Nesta se¸c˜ao iremos apresentar a defini¸c˜ao e alguns resultados b´asicos do axioma ♦ (lˆe-se diamante).
Defini¸c˜ao 1.24. Dizemos que um subconjunto C de ω1 ´e fechado ilimitado
se ´e ilimitado e supB ∈ C, para todo B ⊆ C enumer´avel. Dizemos que um subconjunto S de ω1 ´e estacion´ario se intercepta todo fechado ilimitado.
Lema 1.25. A intersec¸c˜ao de uma fam´ılia enumer´avel de fechados ilimitados de ω1 ´e um conjunto fechado ilimitado. Em particular, se S ´e estacion´ario e
C ´e fechado ilimitado, ent˜ao S∩ C ´e estacion´ario.
Para a demonstra¸c˜ao do Lema 1.25 indicamos [Ku], Cap´ıtulo II, Lema 6.8.
Axioma ♦ Existe uma seq¨uˆencia (Xα)α∈ω1 tal que Xα ⊆ α e, para todo
X ⊆ ω1, o conjunto {α ∈ ω1 : X ∩ α = Xα} ´e estacion´ario.
A seq¨uˆencia (Xα)α∈ω1 ´e chamada ♦-seq¨uˆencia.
O axioma ♦ ´e relativamente consistente com ZFC, valendo no modelo construt´ıvel. Para maiores referˆencias vide [Ku], [Je] e [Ve].
Como uma simples aplica¸c˜ao de ♦ vejamos que este implica CH. Lema 1.26. ♦ → CH.
Demonstra¸c˜ao: Se X ⊆ ω, como conjuntos estacion´arios s˜ao ilimitados (pois {α < ω1 : α > β} ´e fechado ilimitado), temos que existe α > ω tal que
X = X ∩ α = Xα. Logo (Xα)α<ω1 cont´em todos os subconjuntos de ω.
Lema 1.27. O axioma ♦ implica:
a) Se (Bα)α<ω1 ´e uma seq¨uˆencia de conjuntos de tamanho ω1, existe uma
seq¨uˆencia {xα : α < ω1} tal que xα ∈ Πβ<αBβ e, para todo x ∈
Πα<ω1Bα, o conjunto {α < ω1 : x|α = xα} ´e estacion´ario;
b) Existe uma seq¨uˆencia {xn(α) : n∈ ω, α < ω1} tal que xn(α)∈ [0, 1]α e,
para toda seq¨uˆencia (xn)n∈ω de pontos de [0, 1]ω1, o conjunto {α ∈ ω1 :
∀n ∈ ω(xn|α = xn(α))} ´e estacion´ario;
c) Existe uma seq¨uˆencia (xα)α<ω1, com xα ∈ [0, 1]
α×α, tal que, para todo
x∈ [0, 1]ω1×ω1, o conjunto {α < ω
1 : x|α × α = xα} ´e estacion´ario.
d) Existe uma seq¨uˆencia {Aα : α < ω1} de subconjuntos de ω1 tal que, se
(zβ)β∈ω1 ´e uma seq¨uˆencia de pontos de [0, 1]
ω1, o conjunto {α ∈ ω
1 :
{zβ|α : β < α} = Aα} ´e estacion´ario.
Demonstra¸c˜ao: Para demonstrar a) tome (Xα)α<ω1 uma ♦-seq¨uˆencia.
Seja {ξα : α < ω1} uma seq¨uˆencia crescente em ω1 definida da seguinte
forma: ξα+1 = ξα+ ω e ξα = sup{ξα′ : α′ < α} para α limite.
Para cada α < ω1 seja φα : P([ξα, ξα+1)) → Bα uma fun¸c˜ao bijetora
(existe, pois ♦ → CH). Definimos xα ∈ Πβ<αBβ dado por
xα(β) = φβ(Xξα ∩ [ξβ, ξβ+1]),
Mostraremos que a seq¨uˆencia (xα)α<ω1 satisfaz a). Seja x ∈ Πα<ω1Bα.
Seja X = ∪{φ−1
α (x(α)) : α < ω1}. Temos x|α = xα se, e somente se,
X∩ ξα = Xξα.
Pelo Lema 1.25 temos que {α < ω1 : X∩ ξα = Xξα} = {β < ω1 : X∩ β =
Xβ} ∩ {ξα : α < ω1} ´e estacion´ario. Mas
{α < ω1 : X ∩ ξα= Xξα} = {α < ω1 : x|α = xα},
concluindo o item a).
Para o item b) tomamos Bα = [0, 1]ω e usamos o item a).
Para mostrarmos c), usamos o item a) para Bα = [0, 1]{α}×(α+1)∪[0, 1](α+1)×{α}.
H´a uma identifica¸c˜ao natural de Πβ<αBβ com [0, 1]α×α, associando cada
f ∈ Πβ<αBβ com x =
S
β<αf (β) ∈ [0, 1]α×α. Assim, basta tomarmos uma
seq¨uˆencia xα ∈ [0, 1]α×α como em a). Se identificarmos f ∈ Πα<ω1Bα com
x∈ [0, 1]ω1×ω1, temos que f|α corresponde a x|
α×α, concluindo c).
