Construções consistentes de espaços de Banach C (K) com poucos operadores

(1)

de espa¸cos de Banach

C

(K)

com poucos operadores

Rog´

erio Augusto dos Santos Fajardo

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do grau

de

Doutor em Ciˆ

encias

´

Area de Concentra¸c˜ao: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Eloi Medina Galego

Co-orientador: Prof. Dr. Piotr Koszmider

Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho, o autor recebeu apoio ﬁnanceiro da FAPESP (processo 04/03508-6).

(2)

(3)

de espa¸cos de Banach

C

(K)

com poucos operadores

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da tese de doutorado devidamente corrigida e defendida por Rogério Fajardo e aprovada pela comissão julgadora.

S˜ao Paulo, novembro de 2007.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. El´oi Medina Galego - IME-USP

• Profa. Dr. Ricardo Bianconi - IME-USP

• Prof. Dr. Jorge T´ulio Mujica Ascui - UNICAMP

• Prof. Dr. M´ario Carvalho de Matos - UNICAMP

(4)

(5)

`

A minha esposa, Joice, com toda estima, amor e carinho, pelo novo brilho que trouxe `a minha vida,

`

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Agradecimentos

Agrade¸co a minha m˜ae, sogros e toda a minha fam´ılia, pelo carinho e aten¸c˜ao dispensados.

Agrade¸co a todos os professores do IME, especialmente aos meus orientado-res.

Agrade¸co a todos os colegas do IME que conheci durante todos esses anos. Agrade¸co `a FAPESP pelo apoio ﬁnanceiro.

Agrade¸co, com especialidade, aos meus professores do ginásio: Roberto, Rúbia e Hélio, do Colégio São Vicente de Paula.

(8)

(9)

Resumo

Neste trabalho aplicamos técnicas de combinatória infinitária eforcing na teoria dos espa¸cos de Banach, investigando propriedades dos espa¸cos de Ba-nach da formaC(K) com poucos operadores, no sentido de que todo operador em C(K) são da formagI+S, ondeIé o operador identidade,g _∈C(K) eS

é fracamente compacto. Enfatizamos as constru¸cões ondeK é conexo, o que implica queC(K) é indecompon´ıvel. Assumindo♦, um axioma combinatório mais forte que a Hipótese do Cont´ınuo, constru´ımos um espa¸co de Banach

C(K) tal que C(L) tem poucos operadores, para todoL _⊆K fechado. Sob a Hipótese do Cont´ınuo constru´ımos um espa¸co C(K) indecompon´ıvel com poucos operadores tal queKcontémβNhomeomorficamente. Em ZFC cons-tru´ımos um espa¸coC(K) com poucos operadores em um sentido estritamente mais fraco. Também mostramos a existência de pelo menos cont´ınuo espa¸cos de Banach C(K) indecompon´ıveis dois a dois essencialmente incomparáveis. Usando forcing provamos que existe consistentemente um espa¸co de Banach

C(K) de densidade menor que cont´ınuo com poucos operadores e um C(K) indecompon´ıvel de densidade menor que cont´ınuo.

Abstract

In this work we apply techniques of inﬁnitary combinatorics and forcing in Banach spaces theory, investigating the compact topological spaces K

such that the Banach space C(K) has few operators, in the sense that all operators on C(K) have the form gI +S, where I is the identity operator,

g ∈C(K) and S is weakly compact. We emphasize the constructions where

(10)

(11)

Sum´

ario

Nota¸c˜ao xi

Introdu¸c˜ao 1

1 Resultados preliminares 7

1.1 Espa¸co de Banach C(K) e o dual M(K) . . . 7

1.2 Multiplicadores fracos . . . 10

1.3 Extens˜oes por fun¸c˜oes cont´ınuas . . . 12

1.4 Axioma _♦ . . . 20

2 Quocientes de espa¸cos indecompon´ıveis da forma C(K) 25 2.1 Um espa¸co C(K) com muitos quocientes indecompon´ıveis . . . 26

2.2 Um espa¸co C(K) indecompon´ıvel tal que K cont´em βN . . . . 37

3 Outras constru¸c˜oes de C(K) com poucos operadores 41 3.1 Espa¸cos de Banach C(K) com quase poucos operadores . . . . 41

3.2 Constru¸c˜ao de 2ω _espa¸cos _C₍_K_{) indecompon´ıveis} essencial-mente incompar´aveis . . . 43

4 Um espa¸co C(K) de densidade ω1 <2ω com poucos operado-res 49 4.1 Convergˆencia fraca em M(K) . . . 50

4.2 Constru¸c˜ao de um forcing . . . 53

4.3 Constru¸c˜ao consistente de um espa¸co C(K) de densidade me-nor que cont´ınuo com poucos operadores . . . 56

5 Um espa¸co C(K) indecompon´ıvel de densidade ω1 <2ω 67 5.1 Constru¸c˜ao do forcing . . . 68

(12)

A Representa¸c˜ao de Stone 87

A.1 ´Algebras de Boole . . . 87

A.2 Teorema da Representa¸c˜ao de Stone . . . 89

B Forcing 91 B.1 Modelos transitivos enumer´aveis . . . 91

B.2 Ordens parciais e ﬁltros gen´ericos . . . 93

B.3 Extens˜oes gen´ericas . . . 95

B.4 Rela¸c˜ao deforcing . . . 96

B.5 Absolutividade e preserva¸c˜ao de cardinais . . . 97

B.6 Forcing iterado . . . 99

Bibliografia 101

(13)

Nota¸c˜

ao

R conjunto dos n´umeros reais

Q conjunto dos n´umeros racionais

ω conjunto dos naturais e o primeiro ordinal inﬁnito enumer´avel

ω1 primeiro ordinal n˜ao-enumer´avel

P(X) conjunto das partes de X

|X| cardinalidade de X

2ω _{cardinal do cont´ınuo, isto é,} _|P₍_ω₎_| CH Hipótese do Cont´ınuo, isto é, ω1 = 2ω

C(K) espa¸co de Banach das fun¸c˜oes cont´ınuas de K em R com a norma supremo

M(K) espa¸co de Banach das medidas de Radon em K com a norma da varia¸c˜ao

||x_|| norma de x

X∗ _{espa¸co dual do espa¸co de Banach} _X

T∗ _{operador adjunto do operador} _T

BX∗ bola unit´aria de X∗ com a topologia fraca∗

l∞ espa¸co de Banach das seq¨uˆencias limitadas em R com a norma supremo

c0 espa¸co de Banach das seq¨uˆencias reais convergentes a 0, com a norma supremo

X_⊕Y soma direta de X e Y

βN compactiﬁcado de Stone- ˇCech dos naturais

dom(f) dom´ıno da fun¸c˜ao f

supp(f) suporte da fun¸c˜ao f, isto ´e, _{x_∈dom(f) :f(x)₆= 0_}

Gr(f) gráfico da fun¸cão f, isto é,_{(x, f(x)) :x_∈dom(f)_}

supp(p) suporte de uma condi¸c˜ao pde um forcing iterado

ZFC sistema de axiomas de Zermelo-Frankel com Axioma da Escolha MA axioma de Martin

(14)

(15)

Introdu¸c˜

ao

Na teoria dos espa¸cos de Banach diversas perguntas foram feitas sobre quando um subespa¸co fechado Y de um espa¸co de Banach X ´e complementado em

X, isto é, se existe Z subespa¸co fechado de Y tal que X =Y ⊕Z. Durante muitos anos ficou em aberto se para todo espa¸co de Banach X, de dimensão infinita, existem subespa¸cos fechados Y e Z, de dimensões infinitas, tais que

X =Y ⊕Z. Quando isso ocorre, dizemos que X ´edecompon´ıvel.

Em 1993 Gowers e Maurey constru´ıram, em [GM1], o primeiro exemplo de um espa¸co de Banach indecompon´ıvel. Mais do que isso: o exemplo constru´ıdo por eles é hereditariamente indecompon´ıvel, isto é, todos os seus subespa¸cos fechados são indecompon´ıveis.

Uma vez que decomposi¸cões de espa¸cos de Banach são dadas por ope-radores proje¸cões, espa¸cos indecompon´ıveis estão relacionados com espa¸cos com poucos operadores. No espa¸co constru´ıdo por Gowers e Maurey, todo operador é da forma cI+S, ondeI é o operador identidade,c_∈R eS é um operador estritamente singular, isto é, nenhuma restri¸cão a um subespa¸co de dimensão infinita é um isomorfismo sobre a imagem.

Diversos outros resultados sobre espa¸cos de Banach que possuem poucos operadores tˆem sido publicados. Em 1978, assumindo o axioma _♦ (veja Se¸c˜ao 1.4), Shelah mostra que existe um espa¸co de Banach de densidade ω1

cujos operadores s˜ao da formacI+S, ondec∈ReS tem imagem separ´avel. Em 1988 Shelah e Steprans mostram o mesmo resultado sem assumir nenhum axioma adicional de teoria dos conjuntos.

Em [Ko2] encontramos o primeiro exemplo de um espa¸co de Banach inde-compon´ıvel da forma C(K), o espa¸co de Banach das fun¸cões reais cont´ınuas sobre um compacto K munido da norma do supremo. Nesse artigo há duas constru¸cões, na primeiraKé 0-dimensional e na segunda é conexo, de espa¸cos de Banach C(K) em que todos os operadores são multiplicadores fracos (De-fini¸cão 1.7). Como conseqüência, C(K) não é isomorfo aos seus hiperplanos,

(16)

nem a qualquer subespa¸co ou quociente próprio. Na constru¸cão conexa ob-temosC(K) indecompon´ıvel. Koszmider prova que, seKrF é conexo, para todo F finito, e todo operador em C(K) é multiplicador fraco, então C(K) é indecompon´ıvel.

Assumindo a Hip´otese do Cont´ınuo (CH), Koszmider mostra que podemos obter um compactoKtal que todo operador emC(K) ´e da formagI+S, para

g _∈ C(K) e S fracamente compacto. Isso implica, quando K ´e conexo, que

C(K) é indecompon´ıvel. Usando Representa¸cão de Wallman para reticulados conexos, que generaliza a representa¸cão de Stone para obter espa¸cos conexos, em [Pl] Plebanek construiu um espa¸co de BanachC(K) indecompon´ıvel com poucos operadores, no sentido como acima, sem assumir nenhum axioma adicional.

