo partindo de de premissas falsas, premissas falsas, nñão ao ´é e maimais s popossss´´ıvel ıvel raciraciococinainarr utilizando l´

utilizando lógica clógica clássica, pois qualquer conclusãssica, pois qualquer conclusão pode ser tirada a partirao pode ser tirada a partir da

da´´ı. ı. ExisteExistem muitam muitas ous outras tras l´l´ogicas (chamadogicas (chamadas as dede n˜ n˜ ao-cl´ ao-cl´ assicas assicas ) desenvolvi-) desenvolvi- das

das princprincipalmeipalmente a nte a partir do partir do s´século XX, eculo XX, em em que que s˜são definidas no¸ao definidas no¸c˜cões deoes de implica¸

implica¸c˜c˜ao diferentes da implica¸ao diferentes da implica¸c˜c˜ao material, por exemplo, asao material, por exemplo, as implica¸ implica¸c˜ c˜ oes oes relevantes

relevantes e e asas implica¸ implica¸c˜ c˜ oes contrafatuais oes contrafatuais .. Existem outros dois conectivos bin´

Existem outros dois conectivos bin´ariosarios cl´ cl´ assicos assicos dignos de mencionar: dignos de mencionar: aa disjun¸ disjun¸c˜ c˜ ao exclusiva ao exclusiva  _:: 2₂22

_→_→

₂_{2 e}_{e oo bicondicional}_{bicondicional}

_⇔_⇔

_:: 2₂22

_→_→

₂_2._{. As ta}_{As tabel}_belas_as

destes conectivos s˜

destes conectivos s˜ao as seguintes:ao as seguintes:

p p q q pp _q_q 1 1 1 1 00 1 1 0 0 11 0 0 1 1 11 0 0 0 0 00 p p q q pp

_⇔_⇔

q q 1 1 1 1 11 1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 11 A

A idídéia eia por por tr´trás as destes destes conectivos ćonectivos é e a a seguinte:seguinte: _{representa uma dis-}_{representa uma dis-}

jun¸

jun¸c˜cão eao exclusiva, xclusiva, isto ísto é, ue, um tipm tipo de o de disjundisjun¸¸c˜cão “ao “P P ouou Q Q” da linguagem natural” da linguagem natural que

que ´é e verdaverdadeirdeira a sese exatamente exatamente uma das proposi¸ uma das proposi¸c˜cõesoes P P ,, Q Q ´ é vee verdardadeirdeira. a. PorPor exemp

exemplo, lo, o o sensentido esperado tido esperado da da frase “Iremos ao frase “Iremos ao cinemcinema a ou ou ao ao teatroteatro” ´” ´e e oo de ser verdadeiro quando formos ao cinema ou ao teatro, mas n˜

de ser verdadeiro quando formos ao cinema ou ao teatro, mas n˜ao ambasao ambas coisas

coisas. . Por outro lado, o bicondiciPor outro lado, o bicondicional reﬂete que as senteonal reﬂete que as senten¸n¸cas envolvidascas envolvidas s˜

são ao equivequivalenalentes, tes, no no sensentido que tido que elas têlas têm em o o mesmo valor de mesmo valor de ververdade: dade: ouou ambas s˜

ambas são verdadeiras, ou ambas são verdadeiras, ou ambas são falsaao falsas. s. EstEstes conees conectictivovos n˜s não foramao foram inclu´

inclu´ıdos ıdos na na assinatassinaturaura C C 22 porque eles podem ser expressos em termos dosporque eles podem ser expressos em termos dos out

outros conros conectectivivos. os. Com efeCom efeito, a ito, a funfun¸¸c˜c˜aoao _(( p,_{p, q}_{q ) pode ser calculada pela}_{) pode ser calculada pela}

fun¸

fun¸c˜c˜aoao f f (( p, p, q q ) ) ==

__

((

_

(( p, p, q q )),,

₋₋

((

_

(( p, p, q q ))), enquanto que))), enquanto que

_⇔_⇔

(( p, p, q q ) pode ser cal-) pode ser cal- culad

culada a comocomo g g (( p, p, q q ) ) ==

_

((_(( p,_{p, q}_q )),,_((q,_{q, pp)):}_)):

p p q q pp

_

q q pp

_

q q

₋₋

(( p p

_

q q )) f f (( p, p, q q )) 1 1 1 1 11 11 00 00 1 1 0 0 11 00 11 11 0 0 1 1 11 00 11 11 0 0 0 0 00 00 11 00 p p q q pp  _q_{q q}_q_p_{p gg(( p,}_{p, q}_q )) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 1 1 11 Note que