Mostraremos d). Fixe (xα)α<ω1 como no item c). Para cada β < α < ω1
definimos xβ,α ∈ [0, 1]α por xβ,α(γ) = xα(β, γ), para γ < α. Seja Aα =
{xβ,α : β < α}. Para uma seq¨uˆencia (zβ)β<ω1 em [0, 1]
ω1 associamos um
x∈ [0, 1]ω1×ω1 dado por x(β, γ) = z
β(γ). Logo
{α < ω1 :{zβ|α : β < α} = Aα} ⊇ {α < ω1 : x|α × α = xα},
que ´e estacion´ario, pelo item c). Da defini¸c˜ao de conjuntos estacion´arios segue imediatamente que superconjuntos de conjuntos estacion´arios s˜ao es- tacion´arios. Portanto conclu´ımos item d).
Lema 1.28. Seja Y ⊆ [0, 1]ω1 e seja (x
α)α<ω1 uma seq¨uˆencia densa em Y .
Ent˜ao {α < ω1 : (xβ|α)β<α ´e denso em πα[Y ]} ´e fechado ilimitado em ω1.
Demonstra¸c˜ao: Para mostrarmos o lema basta mostrarmos a seguinte afirma¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao 1.28.1. Seja (γn)n∈ω e (αn)n∈ω seq¨uˆencias crescentes de ordi-
nais que tˆem supremos γ e α, respectivamente, tais que, para cada n ∈ ω, (xβ|αn)β<γn ´e denso em παn[Y ]. Ent˜ao (xβ|α)β<γ ´e denso em πα[Y ].
Para mostrarmos a afirma¸c˜ao, suponha que exista U um aberto elementar de [0, 1]α tal que U ∩ π
α[Y ]6= ∅ e xβ|α /∈ U, para todo β < γ. Tome n ∈ ω
´e um aberto de [0, 1]αn que intercepta π
αn[Y ] e ´e disjunto de (xβ|αn)β<γn,
contradizendo a hip´otese e provando a afirma¸c˜ao.
Da afirma¸c˜ao conclu´ımos que {α < ω1 : (xβ|α)β<α ´e denso em πα[Y ]} ´e
fechado, tomando o caso particular αn = γn. Para mostrar que ´e ilimitado,
tome α0 ∈ ω1. Pela continuidade de π temos que (xβ|α0)β<ω1 ´e denso em
πα0[Y ]. Como πα0[Y ] tem peso enumer´avel, para cada vizinhan¸ca aberta de
uma base enumer´avel de πα0[Y ] tomamos algum xβ|α0 pertencente a ela.
Assim obtemos α1, que podemos supor maior que α0, tal que (xβ|α0)β<α1
´e denso em πα0[Y ]. Por indu¸c˜ao, constru´ımos uma seq¨uˆencia crescente αn
tal que (xβ|αn)β<αn+1 ´e denso em παn[Y ]. Da observa¸c˜ao anterior, tomando
Cap´ıtulo 2
Quocientes de espa¸cos
indecompon´ıveis da forma C(K)
Respondendo a uma pergunta apresentada no final de [Ko2], neste cap´ıtulo constru´ımos, assumindo ♦, um espa¸co topol´ogico K compacto e conexo tal que para todo fechado L ⊆ K o espa¸co C(L) tem poucos operadores. Como subespa¸cos topol´ogicos de K induzem quocientes de C(K), conclu´ımos que tal espa¸co tem pelo menos cont´ınuo quocientes da forma C(L) indecom- pon´ıveis.
Sabemos que C(βN) = l∞n˜ao cont´em poucos operadores, pois, por exem-
plo, l∞ = l∞⊕ R, e em Ko2], mostra-se que espa¸cos de Banach com poucos
operadores n˜ao s˜ao isomorfos aos hiperplanos. Portanto o compacto K cons- tru´ıdo na Se¸c˜ao 2.1 n˜ao cont´em um subespa¸co homeomorfo a βN. Tamb´em K n˜ao cont´em uma seq¨uˆencia convergente n˜ao trivial, pois sen˜ao ter´ıamos c0
complementado em C(K). Portanto K responde positivamente ao problema de Efimov, sobre a existˆencia de um compacto que n˜ao cont´em seq¨uˆencias convergentes n˜ao-trivias nem βN como subespa¸co. O problema de Efimov j´a foi resolvido positivamente em 1975 por Fedorchuk (vide [Fed]), assumindo CH. O problema de Efimov ainda permanece em aberto em ZFC.
Podemos perguntar se todo compacto K tal que C(K) ´e indecompon´ıvel responde afirmativamente ao problema de Efimov. Mostramos que n˜ao. As- sumindo CH, na Se¸c˜ao 2.2 constru´ımos um espa¸co C(K) indecompon´ıvel tal que K cont´em βN homeomorficamente. Em particular, C(K) cont´em l∞
como quociente. N˜ao sabemos se o espa¸co C(K) constru´ıdo na Se¸c˜ao 2.1 cont´em l∞ como quociente. Talagrand mostrou ([Ta]) que C(K) cont´em l∞
como quociente se, e somente se, BC(K)∗ cont´em βN homeomorficamente.
2.1
Um espa¸co C(K) com muitos quocientes
indecompon´ıveis
O Teorema seguinte ´e uma vers˜ao do Teorema 5.1 de [Ko2]. A diferen¸ca fundamental da vers˜ao aqui utilizada ´e que o item g) ´e obtido para qualquer seq¨uˆencia (xn)n∈ω em K, enquanto na vers˜ao de [Ko2] tal seq¨uˆencia deve ser
tomada em um denso enumer´avel previamente fixado. Com isso conseguimos transferir a propriedade de C(K) ter poucos operadores para todo subespa¸co fechado de K, mas precisamos do axioma♦, para enumerar as seq¨uˆencias de K de uma maneira conveniente (veja Se¸c˜ao 1.4 sobre o axioma ♦). Para ob- termos item g) para seq¨uˆencias quaisquer, foi necess´ario modificar as fun¸c˜oes fn’s para adicionar supremos, utilizando o Lema 1.23.