Como todo espa¸co de Banach de dimensão infinita da formaC(K) contém

c0 como subespa¸co, C(K) n˜ao pode ser hereditariamente indecompon´ıvel,

como o espa¸co constru´ıdo por Gowers e Maurey. O espa¸co constru´ıdo em [Ko2] ´e um exemplo natural de um espa¸co de Banach indecompon´ıvel mas n˜ao hereditariamente indecompon´ıvel.

No contexto deC(K), um operador é fracamente compacto se, e somente se, é estritamente singular (vide [Pe2]). Está verificado em [Ko2] que obter um espa¸co da formaC(K) em que todo operador é da formacI+Sondec∈R

e S é fracamente compacto (equivalentemente, S é estritamente singular), como o espa¸co obtido em [GM1], é imposs´ıvel. Igualmente mostra-se que todo espa¸coC(K) tem operador que não é da formagI+C, parag ∈C(K) e C um operador compacto. Assim, um espa¸co de Banach C(K) onde todo operador é da forma gI+S, onde g _∈ C(K) e S é fracamente compacto, é o melhor que podemos esperar no sentido de poucos operadores em C(K). A partir de agora, salvo men¸cão contrária, essa será a defini¸cão de espa¸cos

C(K) com poucos operadores.

Em 1999 Ferenczi, em [Fer], mostrou que o espa¸co constru´ıdo por Gowers e Maurey, além de hereditariamente indecompon´ıvel, também é quociente hereditariamente indecompon´ıvel, isto é, todos seus quocientes são heredita-riamente indecompon´ıveis. Nesse mesmo artigo, Ferenczi constrói um espa¸co hereditariamente indecompon´ıvel, mas não quociente hereditariamente inde-compon´ıvel.

Como em [LM] mostra-se que espa¸cos da forma C(K) possuem c0

com-plementado ou l2 como quociente, espa¸cos de Banach C(K) tamb´em n˜ao

(17)

cons-tru´ımos C(K) com muitos quocientes indecompon´ıveis. Assumindo_♦, mos-tramos que existe um espa¸co de Banach C(K) indecompon´ıvel tal que C(L) tem poucos operadores, para todo L _⊆ K fechado (Teorema 2.2), respon-dendo a uma pergunta deixada no final de [Ko2]. Em particular, mostramos que C(K) como no Teorema 2.2 tem pelo menos cont´ınuo quocientes in-decompon´ıveis da forma C(L) (Corolário 2.3), pois, se L é um subespa¸co fechado de K, então C(L) é um quociente deC(K), induzido pelo operador

T :C(K)−→C(K) dado por T(f) =f|L.

Uma pergunta que poderia surgir ´e se qualquer espa¸co indecompon´ıvel

C(K) constru´ıdo por sucessivas extensões fortes, como o constru´ıdo em [Ko2], já tem a propriedade acima. Assumindo CH, obtemos um espa¸co C(K) inde-compon´ıvel tal que βN _⊆K (Teorema 2.5), e C(βN) é isométrico a l∞, que

tem muitos operadores1_{. Por´em, para}_C₍_K_{) conter} _l

∞ como qociente ´e

sufi-ciente, mas não necessário, queK contenhaβN. Talagrand mostra, em [Ta], que C(K) contém l∞ como quociente se, e somente se, BC(K)∗ contém um subespa¸co homeomorfo a βN. No caso do espa¸co constru´ıdo no Teorema 2.2 não sabemos se ele contém l∞ como quociente.

Em 1975 Fedorchuk, em [Fed], mostrou, assumindo CH, que existe um espa¸co topológico compacto K que não contém seqüência convergente nem contém um subespa¸co isomorfo a βN, respondendo, consistentemente, a uma pergunta dos anos 50 feita por Efimov. Um compactoKcomo do Teorema 2.2 também responde negativamente ao problema de Efimov, mas assumimos_♦, que é mais forte que CH (Lema 1.26). A consistência da nega¸cão do problema de Efimov permanece em aberto.

Na Se¸cão 3.1, Teorema 3.2, mostramos uma constru¸cão de um compacto 0-dimensional K tal que todo operador em C(K) é multiplicador fraco mas nem todo é da forma gI+S. Essa constru¸cão foi obtida independentemente por Iryna Schlackow (vide [Schl]). O exemplo constru´ıdo é o mesmo, apesar da demonstra¸cão ser diferente. Em [Schl] também mostra-se que a propri-edade que todo operador em C(K) é multiplicador fraco é invariante por isomorfismos de espa¸cos de Banach, mas a propriedade de que todo operador em C(K) é da forma gI+S, para g _∈C(K) eS fracamente compacto, não é invariante por isomorfismos.

Podemos perguntar se um espa¸co indecompon´ıvel não é único, a menos

1

O espa¸co topológicoβNestá definido no Apêndice A, Defini¸cão A.12. A isometria entre C(βN) e l∞ segue do Teorema A.13. De resultados de [Ko2] e [Sc], que mencionaremos

nesta Introdu¸c˜ao, e do fato quel∞=c0⊕l∞, seguem quel∞n˜ao tem poucos operadores,

(18)

de isomorfismos, e, se não é, quanto deles existem, não-isomorfos. Em [Ga], Gasparis construiu uma fam´ılia de cardinalidade 2ω _{de espa¸cos de Banach} indecompon´ıveis separáveis (como os espa¸cos de [GM1]) que são dois a dois totalmente incomparáveis, isto é, nenhum subespa¸co de dimensão infinita de um espa¸co é isomorfo a um subespa¸co de outro. Como os espa¸cos são separáveis, 2ω _{é o maior cardinal poss´ıvel para essa fam´ılia.}

ComoC(K) de dimensão infinita contémc0 como subespa¸co, dois espa¸cos

de Banach da formaC(K) não podem ser totalmente incomparáveis. Um ou-tro conceito de incomparabilidade, desenvolvida por Aiena e Gonzalez (vide [AG]), é o de espa¸cos de Banach essencialmente incomparáveis (Defini¸cão 3.3). O Teorema 3.5 mostra a existência de uma fam´ılia de 2ω _{espa¸cos de} Banach indecompon´ıveis da formaC(K) essencialmente incomparáveis.

Chamamos de densidade de um espa¸co de BanachX o menor cardinalλ

para o qual existe um denso emXde cardinalidadeλ. Por exemplo, dizer que

X tem densidade enumerável significa queX é separável. Podemos estudar os poss´ıveis valores para a densidade de espa¸cos C(K) indecompon´ıveis, ou com poucos operadores.

Um espa¸co de Banach é de Grothendieck (ou, possui a propriedade de Grothendieck) se a convergência fraca e a convergência fraca∗ _{coincidem no}

espa¸co dual. Schachermayer mostra, em [Sc], que um espa¸co de Banach da forma C(K) é de Grothendieck se, e somente se, não contémc0

complemen-tado. Em [Ko2] mostra-se, usando o resultado de Schachermayer, que, se

C(K) é indecompon´ıvel, tem poucos operadores, ou todos os operadores nele são multiplicadores fracos, entãoC(K) é de Grothendieck.

O espa¸co de Banach indecompon´ıvel constru´ıdo em [GM1] é separável. Espa¸cos de Banach da forma C(K) indecompon´ıveis, ou com poucos ope-radores (mesmo no sentido de todo operador em C(K) ser multiplicador fraco), não podem ser separáveis, pois todo espa¸co C(K) separável contém uma cópia complementada de c0 e, portanto, não é de Grothendieck.

To-dos os espa¸cos de Banach da forma C(K) constru´ıdos em [Ko2], [Pl] e nos Cap´ıtulos 2 e 3 tˆem densidade 2ω_.

Por um resultado de Fremlin, em [Fr], axioma de Martin (vide [Ku]) im-plica que, se K tem peso menor que 2ω_{, então}_C₍_K_{) tem uma cópia} comple-mentada dec0 e, portanto, não é de Grothendieck e, em particular, não pode

(19)

cons-tru´ıdo por [Br] contém operadores que não são multiplicadores fracos. No Cap´ıtulo 4, Teorema 4.14, mostramos consistentemente, usando for-cing iterado, a existência de um espa¸co de BanachC(K) de densidade menor que 2ω _{com poucos operadores. Adaptando essa constru¸cão para} _K _conexo, no Cap´ıtulo 5 mostramos a consistência da existência de um espa¸co C(K) indecompon´ıvel de densidade menor que cont´ınuo. Por [Fr] sabemos que ambos resultados, assim como o de [Br], são independentes de ZFC+_¬CH. ComoC(K) separável não possui a propriedade de Grothendieck, CH implica a nega¸cão desses resultados.

Esta tese está dividida da seguinte maneira: No Cap´ıtulo 1 apresentamos alguns resultados clássicos sobre a teoria dos espa¸cos de Banach, defini¸cões e resultados sobre multiplicadores fracos e extensões por fun¸cões cont´ınuas, a maioria deles extra´ıdos de [Ko2], e uma se¸cão sobre o axioma _♦. No Cap´ıtulo 2 mostramos, assumindo ♦, a existência de um compacto conexo

K tal que C(L) tem poucos operadores, para todo L _⊆ K (Teorema 2.2). Assumindo CH tamb´em constru´ımos um C(K) com poucos operadores, com

K conexo, tal que βN _⊆ K (Teorema 2.5). No Cap´ıtulo 3 constru´ımos um

C(K) no qual todo operador ´e multiplicador fraco mas nem todo ´e da forma

gI+S, parag _∈C(K) eSfracamente compacto (Teorema 3.2), e constru´ımos 2ω _espa¸cos_C₍_K_{) indecompon´ıveis dois a dois essencialmente incomparáveis} (Teorema 3.5). No Cap´ıtulo 4 encontramos a constru¸cão (consistente) de um espa¸coC(K) de densidade menor que cont´ınuo com poucos operadores (Teo-rema 4.14). No Cap´ıtulo 5, adaptando a constru¸cão do Cap´ıtulo 4 para o caso

K conexo, mostramos consistentemente a existˆencia de um espa¸co de Banach

(20)

(21)

Cap´ıtulo 1

Resultados preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados que serão utilizados no de-correr da tese. A Se¸cão 1.1 apresenta alguns resultados clássicos da teoria dos espa¸cos de Banach. As Se¸cões 1.2 e 1.3 apresentam defini¸cões e resultados que constam em [Ko2], sobre multiplicadores fracos e extensões de compac-tos conexos por fun¸cões cont´ınuas. Apresentamos, nessas se¸cões, algumas varia¸cões dos lemas de [Ko2] que serão necessárias para os Cap´ıtulos 2 e 3. A Se¸cão 1.4 trata do axioma ♦, que será usado no Cap´ıtulo 2.