Note que f f (( p, p, q q ) expressa que alguma das senten¸) expressa que alguma das senten¸cascas pp,, q q deve ser ver- deve ser verdadeira, mas n˜

que se

que se p p ´ é e verdaverdadeideiro ro ent˜entãoao q q ta tamb´mbém em o o ´é, e, e e vicvice-e-versversa.a. O fen´

O fen´omeno de poder expressar certas fun¸omeno de poder expressar certas fun¸c˜c˜oes de verdade em termosoes de verdade em termos de outras

de outras ´é frequente: e frequente: assim, assim, a implica¸a implica¸c˜cão material e a conjun¸ao material e a conjun¸c˜cão podemao podem ser expressas em termos da disjun¸

ser expressas em termos da disjun¸c˜c˜ao e da nega¸ao e da nega¸c˜c˜ao como segue:ao como segue: hh(( p, p, q q ) ) ==



((

₋₋

(( p p)),, q q ) ) ee kk(( p, p, q q ) ) ==

₋₋

((

_

((

₋₋

(( p p)),,

₋₋

((q q ))), respectivamente.))), respectivamente. p p q q

₋₋

p p

₋₋

p p

_

q q 1 1 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 11 0 0 0 0 1 1 11 p p q q

₋₋

p p

₋₋

q q

₋₋

p p

_{ −}₋

q q

₋₋

((

₋₋

p p

_{ −}₋

q ))q 1 1 1 1 00 00 00 11 1 1 0 0 00 11 11 00 0 0 1 1 11 00 11 00 0 0 0 0 11 11 11 00 O fato de poder expressar as fun¸

O fato de poder expressar as fun¸c˜c˜oesoes  _ee

__

_{(e, a posteriori, as fun¸}_{(e, a posteriori, as fun¸c˜}_c˜oes_oes 

 _ee

_⇔_⇔

_{) em termos das fun¸c˜}_{) em termos das fun¸}_c˜oes_oes

__

_ee

₋₋

_{justiﬁca a escolha da assinatura}_{justiﬁca a escolha da assinatura C}_C00

para representar a l´

para representar a lógica proposicional clógica proposicional clássica (assica (LPCLPC). Voltaremos depois). Voltaremos depois (na Subse¸

(na Subse¸c˜cão ao 2.2.4) 2.2.4) sobre sobre a quea quest˜stão da definibilidade de fun¸ao da definibilidade de fun¸c˜cões de verdadeoes de verdade em termos de outras fun¸

em termos de outras fun¸c˜c˜oes.oes.

Finalmente, observemos que podemos estender (ou modiﬁcar) a Deﬁni¸

Finalmente, observemos que podemos estender (ou modificar) a Defini¸c˜cão 2.2.1ao 2.2.1 de valora¸

de valora¸c˜c˜ao para as asinaturasao para as asinaturas C C 22 ee C C 11:: Deﬁni¸

Defini¸c˜cão 2.2.6. (i) Uma fun¸ao 2.2.6. (i) Uma fun¸c˜cãoao v v : : Prop Prop₁₁

_→_→

2 2 ´ ´e e uummaa valora¸ valora¸c˜ c˜ aoao se satisfaz se satisfaz o seguinte: o seguinte: 1. 1. vv((ϕϕ

_⇒_⇒

ψ ψ) ) ==  _((vv((ϕ_{ϕ)),, vv((ψ}_ψ));_)); 2. 2. vv((

_¬¬

ϕϕ) ) ==

₋₋

((vv((ϕϕ)).)). (ii) Uma fun¸

(ii) Uma fun¸c˜c˜aoao v v : : Prop Prop₂₂

_→_→

2 2 ´ ´e e uummaa valora¸ valora¸c˜ c˜ aoao se satisfaz o seguinte: se satisfaz o seguinte: 1. 1. vv((ϕϕ