Teorema 2.1. Assuma ♦. Existe um espa¸co compacto e conexo K tal que: i) dados
a) Uma seq¨uˆencia (fn : n ∈ ω) de fun¸c˜oes cont´ınuas, duas a duas
disjuntas, de K em [0, 1];
b) Uma seq¨uˆencia (xn : n ∈ ω) relativamente discreta de pontos dis-
tintos de K tal que fm(xn) = 0, para todos n, m∈ ω;
c) Um ε > 0;
d) Uma seq¨uˆencia limitada (µn : n ∈ ω) de medidas em K tal que
|R fndµn| > ε, para todo n ∈ ω.
existem δ > 0, b ⊆ a ⊆ ω infinitos e fun¸c˜oes f′
n, com supp(fn′) ⊆
supp(fn) tais que
e) |R f′ ndµn| > δ e Σ{R fm′ d|µn| : m 6= n, m ∈ a} < δ/3, para todo n ∈ a; f) (f′ n)n∈b tem supremo em C(K); g) {xn : n∈ b} ∩ {xn : n∈ a r b} 6= ∅.
ii) Se L ´e um subespa¸co fechado de K e V1 e V2 s˜ao abertos disjuntos de L
Demonstra¸c˜ao: Para cada α≤ ω1 considereBα a base de abertos elemen-
tares de extremos racionais do espa¸co [0, 1]α. Podemos identificar as medidas
de Radon de [0, 1]α com fun¸c˜oes de B
α em R (Lema 1.1).
Sejam P ar, Impar os conjuntos dos ordinais pares e ´ımpares, respectiva- mente, de ω1, lembrando que α ´e um ordinal par se ´e da forma β + n, para
β ordinal limite e n par, e ´ımpar caso contr´ario.
Se X ⊆ ω1 ´e n˜ao-enumer´avel, existe um isomorfismo de ordem entre X
e ω1, ordenando X com a restri¸c˜ao da ordem de ω1. Seja σ : X −→ ω1
esse isomorfismo. Diremos que um conjunto C ⊆ X ´e fechado ilimitado em X se {σ(α) : α ∈ X} ´e fechado ilimitado em ω1. Diremos que S ⊆ X ´e
estacion´ario em X se intercepta todo fechado ilimitado em X. Da mesma forma ser´a quando aplicarmos o axioma ♦ em X, isto ´e, identificaremos X com ω1. Usaremos essa terminologia para P ar e Impar.
Usando ♦ e os Lemas 1.27 e 1.25 fixamos enumera¸c˜oes {fn(α) : n∈ ω},
ε(α), {µn(α) : n∈ ω}, {xn(α) : n∈ ω}, para α ∈ P ar, tais que
A.1. {fn(α) : n∈ ω} s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas de [0, 1]ω1 em [0, 1];
A.2. ε(α) > 0;
A.3. (µn(α))n∈ω ´e uma seq¨uˆencia limitada de fun¸c˜oes de Bα em R;
A.4. (xn(α))n∈ω ´e uma seq¨uˆencia de pontos de [0, 1]α;
e, dados β < ω1 e
B.1. uma seq¨uˆencia{fn : n∈ ω} de fun¸c˜oes cont´ınuas de [0, 1]ω1 em [0, 1];
B.2. um ε > 0;
B.3. uma seq¨uˆencia {µn : n ∈ ω} limitada de fun¸c˜oes de Bω1 em R que
representam medidas de Radon;
B.4. uma seq¨uˆencia (xn)n∈ω relativamente discreta em [0, 1]ω1;
existe α > β, com α∈ P ar, tal que C.1. fn(α) = fn, para todo n;
C.3. µn(α) = µn|Bα, para todo n;
C.4. xn(α) = xn|α, para todo n.
Usando♦ para os ordinais´ımpares, fixamos seq¨uˆencias (Uα, Vα, Aα, Bα)α∈Impar,
onde
D.1. Uα e Vα s˜ao uni˜oes enumer´aveis de abertos elementares de [0, 1]ω1 tais
que Uα∩ Vα =∅ e Uα∩ Vα 6= ∅;
D.2. Aα e Bα s˜ao subconjuntos enumer´aveis de [0, 1]α;
e, dados
E.1. U e V uni˜oes enumer´aveis de abertos elementares de [0, 1]ω1 tais que
U∩ V = ∅ e U ∩ V 6= ∅;
E.2. (xβ)β<ω1 e (yβ)β<ω1 seq¨uˆencias em [0, 1]
ω1;
o conjunto
{α ∈ Impar : Uα = U, Vα = V, {xβ|α : β ∈ Impar ∩ α} = Aα,
{yβ|α : β ∈ Impar ∩ α} = Bα}
´e estacion´ario em Impar.
Seja α ∈ Impar. Se πα[Uα]∩ Aα ∩ πα[Vα]∩ Bα 6= ∅ fixamos (xn(α))α∈ω
tal que xn(α) n∈ω
→ z, para algum z ∈ πα[Uα]∩ Aα∩ πα[Vα]∩ Bα e
{xn(α) : n∈ 2ω} ⊆ Aα;
{xn(α) : n∈ ω r 2ω} ⊆ Bα.
Se πα[Uα]∩ Aα∩ πα[Vα]∩ Bα = ∅ tomamos (xn(α))n∈ω qualquer seq¨uˆencia
em Aα∪ Bα.