1.1 Espa¸co de Banach

C

(K)

e o dual

M

(K

)

Os borelianos sobre um compacto K são os elementos da σ-álgebra gerada pelos abertos, isto é, o menor subconjunto deP(K) que contém os abertos de

K e é fechado por uniões enumeráveis e complementos. Seja_B(K) o conjunto dos borelianos de K. Uma medida boreliana em K é uma fun¸cão σ-aditiva

µ de B(K) em R. Isto ´e, se E = S

n∈ωEn, onde (En)n∈ω s˜ao borelianos em

K dois a dois disjuntos, ent˜ao

µ(E) = Σn∈ωµ(En).

Uma medida boreliana sobreK ´epositiva seµ(E)_≥0, para todoE _⊆K

boreliano. Dada uma medida boreliana µ, deﬁnimos _|µ_| por

|µ_|(E) =sup_{Σ1≤i≤n|µ(En)|:n ∈ω, Ei ∈ BEi ⊆E, Ei∩Ej =∅, se i6=j}. Temos que_|µ_|está bem definida como fun¸cão de_B(K) emRe é uma medida positiva (veja [Ru], Teoremas 6.2 e 6.4). Chamamos a medida_|µ_|devaria¸cão de µ.

(22)

Uma medida µ é dita regular se para todo boreliano E e todo ε > 0 existem um fechado F ⊆ E e um aberto V ⊇ E tais que |µ|(V rF) < ε. Uma medida boreliana regular também é chamada de medida de Radon. Segue imediatamente da defini¸cão de regularidade que, se µé regular, então

|µ| tamb´em ´e regular.

A partir de agora convencionamos que o termo medida será usado no sentido de medida de Radon. Veremos, a seguir, que uma medida em um compacto K é unicamente determinada pelos seus valores em uma base fe-chada por interseçcões finitas.

Lema 1.1. Sejam K um compacto e B uma base de abertos de K fechada por interseçcões finitas. Se µ e ν são medidas sobre K tais que µ|B =ν|B,

ent˜ao µ=ν.

Demonstra¸c˜ao: Se E1 ⊆ E2, para E1 e E2 borelianos em K, pela σ

-aditividade de µ e ν temos µ(E2 rE1) = µ(E2)−µ(E1) e ν(E2 rE1) =

ν(E2)−ν(E1). Vejamos que, se V é uma união finita de elementos de B,

entãoµ(V) =ν(V). Provaremos por indu¸cão emn que, seX ⊆B e|X|=n, então µ(_∪X) =ν(_∪X). O passo inicial n = 1 temos pela hipótese. Suponha queµeν coincidem para todas uniões de no máximon elementos deB. Seja

V =∪{Vi : 1≤i≤n+ 1}, onde Vi ∈B. Temos

V = (Vn+1r

[

1≤i≤n

(Vn+1∩Vi))∪(

[

1≤i≤n

Vi).

ComoBé fechado por interseçcões finitas,Vn+1∩Vi ∈B. Logo, porµ|B =ν|B e pela hipótese indutiva, tomandoV′ ₌S

1≤i≤n(Vn+1∩Vi) eV′′ =

S

1≤i≤n(Vi) temos

µ(V) =µ(Vn+1)−µ(V′) +µ(V′′) =ν(Vn+1)−ν(V′) +ν(V′′) =ν(V).

Seja E ⊆ K boreliano. Para cada n ∈ω, n >0, usando regularidade de

µeν tomamos fechadosF1

n eFn2 contidos emE e abertosVn1 eVn2 contendo

E tais que _|µ_|(V1

n rFn1)< ₄1n e |ν|(V

2

n rFn2)< ₄1n. Tomando Vn =V

1

n ∩Vn2 eFn=Fn1∪Fn2 temos Fn⊆E ⊆Vn, |µ|(VnrFn)< ₄1_n e |ν|(VnrFn)< ₄1_n. Como K é compacto e Fn é fechado em K, temos que Fn é compacto. Portanto existe Wn união finita de abertos pertencentes a B tal que Fn ⊆

Wn ⊆Vn. Temos

(23)

|µ(ErFn)|+|µ(WnrFn)| ≤ |µ|(ErFn) +|µ|(WnrFn)≤ 1 2n.

Analogamente, _|ν(E)₋ν(Wn)_|< 1

2n. Como mostramos queµ(Wn) =ν(Wn), conclu´ımos que

|µ(E)−ν(E)| ≤ |µ(E)−µ(Wn)|+|ν(E)−ν(Wn)|< 1 n,

para todo n. Portanto, µ(E) =ν(E).

SejaI um conjunto e seja X = Πi∈IXi o produto de espa¸cos topol´ogicos

Xi. Definimos umaberto elementar deX como um aberto da forma Πi∈IVi, onde Vi é um aberto básico (de uma base fixada) emXi, para todo i ∈I, e

Vi = Xi para todos, exceto finitos, i ∈ I. Se Y ⊆ Πi∈IXi é um subespa¸co chamamos de aberto elementar de Y um aberto elementar de Πi∈IXi inter-ceptado com Y. Segue da defini¸cão de topologia produto e de subespa¸co topológico que os abertos elementares formam uma base de abertos para Y, e é fácil ver que os abertos elementares de Y formam uma base fechada por interseçcões finitas.

No caso deXi = [0,1], consideraremos como abertos b´asicos os intervalos abertos em [0,1] 1 _{de extremos racionais.}

Pelo Lema 1.1 podemos identificar uma medida de [0,1]κ_{, para um} cardi-nal κ, com uma fun¸cão dos abertos básicos emR. SeK é o espa¸co de Stone de uma álgebra de Boole (veja Apêndice A) podemos identificar uma medida de K como uma fun¸cão σ-aditiva da álgebra em R.

Uma fun¸cão f : K _−→ R é dita boreliana se f−1₍_V_{) é boreliano em} _K_,

para todo aberto V ⊆R.

Durante toda a tese, identiﬁcaremos o dualC(K)∗ _de_C₍_K_{) com o espa¸co}

das medidas de Radon sobre K, que denotaremos por M(K), com a norma dada por ||µ|| = |µ|(K). Iremos trabalhar com as topologias fraca e fraca∗

de M(K). Indicamos [Fa], [Se] ou [Di] para referˆencias.

Os pr´oximos dois teoremas encontram-se demonstrados em [Di].

Teorema 1.2 (Dieudonné-Grothendieck). ([Di], VII. 14) Um conjunto limi-tado S _⊆M(K) é fracamente relativamente compacto se, e somente se, para toda seqüência(Vn)n∈ω de abertos dois a dois disjuntos deK, µ(Vn)converge

1

(24)

a 0 uniformemente em S, isto ´e,

sup

µ∈S |µ(Vn)| n→∞

−→ 0.

Teorema 1.3 (Rosenthal). ([Di], pag. 82)Seja (µn)n∈ω uma seq¨uˆencia

limi-tada em M(K). Para todo ε >0 e toda seq¨uˆencia (An)n∈ω de subconjuntos

borelianos de K dois a dois disjuntos, existe uma seq¨uˆencia estritamente crescente de inteiros (kn)n∈ω tal que

|µkn|(

[

n6=j

(Akj))< ε, para todo n∈ω.

O Teorema 1.3 também é conhecido como Lema de Rosenthal. Para o próximo teorema indicamos [Fa], Teorema 4.47.

Teorema 1.4 (Eberlein-ˇSmulian). ([Fa], 4.47) Um subconjunto A de um espa¸co de Banach X é fracamente relativamente compacto se, e somente se, toda seqüência em A admite uma subseqüência fracamente convergente.

Lema 1.5. ([DU], VI, Cor. 17) Sejam K um espa¸co compacto e X um espa¸co de Banach. Um operadorS :C(K)−→X é fracamente compacto se, e somente se, para toda seqüência limitada e duas a duas disjunta (fn)n∈ω

em C(K), a seq¨uˆencia (_||S(fn)_||)n∈ω converge a 0.

Teorema 1.6 (Gantmacher). ([DS], VI 4.8) Um operador T :X _−→Y ´e fracamente compacto se, e somente se, o operador adjunto T∗ _:_Y∗ _−→_X∗ _´_e

fracamente compacto.

1.2 Multiplicadores fracos

(25)

Defini¸cão 1.7. ([Ko2], 2.1) Um operador T :C(K)_−→ C(K) é um mul-tiplicador fraco se para toda seqüência limitada (en : n ∈ ω) de elementos dois a dois disjuntos de C(K), e toda seqüência (xn : n ∈ ω) ⊆ K tal que

en(xn) = 0, temos

lim

n→∞T(en)(xn) = 0.

Lema 1.8. ([Ko2], 2.3) Seja T :C(K)_−→ C(K) um multiplicador fraco. Então T é um isomorfismo sobre a imagem se, e somente se, T é sobrejetor em C(K).

Teorema 1.9. ([Ko2], 2.5) Suponha que todos os operadores em C(K)são multiplicadores fracos e que KrF é conexo, para todo F ⊆K finito. Então

C(K) ´e um espa¸co de Banach indecompon´ıvel.

Lembramos que Y ⊆X ´eC∗_{-imerso em} _X _{se, e somente se, toda fun¸c˜ao}

cont´ınua e limitada de Y em R se estende a uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada de X em R.

Lema 1.10. ([Ko2], 2.8) SejaK um espa¸co compactoK tal que, para todos

U1 e U2 abertos disjuntos, U1∩U2 = ∅ ou |U1 ∩U2| ≥ 2. Ent˜ao para todo

x∈K o espa¸co Kr_{x}´e C∗_{-imerso em} _K_.