_∨∨

ψψ) ) ==

_

((vv((ϕϕ)),, vv((ψψ));)); 2. 2. vv((ϕϕ

_∧∧

ψψ) ) ==

_

((vv((ϕϕ)),, vv((ψψ));)); 3. 3. vv((ϕϕ

_⇒_⇒

ψ ψ) ) ==  _((vv((ϕ_{ϕ)),, vv((ψ}_ψ));_)); 4. 4. vv((

_¬¬

ϕϕ) ) ==

₋₋

((vv((ϕϕ)).)). 2.2.

2.2.2 2 TTautolautologiasogias, , concontradtradi¸i¸c˜c˜oes e oes e contcontingingˆˆencenciasias Se as proposi¸

Se as proposi¸c˜cões sões são ao avaliadas avaliadas atravátravés es de de valora¸valora¸c˜cões, oes, ´é e naturanatural l analisanalisar ar asas proposi¸

proposi¸c˜cões sob a perspectiva das valora¸oes sob a perspectiva das valora¸c˜cões. oes. O O primeiro paso primeiro paso ´é e identificaridentificar duas proposi¸

Deﬁni¸

Defini¸c˜cão 2.2.7. Dizemos que duas fáo 2.2.7. Dizemos que duas fórmulasormulas ϕϕ ee ψψ s˜sãoao semanticamente semanticamente equivalentes

equivalentes , e o denotamos por, e o denotamos por ϕϕ

_≡_≡

ψψ, se, para toda valora¸, se, para toda valora¸c˜c˜aoao vv,, vv((ϕϕ) ) == vv((ψψ).).

A rela¸

A rela¸c˜c˜aoao

_≡_≡

´é, e, de fde fatoato, u, uma rma relaela¸¸c˜cão ao de de equequivalîvalênencicia, a, ististo ó é, e, ela ela ´é e reflreflexexiva,iva, sim´

simétrica etrica e e transitiva (estas transitiva (estas e e outras outras rela¸rela¸c˜cões serões serão ao estudaestudadas das no no CapCap´´ıtuloıtulo XXX):

XXX):

••

ϕϕ

_≡_≡

ϕ ϕ para toda para toda ϕ ϕ (reﬂexiva); (reﬂexiva);

••

ϕϕ

_≡_≡

ψ ψ implica implica ψ ψ

_≡_≡

ϕ ϕ, para toda, para toda ϕ, ϕ, ψψ (s(sim´im´etretricaica););

••

ϕϕ

_≡_≡

ψ ψ ee ψ ψ

_≡_≡

γ implica γ implica ϕ ϕ

_≡_≡

γ γ , para toda, para toda ϕ ϕ,ψ,,ψ, γ γ (transitiva). (transitiva). Exemplo 2.2.8.

Exemplo 2.2.8. Temos que ( Temos que (ϕϕ

_∨∨

ψψ))

_≡_≡

( (ψψ

_∨∨

ϕ) ϕ) ee

_¬¬_¬¬

ϕϕ

_≡_≡

ϕ ϕ para toda para toda ϕ, ϕ, ψψ..



O mais importante subconjunto de

O mais importante subconjunto de Prop Prop ´ ´e e o o daqueladaquelas s propproposi¸osi¸c˜c˜oesoes ϕ ϕ que que s˜

sãoao sempre sempre verdadeiras para quaisquer valora¸ verdadeiras para quaisquer valora¸c˜cões:oes: Defini¸

Deﬁni¸c˜c˜ao 2.2.9. Sejaao 2.2.9. Seja ϕ ϕ

_∈∈

Prop Prop. Dizemos que. Dizemos que ϕ ϕ ´ ´e e uummaa tautologia tautologia se se v v((ϕϕ) ) == 1 para toda valora¸