Dizemos que uma seq¨uˆencia de fechados (Fn)n∈ω converge a um ponto x
se para toda vizinhan¸ca U de x temos Fn ⊆ U, para todos, exceto finitos,
n∈ ω.
Construiremos por indu¸c˜ao espa¸cos compactos (Kα)α<ω1, com Kα ⊆
[0, 1]α, seq¨uˆencias P
α = {(Lα(β,i), Rα(β,i), z(β,i)α ) : (β, i) ∈ α × {0, 1}}, com
Lα
(β,i), Rα(β,i) ⊆ ω disjuntos e z(β,i)α ∈ Kα, e fechados Fnβ(α)⊆ Kα, para β≤ α.
Uma vez definido Kα, para cada β ≤ α definimos Fnβ(α) = π −1
Kα,Kβ[{xn(β)}].
Suponha constru´ıdos (Kγ)γ<α e (Pγ)γ<α. Temos as seguintes hip´oteses
F.1. para todo (β, i) ∈ γ × {0, 1}, limn∈Lγ(β,i)Fnβ(γ) = limn∈Rγ(β,i)Fnβ(γ) = z(β,i)γ . F.2. para todos β < γ′ < γ e i ∈ {0, 1}, π γ′[Kγ] = Kγ′ e zγ (β,i)|γ′ = z γ′ (β,i). F.3. para todos β < γ′ < γ e i ∈ {0, 1}, Lγ (β,i) rL γ′ (β,i) e R γ (β,i) rR γ′ (β,i) s˜ao finitos.
Definidos (Kγ)γ<α e (Pγ)γ<α para α um ordinal limite, definimos
G.1. Kα ´e o limite inverso de (Kγ)γ<α;
G.2. Para todos β < α e i ∈ {0, 1}, zα (β,i) = S β<γ<αz γ β; G.3. Lα
(β,i) ´e uma pseudointersec¸c˜ao infinita de (L γ
(β,i))β<γ<α, isto ´e, L α (β,i)r
Lγ(β,i) ´e finito, para todo γ < α (a existˆencia dessa pseudointersec¸c˜ao est´a mostrada em [Do], Teorema 3.1.);
G.4. Rα
(β,i) ´e uma pseudointersec¸c˜ao infinita de (R γ
(β,i))β<γ<α.
Trabalhemos no caso sucessor. Suponha definidos (Kγ)γ≤α e (Pγ)γ≤α e
definiremos Kα+1 e Pα+1.
Diremos que um passo α∈ P ar ´e n˜ao-trivial se:
H.1. (xn(α))n∈ω ´e uma seq¨uˆencia relativamente discreta de pontos distintos
de Kα;
H.2. existem fun¸c˜oes cont´ınuas gn : [0, 1]α −→ [0, 1] tais que fn(α) = gn◦πα;
H.3. (gn|Kα : n ∈ ω) ´e duas a duas disjunta;
H.4. xn(α) /∈ supp(gm), para todos n, m∈ ω e gm como no item H.2;
H.5. |R
Kαgndµn(α)| > ε(α), para todo n ∈ ω.
Diremos que um passo α∈ Impar ´e n˜ao-trivial se: I.1. Aα, Bα ⊆ Kα;
I.2. Uα = πα−1[πα[Uα]] e Vα = πα−1[πα[Vα]];
Se o passo α ´e trivial, tomamos Kα+1 = Kα× {0}, Lα+1(β,i) = Lα(β,i), Rα+1(β,i) = Rα (β,i), z α+1 (β,i) = z(β,i)α⌢0, L α+1 (α,i)= R α+1 (α,i) =∅ e z α+1 (α,i) qualquer.
Suponhamos que estamos no caso n˜ao-trivial. Separaremos os casos α∈ P ar e α∈ Impar. Consideremos, primeiro, o caso α ∈ P ar.
Considere as fun¸c˜oes gn : [0, 1]α −→ [0, 1] tais que fn(α) = gn ◦ πα.
Considere hn= gn|Kα.
Como Kα´e compacto e m´etrico, toda seq¨uˆencia possui uma subseq¨uˆencia
convergente. Tome z∈ Kα e N′ ⊆ ω tais que
lim
n∈N′xn(α) = z.
Como xn(α) s˜ao pontos distintos, tirando, eventualmente, um elemento de
N′, podemos assumir que x
n(α) 6= z, para todo n ∈ N′, e, portanto, para
todo α′ ≥ α temos
(∗) πK−1α′,Kα({z}) ∩ F
α
n(α′) =∅.
Pelos Lema 1.23 existem a ⊆ N′ infinito, h′
n : Kα −→ [0, 1] cont´ınuas,
para n∈ a, e δ > 0 tais que J.1. supp(h′
n)⊆ supp(hn), para todo n∈ a;
J.2. Para todo b⊆ a, a extens˜ao de Kα por (h′n)n∈b ´e forte;
J.3. Para todo n ∈ a, |R h′
ndµn(α)| > δ e Σ{R h′nd|µn(α)| : m 6= n, m ∈
a} < δ 3;
J.4. ∆((h′
n)n∈a) ´e unit´ario ou disjunto de {zα(β,i) : (β, i) ∈ α × {0, 1}} ∪
{xn(α) : n∈ ω}.
Observe que, pelo Lema 1.16, se L ´e uma extens˜ao de Kα por (h′n)n∈b,
para algum b ⊆ a, ent˜ao |π−1
L,K(x)| = 1, para todo x /∈ ∆((h′n)n∈a). Iremos
prosseguir a constru¸c˜ao separando em dois casos: Caso 1 ∆((h′
n)n∈a) ´e disjunto de{z(β,i)α : (β, i)∈ α × {0, 1}} ∪ {xn(α) : n∈
ω}.