Teorema 1.11. ([Ko2], 2.7)S˜ao equivalentes para um espa¸co compacto K:

a) Todo operador T :C(K)−→C(K)´e da forma gI+S, onde g ∈C(K) e

S ´e fracamente compacto.

b) Todos os operadores em C(K) s˜ao multiplicadores fracos e, para todo

x_∈K, o espa¸co Kr_{x_} ´e C∗_{-imerso em} _K_.

O lema seguinte ´e uma adapta¸c˜ao do Lema 2.5 de [Ko2].

Lema 1.12. SejaK compacto e conexo tal que todos os operadores emC(K)

são da formagI+S, onde g ∈C(K)e S é um operador fraco. EntãoC(K)

(26)

Demonstra¸c˜ao: Seja K como na hip´otese do lema e sejam X e Y subes-pa¸cos fechados deC(K) tais que C(K) =X⊕Y. Mostraremos que X ouY

tem dimens˜ao ﬁnita.

SejaP :C(K)_−→C(K) uma proje¸c˜ao tal que Im(P) =X e Ker(P) =

Y. Pela hip´otese existem g ∈C(K) e S operador fracamente compacto tais queP =gI+S. ComoP2 ₌_P _temos _P2_I₊_S2₊_gS₊_Sg ₌_gI ₊_S_{. Logo}

S′ _{= (}_g2₋_g₎_I_{´e fracamente compacto e, portanto, estritamente singular (vide}

[Pe2]). Se (g2₋_g₎₍_x₎₆_{= 0 para algum}_x_∈_K _{achamos uma vizinhan¸ca aberta}

V de x tal que _|(g2₋_g₎₍_y₎_|_{> ε}_{, para algum} _{ε >}_{0 e todo} _y _∈ _V_{. Seja} _Z _o

subespa¸co de C(K) formado pelas fun¸c˜oes que tˆem suporte em V. Como K

é conexo e, portanto, não tem pontos isolados,Z tem dimensão infinita. Mas

S′_|

Z é um isomorfismo sobre a imagem, pois (g2−g)−1 está bem definida e é cont´ınua em V, e determina uma inversa de S′_{. Isso contradiz que} _S′ _é

estritamente singular.

Logo (g2 ₋_g₎₍_x_{) = 0, para todo} _x _∈ _K_{. Portanto} _g₍_x₎ _{∈ {}₀_,₁_}_{, para}

todox_∈K. ComoK é conexo, g _≡0 oug _≡1. Logo P =S ouP =I+S, ou seja P ouI −P é fracamente compacto. No primeiro caso P|Im(P) é um

isomorfismo sobre a imagem (pois é a identidade), logoIm(P) tem dimensão finita. No segundo caso, (I ₋P)_|Ker(P) é a identidade, e, portanto, Ker(P)

tem dimens˜ao ﬁnita, como quer´ıamos.

1.3 Extens˜

oes por fun¸c˜

oes cont´ınuas

Usando a representa¸cão de Stone (veja Apêndice A) identificamos espa¸cos compactos 0-dimensionais (isto é, espa¸cos com base de abertos-fechados) com álgebras de Boole. Através dessa dualidade podemos adicionar supremos de fun¸cões caracter´ısticas de abertos-fechados dois a dois disjuntos adicionando o supremos na álgebra de abertos-fechados do espa¸co. Em [Ko2] encontramos uma forma de adicionar supremo em um compacto conexo, baseada no caso 0-dimensional e na representa¸cão de Stone. Iremos apresentar os resultados e defini¸cões da Se¸cão 4 de [Ko2], e também algumas varia¸cões de resultados de [Ko2] que usaremos no decorrer da tese.

Defini¸cão 1.13. Se K é um espa¸co compacto, e (fn)n∈ω é uma seqüência de fun¸cões cont´ınuas duas a duas disjuntas de K em [0,1], definimos

• D((fn)n∈ω) = {x∈ K : ∃U vizinhan¸ca de x tal que U ∩supp(fn) 6= ∅

(27)

• ∆((fn)n∈ω) =KrD((fn)n∈ω).

Lema 1.14. ([Ko2], 4.1) Seja K um espa¸co compacto, e seja (fn)n∈ω uma

seqüência de fun¸cões cont´ınuas duas a duas disjuntas de K em [0,1]. Então:

a) D((fn)n∈ω)´e um aberto denso em K;

b) Σn∈ωfn ´e cont´ınua em D((fn)n∈ω).

Defini¸cão 1.15. ([Ko2], 4.2)SejamK um espa¸co compacto,L⊆K×[0,1] e (fn)n∈ω uma seqüência de fun¸cões cont´ınuas duas a duas disjuntas deK em [0,1]. Dizemos que L é uma extensão de K por (fn)n∈ω, e denotaremos por

K((fn)n∈ω), se Lé o fecho do gráfico de Σn∈ωfn|D((fn)n∈ω). Dizemos que L

é uma extensão forte se, além disso, contém o gráfico de Σn∈ωfn.

O próximo lema é uma conseqüência imediata do Lema 1.14 e da defini¸cão de extensão.

Lema 1.16. Seja L uma extensão de K por (fn)n∈ω, uma seqüência duas a

duas disjunta de fun¸c˜oes cont´ınuas de K em [0,1]. Ent˜ao {x∈K :|πL,K−1 (x)|>1} ⊆∆((fn)n∈ω)

Dizemos que um subcojunto M de um espa¸co topológico K éraro se seu fecho tem interior vazio, isto é, se não existe um aberto V não-vazio tal que

V _⊆ M.

Lema 1.17. ([Ko2], 4.3) Sejam K um espa¸co compacto e (fn)n∈N uma

seqüência de fun¸cões duas a duas disjuntas de K em [0,1] e seja L =

K((fn)n∈ω). Considere π a proje¸c˜ao de L em K. Temos:

a) Se M _⊆K ´e raro em K ent˜ao π−1_[_M_] _´_{e raro em} _L_;

b) Existe sup_{fn◦π :n ∈ω} em C(L).

Lema 1.18. ([Ko2], 4.4)SejaKum compacto e seja(fn)n∈ω uma seq¨uˆencia

de fun¸cões cont´ınuas duas a duas disjuntas de K em [0,1]. Se K é conexo, então o gráfico de Σn∈ωfn é conexo. Em particular, uma extensão forte de

(28)

Lema 1.19. ([Ko2], 4.5) Suponha que K ´e compacto, de peso κ < 2ω_{, e}

sejam X1, X2 ⊆K subconjuntos disjuntos relativamente discretos em K tais

queX1∩X2 6=∅. Seja(fn)n∈ω uma seqüência duas a duas disjunta de fun¸cões

cont´ınuas de K em [0,1] e seja (Nξ : ξ < 2ω) uma fam´ılia de subconjuntos

infinitos de ω tal que Nξ∩Nξ′ ´e finito, para ξ 6=ξ′. Ent˜ao existe A⊆2ω de

cardinalidade menor ou igual a κtal que, para todoξ _∈2ω_r_A _{e todo}_b _⊆_N ξ

infinito temos:

a) K((fn)n∈b) ´e uma extens˜ao forte;

b) {(x,(Σn∈bfn)(x)) :x∈X1}∩{(x,(Σn∈bfn)(x)) :x∈X2} 6=∅, emK((fn)n∈b).

Para enunciar o próximo lema recordamos a defini¸cão de limite inverso de espa¸cos topológicos. Seja Πα<κXα um produto de espa¸cos topológicos, para

κ um ordinal limite. Sejam Yα subespa¸cos de Πβ<αXβ tais que πβ[Yα] =Yβ, para β < α. Deﬁnimos o limite inverso de (Yα)α<κ por

lim

← (Yα)α<κ ={(yα)α<κ ∈Πα<κXα :∀α < κ((yβ)β<α∈Yα)}.

Limite inverso preserva compacidade (vide [Eng], 2.5.1).

Lema 1.20. ([Ko2], 4.6) Seja β um ordinal e seja (Kα)α≤β tal que K2 =

[0,1]2_, _K

α ⊆ [0,1]α é compacto, Kα é o limite inverso de (Kγ)γ<α, se α é

limite, e Kα+1 é uma extensão forte de Kα por fun¸cões duas a duas disjuntas

de Kα em [0,1]. Ent˜ao

a) Se f, fn ∈C(Kα), para n∈ω, e α≤β s˜ao tais que

f =sup{fn:n ∈ω},

ent˜ao

f_◦πβ,α =sup{fn◦πβ,α :n ∈ω};

b) Kβ rF ´e conexo, se F ⊆Kβ ´e finito.

Os próximos três lemas são varia¸cões do Lema 1.19, que serão utilizados no Cap´ıtulo 2.

Lema 1.21. SejaK um espa¸co compacto de peso enumerável sem pontos iso-lados. Sejam(εn)n∈ωuma seqüência de reais positivos,(gn)n∈ω uma seqüência

de fun¸c˜oes cont´ınuas duas a duas disjuntas de K em [0,1], (µn)n∈ω uma

seqüência de medidas e (xn)n∈ω uma seqüência em K tal que gn(xn) = 1.

(29)

(a) Para todo n _∈ω, supp(fn)_⊆supp(gn), fn(xn) = 1 e R _|fn−gn|d|µn| <

εn;

(b) Se π ´e a proje¸c˜ao de K((fn)n∈ω) em K, para todo x∈KrD((fn)n∈ω)

temos que π−1_{_x_}₌_{_x_{} ×}_[0_,_1]_.

Demonstra¸cão: Como K é compacto e tem peso enumerável, K é me-trizável. Fixe d uma métrica em K. Para cada n _∈ ω fixamos uma fam´ılia de abertos _{Vi

n : i ∈ In}, para In finito, tal que cada Vni tem diâmetro me-nor ou igual a _n1 (isto é, sup{d(x, y) : x, y ∈ Vi

n} ≤ n1) e K =

S

i∈InV

i n. Consideremos

I′

n={i∈In :{j ∈ω:Vni∩supp(gj)6=∅}´e ﬁnito }.