1 para toda valora¸c˜c˜aoao v v.. As tautologias s˜

As tautologias são verdades láo verdades lógicogicas: as: s˜são proposi¸ao proposi¸c˜cões tais que, indepen-oes tais que, indepen- dentemente do valor de verdade atribuido `

dentemente do valor de verdade atribuido `as suas componentes, recebem oas suas componentes, recebem o v

valoalor r 1 1 (v(verderdadeadeiroiro). ). Uma maneirUma maneira a mumuito naturito natural al de de detdetermerminainar r se se umauma proposi¸

proposi¸c˜cão ao ´é e uma uma tautoltautologia ogia ´é e utilizutilizando ando tabelas-tabelas-ververdade. dade. Com Com efeitefeito, o, aa parti

partir r da da Proposi¸Proposi¸c˜c˜ao 2.2.4, vemos que o valor de verdade de uma senten¸ao 2.2.4, vemos que o valor de verdade de uma senten¸caca ϕ ϕ depen

depende ede exclusivamente xclusivamente dos dos valores atvalores atriburibu´´ıdos ıdos `às variás variáveis que ocorrem emaveis que ocorrem em ϕ

ϕ. . Portanto, basta Portanto, basta analisar analisar todas todas as as possposs´´ıveis atribui¸ıveis atribui¸c˜c˜oes de valores de ver-oes de valores de verdade 0 e 1 `

dade 0 e 1 às variás variáveis que ocorrem emaveis que ocorrem em ϕ ϕ, combinando, para cada atribui¸, combinando, para cada atribui¸c˜cão,ao, os valores das vari´

os valores das variáveis (e posteriormente das sub-fáveis (e posteriormente das sub-fórmulas) deormulas) de ϕ ϕ de acordo de acordo com a fun¸

com a fun¸c˜c˜ao de verdade correspondente ao conectivo sendo utilizado.ao de verdade correspondente ao conectivo sendo utilizado. Exempl

Exemplo o 2.2.10.2.2.10. Utilizando a representa¸ Utilizando a representa¸c˜cão definida acima dos conectivosao definida acima dos conectivos de

de C C 22 na assinaturana assinatura C C 00, vemos que as senten¸, vemos que as senten¸cascas p p₀₀

_{∨∨ ¬¬}

p p₀₀, , (( p p₀₀

_∧∧

p p₁₁))

_⇒_⇒

p p₁₁ ee p

p00

⇒ ⇒

( (

¬¬

p p00

⇒ ⇒

p p11) ) s˜s˜ao ao tautolotautologias:gias:

p p₀₀

_¬¬

p p₀₀ pp₀₀

_{∨∨ ¬¬}

p p₀₀ 1 1 0 0 11 0 0 1 1 11 p p00 pp11 pp00

∧∧

p p11 (( p p00

∧∧

p p11))

⇒⇒

p p11 1 1 11 11 11 1 1 00 00 11 0 0 11 00 11 0 0 00 00 11

p0 p1

¬

⇒

p1 p0

⇒

(

¬

⇒

p1)

1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

Por outro lado, as senten¸cas ( p₀

_∨

p₁)

_⇒

p₁ e (( p₀

_⇒

p₁)

_∧

p₁)

_⇒

p₀ n˜ao s˜ao tautologias: p0 p1 p0

∨

p1 ( p0

∨

p1)

⇒

p1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 p0 p1 p0

⇒

p1 ( p0

⇒

p1)

∧

p1 (( p0

⇒

p1)

∧

p1)

⇒

p0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1

No primeiro caso, qualquer valora¸c˜ao v tal que v( p₀) = 1 e v( p₁) = 0 produz v(( p0

∨

p1)

⇒

p1) = 0, portanto existem valora¸c˜oes que tornam a f´ormula

ϕ = ( p₀

_∨

p₁)

_⇒

p₁ falsa, logo ϕ não é tautologia. Por outro lado, toda valora¸cão v tal que v( p0) = 0 e v( p1) = 1 produz v((( p0

⇒

p1)

∧

p1)

⇒

p0) =

0, portanto esta senten¸ca não é uma tautologia. Esta fórmula representa uma conhecida falácia, a fal´ acia de afirma¸c˜ ao do consequente .