Neste caso tomamos qualquer b⊆ a infinito e co-infinito em a, e tomamos Kα+1 a extens˜ao de Kα por (h′n)n∈b, Lα+1(α,i) = b, Rα+1(α,i) = a r b, zα+1(α,i)= z, para
(β, i)∈ α × {0, 1}, Lα+1(β,i) = Lα (β,i), R α+1 (β,i) = R α (β,i) e z α+1
(β,i) o ´unico elemento de
π−1({zα (β,i)}).
Observe que, como Fβ
n(α) converge para z(β,i)α , para n∈ L α
(β,i)∪ R α (β,i), e,
numa vizinhan¸ca de zα
(β,i), Kα+1 ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos
que Fβ
n(α + 1) converge para z(β,i)α+1, em Kα+1, para n∈ L α+1 (β,i)∪ R
α+1 (β,i).
Caso 2 ∆((h′
n)n∈a) ´e unit´ario.
Seja y esse ´unico ponto que ´e bifurcado numa extens˜ao de Kαpor (h′n)n∈a.
Isso significa que supp(h′ n)
n∈a
−→ y, pois, se isso n˜ao ocorresse, ter´ıamos uma vizinhan¸ca V de y e um c ⊆ a infinito tais que para todo n ∈ a existiria yn ∈ supp(h′n) r V . Tomando y′ um ponto de acumula¸c˜ao de {yn : n ∈ c}
ter´ıamos y′ ∈ ∆((h′
n)n∈a) e y′ 6= y, contradizendo que ∆((h′n)n∈a) ´e unit´ario.
Fixamos i ∈ {0, 1}. Sejam (βn)n∈ω os ordinais tais que z(βαn,i) = y. Nos
outros ordinais procedemos como no caso 1 na constru¸c˜ao de Lα+1(β,i), Rα+1(β,i) e z(β,i)α+1. Sejam b⊆ a, Lα+1 (β,i) ⊆ L α (β,i) e R(β,i)α+1 ⊆ R α
(β,i) infinitos tais que
(∗∗) Fβm n (α)∩ supp(h ′ k) =∅, ∀β ≤ α, m ∈ ω, k ∈ b, n ∈ L α+1 (β,i)∪ R α+1 (β,i).
Para β = α, a existˆencia de tais conjuntos segue da hip´otese, xn(α) /∈
supp(h′
m). Para β < α usamos a seguinte afirma¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 2.1.1. Sejam Fn,m fechados tais que, para cadam ∈ ω, Fn,m n
−→ y e sejam Gn fechados tais queGn −→ y, com y /∈ Gn ey /∈ Fn,m, para todos
n, m. Ent˜ao existem subconjuntos infinitos b ⊆ ω e cm ⊆ ω, para m ∈ ω,
tais que
Fn,m∩ Gk =∅, ∀n ∈ cm, m∈ ω, k ∈ b.
Para demonstrar a afirma¸c˜ao, construiremos (Un)n∈ω e (Vn)n∈ω, vizi-
nhan¸cas abertas de y, tais que Un+1 ⊆ Vn ⊆ Un, juntamente com inteiros
crescentes (kn)n∈ω e (ln)n∈ω.
Tomamos U0 qualquer. Definidos Un, (kj)j<ne (lj)j<n, tomamos kn> kj,
para todo j < n, tal que Fkn,m ⊆ Un, para todo m≤ n. Seja Vn ⊆ Un uma
vizinhan¸ca de y disjunta de Fkj,m, para todos j ≤ n e m ≤ j. Tome ln > lj,
para todo j < n, tal que Gln ⊆ Vn. Seja Un+1 vizinhan¸ca aberta de y disjunta
de Gln.
Defina b = {ln : n ∈ ω} e cm ={kn : n ≥ m}. Sejam m, j ∈ ω e n ≥ m.
Temos Fkn,m ⊆ UnrVn e Glj ⊆ Vj rUj+1. Se n ≤ j temos Fkn,m∩ Vn=∅ e
Glj ⊆ Vj ⊆ Vn. Se n > j temos Fkn,m ⊆ Un ⊆ Uj e Glj∩ Uj =∅. Em ambos
Por (∗) sabemos que as hip´otese y /∈ Fn,m da afirma¸c˜ao ´e satisfeita para
Fn,m= Fnβm(α) e Gn = supp(h′n).
Tome Lα+1(α,i) = b, para i ∈ {0, 1} como acima, mas de modo a satisfazer b ⊆ a e a r b infinito. Tome Rα+1
(α,i) = a r b. Defina Kα+1 a extens˜ao de Kα
por (h′
n)n∈b. Tome zα+1(β,i) = z(β,i)α⌢0, nos casos em que z(β,i)α = y, e z(β,i)α+1 o ´unico
elemento de π−1(zα
(β,i)), nos outros casos.
Vejamos que Fβ
n(α + 1)−→ z(β,i)α+1, para n∈ L α+1
(β,i) e n∈ R α+1
(β,i). Nos casos
em que zα
(β,i) = y, por (∗∗) temos F β
n(α + 1) = Fnβ(α)× {0}, que converge
para zα⌢ (β,i)0 = z
α+1
(β,i). Nos outros casos, ´e como no caso 1, isto ´e, F β
n(α + 1) ´e
uma imagem homeom´orfica de Fβ
n(α), numa vizinhan¸ca de z α+1 (β,i).
