2 Base de Gaussianas Localizadas(BGL)

E m 1985, I.P. H am ilton e J.C . L ight[14], m otivados n o tra b a lh o d e M .J. D av is e E .J. H e lle r[1 5 ]( e ste tra b a lh o tra z um a p ro p o sta d e utilização d e B ases d e G aussianas C o m p lex as, cu jas localizações so b re as tra je tó ria s clássicas d o e sp aç o d e fases está fu n d a m e n ta d a em arg u m en to s sem iclássicos), p ro p u se ra m a u tiliz a ç ão d e B ases d e G au ssianas R eais L ocalízadas(B G L ), tam bém so b re argum entos sem iclássicos, p a ra re s o lv e r p ro b le m as variacio n ais(o u d e cam p o m édio au to c o n siste n te ), de estad o s víb ra c io n a is.

N e sta seção vam os a p re s e n ta r a p ro p o sta dos a u to re s e d isc u tir alguns asp ecto s d e sta base.

P o ré m , a n te s d e a p re s e n ta r a B G L , vam os d isc u tir algum as im plicações d e se u tiliz a r bases n ã o ortogonais.

A

V am o s su p o r q u e desejam os d iag onalizar um o p e ra d o r h e rm itian o H (q u a lq u e r), em um a base n ã o orto g o n al. N e ste caso o p ro b le m a d e a u to v a lo re s d ife re da fo rm a usual, i.é,

U Ú - ^ ^ t , (III-2 0 )

A *

(o n d e U e E são as m atriz e s de a u to v e to re s e a u to v a lo re s d e H , resp e c tiv a m e n te, e S é a m a triz " o v e rla p ”), e d este m odo som os o b rig a d o s a d iag o n alizar a m a triz "o v e rla p ” p rim eiro . A g o ra, se T é a m atriz q u e diagonaliza S (T*" T = T T = i ) , en tão

A ^

6<

= T ' 6 T ,

( i n - 2 1 )

e p o dem os e s c re v e r a e q u a çã o (III-2 0 ) com o

H ' f ^ O = Ü E ^ ( m -22) (H ’= T ^ H T ). D e c o m p o n d o Sd=Sd^ S d ^o p ro b le m a d e a u to v a lo re s s e rá e n tã o ' ^ ( in - 2 3 .a ) o n d e ~ » L A H -- 5 d ‘ H í>4 , ( in - 2 3 .b )

\ / = 6 d T " U , _{( m - 2 3 .c )}

e a m atriz dos a u to v e to re s p o d e s e r obtida in v e rte n d o a e q u a ç ã o m atricial

(III-23.C)

A -

( J = T V . (III-2 4 )

P o rta n to , a diagonalização do o p e ra d o r H (q u a lq u e r), exige a in v ersã o da m a triz do s a u to v a lo re s do "o v erlap ”, e p recisam o s g a ra n tir(a o m enos n u m erica m en te ), a in d ep en d ên cia lin e a r da base. D e o u tro m o d o ficam os im pedidos d e in v e rte r esta

A

m a triz (já q u e a d ep en d ên cia lin e a r im plica n o apm recim ento d e a u to v a lo re s d e S nulos). P a ra elim inar este problem a, a escolha d a base ( (^ t ) d e v e s e r cuidadosa. A sugestão d e H am ilton-L ight[14], é

, C n i-2 6 )

onde os parâm etros Aj e Xj(larguras e centros das gaussianas, respectivam ente),

d e v e m s e r escolhidas seguindo c rité rio s q u e satisfaçam a física d o p ro b le m a e busquem m a n te r a base d e tal fo rm a q u e ela ad m ita u m a re p re se n ta ç ã o co m p le ta e lin e a rm e n te in d e p e n d e n te a tra v é s das o p e ra ç õ e s d e scrita s acim a.