_

Um dos problemas mais dif´ıceis que teremos que enfrentar é saber quando uma fórmula é uma tautologia. Além do método da tabela-verdade que acabamos de descrever (e que pode ser considerado um método sintético)

há também outros métodos de tipo anal´ıtico, como o Método de Redu¸c˜ ao ao Absurdo. Neste método partimos da suposi¸cão de que a fórmula ϕ a ser testada toma o valor 0 em alguma valora¸cão v e, utilizando as propriedades das valora¸cões, tentamos chegar a um absurdo. Por exemplo, suponhamos que queremos determinar se a fórmula γ = (ϕ

_⇒

ψ)

_⇒

(

_¬

_{⇒ ¬}

ϕ) é tautologia. Supomos, por redu¸cão ao absurdo, que v(γ ) = 0 para alguma valora¸cão v; então:

1. (a) v(ϕ

_⇒

ψ) = 1, (b) v(

_¬

_{⇒ ¬}

ϕ) = 0 2. v(

_¬

ψ) = 1, v(

_¬

ϕ) = 0 (de 1(b))

3. v(ψ) = 0, v(ϕ) = 1 (de 2) 4. v(ϕ

_⇒

ψ) = 0 (de 3)

Vemos que 4 contraria 1(a), absurdo.

Em geral, uma fórmula com n componentes atômicos necessita uma tabela com 2n _{linhas para decidir se é ou não uma tautologia. Isto significa}

que se uma fórmula tem n + 1 variáveis então devemos analisar 2n+1 = 2.2n linhas. Ou seja: acrescentar apenas uma variável implica em duplicar o esfor¸co de testar a validade da fómula!

Existiria uma maneira mais r´ apida de se testar tautologias? A resposta a tal questão coincide com a solu¸cão do problema P = NP , um dos mais dif´ıceis problemas da computa¸cão teórica. Pode-se demonstrar que a complexidade computacional de qualquer algoritmo se reduz a testar tautologias numa tabela-verdade. Dessa forma, se consegu´ıssemos provar que não existe uma maneira mais eficiente de testar todas as tautologias, ou se conseguirmos um tal método eficiente, ter´ıamos resolvido um problema extremamente sofisticado.

O conceito dual de tautologia ´e o de contradi¸c˜ao:

Deﬁni¸c˜ao 2.2.11. Seja ϕ

_∈

Prop. Dizemos que ϕ ´e uma contradi¸c˜ ao se v(ϕ) = 0 para toda valora¸c˜ao v.

As tautologias são falsidades lógicas: são proposi¸cões tais que, indepen- dentemente do valor de verdade atribu´ıdo às suas componentes, recebem o valor 0 (falso).

Será que tem alguma rela¸cão (ou alguma maneira de relacionar) as tautologias e as contradi¸cões? A resposta é afirmativa: a rela¸cão de dualidade é realizada através da nega¸cão

_¬

, como mostra o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 2.2.12. (i) ϕ ´e tautologia sse

_¬

ϕ ´e contradi¸c˜ ao. (ii) ϕ ´e contradi¸c˜ ao sse

_¬

ϕ ´e tautologia.

(iii) Se ϕ ´e tautologia ent˜ ao existe uma contradi¸c˜ ao ψ tal que ϕ

_{≡ ¬}

ψ. (iv) Se ϕ ´e contradi¸c˜ ao ent˜ ao existe uma tautologia ψ tal que ϕ

_{≡ ¬}

ψ. Demonstra¸c˜ao: Somente provaremos o item (iii), deixando o resto como exerc´ıcio para o leitor.

(iii) Seja ϕ uma tautologia. Ent˜ao ψ =

_¬

ϕ ´e uma contradi¸c˜ao, pelo item (i). Mas

_¬

ψ =

_¬¬

ϕ e

_¬¬

_≡

ϕ, pelo Exemplo 2.2.8. Daqui ϕ

_{≡ ¬}

ψ, sendo que ψ ´e uma contradi¸c˜ao.