Seja α∈ Impar um caso n˜ao-trivial. Seja z = limn→∞xn(α) um elemento
de Kα. Usando o Lema de Urysohn podemos definir uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
duas a duas disjuntas (hn)n∈2ωtal que ∆((hn)n∈2ω) ={z} e, para todo n ∈ 2ω
e m∈ ω,
hn(xm(α)) =
1, se m = n ou m = n + 1 0, caso contr´ario
Seja b ⊆ 2ω tal que Kα((hn)n∈b) ´e uma extens˜ao forte. Defina Kα+1 =
Kα((hn)n∈b), Lα+1(α,1) = b, Lα+1(α,0) = 2ω r b, Rα+1(α,1) = {n + 1 : n ∈ Lα+1(α,1)}, Rα+1(α,0) ={n + 1 : n ∈ Lα+1 (α,0)}, z α+1 (α,0)= z ⌢0 e zα+1 (α,1) = z ⌢1 Notemos que Fα n(α+1) ={xn(α)⌢1}, se n ∈ Lα+1(α,1)∪Rα+1(α,1), e Fnα(α+1) =
{xn(α)⌢0}, caso contr´ario. Portanto Fnα(α + 1) → z(α,0)α+1, para n ∈ L α+1 (α,0)∪
Rα+1
(α,0), e Fnα(α + 1)→ z(α,1)α+1, para n∈ Lα+1(α,1)∪ Rα+1(α,1).
No restante da constru¸c˜ao de Pα+1, ou seja, para definir Lα+1(β,i), Rα+1(β,i) e
z(β,i)α+1, para β < α, agimos como no caso 2 de um passo α ∈ P ar n˜ao-trivial. Feita a constru¸c˜ao, tome K o limite inverso de (Kα)α<ω1. Sejam (fn :
n ∈ ω), (xn : n ∈ ω), (µn : n ∈ ω) e ε como na hip´otese do teorema.
Podemos assumir, sem perda de generalidade, que xn∈ supp(f/ m), para todos
n, m∈ ω. Para isso basta usarmos o Lema de Urysohn e a regularidade de µn para reduzir os suportes de fn preservando condi¸c˜ao d) da hip´otese.
Pelo Teorema de Tietze estendemos fn para ˜fn : [0, 1]ω1 −→ [0, 1]. Pelo
Teorema de Mibu (vide [Mi]) existem α < ω1 e fun¸c˜oes gn : [0, 1]α −→ [0, 1]
tais que ˜fn= gn◦ π. Notemos que fn= gn|Kα◦ πα. Como a existˆencia de tais
fun¸c˜oes ainda valem para um α′ > α, uma vez que ˜f
n◦ πα′ = gn◦ πα◦ πα′,
K.1. fn(α) = ˜fn, para todo n∈ ω; K.2. xn(α) = xn|α, para todo n ∈ ω; K.3. ε(α) = ε; K.4. µn(α) = µn|Bα, para todo n∈ ω. Tomamos b = Lα+1(α,0) e a = Lα+1(α,0) ∪ Rα+1 (α,0) e fn′ = h′n◦ π, onde h′n s˜ao as
fun¸c˜oes constru´ıdas no passo sucessor na constru¸c˜ao de K, ou seja Kα+1 =
Kα((h′n)n∈a). Tomamos δ > 0 que obtemos na constru¸c˜ao de h′n, isto ´e,
satisfazendo J.3. Pelo Lema 1.17, (h′
n◦π)n∈btem supremo em C(Kα+1), pois esta ´e uma ex-
tens˜ao forte por essas fun¸c˜oes. Do Lema 1.20 segue que (f′
n)n∈btem supremo
em C(K).
Note queR f′
ndµm =R h′ndµm(α), para todos n, m, pois fn′ ´e determinada
pelas coordenadas abaixo de α. Portanto, da constru¸c˜ao segue tamb´em a propriedade e).
A conexidade de K segue do Lema 1.20.
Falta mostrar a propriedade g). Suponha que existam abertos U1 e U2 de
K tais que xn(α)∈ U1, para todo n∈ b, e xn(α)∈ U2, para todo n∈ a r b.
Pela compacidade, podemos assumir que U1e U2 s˜ao uni˜oes finitas de abertos
elementares. Portanto existe β < ω1, podendo assumir β > α, tal que a
separa¸c˜ao ocorre em β, isto ´e,{xn|β : n ∈ b}∩{xn|β : n ∈ a r b} = ∅, em Kβ.
Como xn|α = xn(α), temos que xn|β ∈ Fnα(β). Mas, pela constru¸c˜ao, L β (α,0)r
Lα+1(α,0)´e finito. Como Lα+1(α,0) = b, e limn∈Lβ (α,0)F α n(β) = z β (α,0), temos que z β (α,0)∈
{xn|β : n ∈ b}. Da mesma forma conclu´ımos que z(α,0)β ∈ {xn|β : n ∈ a r b},
contradizendo que {xn|β : n ∈ b} ∩ {xn|β : n ∈ a r b} = ∅.
Mostraremos a parte ii) do teorema. Sejam L ⊆ K fechado e V1 e V2
abertos disjuntos de L tais que V1∩ V2 6= ∅. Sejam U e V abertos de [0, 1]ω1
tais que V1 = U ∩ L e V2 = V ∩ L. Como L ´e fechado, V1∩ V2 = U∩ V ∩ L,
pois U ∩ L = U ∩ L.