V isando p ro b lem as gerais, eles p ro p õ e que:

1- os c e n tro s das gaussianas e stejam dispostos d e tal fo rm a q u e d e scre v a m as a u to fu n ç õ e s v e rd a d e ira s(c o m seus nodos), d e fo rm a suave;

2 - a indep en d ên cia lin e a r d a base se ja g a ra n tid a p o r um a ju s te d a s la rg u ra s A j

q u e seja com p atív el com o espaçam ento.

V ejam o s a p ro p o sta p a ra esp açam en to sem íclássico.

V am o s su p o r q u e desejam os d e s c re v e r n estad o s ligados d e um sistem a, utilizan d o a B G L (e q .(III-2 6 )). E n tã o a fu n çã o d e o n d a p a ra um d e te rm in a d o e sta d o (n), possui (n - 1) n o dos espaçados, sem íclassícam ente, d e tal m o d o q u e a a ç ão sem íclássica, e n tre dois n o dos é d a d a p o r

J / c

o n d e p (x ) é o m om ento clássico d e u m a p a rtíc u la com en e rg ia Ej, em x. J á q u e a

fu n ç ã o d e onda d e v e s e r um a co m binação lin e a r d e gaussianas, precisam o s no m ínim o, um a fu n ç ã o c e n tra d a e n tre dois nodos. D e ste m o d o podem os lo calizar, sem íclassícam ente os nodos e e n tã o d istrib u ir as fu n çõ e s d a base e n tr e os nodos. S e f o r n ec essá rio in clu ir o u tra s fun çõ es p a ra a u m e n ta r a p re c isã o dos resu ltad o s(i.é, m e lh o ra r a d e sc riç ã o d o sistem a), estas podem s e r incluídas tam b ém sem iclassícam en te(v er abaixo).

V am o s e n tã o d e fin ir a q u an tid ad e Rl(1i= 1),

o n d e Rl é o n ú m e ro d e níveis p a ra u m a d a d a e n e rg ia E (v e r a p ê n d ic e B .l) , e Xttiíti

e Xjjjgjj são os po n to s d e r e to r n o clássicos. E n tã o p a ra o c a so E= E j,; R L =n+l, e os c e n tro s d as gaussianas p o d em s e r definidos com o os Xj q u e satisfazem

(III-2 9 .b )

ou, p a ra o caso m ais g eral, o n d e o n ú m ero d e fu n çõ es é m a io r q u e o n ú m e ro d e níveis(M > n),

( III-3 0 .a )

f

(v e r a p ê n d ic e B .2 )

A re fe rê n c ia [14] tam bém tra z a p ro p o sta d e u tilização d e um a B G L com c e n tro s Xj d istribuidos igualm ente e n tre os p o n to s d e r e to m o clássicos, i.é.

(III-3 1 .a )

r )Cv C i - V') ,

(III-3 1 .b )

e m é o n ú m e ro d e fun çõ es que d esejam os utilizar.

A g o ra p a ra c o m p le ta r a esp ecificaçao da base, ainda p recisam o s e sc o lh e r as larg u ras A j. Assim se d esejanos um a boa base(localizada), p a ra d e s c re v e r n estad o s

ligados d e um sistem a, esta d ev e se r cap az d e f o rn e c e r fu n çõ es d e o n d a suaves(em o u tra s palav ras, já q u e vam o s lo calizar o p acote, os elem entos d e m a triz d a E n erg ia C in ética n ã o dev em se r m uito g ra n d e s), e p o rta n to os A j dev e m s e r p e q u e n o s(v e r a p ê n d ic e B .3). P o r

o u tro lado, co m o vim os acim a, a base d ev e ser, ao m enos a p ro x im ad am en te, lin e a rm e n te in d ep en d en te. D e ste m o d o os A j não devem s e r m uito pequenos.

A ssim d e v em o s e sco lh e r as lai^guras A j d e tal m odo a o b te r um b a la n ç o e n tr e os e lem entos d e m a triz d e E n e i^ ia C inética(A j p eq u en o ), e um a ra z o á v e l in d ep e n d ê n c ia lin e a r d a base(A j g ra n d e ).