Vemos que existem dois tipos importantes de proposi¸cões: as sempre verdadeiras (tautologias) e as sempre falsas (contradi¸cões). Evidentemente, nem toda proposi¸cão é de um destes tipos: por exemplo, p₁

_∨

p₂ ou p₄ são proposi¸cões que tomam ambos valores, verdadeiro e falso, em diferentes valora¸cões: basta considerar uma valora¸cão v tal que v( p₁) = v( p₄) = 1 para obter v( p₁

_∨

p₂) = v( p₄) = 1. Por outro lado, uma valora¸c˜ao v tal que v( p1) = v( p2) = v( p4) = 0 produz v( p1

∨

p2) = v( p4) = 0. Senten¸cas

deste tipo (que não são nem tautologias nem contradi¸cões) são chamadas de contingências , dado que elas são contingentes: dependendo da situa¸cão (do valor dado para as suas componentes atômicas), elas recebem ora o valor verdadeiro, ora o valor falso. Evidentemente uma proposi¸cão ϕ pertence a uma e só uma das três classes: tautologias, contradi¸cões, contingências. 2.2.3 Formas normais

Consideraremos nesta subse¸cão a linguagem proposicional definida a partir da assinatura C 2. Nas fórmulas de Prop₂ podem ocorrer, portanto, os conectivos

_¬

_∨

_∧

_⇒

. Veremos nesta subse¸cão que é poss´ıvel ‘padronizar’ as fórmulas de Prop₂, obtendo a partir delas outras fórmulas escritas numa forma padrão (chamada de forma normal), que resultam ser semanticamente equivalentes às fórmulas originais.

Antes de passar às defini¸cões, introduzimos a seguinte nota¸cão: Nota¸cão 2.2.13. Sejam ϕ1, . . . , ϕn fórmulas. Por



i=1 ϕi e por n



i=1 ϕi

entendemos qualquer fórmula obtida pela disjun¸cão (conjun¸cão, respectivamente) das fórmulas ϕ₁, . . . , ϕn. Isto é, não interessa a ordem e a organiza¸cão

dos parênteses na constru¸cão da disjun¸cão (conjun¸cão, respectivamente). Por conven¸cão 1



i=1 ϕi = 1



i=1 ϕi = ϕ1. Por exemplo, 3



i=1

ϕi pode representar indistintamente ϕ1

∨

(ϕ3

∨

ϕ2) ou

(ϕ2

∨

ϕ1)

∨

ϕ3.

Defini¸cão 2.2.14. (i) Um literal é uma fórmula da forma p (com p

_{∈ V}

) ou

¬

p (com p

_{∈ V}

(ii) Uma cl´ ausula ´e uma f´ormula ϕ da forma ϕ =



i=1

ψi

onde cada ψi ´e um literal e n

≥

(iii) Dizemos que uma fórmula ϕ está em forma normal disjuntiva (FND) se ϕ é da forma

ϕ =



i=1

ϕi

onde cada ϕi ´e uma cl´ausula (i = 1, . . . , n) e n

≥

Por exemplo, ϕ1 = p1

∧ ¬

p1, ϕ2 = ( p1

∧ ¬

p2)

∧ ¬

p7 e ϕ3 = p6 s˜ao

cl´ausulas. Portanto, ϕ₁

_∨

ϕ₂

_∨

ϕ₃ ´e uma f´ormula em forma normal.

Proposi¸c˜ao 2.2.15. Toda f´ ormula de Prop₂ admite uma forma normal disjuntiva. Isto ´e, existe uma f´ ormula ψ, nas mesmas vari´ aveis que ϕ, tal que

ψ est´ a em FND, e ϕ

_≡

ψ. Mais ainda, existe um algoritmo para calcular uma FND ψ para ϕ.