Construiremos, por indu¸c˜ao emn, conjuntos ﬁnitos, dois a dois disjuntos,

Fn⊆ω e fun¸c˜oes{fk :k ∈Fn} deK em [0,1] satisfazendo: 1. Para todo k∈Fn, fk(xk) = 1;

2. Para todo k∈Fn, supp(fk)⊆supp(gk); 3. Para todo k_∈Fn, R

|fk−gk|d|µk|< εk; 4. Para todosm_≤n ei_∈I′

n existemk∈Fney∈Vni tais que fk(y) = m

n. No passo indutivo n, suponha deﬁnidos Fj e {fk : k ∈ Fj}, para todo

j < n. Deﬁniremos Fn e{fk:k ∈Fn}. Para cadai_∈I′

nem ≤nﬁxamoskni,m ∈ωr

S

j<nFj tal quesupp(gkn i,m)∩

Vi

n 6=∅. Podemos assumir que kni,m 6=kin′_,m′, se i6=i′ ou m6=m′. Seja Ukn

i,m = {x ∈ K : gki,mn (x) > 0} ∩V

i

n. Como K n˜ao tem pontos isolados, Ukn

i,m ´e inﬁnito. Logo existe yki,mn ∈ Ukni,m tal que yki,mn 6= xkni,m

e _|µkn

i,m|({ykni,m}) < εkni,m. Usando regularidade das medidas tome Vkni,m ⊆

Ukn

i,m r{xki,mn } vizinhan¸ca aberta deykni,m tal que |µkni,m|(Vkni,m)< εkni,m.

Deﬁna Fn = {kni,m : i ∈ In′, m ≤ n}. Para cada i ∈ In′ e m ≤ n, usando normalidade de K e o Lema de Urysohn, deﬁnimos fkn

i,m : K −→

[0,1] cont´ınua tal que fkn

i,m|KrVkn_i,m = gki,mn |KrVkn_i,m e fkni,m(ykni,m) =

m n. As propriedades 1 a 4 do passo indutivo est˜ao claramente satisfeitas para Fn e

{fk :k∈Fn}.

No final da constru¸cão indutiva temos definidosfnpara todon∈

S

j∈ωFj. Para n ∈ωrS

(30)

O item (a) segue imediatamente das hip´oteses 1 a 3 do passo indu-tivo. Mostraremos o item (b). Seja x ∈ K r D((fn)n∈b). Em

particu-lar x /_∈ D((gn)n∈b), uma vez que supp(fn) ⊆ supp(gn). Mostraremos que

π−_K1₍₍_f_n₎

n∈b),K(x) = {x} ×[0,1]. para isso ´e suﬁciente mostrarmos que, para

cada t _∈ [0,1] e n _∈ ω existem j _∈ ω e y _∈ K tais que d(x, y) < _n1 e

|fj(y)−t|< _n1.

Seja i _∈ In tal que x ∈ Vni. Como x /∈ D((gn)n∈b), temos que i ∈ In′, pois toda vizinhan¸ca de x intercepta inﬁnitos suportes de gn’s. Seja m _≤ n

tal que |t− m n| <

1

n. Pelo item 4 da hip´otese indutiva existem y ∈ V i n e

j _∈ω tais quefj(y) = m

n. Como diam(V i

n) = 1n temos qued(x, y)<

1

n, como quer´ıamos.

Lema 1.22. Seja K um espa¸co compacto de peso enumer´avel sem pontos isolados. Sejam _{Xn : n ∈ ω} e {Yn : n ∈ ω} fam´ılias de subconjuntos

enumer´aveis deK tais que Xn∩Yn=∅masXn∩Yn 6=∅. Seja{xn :n ∈ω}

uma seq¨uˆencia relativamente discreta em K e disjunta de S

m∈ωXm ∪Ym.

Existem fun¸c˜oes cont´ınuas fn :K −→[0,1] duas a duas disjuntas tais que

(a) Para todo n_∈ω, fn(xn) = 1;

(b) Para todo x ∈ K r D((fn)n∈ω), π−1{x} = {x} ×[0,1], onde π ´e a

proje¸c˜ao de K((fn)n∈b) em K;

(c) Para todon ∈ω,X′

n∩Yn′ 6=∅emK((fn)n∈b), ondeXn′ ={(x,Σn∈bfn(x)) :

x_∈Xn} e Yn′ ={(x,Σn∈bfn(x)) : x∈Yn}.

(d) A extens˜ao K((fn)n∈b) ´e forte.

Demonstra¸cão: Seja (gn)n∈ω uma seqüência de fun¸cões de suportes dois a dois disjuntos tais que gn(xn) = 1. Modificaremos gn’s de modo a obtermos itens b) ec).

Como K é compacto e tem peso enumerável, K é metrizável. Logo, existem seqüências _{qm

n :n ∈ ω} e {rmn : n ∈ω} de pontos distintos de Xm eYm, respectivamente, para cada m, e pontos qm

∈K tais que qm n

n

−→qm _e

rm n

n

−→qm_{, para todo} _m_.

Observe que, se qm _∈ _D₍₍_g_n)n

∈b), isto ´e, se existe uma vizinhan¸ca de

qm _{que intercepta apenas uma quantidade ﬁnita de suportes de} _g_{n’s, para}

n ∈ b, ent˜ao item c) ser´a satisfeito para X′

(31)

K((fn)n∈b) tal que supp(fn) ⊆ supp(gn), para todo n ∈ b, pois, nesse caso, Σn∈bfn ´e cont´ınua numa vizinhan¸ca de qm. Portanto podemos assumir que

qm _∈_/ _D₍₍_g_n)n

∈b), para todom ∈ ω. Em particular, gn(qm) = 0, para todos

n, m_∈ω. Comogn’s tˆem suportes dois a dois disjuntos,qm _/

∈supp(gn), para todos n, m.

Vamos construir (fn)n∈ω tal que fn(xn) = 1, supp(fn) ⊆ supp(gn) e

fn(qm

i ) = 0, para todo n ∈ ω, todo m ∈ ω e inﬁnitos i ∈ ω, bem como

fn(rm

i ) = 0, para todo n ∈ ω, todo m ∈ ω e inﬁnitos i ∈ ω. Ap´os mostrar-mos o item (b), para termos (qm_,₀₎ _∈ _K₍₍_f_n)n

∈ω), isso ser´a suﬁciente para

obtermos (c).

Procedendo por indu¸cão em n, construiremos conjuntos finitos Fn ⊆ ω, fun¸cões cont´ınuas _{fi : i ∈ Fn} de K em [0,1] e inteiros {kn,m : m ≤ n} e

{ln,m:m≤n} tais que 1. se j ≤n ent˜ao Fj ⊆Fn;

2. kn,m > kn′_,m′ e l_n,m > l_n′_,m′, para todos m, m′, n′ tais que m ≤ n e

m′ _≤_n′ _{< n}_;

3. hi ≤gi ehi(xi) = 1, para todo i∈Fn; 4. qm

kj,m, r

m

lj,m ∈/ supp(hi), para todos i∈Fn, m≤j ≤n;

5. qm kj,m, r

m

lj,m ∈/ supp(hi), para todos i∈ωrFn,m ≤j ≤n;

No passo inicial n = 0 deﬁnimos F0 = ∅ e k0,0 = l0,0 = 0. Suponha

deﬁnidos Fn, _{fi :i ∈ Fn}, {kn,m :m ≤ n} e {ln,m :m ≤ n} Construiremos

Fn+1, {fi :i∈Fn+1},{kn+1,m :m≤n+ 1} e{ln+1,m:m≤n+ 1}.

Comosupp(hi)_⊆supp(gi), para todo i_∈Fn, eqm _∈_/ _supp₍_g_{i), para todo}

i _∈ ω, para cada m _≤ n+ 1 podemos achar inteiros km e lm tais que, para todos m′ _≤ _j _≤ _n _{e todo} _i _∈ _F_{n, temos} _h_i(_qm

km) = hi(r

m

lm) = 0, km > kj,m′

e lm > lj,m′. Para cada m ≤ n+ 1 tome i_m ∈ ωrF_n tal que g_i

m(q

m km) 6= 0

e jm ∈ ωrFn tal que gjm(r

m

lm)6= 0, quando existir (se existir, ´e ´unico, pois

gi’s tˆem suportes disjuntos). Sen˜ao tomo im e jm quaisquer. Notemos que

m ₆=m′ _{n˜ao implica, necessariamente,} _i

m 6=im′.

TomamosFn+1 =Fn∪ {im :m≤n+ 1} ∪ {jm :m≤n+ 1},kn+1,m=km e ln+1,m = lm. Para cada m ≤ n+ 1 deﬁnimos him ≤ gim cont´ınua tal que

him(xim) = 1 e, para todo m

′ _≤ _n_{+ 1, existem vizinhan¸cas abertas} _U

m′ e

Vm′ de qm ′ km′ e r

m′

km′, respectivamente, tais que him|Um′ = him|Vm′ = 0. Para

(32)

A defini¸cão de hjm é análoga. As propriedades de 1 a 5 serão claramente

preservadas para o passo n+ 1.

No final da constru¸cão, definimos hi =gi, para todo i∈S_n_∈_ωFn.

Usando o Lema 1.21 constru´ımos fn’s, com supp(fn) _⊆ supp(hn), satis-fazendo item (b) e presevando item (a). Como supp(fn) _⊆ supp(hn), para todo n, itens 4 e 5 s˜ao preservados para fn no lugar de hn. Como, de (b) segue que (qm_,₀₎_∈ _K₍₍_f_n)n

∈ω, pois assumimos que qm ∈/ D((fn)n∈ω), por 1

a 5 conclu´ımos que (qm_,₀₎_∈_X′ m∩Y

′

m, concluindo (c).

O item d) segue do item b), pois Σn∈bfn ´e cont´ınua em D((fn)n∈b) e,

portanto, para x ∈ D((fn)n∈b) temos (x,Σn∈bfn(x)) ∈ K((fn)n∈b). Para

x /_∈D((fn)n∈b), pelo item b) conclu´ımos (x,Σn∈bfn(x))∈K((fn)n∈b).

