3.7 Exemplos Num´ericos
3.7.3 Viga em Balanc¸o
Neste exemplo, uma viga em balanc¸o ser´a modelada utilizando os elementos imple- mentados e submetida a cargas em sua extremidade livre. Assim como no exemplo anterior, re- sultados de verificac¸˜ao foram extra´ıdos do trabalho de Sze et al (2004),74sendo mais um exem- plo cl´assico de verificac¸˜ao tanto de elementos de p´ortico quanto de casca com n˜ao-linearidade geom´etrica. Dois casos de carregamento ser˜ao tratados, sendo o primeiro a aplicac¸˜ao de uma forc¸a cortante distribu´ıda na extremidade livre da viga e o segundo a aplicac¸˜ao de um momento fletor concentrado no n´o central da extremidade livre.
No primeiro exemplo, a viga possui comprimento L= 10m e sec¸˜ao transversal com base b= 1m e altura h = 0.1m. O material possui m´odulo de elasticidade E = 1.2 · 106 Pa e coeficiente de Poissonν = 0. Uma malha de 16 elementos foi utilizada na modelagem, com apenas um elemento ao longo da base da viga. A Figura 26 mostra a geometria da viga e sua deformada final.
Figura 26 – Viga com forc¸a cortante na extremidade.
FONTE: Sze et al (2004)74.
Uma carga distribu´ıda q= 1 N/m foi aplicada na extremidade da viga, equivalente a uma carga total P0= 1N, j´a que b = 1m. A carga foi ent˜ao incrementada utilizando Controle de Carga com∆λ = 0.2 em 20 passos, totalizando uma carga final de P = 4N. Os resultados foram extra´ıdos para o n´o central da extremidade livre, tanto em termos do deslocamento fora do plano w como do deslocamento u, cujo sinal foi invertido para facilitar a visualizac¸˜ao dos resultados. Como a carga foi controlada, uma comparac¸˜ao do erro ponto a ponto foi poss´ıvel, sendo mostrada nas Tabelas 3 e 4. J´a as formas das curvas carga-deslocamento s˜ao mostradas na Figura 27.
Observando os resultados, nota-se uma grande discrepˆancia entre os resultados ob- tidos com o elemento de casca implementado e aqueles encontrados na literatura. Os desloca- mentos w possuem concordˆancia razo´avel para cargas baixas, passando a apresentar erros de at´e 99% com altos valores de carga e comportamento basicamente linear. J´a os deslocamentos u, apesar de apresentarem comportamento n˜ao-linear, apresentam erros ainda maiores, chegando a at´e 224% para valores altos de carga.
Tabela 3 – Comparac¸˜ao dos deslocamentos w na viga com forc¸a cortante.
λ FAST Sze et al Erro (%) λ FAST Sze et al Erro (%)
0.2 0.667 0.663 0.56 2.2 7.334 5.202 40.98 0.4 1.333 1.309 1.86 2.4 8.000 5.444 46.96 0.6 2.000 1.922 4.06 2.6 8.667 5.660 53.13 0.8 2.667 2.493 6.97 2.8 9.334 5.855 59.42 1.0 3.334 3.015 10.56 3.0 10.00 6.031 65.82 1.2 4.000 3.488 14.69 3.2 10.67 6.190 72.33 1.4 4.667 3.912 19.30 3.4 11.33 6.335 78.91 1.6 5.334 4.292 24.27 3.6 12.00 6.467 85.57 1.8 6.000 4.631 29.57 3.8 12.67 6.588 92.28 2.0 6.667 4.933 35.15 4.0 13.33 6.698 99.08
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 27 – Curvas para a viga com forc¸a cortante.
0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 Deslocamento F ator de Car g a (λ ) wSze uSze wFAST uFAST
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tais discrepˆancias ilustram os limites de aplicac¸˜ao de um elemento n˜ao-linear ba- seado na hip´otese de rotac¸˜oes moderadas, como exige a teoria de von K´arm´an. Neste exemplo, as rotac¸˜oes j´a se apresentam elevadas desde o in´ıcio do caminho de equil´ıbrio. Portanto, o presente elemento n˜ao ´e capaz de representar bem seu comportamento. ´E importante, por- tanto, ter em mente que o elemento baseado na teoria de Marguerre ´e muito eficiente e de f´acil implementac¸˜ao, mas sua aplicabilidade ´e limitada a estruturas com deslocamentos moderada- mente grandes.
Tabela 4 – Comparac¸˜ao dos deslocamentos u na viga com forc¸a cortante.
λ FAST Sze et al Erro (%) λ FAST Sze et al Erro (%)
0.2 0.027 0.026 2.57 2.2 3.227 1.807 78.58 0.4 0.107 0.103 3.57 2.4 3.840 2.002 91.83 0.6 0.240 0.224 7.15 2.6 4.507 2.190 105.80 0.8 0.427 0.381 12.00 2.8 5.227 2.37 120.56 1.0 0.667 0.563 18.43 3.0 6.001 2.541 136.15 1.2 0.960 0.763 25.83 3.2 6.827 2.705 152.40 1.4 1.307 0.971 34.58 3.4 7.707 2.861 169.40 1.6 1.707 1.184 44.16 3.6 8.641 3.010 187.07 1.8 2.160 1.396 54.74 3.8 9.628 3.151 205.54 2.0 2.667 1.604 66.27 4.0 10.67 3.286 224.64
Fonte: Elaborada pelo autor.
comprimento L= 12m. A mesma malha de 16 elementos (16x1) foi utilizada e um momento concentrado de referˆencia M0= 8.333 Nm foi aplicado no n´o central da extremidade livre da viga. Observando a configurac¸˜ao da curva no trabalho de Sze et al (2004),74 vˆe-se que n˜ao h´a pontos limites de carga, sendo poss´ıvel trac¸ar a curva utilizando o Controle de Carga com 20 passos de carga de ∆λ = 2.618. A configurac¸˜ao deformada do modelo para v´arios n´ıveis de carga ´e mostrada na Figura 28.