A p ro p o sta d a re f.[1 4 ], é e scalo n ar as larg u ras Aj a tra v é s d o n ú m e ro m d e

fu n ç õ e s q u e s e rã o utilizadas m ais um p a râ m e tro liv re "c"(q u e s e rv e p a ra o tim iz a r algum a m edida d e en e rg ia e /o u c o n tro la r a in d ep endência lin e a r d a base),

A u - ^ (III-3 2 .a )

(III-3 2 .b )

\

1

A c = I . (III-32.C)

P odem os o b s e rv a r que estas definições p a ra as la rg u ra s tam bém v ã o f o r n e c e r um a d istrib u ição sem iclássica das funções d a base via os c e n tro s Xj.

C om o já m encionam os n o início d esta seção, a so lu ção d e p ro b le m as d e a u to v a lo re s em bases n ão diagonais exige a diagonalização d o "o v erlap " e a in v e rsã o da m a triz dos seus a u to v a lo re s , e d este m odo p recisam os a g a ra n tia d e in d ep en d ên cia lin e a r d a base.

P a ra d isc u tir esta im p o rta n te p ro p rie d a d e , vam os to m a r u m a B G L com c e n tro s Xj

ig u alm en te e sp aç a d o s(v e r e q s.(III-3 1 ) e (111-32)), i.é.

iftr Y ( i n - 3 5 )

W. z

(III-3 3 )

o n d e (V = X j„ax'^m in)- A ssim o o v e rla p se rá

A e q u a çã o (III-3 4 ) p o d e se r e scrita com o

(III-3 4 )]

on d e

^ rr • a = L ç .^ • X - ^ .

V ' v j t / d \j'- ^ ( in - 3 6 .a )

A g o ra n o lim ite o n d e o n ú m ero n d e fun çõ es ten d e a in fin ito (n o o ), as ex p o n en ciais q u e a p a re c em na integral da e q .(III-3 5 ), podem s e r c o n sid e rad a s c o m o um a seq u ên c ia d e lta [1 6 ], c e n tra d a s em (xj + x j)/2 , i. é.

(III-3 7 )

D e ste m odo, p a ra n fin ito terem o s

6 h '

m as a m edida q u e n c re sc e o o v e rla p a p ro x im a-se do o v e rla p d e fu n çõ es d e lta isoladas, c e n tra d a s s o b re (Xj+Xj)/2

e ^ ( s Ct< - Un. + X;j)M) .

«A -OCO (III-3 9 )

D e ste m o d o o o v e rla p Sjj ten d e a z e ro ex p o n e n cia lin e n te com |i-j| . A g o ra dev em o s le m b ra r q u e ap e sa r d e q u e os elem entos d e m a triz Sy n ã o d ep e n d em d e n, os

a u to v a lo re s d e S dependem , já q u e a sua dim ensão é nxn. P o ré m , co m o vim os, p a ra esta base, p o dem os a u m e n ta r o n ú m ero d e funções e as defin içõ es p a ra os c e n tro s e la rg u ra s g a ra n te m a u to v a lo re s d e S d ife ren te s d e z e ro (i.é , S c o n tin u a positiva definida, p a r a um d a d o c fixo).

P o rta n to a B G L p a re c e s e r com pleta, a o m en o s n a reg iã o d e interesse(i.é, s o b re os n ú m ero s rac io n ais Xj), e n ã o fo rm alm en te su p e rc o m p le ta . H am ilto n -L ig h t[1 4 ], ain d a

su sten tam q u e os arg u m en to s acim a se ap licariam p a ra q u a lq u e r dom ínio d e x e q u a lq u e r d istrib u içã o dos X j, desd e que

--000

N o en tan to , p a ra p ro p ó sito s p rático s a B G L é b em c o m p o rta d a [1 3 ,1 4 ,1 5 e cap. V d e ste tra b a lh o ]

IV