Lema 1.23. Seja K um espa¸co compacto de peso enumer´avel sem pontos isolados. Dados

a) Uma seqüência (fn : n ∈ω) de fun¸cões cont´ınuas, duas a duas disjuntas

de K em [0,1];

b) Uma seq¨uˆencia (xn :n∈ω) em K;

c) Um ε >0;

d) Uma seq¨uˆencia limitada(µn :n ∈ω)de medidas emKtal que|

R

fndµn|>

ε, para todo n ∈ω.

existem δ > 0, a _⊆ ω infinito e fun¸c˜oes f′

n : K −→ [0,1], com supp(fn′) ⊆

supp(fn), tais que, para todo b⊆a

e) _|R

f′

ndµn|> δ e Σ{

R

f′

md|µn|:m 6=n, m∈a}< δ/3, para todo n∈a;

f) L=K((f′

n)n∈b)´e uma extens˜ao forte tal que, para todo x∈K, πL,K−1 [{x}]

´e unit´ario ou igual a _{x} ×[0,1];

g) ∆((f′

n)n∈b) é unitário ou é disjunto de{xn :n∈ω}.

Demonstra¸cão: Dados (An)n∈ω abertos dois a dois disjuntos deK, defina ∆((An)n∈ω) ={x∈K : toda vizinhan¸ca U de x intercepta infinitosAn’s}.

(33)

A próxima afirma¸cão é uma adapta¸cão para o caso não 0-dimensional de parte da demonstra¸cão do Lema 7 de [Ko3]. Notamos que, se An’s são abertos-fechados, ∆((An)n∈ω) = Sn∈ωAn−Sn∈ωAn, conforme o enunciado do Lema 7 de [Ko3].

Afirma¸c˜ao 1.23.1. Existem N1 ⊆ ω infinito, δ > 0 e abertos A′n, para

n _∈N1 tais que A′n⊆An, |µn(A′n)|> δ e

1. ∆((A′

n)n∈N1) ´e unit´ario, ou

2. xm ∈/ ∆((A′n)n∈N1), para todo m ∈N1.

Caso 1: Existe δ′ _>_{0 e} _x_∈_K _{tais que, para toda vizinhan¸ca aberta}_V _de

x e para todo m _∈ω existe k > m tal que _|µk|(Ak∩V)> δ′.

ComoKé metrizável, existe (Vn)n∈ωum sistema fundamental decrescente de vizinhan¸cas de x. Constru´ımos, por indu¸cão, N1 ⊆ ω infinito e inteiros

kn distintos tais que |µn|(An∩Vkn)> δ

′_{, para todo}_n _∈_N

1. Tomamos A′n =

An∩Vkn. Usando a defini¸cão de varia¸cão de medida podemos assumir que |µn(A′

n)|> δ′, para todo n∈N1, trocando δ′ por δ

′

2. Teremos ∆((A

′

n)n∈ω) =

{x_}, pois toda vizinhan¸ca de x cont´em todos, exceto ﬁnitos, A′

n’s, já que (Vkn)n∈N1 é um sistema fundamental de vizinhan¸cas dex. A afirma¸cão vale,

tomando δ=δ′_.

Caso 2: N˜ao ocorre caso 1.

Para cada n ∈ ω e δ′ _>_{0 existem} _m₍_{n, δ}′₎ _∈_ω _{e uma vizinhan¸ca aberta}

V(n, δ′_{) de} _x

n tais que

|µk|(Ak∩V(n, δ′))< δ′

para todo k > m(n, δ′_{). Pela regularidade de} _K _{podemos assumir que}

(_∗) _|µk|(Ak∩V(n, δ′))< δ′

para todo k > m(n, δ′_{). Para isso basta substituirmos} _V₍_{n, δ}′_{) por} _V′₍_{n, δ}′₎

tal que xn ∈V′(n, δ′)⊆V′(n, δ′)⊆V(n, δ′).

Escolhemos por indu¸cão uma seqüência estritamente crescente (kn)n∈ω de inteiros tais que kn> m(j, ε/2j+2), para todo j < n. Considere

A′kn =Aknr

[

(34)

Por (_∗) temos _|µkn|(Akn∩V(j, ε/2j+2))<

ε

2j+2, para j < n, e, portanto,

(_∗∗) _|µkn|(A

′

kn)> ε/2.

Tome N1 = {kn : n ∈ ω} e δ = ε/2. Como V(n, ε/2n+2) ´e disjunto de

A′

ki, para i > n, temos que xn ∈/ ∆((A

′

n)n∈N1), concluindo a demonstra¸c˜ao

da aﬁrma¸c˜ao.

Fixamos, para cada n ∈ N1, δn > δ tal que |µn(A′n)| > δn. Usando a regularidade das medidasµnachamosBn⊆An′ fechados tais que|µn(Bn)|>

δn e|µn|(Bn−A′n)< δn−δ. Como K ´e normal, usando o Teorema de Tietze achamos f′

n tais que fn′|Bn = 1 e f

′

n|K−A′

n = 0. Temos que |

R

f′

ndµn| > δ e

supp(f′

n) ⊆supp(fn). Note que ∆((fn′)n∈N1)⊆ ∆((A

′

n)n∈N1), de onde temos

item g).

Pelo Lema de Rosenthal, usando que R

f′

md|µn| < |µn|(Am), achamos

N2 ⊆ N1 de modo a satisfazer a segunda parte do item e). Para obtermos

item f), usamos o Lema 1.21 para modiﬁcamos f′

n’s de forma a obter f) preservando b). Lema 1.19 para obtermos uma subseq¨uˆencia de (fn)n∈N1 tal

que a extensão seja forte. Item g) será preservado, pois não aumentamos

supp(f′

n).

1.4 Axioma

_♦

Nesta se¸cão iremos apresentar a defini¸cão e alguns resultados básicos do axioma _♦(lê-se diamante).

Defini¸c˜ao 1.24. Dizemos que um subconjunto C deω1 ´efechado ilimitado

se é ilimitado e supB ∈ C, para todo B ⊆ C enumerável. Dizemos que um subconjunto S deω1 éestacionário se intercepta todo fechado ilimitado.

Lema 1.25. A interseçcão de uma fam´ılia enumerável de fechados ilimitados de ω1 é um conjunto fechado ilimitado. Em particular, se S é estacionário e

C é fechado ilimitado, então S_∩C é estacionário.

(35)

Axioma _♦ Existe uma seq¨uˆencia (Xα)α∈ω1 tal que Xα ⊆ α e, para todo

X ⊆ω1, o conjunto {α∈ω1 :X∩α=Xα}é estacionário. A seqüência (Xα)α∈ω1 é chamada ♦-seqüência.

O axioma _♦ ´e relativamente consistente com ZFC, valendo no modelo construt´ıvel. Para maiores referˆencias vide [Ku], [Je] e [Ve].

Como uma simples aplica¸c˜ao de _♦vejamos que este implica CH.

Lema 1.26. _{♦ →}CH.

Demonstra¸cão: Se X _⊆ ω, como conjuntos estacionários são ilimitados (pois {α < ω1 :α > β}é fechado ilimitado), temos que existe α > ω tal que

X =X∩α=Xα. Logo (Xα)α<ω1 cont´em todos os subconjuntos deω.

Lema 1.27. O axioma _♦ implica:

a) Se (Bα)α<ω1 é uma seqüência de conjuntos de tamanho ω1, existe uma seqüência _{xα : α < ω1} tal que xα ∈ Πβ<αBβ e, para todo x ∈ Πα<ω1Bα, o conjunto {α < ω1 :x|α=xα} é estacionário;

b) Existe uma seq¨uˆencia _{xn(α) : n ∈ ω, α < ω1} tal que xn(α)∈ [0,1]α e,

para toda seq¨uˆencia (xn)n∈ω de pontos de [0,1]ω1, o conjunto {α∈ω1 :

∀n _∈ω(xn|α=xn(α))}´e estacion´ario;

c) Existe uma seq¨uˆencia (xα)α<ω1, com xα ∈ [0,1]

α×α_{, tal que, para todo}

x_∈[0,1]ω1×ω1_{, o conjunto} _{_{α < ω}

1 :x|α×α=xα}´e estacion´ario.

d) Existe uma seq¨uˆencia _{Aα : α < ω1} de subconjuntos de ω1 tal que, se

(zβ)β∈ω1 é uma seqüência de pontos de [0,1]

ω1_{, o conjunto} _{_α _∈ _ω 1 :

{zβ|α:β < α}=Aα} ´e estacion´ario.

Demonstra¸cão: Para demonstrar a) tome (Xα)α<ω1 uma ♦-seqüência.

Seja _{ξα : α < ω1} uma seqüência crescente em ω1 definida da seguinte

forma: ξα+1 =ξα+ω eξα =sup{ξα′ :α′ < α} para α limite.

Para cada α < ω1 seja φα : P([ξα, ξα+1)) → Bα uma fun¸c˜ao bijetora (existe, pois _{♦ →} CH). Deﬁnimos xα ∈Πβ<αBβ dado por

xα(β) =φβ(Xξα ∩[ξβ, ξβ+1]),

(36)

Mostraremos que a seq¨uˆencia (xα)α<ω1 satisfaz a). Seja x ∈ Πα<ω1Bα.

Seja X = ∪{φ−1

α (x(α)) : α < ω1}. Temos x|α = xα se, e somente se,

X_∩ξα =Xξα.

Pelo Lema 1.25 temos que _{α < ω1 :X∩ξα =Xξα}={β < ω1 :X∩β =

Xβ} ∩ {ξα :α < ω1}´e estacion´ario. Mas

{α < ω1 :X∩ξα=Xξα}={α < ω1 :x|α=xα},

concluindo o itema).

Para o item b) tomamos Bα = [0,1]ω e usamos o item a).

Para mostrarmosc), usamos o itema) paraBα = [0,1]{α}×(α+1)∪[0,1](α+1)×{α}. Há uma identifica¸cão natural de Πβ<αBβ com [0,1]α×α, associando cada

f _∈ Πβ<αBβ com x =

S

β<αf(β) ∈ [0,1]α×α. Assim, basta tomarmos uma seqüência xα ∈ [0,1]α×α como em a). Se identificarmos f ∈ Πα<ω1Bα com

x_∈[0,1]ω1×ω1_{, temos que} _f_|_α_{corresponde a} _x_|

α×α, concluindo c).