Como [0, 1]ω1 ´e separ´avel (vide [Eng], 2.3.16) ent˜ao [0, 1]ω1 ´e c.c.c., isto ´e,
n˜ao cont´em uma seq¨uˆencia n˜ao-enumer´avel de abertos disjuntos. Portanto podemos assumir que U e V s˜ao uni˜oes enumer´aveis de abertos elementares. De fato, se tomarmos U′ ⊆ U a uni˜ao de uma fam´ılia maximal de abertos
elementares contidos em U, temos U′ = U, o mesmo podendo ser feito para
Sejam (yα)α<ω1 e (zα)α<ω1 seq¨uˆencias que formam conjuntos densos em
V1 e V2, respectivamente. Tome β < ω1 que cont´em as coordenadas que
determinam U e V , isto ´e, π−1[π
β[U]] = U e π−1[πβ[V ]] = V . Usando o
Lema 1.28, escolha α > β tal que α ∈ Impar, Uα = U, Vα = V , (yβ|α)β<α ´e
denso em πα[V1], (zβ|α)β<α ´e denso em πα[V2] e
{yβ|α : β < α} = Aα;
{zβ|α : β < α} = Bα.
Seja x∈ V1∩ V2. Como Aα e Bα s˜ao densos em πα[V1] e πα[V2], respecti-
vamente, ent˜ao x|α ∈ πα[Uα]∩ Aα∩ πα[Vα]∩ Bα. Estamos, portanto, em um
passo α∈ Impar n˜ao-trivial. Temos ent˜ao xn(α) n∈ω
→ x|α e xn(α) ∈ πα[V1],
para n par, e xn(α)∈ πα[V2], para n ´ımpar.
Para cada n par, seja αn tal que yαn|α = xn(α). Para cada n ´ımpar,
seja αn tal que zαn|α = xn(α). Analogamente `a demonstra¸c˜ao do item g) da
parte i) do teorema, mostramos que {yαn : n∈ L α+1 (α,0)} ∩ {zαn : n ∈ R α+1 (α,0)} 6= ∅; {yαn : n∈ L α+1 (α,1)} ∩ {zαn : n ∈ R α+1 (α,1)} 6= ∅. Tome z1 ∈ {yαn : n∈ L α+1 (α,0)}∩{zαn : n ∈ R α+1 (α,0)} e z2 ∈ {yαn : n∈ L α+1 (α,1)}∩ {zαn : n ∈ R α+1 (α,1)}. Temos z1, z2 ∈ V1∩ V2 e z1|(α + 1) = z(α,0)α+1 6= zα+1(α,1)= z2|(α + 1).
Logo |V1∩ V2| ≥ 2, como quer´ıamos mostrar.
Teorema 2.2. Assuma ♦. Existe um espa¸co compacto e conexo K tal que, para todo L⊆ K fechado, todo operador em C(L) ´e da forma gI + S, para algumg ∈ C(L) e S fracamente compacto. Em particular, se L ⊆ K ´e conexo ent˜ao C(L) ´e indecompon´ıvel.
Demonstra¸c˜ao: Tome K como no Teorema 2.1. Seja L ⊆ K fechado. Seja T : C(L) −→ C(L) um operador cont´ınuo. Mostraremos que T ´e um multiplicador fraco. Essa demonstra¸c˜ao ser´a uma adapta¸c˜ao do Lema 5.2 de [Ko2].
Suponha que T n˜ao seja um multiplicador fraco, isto ´e, existem uma seq¨uˆencia duas a duas disjunta de elementos en ∈ C(L) com imagens em
[−1, 1], ε > 0 e pontos xn ∈ L tais que en(xn) = 0 para todo n ∈ ω e
|T (en)(xn)| > ε para infinitos n’s. Assumimos, ent˜ao, que vale para todo n.
Como somas finitas de en’s s˜ao uniformemente limitadas, se xnfosse cons-
tante para infinitos n’s, ter´ıamos contradi¸c˜ao com o fato de T ser limitada (isto ´e, cont´ınua). Portanto, podemos assumir que xn’s s˜ao todos distintos.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que em(xn) = 0, para todos
n, m ∈ ω: se existe um k0 tal que ek0(xn) 6= 0 para n’s pertencentes a um
conjunto infinito N′ ⊆ ω, refinamos a seq¨uˆencia para N′r{k
0} e usamos que
en’s s˜ao disjuntas. Caso contr´ario, constru´ımos por indu¸c˜ao uma seq¨uˆencia
como queremos.
Considerando max(en, 0)− min(en, 0) no lugar de en, podemos assumir
que en tem imagem em [0, 1].
Sejam µn = T∗(δxn), isto ´e, µn’s s˜ao medidas dadas pela rela¸c˜ao
T (f )(xn) =
Z
f dµn,
para todo f ∈ C(L). Temos |R endµn| > ε, para todo n. Note que (µn)n∈ω ´e
uma seq¨uˆencia limitada de medidas. Usando o Lema de Rosenthal achamos N′ ⊆ ω infinito tal que
Σ{| Z
emdµn| : n 6= m, m ∈ N′} < ε/3.
Agora estendemos continuamente as fun¸c˜oes en’s para fun¸c˜oes fn ∈ C(K),
tamb´em disjuntas e com imagens em [0, 1]. Para isso usamos o Teorema de Tietze para estender en e, usando o Lema de Urysohn, multiplicamos por
uma fun¸c˜ao que vale 1 em supp(en) (que tamb´em ´e fechado em K) e 0 em
∪{supp(fk) : k < n}.
