Comprimento de Arco

Apesar do m´etodo do Controle de Deslocamento tornar poss´ıvel atravessar pontos limites de carga, evitando o fenˆomeno do snap-through, ele ainda encontra dificuldades quando da presenc¸a do fenˆomeno snap-back, no qual ocorre diminuic¸˜ao nos deslocamentos. Assim, procurando combinar os dois m´etodos apresentados, Wempner (1971)64 e Riks (1979)65 pro- puseram o m´etodo do Comprimento de Arco, que foi posteriormente modificado por Crisfield (1981).66 A ideia principal consiste em adicionar uma equac¸˜ao de restric¸˜ao relacionando os incrementos de carga e deslocamento ao sistema ao inv´es de fixar o incremento de alguma vari´avel. O sistema final fica, portanto:

" r(u, λ) a(u, λ) # = 0 (99) ´

E interessante observar que os m´etodos formulados anteriormente tamb´em podem ser representados por uma equac¸˜ao de restric¸˜ao. Assim, para o Controle de Carga:

a_{= λ − λ}p (100)

ondeλp ´e o n´ıvel de carga prescrito para o passo corrente. J´a para o Controle de Deslocamento:

a= uj− up (101)

onde uj ´e o deslocamento prescrito para o grau de liberdade j. No caso dos m´etodos de Com- primento de Arco, a restric¸˜ao ´e dada por:

a=4∆uT_{∆u + ∆λ}2_ψ2_qT_q

5 − ∆l2

Na equac¸˜ao anterior, ∆l ´e o comprimento de um arco que forma uma hiperesfera no espac¸o n+ 1 e ψ ´e um fator de escala entre os termos de carga e deslocamento. A restric¸˜ao faz com que todos os pontos obtidos durante o processo iterativo da Eq. (87) estejam a uma distˆancia∆l do ´ultimo ponto convergido (sobre a curva), como mostrado na Figura 10.

Figura 10 – Pontos obtidos utilizando comprimento de arco.

Fonte: Elaborada pelo autor.

O valor do fator de escalaψ varia de acordo com o tipo de m´etodo utilizado. Tanto Crisfield (1981)66 quanto Ramm (1981)67 conclu´ıram que tal fator tinha pouca influˆencia na resposta estrutural e, portanto, sugeriram um valor de ψ = 0, efetivamente transformando a hiperesfera em um hipercilindro, dando ao m´etodo o nome de Comprimento de Arco Cil´ındrico. J´a quando_{ψ 6= 0, o m´etodo ´e chamado Comprimento de Arco Esf´erico.}

Do mesmo modo feito para a Eq. (86), a Eq. (102) pode ser linearizada para aplicac¸˜ao do m´etodo de Newton-Raphson:

an= a + 2∆uTδu + 2∆λδλψ2qTq= 0 (103)

O sistema de equac¸˜oes agora possui n+ 1 inc´ognitas e, com a adic¸˜ao da Eq. (103), n+ 1 equac¸˜oes. Combinando a Eq. (87) com a Eq. (103), na forma matricial, tem-se:30

( δu δλ ) = " Kt −q 2∆uT _2∆λψ2_qT_q # ( r a ) (104)

deslocamento. Computacionalmente, a invers˜ao da matriz em quest˜ao seria ineficiente. Assim, utilizam-se as express˜oes mostradas na Eq. (95) do mesmo modo que foi feito no controle de deslocamento. As diferenc¸as entre os v´arios m´etodos de comprimento de arco residem, portanto, na obtenc¸˜ao do valor deδλ.

No in´ıcio de cada passo, parte-se de uma soluc¸˜ao inicial tangente ao ponto para o qual o algoritmo convergiu no passo anterior. A partir de tal ponto, iniciam-se as iterac¸˜oes de Newton-Raphson. Diz-se, portanto, que a soluc¸˜ao parte de um preditor inicial e ´e corrigida at´e que o res´ıduo seja zerado, finalizando um passo.

Ao contr´ario dos m´etodos apresentados anteriormente, utiliza-se um preditor tanto para a carga quanto para os deslocamentos. Partindo da express˜ao do preditor de carga utilizado no Controle de Deslocamento (Equac¸˜ao 97), tem-se:

∆λp= ∆up

δut ) ∆up

= ∆λpδut (105)

onde∆up´e o preditor em deslocamentos. Por´em, o preditor tamb´em deve satisfazer a restric¸˜ao, isto ´e, deve estar a uma distˆancia∆l do ´ultimo ponto em equil´ıbrio (Figura 10). Substituindo ent˜ao a Eq. (105) na Eq. (102) e considerandoψ = 0, o preditor de carga pode ser obtido: ∆λp= ±

∆l pδuT

t δut

(106)