Mostraremos d). Fixe (xα)α<ω1 como no item c). Para cada β < α < ω1

deﬁnimos xβ,α ∈ [0,1]α por xβ,α(γ) = xα(β, γ), para γ < α. Seja Aα =

{xβ,α : β < α}. Para uma seq¨uˆencia (zβ)β<ω1 em [0,1]

ω1 _{associamos um}

x_∈[0,1]ω1×ω1 _{dado por} _x₍_{β, γ}_{) =}_z

β(γ). Logo

{α < ω1 :{zβ|α:β < α}=Aα} ⊇ {α < ω1 :x|α×α=xα},

que é estacionário, pelo item c). Da defini¸cão de conjuntos estacionários segue imediatamente que superconjuntos de conjuntos estacionários são es-tacionários. Portanto conclu´ımos item d).

Lema 1.28. Seja Y ⊆ [0,1]ω1 _{e seja} ₍_x_α)α<ω

1 uma seqüência densa em Y. Então _{α < ω1 : (xβ|α)β<α é denso em πα[Y]} é fechado ilimitado em ω1.

Demonstra¸cão: Para mostrarmos o lema basta mostrarmos a seguinte afirma¸cão:

Afirma¸cão 1.28.1. Seja (γn)n∈ω e (αn)n∈ω seqüências crescentes de

ordi-nais que tˆem supremos γ e α, respectivamente, tais que, para cada n ∈ ω,

(xβ|αn)β<γn é denso em παn[Y]. Então (xβ|α)β<γ é denso em πα[Y].

Para mostrarmos a aﬁrma¸c˜ao, suponha que existaU um aberto elementar de [0,1]α _{tal que} _U _∩_π_α[_Y_]₆₌_∅ _e _x

(37)

´e um aberto de [0,1]αn _{que intercepta} _π

αn[Y] e ´e disjunto de (xβ|αn)β<γn,

contradizendo a hipótese e provando a afirma¸cão.

Da afirma¸cão conclu´ımos que {α < ω1 : (xβ|α)β<α é denso em πα[Y]} é fechado, tomando o caso particular αn = γn. Para mostrar que é ilimitado, tome α0 ∈ ω1. Pela continuidade de π temos que (xβ|α0)β<ω1 é denso em

πα0[Y]. Como πα0[Y] tem peso enumer´avel, para cada vizinhan¸ca aberta de

uma base enumer´avel de πα0[Y] tomamos algum xβ|α0 pertencente a ela.

Assim obtemos α1, que podemos supor maior que α0, tal que (xβ|α0)β<α1

é denso em πα0[Y]. Por indu¸cão, constru´ımos uma seqüência crescente αn

tal que (xβ|αn)β<αn+1 ´e denso em παn[Y]. Da observa¸c˜ao anterior, tomando

(38)

(39)

Cap´ıtulo 2

Quocientes de espa¸cos

indecompon´ıveis da forma

C

(

K

)

Respondendo a uma pergunta apresentada no final de [Ko2], neste cap´ıtulo constru´ımos, assumindo _♦, um espa¸co topológico K compacto e conexo tal que para todo fechado L⊆K o espa¸co C(L) tem poucos operadores. Como subespa¸cos topológicos de K induzem quocientes de C(K), conclu´ımos que tal espa¸co tem pelo menos cont´ınuo quocientes da forma C(L) indecom-pon´ıveis.

Sabemos queC(βN) =l∞n˜ao cont´em poucos operadores, pois, por

exem-plo, l∞ =l∞⊕R, e em Ko2], mostra-se que espa¸cos de Banach com poucos

operadores não são isomorfos aos hiperplanos. Portanto o compacto K cons-tru´ıdo na Se¸cão 2.1 não contém um subespa¸co homeomorfo a βN. Também

K não contém uma seqüência convergente não trivial, pois senão ter´ıamosc0

complementado em C(K). Portanto K responde positivamente ao problema de Efimov, sobre a existência de um compacto que não contém seqüências convergentes não-trivias nem βNcomo subespa¸co. O problema de Efimov já foi resolvido positivamente em 1975 por Fedorchuk (vide [Fed]), assumindo CH. O problema de Efimov ainda permanece em aberto em ZFC.

Podemos perguntar se todo compactoK tal que C(K) é indecompon´ıvel responde afirmativamente ao problema de Efimov. Mostramos que não. As-sumindo CH, na Se¸cão 2.2 constru´ımos um espa¸co C(K) indecompon´ıvel tal que K contém βN homeomorficamente. Em particular, C(K) contém l∞

como quociente. Não sabemos se o espa¸co C(K) constru´ıdo na Se¸cão 2.1 contém l∞ como quociente. Talagrand mostrou ([Ta]) que C(K) contém l∞

(40)

2.1 Um espa¸co

C

(K)

com muitos quocientes

indecompon´ıveis

O Teorema seguinte é uma versão do Teorema 5.1 de [Ko2]. A diferen¸ca fundamental da versão aqui utilizada é que o itemg) é obtido para qualquer seqüência (xn)n∈ω emK, enquanto na versão de [Ko2] tal seqüência deve ser tomada em um denso enumerável previamente fixado. Com isso conseguimos transferir a propriedade deC(K) ter poucos operadores para todo subespa¸co fechado deK, mas precisamos do axioma♦, para enumerar as seqüências de

K de uma maneira conveniente (veja Se¸cão 1.4 sobre o axioma _♦). Para ob-termos itemg) para seqüências quaisquer, foi necessário modificar as fun¸cões

fn’s para adicionar supremos, utilizando o Lema 1.23.

Teorema 2.1. Assuma _♦. Existe um espa¸co compacto e conexo K tal que:

i) dados

a) Uma seqüência (fn : n ∈ ω) de fun¸cões cont´ınuas, duas a duas

disjuntas, de K em [0,1];

b) Uma seq¨uˆencia (xn : n ∈ ω) relativamente discreta de pontos

dis-tintos de K tal que fm(xn) = 0, para todos n, m∈ω;

c) Um ε >0;

d) Uma seq¨uˆencia limitada (µn : n ∈ ω) de medidas em K tal que

|R

fndµn|> ε, para todo n∈ω.

existem δ > 0, b _⊆ a _⊆ ω infinitos e fun¸c˜oes f′

n, com supp(fn′) ⊆

supp(fn) tais que

e) _|R

f′

ndµn| > δ e Σ{

R

f′

md|µn| : m 6= n, m ∈ a} < δ/3, para todo

n ∈a;

f) (f′

n)n∈b tem supremo em C(K);

g) _{xn :n∈b} ∩ {xn :n ∈arb} 6=∅.

ii) Se L ´e um subespa¸co fechado de K e V1 e V2 s˜ao abertos disjuntos de L

(41)

Demonstra¸cão: Para cadaα_≤ω1 considereBα a base de abertos elemen-tares de extremos racionais do espa¸co [0,1]α_{. Podemos identificar as medidas} de Radon de [0,1]α _{com fun¸cões de} _B

α em R (Lema 1.1).

Sejam P ar, Impar os conjuntos dos ordinais pares e ´ımpares, respectiva-mente, de ω1, lembrando que α ´e um ordinal par se ´e da formaβ +n, para

β ordinal limite e n par, e ´ımpar caso contr´ario.

Se X _⊆ ω1 é não-enumerável, existe um isomorfismo de ordem entre X

e ω1, ordenando X com a restri¸c˜ao da ordem de ω1. Seja σ : X −→ ω1

esse isomorﬁsmo. Diremos que um conjunto C ⊆ X ´efechado ilimitado em

X se _{σ(α) : α _∈ X_} ´e fechado ilimitado em ω1. Diremos que S ⊆ X ´e

estacionário em X se intercepta todo fechado ilimitado em X. Da mesma forma será quando aplicarmos o axioma ♦ em X, isto é, identificaremos X

com ω1. Usaremos essa terminologia para P ar e Impar.

Usando _♦ e os Lemas 1.27 e 1.25 ﬁxamos enumera¸c˜oes _{fn(α) : n _∈ ω_},

ε(α),_{µn(α) :n_∈ω_}, _{xn(α) :n_∈ω_}, para α_∈P ar, tais que

A.1. _{fn(α) :n_∈ω_}s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas de [0,1]ω1 _{em [0}_,_1];

A.2. ε(α)>0;

A.3. (µn(α))n∈ω é uma seqüência limitada de fun¸cões de Bα em R;

A.4. (xn(α))n∈ω é uma seqüência de pontos de [0,1]α; e, dadosβ < ω1 e

B.1. uma seqüência_{fn :n ∈ω}de fun¸cões cont´ınuas de [0,1]ω1 em [0,1];

B.2. um ε >0;

B.3. uma seqüência {µn : n ∈ ω} limitada de fun¸cões de Bω1 em R que

representam medidas de Radon;

B.4. uma seq¨uˆencia (xn)n∈ω relativamente discreta em [0,1]ω1; existe α > β, com α∈P ar, tal que

C.1. fn(α) = fn, para todon;

(42)

C.3. µn(α) =µn|Bα, para todo n;

C.4. xn(α) =xn|α, para todon.

Usando_♦para os ordinais ´ımpares, fixamos seqüências (Uα, Vα, Aα, Bα)α∈Impar,

onde

D.1. Uα e Vα são uniões enumeráveis de abertos elementares de [0,1]ω1 tais queUα∩Vα =∅e Uα∩Vα 6=∅;

D.2. Aα e Bα s˜ao subconjuntos enumer´aveis de [0,1]α; e, dados

E.1. U eV uni˜oes enumer´aveis de abertos elementares de [0,1]ω1 _{tais que}

U_∩V =_∅ e U_∩V ₆=_∅;

E.2. (xβ)β<ω₁ e (yβ)β<ω₁ seq¨uˆencias em [0,1]ω1_;

o conjunto

{α_∈Impar :Uα =U, Vα =V, {xβ|α:β∈Impar∩α}=Aα,

{yβ|α:β ∈Impar∩α}=Bα} ´e estacion´ario em Impar.

Seja α _∈ Impar. Se πα[Uα]_∩Aα ∩πα[Vα]∩Bα 6= ∅ ﬁxamos (xn(α))α∈ω tal que xn(α)n_→∈ω z, para algum z _∈πα[Uα]_∩Aα∩πα[Vα]∩Bα e

{xn(α) :n _∈2ω_{} ⊆}Aα;

{xn(α) :n∈ωr2ω} ⊆Bα.