Figura 28 – Viga com momento fletor na extremidade.
FONTE: Sze et al (2004)74.
Assim como no caso anterior, o elemento implementado n˜ao ´e capaz de representar corretamente o comportamento n˜ao-linear da estrutura, concordando apenas nos trechos iniciais
dos caminhos de equil´ıbrio (Figura 29). Neste caso, como as curvaturas s˜ao ainda maiores, os erros tamb´em s˜ao mais significativos. Por esse motivo, uma comparac¸˜ao ponto a ponto ´e dispens´avel.
Levando em considerac¸˜ao todos os exemplos analisados, os resultados sugerem que o elemento finito de casca abatida foi corretamente formulado e implementado, fornecendo re- sultados com boa concordˆancia em relac¸˜ao a resultados da literatura quando utilizado dentro das limitac¸˜oes de seu campo de deformac¸˜oes. Quanto `a geometria inicial, notou-se que o elemento fornece bons resultados tanto para placas inicialmente perfeitas quanto para cascas abatidas.
Figura 29 – Curvas para a viga com momento fletor.
0 20 40 60 80 0 20 40 Deslocamento F ator de Car g a (λ ) wSze uSze wFAST uFAST
4 AN ´ALISE N ˜AO-LINEAR F´ISICA
Na presente sec¸˜ao, ser˜ao tratados aspectos relacionados ao comportamento de um laminado fora de seu regime el´astico. No projeto de estruturas laminadas, torna-se importante a modelagem do comportamento do material tanto no regime el´astico, como apresentado no Cap´ıtulo 2, quanto ap´os os primeiros ind´ıcios de falha, culminando com a determinac¸˜ao de sua capacidade de carga final.
Experimentalmente, nota-se que a falha de uma lˆamina n˜ao implica que o laminado como um todo n˜ao ser´a mais capaz de suportar carga. Na realidade, quando uma lˆamina falha, as tens˜oes que ela suportava s˜ao redistribu´ıdas para as lˆaminas remanescentes, provocando uma perda de rigidez no laminado como um todo, mas n˜ao significando que ele falhou por completo. Deste modo, torna-se importante avaliar tanto o n´ıvel de tens˜oes e o modo pelo qual a falha de uma lˆamina isolada se d´a, mas tamb´em a forma pela qual as tens˜oes s˜ao redistribu´ıdas, caracterizando um processo de falha progressiva.
Na an´alise da falha de uma lˆamina isolada, v´arios crit´erios de falha podem ser utilizados, cada um fornecendo diferentes envolt´orias de falha para o mesmo material. Tais envolt´orias geralmente consistem no ajuste de curvas a s´eries de pontos obtidas experimental- mente e fornecem resultados com precis˜ao variada, dependendo do tipo de laminado e da carga aplicada. Al´em disso, alguns crit´erios s˜ao capazes de prever o modo pelo qual se dar´a a fa- lha, auxiliando em um posterior procedimento de degradac¸˜ao. V´arios trabalhos abordam os diferentes crit´erios de falha utilizados em comp´ositos laminados e discutem suas vantagens e desvantagens.31,75–78
J´a na an´alise com falha progressiva, o objetivo ´e promover o descarregamento das lˆaminas que falharam. Para tal, tanto m´etodos de degradac¸˜ao instantˆanea, sem uma base f´ısica consistente, como m´etodos baseados na Mecˆanica do Dano, podem ser usados.26,27 Muito em- bora m´etodos baseados na Mecˆanica do Dano, com uma base f´ısica mais s´olida, sejam os mais indicados para melhor avaliar a progress˜ao da falha, eles exigem o conhecimento de um grande n´umero de parˆametros experimentais de dif´ıcil obtenc¸˜ao. Tais parˆametros geralmente n˜ao s˜ao fornecidos por fabricantes e exigem ensaios de alto custo para sua determinac¸˜ao.27 Assim, na presente dissertac¸˜ao, apenas m´etodos de degradac¸˜ao instantˆanea s˜ao utilizados, assim como em diversos outros trabalhos relevantes,19,28,76,79–84e sua viabilidade na reproduc¸˜ao de resultados experimentais ser´a avaliada.
Inicialmente, os fatores de resistˆencia de uma lˆamina isolada ser˜ao mostrados, jun- tamente com alguns dos crit´erios utilizados para prever sua falha inicial. Em seguida, algumas estrat´egias de considerac¸˜ao da falha do laminado como um todo, com e sem progress˜ao de dano, ser˜ao discutidas. Ent˜ao, as abordagens de falha a serem utilizadas na presente dissertac¸˜ao ser˜ao mostradas, assim como sua implementac¸˜ao computacional no programa de elementos finitos FAST. Por fim, exemplos num´ericos ser˜ao apresentados e as formulac¸˜oes propostas e imple- mentadas ser˜ao validadas e verificadas com resultados da literatura.