A escolha do sinal do preditor de carga pode ser feita analisando o n´umero de pivˆos negativos na matriz de rigidez tangente ap´os fatorac¸˜ao.66 Nesse caso, quando a curva passa por um ponto limite, um pivˆo negativo surge e, assim, o preditor tende a fazer a curva caminhar para baixo (trecho inst´avel). Por´em, pivˆos negativos tamb´em surgem quando a curva passa por pontos de bifurcac¸˜ao, mas o caminho n˜ao necessariamente se torna descendente. Assim, em tais casos, a utilizac¸˜ao deste m´etodo causaria uma oscilac¸˜ao em torno do ponto de bifurcac¸˜ao. Outros trabalhos buscam utilizar outras medidas para calcular o sinal do preditor.68–71

No c´alculo deδλ, pode-se, ao inv´es de trabalhar com a forma linearizada da restric¸˜ao, mostrada na Eq. (103), utiliz´a-la diretamente em sua forma quadr´atica.30 Partindo da Eq. (102), pode-se encontrar:

∆uT∆u + δλ2ψ2qTq= ∆uTn∆un+ ∆λ2nψ2qTq= ∆l2 (107) Substituindo a Eq. (94) na Eq. (107), pode-se obter uma equac¸˜ao do segundo grau emδλ: a1δλ2+ a2δλ + a3= 0

a1= δutTδut+ ψ2qTq (108)

a2= 2δut4∆u + δ ˆu5 + 2∆λψ2qTq a3=4∆u + δ ˆu5

T

´

E importante notar que a Eq. (108) fornece dois valores poss´ıveis paraδλ. O proce- dimento para escolher a raiz apropriada consiste em computar as mudanc¸as incrementais para ambas e escolher aquela que produza o ponto mais pr´oximo `aquele obtido no final do ´ultimo passo, isto ´e:30

8 < :

δλ = δλ2 seδλ2∆uTδut > δλ1∆uTδut δλ = δλ1 caso contr´ario

(109)

O uso do M´etodo do Comprimento de Arco Quadr´atico geralmente leva a bons resultados. Dependendo do problema e do valor do comprimento de arco adotado, ra´ızes com- plexas podem ser encontradas na Eq. (108). Em tal caso, pode-se adotar um procedimento de rein´ıcio do processo, descartando todas as iterac¸˜oes do passo atual e recomec¸ando utilizando um comprimento de arco igual a metade do usado anteriormente.

A variac¸˜ao de Ramm (1981)67para o comprimento de arco trabalha com a restric¸˜ao aem sua forma linearizada, mostrada na Eq. (103). Nesse caso, garante-se que a direc¸˜ao do novo incremento ´e sempre ortogonal `a reta secante que une o ´ultimo ponto convergido ao ponto obtido na ´ultima iterac¸˜ao, n˜ao convergido. Al´em disso, considera-se nulo o valor de a, que representa o valor da restric¸˜ao do ´ultimo ponto obtido. Isolandoδλ na Eq. (103) e considerando a= 0, tem-se:60 δλ = −∆u T_{δ ˆu} 4∆uT_δu t+ ∆λψ25 (110)

Tal como o m´etodo de Ramm (1981)67, o comprimento de arco de Riks-Wempner64,65 tamb´em trabalha com a forma linearizada da restric¸˜ao a. Por´em, ao inv´es da mudanc¸a iterativa ser perpendicular `a mudanc¸a secante, ela ´e sempre perpendicular ao preditor inicial. Assim como no m´etodo anterior, o valor a ´e tamb´em considerado nulo. Assim, a express˜ao paraδλ fica: δλ = −∆u T pδ ˆu 4∆uT pδut+ ∆λpψ25 (111)

Por fim, no m´etodo linear consistente, parte-se novamente da equac¸˜ao linearizada mostrada na Eq. (108).72,73 Por´em, o valor de a, referente ao valor anterior da restric¸˜ao, n˜ao ´e considerado nulo, mas sim calculado utilizando a Eq. (102) com os valores obtidos na iterac¸˜ao anterior. Assim, fazendo tal substituic¸˜ao, a express˜ao para o c´alculo deδλ se torna:

δλ =−0.5a − ∆u

T_{δ ˆu}

∆uT_δu

t+ ∆λψ2

(112)

Por fim, torna-se necess´ario atualizar o valor do comprimento de arco a cada passo. Dependendo do ponto em que se esteja na curva carga-deslocamento, pode ser necess´ario uti-

lizar um comprimento de arco menor para que a convergˆencia seja atingida. Tal fato ocorre, notadamente, na proximidade de pontos limites. Em regi˜oes bem comportadas, como trechos de pequena curvatura, o comprimento de arco pode ser aumentado, de modo a diminuir o n´umero de passos e, portanto, o esforc¸o computacional. Assim, ao final de cada passo, o comprimento de arco ´e atualizado usando:30

∆ln= ∆l ✓ Id

I ◆1/2

(113)

onde Id ´e o n´umero alvo de iterac¸˜oes para o pr´oximo passo, isto ´e, o n´umero de iterac¸˜oes que se espera utilizar para atingir a convergˆencia e I ´e o n´umero de iterac¸˜oes necess´ario no passo anterior. ´E importante ressaltar que, no primeiro passo da an´alise, o incremento informado pelo usu´ario ´e utilizado como um passo puramente de carga, tal como no m´etodo do Controle de Carga.