Como L⊆ K, interpretamos µn como medidas medidas sobre K, isto ´e,
µn(A) = µ′n(A∩L), para todo boreliano A ⊆ K. Assim, para todos n, m ∈ ω,
Z K fmdµn= Z L emdµn.
Aplicando o Teorema 2.1 para {fn : n ∈ N′}, {xn : n ∈ N′}, {µn :
n ∈ N′} e ε, achamos b ⊆ a ⊆ N′, δ > 0 e fun¸c˜oes {f′
n : n ∈ a} como no
Podemos assumir que Z
sup{fm′ : m∈ b}dµn =
Z
Σm∈bfm′ dµn,
para todo n ∈ ω. Para isso, tome (Nξ)ξ<ω1 uma fam´ılia de subconjuntos
infinitos de N′ tal que N
ξ ∩ Nη ´e finito, para todos ξ 6= η (por exemplo,
identificando ω com Q e ω1 com R, tome Nξ uma seq¨uˆencia de racionais que
converge para ξ). Para cada ξ tome bξ ⊆ aξ ⊆ Nξ como a e b do Teorema 2.1.
Para cada ξ < ω1 e n ∈ bξ tome fnξ como fn′ no teorema, isto ´e, as
propriedades e), f ) e g) do Teorema 2.1 s˜ao satisfeitas para f′
n= fnξ, a = aξ
e b = bξ.
Afirma¸c˜ao 2.2.1. Existe ξ < ω1 tal que
Z [sup{fξ m: m ∈ bξ} − Σm∈bξf ξ m]dµn= 0, para todo n∈ ω.
Para cada ξ < ω1 e c ⊆ bξ definimos fcξ = sup{fmξ : m ∈ c} − Σm∈cfmξ
quando esse supremo existe. Note que, se F ⊆ bξ ´e finito, temos
sup{fξ m: m ∈ bξ} = sup{fmξ : m∈ bξrF} + Σm∈Ffmξ e, portanto, fbξξrF = f ξ bξ. Em particular f ξ bξ = f ξ bξrb ξ′, para todos ξ, ξ ′ < ω 1
distintos, j´a que bξ∩ bξ′ ´e finito.
Fixe ξ6= ξ′. Sejam g = sup{fξ
n: n∈ bξrbξ′} e h = sup{fξ ′
n : n∈ bξ′rbξ}.
Como supp(fη
n) ⊆ supp(fn), para todo n ∈ ω e todo η < ω1, temos que
fξ n· fξ
′
m = 0, para todos n6= m. Vejamos agora que g · h = 0.
Suponha que exista x ∈ K tal que g(x) > 0 e h(x) > 0. Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de x tal que g e h s˜ao positivas em todos os pontos de V . Ent˜ao existem y∈ V e n ∈ bξrbξ′ tais que fnξ(y) > 0. Como fnξ·fξ
′
m = 0, para
todo m∈ bξ′ rbξ, se tomarmos ϕ : K −→ [0, 1] cont´ınua tal que ϕ(y) = 1 e
ϕ ´e nula nos pontos em que fξ
n ´e nula, temos que fξ
′ m ≤ h · ϕ < h, para todo m∈ bξ′ rbξ, contradizendo a defini¸c˜ao de h. Como fbξξ = fbξξrb ξ′ ≤ g e f ξ′ bξ′ = f ξ′ bξ′rbξ ≤ h, segue que f ξ bξ · f ξ′ bξ′ = 0, para
todos ξ 6= ξ′. Logo existe ξ < ω
1 tal que fbξξ tem integral nula com respeito
Tomando f = sup{f′ n : n∈ b} e n ∈ b temos |T (f|L)(xn)| = | Z K f dµn| = | Z fn′dµn+ Z Σ{f′ m : m6= n, m ∈ b}dµn| ≥ δ − δ/3 = 2δ/3. Por outro lado, se n∈ a r b temos
|T (f|L)(xn)| = |
Z
K
Σm∈bfm′ dµn| ≤ δ/3.
Como T (f|L) ´e cont´ınuo, temos que os fechos de{xn : n∈ b} e {xn : n∈
a r b} s˜ao disjuntos, contradizendo o item g) do Teorema 2.1.
O restante do teorema segue do Teorema 2.1 item ii), dos Lemas 1.10, 1.12 e do Teorema 1.11.
Corol´ario 2.3. O espa¸co C(K) como acima tem pelo menos cont´ınuo quo- cientes indecompon´ıveis da forma C(L) n˜ao isomorfos.
Demonstra¸c˜ao: Primeiro vejamos que, se C(L) tem poucos operadores, ent˜ao n˜ao ´e isomorfo a nenhum de seus quocientes pr´oprios. De fato, seja X um quociente pr´oprio de C(L), e seja T : C(L) −→ X uma transforma¸c˜ao linear sobrejetora. Suponha que existe S : X −→ C(L) um isomorfismo. Como C(L) tem poucos operadores, S ◦ T ´e multiplicador fraco e, pelo Lema 1.8, S ◦ T ´e sobrejetor se, e somente se, ´e um isomorfismo sobre a imagem. Mas S e T s˜ao ambos sobrejetores, de onde conclu´ımos que S◦ T ´e um isomorfismo de C(K). Logo T precisa ser injetora e, portanto, X ´e isomorfo a C(K).
Para cada r∈ [0, 1], tome Kr = π−1K,[0,1]2([0, r]2). Pelo Lema 1.18 podemos
concluir que cada Kr ´e conexo. Se r < s temos Kr⊂ Ks e, portanto, C(Kr)
e C(Ks) s˜ao indecompon´ıveis e n˜ao s˜ao isomorfos.