Demonstra¸cão: Suponhamos que q ₁, . . . , q n são exatamente todas as variá-

veis proposicionais que ocorrem em ϕ. Formalmente, deve existir um n´umero i j

∈

N tal que q j = pij, para cada j = 1, . . . , n. Construimos a tabela-

verdade de ϕ utilizando apenas as vari´aveis q 1, . . . , q n. Se ϕ ´e uma con-

tradi¸c˜ao, deﬁnimos ψ =



_jn₌₁(q j

∧ ¬

q j). Claramente ψ est´a em FND e ´e

uma contradi¸c˜ao, portanto ϕ

_≡

ψ. Se ϕ não é uma contradi¸cão, dentre as 2n linhas da tabela-verdade, escolha apenas as linhas em que ϕ recebe o valor 1 (deve existir ao menos uma, porque ϕ não é contradi¸cão). Chamemos de L₁, . . . , Lk as linhas em que ϕ vale 1 (note que 1

≤

2n). Para cada linha

ϕ_ji =





q j se q j recebe o valor 1 na linha Li

¬

q j caso contr´ario

Considere agora, para cada i = 1, . . . , k, a cl´ausula ϕi = n



j=1 ϕ_ji. Final- mente, deﬁnimos ψ = k



i=1

ϕi. Resta provar que ϕ

≡

ψ (pois, claramente, ψ

est´a em FND).

Seja ent˜ao v uma valora¸c˜ao tal que v(ϕ) = 1. Logo, v corresponde a uma das linhas, digamos Li, da tabela-verdade construida para ϕ. Por

constru¸c˜ao dos literais ϕ_ji, temos que v(ϕ_ji) = 1 para todo j = 1, . . . , n. Com efeito, se v(q j) = 1 ent˜ao ϕ_ji = q j, portanto v(ϕ_ji) = 1. Por outro

lado, se v(q j) = 0 ent˜ao ϕ_ji =

¬

q j, portanto v(ϕ_ji) = 1. Assim sendo, temos

que v(ϕi) = 1, pois ϕi consiste da conjun¸c˜ao dos ϕ_ji com j = 1, . . . , n.

Portanto, v(ψ) = 1, pois ψ ´e uma disjun¸c˜ao de formulas, dentre elas ϕi,

sendo que v(ϕi) = 1. Reciprocamente, suponha que v uma valora¸c˜ao tal

que v(ψ) = 1. Pela defini¸cão da tabela da disjun¸cão, debe existir ao menos um ´ındice i tal que v(ϕi) = 1, portanto v(ϕ ji) = 1 para todo j = 1, . . . , n

(pela defini¸cão da tabela da conjun¸cão). Dai inferimos que o valor dado por v para as variáveis q ₁, . . . , q n coincide com o valor dado para elas na

linha Li da tabela-verdade de ϕ, pela constru¸c˜ao dos literais ϕ ji. Portanto

o valor de ϕ (na linha Li) coincide com v(ϕ), pela Proposi¸c˜ao 2.2.4. Logo,

v(ϕ) = 1, pois Li ´e uma das linhas em que ϕ recebe o valor 1. Daqui ϕ

≡

ψ,

concluindo a demonstra¸c˜ao.

No documento Lógica Para Computação - Marcelo Finger (páginas 31-51)

Semˆ antica da LPC 1 Semˆ antica dos conectivos

∨

¬

∨

¬

{

}

−

→



→



−

→

→

∨



¬

−

V →

∨

¬

→

V

∈ V

∈

V →

∈

∈ V

≥

≤

¬

¬

−

−

¬

∨

⊆

≤

∨





∨

→

∨



¬





−



→

→



→→

⇔ ⇔

→→

⇔⇔

 



−−



⇔ ⇔







−−





−−

−−



−−

−−

−−

−−



−−

−−

−−

_∨

_¬

_∨

_¬

_{

_}

_→

_

_→

_

₋

_→

_→

_∨

_

_¬

₋

_∨

_¬

_→

_V

_{∈ V}

_∈

_∈

_{∈ V}

_≥

_≤

_¬

_¬

₋

₋

_¬

_∨

_⊆

_≤

_∨

_

_∨

_→

_∨

_¬

_

₋

_

_→

_→

_

_→_→

_⇔_⇔

_→_→

_⇔_⇔

__

_

₋₋

_

_⇔_⇔

_

_

_

₋₋

_

₋₋

₋₋

_

₋₋

₋₋

₋₋

₋₋

_

₋₋

₋₋

₋₋

_{ −}₋

₋₋

₋₋

_{ −}₋

__

_⇔_⇔

__

₋₋