Se πα[Uα]∩Aα∩πα[Vα]∩Bα = ∅ tomamos (xn(α))n∈ω qualquer seq¨uˆencia em Aα∪Bα.

Dizemos que uma seqüência de fechados (Fn)n∈ω converge a um pontox se para toda vizinhan¸ca U de x temos Fn ⊆ U, para todos, exceto finitos,

n∈ω.

Construiremos por indu¸c˜ao espa¸cos compactos (Kα)α<ω1, com Kα ⊆

[0,1]α_{, seq¨}_uˆencias _P

α = {(Lα₍_β,i₎, Rα₍_β,i₎, z₍α_β,i₎) : (β, i) ∈ α × {0,1}}, com

Lα

(β,i), Rα(β,i)⊆ω disjuntos ez(αβ,i)∈ Kα, e fechados Fnβ(α)⊆Kα, paraβ ≤α. Uma vez deﬁnidoKα, para cadaβ _≤αdeﬁnimosFβ

n(α) =π

−1

Kα,Kβ[{xn(β)}].

(43)

F.1. para todo (β, i) _∈ γ _{× {}0,1_}, limn∈Lγ₍_β,i₎Fnβ(γ) = limn∈R₍γ_β,i₎Fnβ(γ) =

z₍γ_β,i₎.

F.2. para todos β < γ′ _{< γ} _e _i_{∈ {}₀_,₁_}_, _π

γ′[Kγ] =K_γ′ ezγ

(β,i)|γ′ =z

γ′

(β,i).

F.3. para todos β < γ′ _{< γ} _e _i _{∈ {}₀_,₁_}_, _Lγ

(β,i) rL

γ′

(β,i) e R

γ

(β,i) rR

γ′

(β,i) s˜ao

ﬁnitos.

Deﬁnidos (Kγ)γ<α e (Pγ)γ<α para α um ordinal limite, deﬁnimos

G.1. Kα ´e o limite inverso de (Kγ)γ<α;

G.2. Para todos β < α e i∈ {0,1}, zα

(β,i) =

S

β<γ<αz γ β;

G.3. Lα

(β,i) é uma pseudointerseçcão infinita de (L

γ

(β,i))β<γ<α, isto ´e,L

α

(β,i)r

Lγ₍_β,i₎ é finito, para todo γ < α (a existência dessa pseudointerseçcão está mostrada em [Do], Teorema 3.1.);

G.4. Rα

(β,i) é uma pseudointerseçcão infinita de (R

γ

(β,i))β<γ<α.

Trabalhemos no caso sucessor. Suponha deﬁnidos (Kγ)γ≤α e (Pγ)γ≤α e deﬁniremos Kα+1 e Pα+1.

Diremos que um passo α∈P ar ´en˜ao-trivial se:

H.1. (xn(α))n∈ω é uma seqüência relativamente discreta de pontos distintos de Kα;

H.2. existem fun¸c˜oes cont´ınuasgn : [0,1]α −→[0,1] tais quefn(α) =gn◦πα;

H.3. (gn|Kα :n ∈ω) ´e duas a duas disjunta;

H.4. xn(α)∈/ supp(gm), para todos n, m∈ω egm como no item H.2;

H.5. _|R

Kαgndµn(α)|> ε(α), para todo n∈ω.

Diremos que um passo α_∈Impar ´en˜ao-trivial se:

I.1. Aα, Bα ⊆Kα;

I.2. Uα =πα−1[πα[Uα]] e Vα =πα−1[πα[Vα]];

(44)

Se o passoα´e trivial, tomamosKα+1 =Kα× {0},Lα₍_β,i+1₎ =Lα₍β,i),R

α+1 (β,i) =

Rα

(β,i), z

α+1

(β,i)=z(α⌢β,i)0, L

α+1 (α,i)=R

α+1

(α,i) =∅e z

α+1

(α,i) qualquer.

Suponhamos que estamos no caso n˜ao-trivial. Separaremos os casos α_∈ P ar eα ∈Impar. Consideremos, primeiro, o caso α∈P ar.

Considere as fun¸c˜oes gn : [0,1]α −→ [0,1] tais que fn(α) = gn ◦ πα. Considere hn=gn|Kα.

ComoKαé compacto e métrico, toda seqüência possui uma subseqüência convergente. Tomez _∈Kα e N′ ⊆ω tais que

lim

n∈N′xn(α) =z.

Como xn(α) s˜ao pontos distintos, tirando, eventualmente, um elemento de

N′_{, podemos assumir que} _x_n(_α₎ ₆₌ _z_{, para todo} _n _∈ _N′_{, e, portanto, para}

todoα′ _≥_α _temos

(∗) πK−1_α′,Kα({z})∩F

α

n(α′) =∅. Pelos Lema 1.23 existem a ⊆ N′ _inﬁnito, _h′

n : Kα −→ [0,1] cont´ınuas, para n∈a, e δ >0 tais que

J.1. supp(h′

n)⊆supp(hn), para todo n ∈a;

J.2. Para todo b _⊆a, a extens˜ao de Kα por (h′n)n∈b ´e forte;

J.3. Para todo n _∈ a, _|R

h′

ndµn(α)| > δ e Σ{

R

h′

nd|µn(α)| : m 6= n, m ∈

a}< δ

3;

J.4. ∆((h′

n)n∈a) ´e unit´ario ou disjunto de {zα(β,i) : (β, i) ∈ α × {0,1}} ∪

{xn(α) :n∈ω}.

Observe que, pelo Lema 1.16, se L é uma extensão de Kα por (h′n)n∈b, para algum b ⊆ a, então |πL,K−1 (x)| = 1, para todo x /∈ ∆((h′n)n∈a). Iremos

prosseguir a constru¸c˜ao separando em dois casos:

Caso 1 ∆((h′

n)n∈a) ´e disjunto de{z(αβ,i) : (β, i)∈α× {0,1}} ∪ {xn(α) :n∈

ω}.

Neste caso tomamos qualquerb _⊆ainﬁnito e co-inﬁnito ema, e tomamos

Kα+1 a extens˜ao de Kα por (h′n)n∈b,Lα₍_α,i+1₎ =b, Rα₍_α,i+1₎ =arb, zα₍_α,i+1₎=z, para

(β, i) _∈ α_{× {}0,1_}, Lα+1 (β,i) =L

α

(β,i), R

α+1 (β,i) = R

α

(β,i) e z

α+1

(β,i) o ´unico elemento de

π−1₍_{_zα

(45)

Observe que, como Fβ

n(α) converge paraz(αβ,i), para n∈ L

α

(β,i)∪R

α

(β,i), e,

numa vizinhan¸ca de zα

(β,i), Kα+1 é o gráfico de uma fun¸cão cont´ınua, temos

que Fβ

n(α+ 1) converge para z α+1

(β,i), em Kα+1, paran ∈L

α+1 (β,i)∪R

α+1 (β,i).

Caso 2 ∆((h′

n)n∈a) ´e unit´ario.

Sejayesse único ponto que é bifurcado numa extensão deKαpor (h′n)n∈a.

Isso signiﬁca que supp(h′

n) n∈a

−→ y, pois, se isso n˜ao ocorresse, ter´ıamos uma vizinhan¸ca V de y e um c _⊆ a inﬁnito tais que para todo n _∈ a existiria

yn ∈ supp(h′n)rV. Tomando y′ um ponto de acumula¸c˜ao de {yn : n ∈ c} ter´ıamos y′ _∈_∆((_h′

n)n∈a) e y′ 6=y, contradizendo que ∆((h′n)n∈a) ´e unit´ario.

Fixamos i _{∈ {}0,1_}. Sejam (βn)n∈ω os ordinais tais que z₍αβn,i) = y. Nos

outros ordinais procedemos como no caso 1 na constru¸c˜ao de Lα₍_β,i+1₎, Rα₍_β,i+1₎ e

zα+1 (β,i).

Sejam b_⊆a,Lα+1 (β,i)⊆L

α

(β,i) e R

α+1 (β,i) ⊆R

α

(β,i) inﬁnitos tais que

(_∗∗) Fβm

n (α)∩supp(h

′

k) =∅, ∀β ≤α, m∈ω, k∈ b, n∈L α+1 (β,i)∪R

α+1 (β,i).

Para β = α, a existˆencia de tais conjuntos segue da hip´otese, xn(α) _∈/ supp(h′

m). Para β < α usamos a seguinte aﬁrma¸c˜ao.

Afirma¸c˜ao 2.1.1. SejamFn,m fechados tais que, para cadam ∈ω, Fn,m n

−→

y e sejamGn fechados tais queGn −→y, comy /∈Gn ey /∈Fn,m, para todos

n, m. Ent˜ao existem subconjuntos infinitos b _⊆ ω e cm ⊆ ω, para m ∈ ω,

tais que

Fn,m∩Gk =∅,∀n ∈cm, m∈ω, k∈ b.

Para demonstrar a aﬁrma¸c˜ao, construiremos (Un)n∈ω e (Vn)n∈ω,

vizi-nhan¸cas abertas de y, tais que Un+1 ⊆ Vn ⊆ Un, juntamente com inteiros crescentes (kn)n∈ω e (ln)n∈ω.

TomamosU0 qualquer. DeﬁnidosUn, (kj)j<ne (lj)j<n, tomamoskn> kj, para todo j < n, tal que Fkn,m ⊆Un, para todom ≤ n. Seja Vn ⊆Un uma

vizinhan¸ca de y disjunta de Fkj,m, para todos j ≤ n e m ≤j. Tome ln > lj,

para todoj < n, tal queGln ⊆Vn. SejaUn+1 vizinhan¸ca aberta deydisjunta

de Gln.

Deﬁna b = {ln :n ∈ω} e cm ={kn : n ≥m}. Sejam m, j ∈ ω e n ≥ m. Temos Fkn,m ⊆UnrVn e Glj ⊆Vj rUj+1. Se n ≤j temosFkn,m∩Vn=∅e

Glj ⊆Vj ⊆Vn. Se n > j temos Fkn,m ⊆Un ⊆Uj e Glj∩Uj =∅. Em ambos