TUNELAMENTO NA SUPERFÍCIE DE
ENERGIA BIDIMENSIONAL
DE UM MODELO DE MUITOS CORPOS
Dissertação
Submetida ao Curso de Pós-Graduação em Físico-Química
da Universidade Federal de Santa Catarina
para obtenção do grau de
MESTRE EM CIÊNCIAS
ADALBERTO LUIZ COMIN
U F S Ç
DE UM MODELO DE MUITOS CORPOS
ADALBERTO LUIZ COMIN
Esíà dissertação foi julgada adequada para obtenção do título de
MESTRE EM CIÊNCIAS
especialidade Físico-Química e aprovada em sua forma final pelo Programa
de Pós-Graduação
Prof. Frederico Firmo de Souza Cruz - Orientador
Prof. Ademir N eves - Coordenador do Curso
Banca Examinadora
Âo Professor e amigo Frederico Fimio de SoTiza CrozlTredlpela orieintacão. dedicacão epadêTicia.
Á Samdra. pelo apoio e compreeinsão.
Áos meus pais. Gemtfl e Jovita. pelo incentivo e colaboração. Âo Ivanor e a Neli. que acompanharam este trabalho depeirto.
Âo amigo e conselheiro. Prof. Waoner FioüeiredofQrande figora).
Âos meus irmãos, Lg e Adri.
Âos amioos que, de uma forma ou de outra, caminharam comiigo ao longo do curso. Âos ageiíítes financeiros. CÂFES e CNPQ.
Capítulo I
I In tro d u ç ã o ... . 1
Capítulo II II T e o ria s d e C am po M é d io ...5
II. 1 - T e o ria d e H a r tr e e Fock D e p e n d e n te d o T e m p o ... 5
II.2 - .T ra je tó ria s C o letiv as... ... 9
Capítulo III III O M étodo e as B ases... . 15
111.1 - O M é to d o ... ... ... 16
111.2 - B ase d e G aussianas L o c a liz ad a s... 20
Capítulo IV IV A H am iltoniana E fetiva d e T u n e lam e n to ...27
r v . l - O M odelo... ... 27 IV .2 - A H am iltoniana E fetiva d e T u n e la m e n to ... 31 Capítulo V V R esultados e C onclusões...4 0 Apêndices A ... ... 49 A .l - F a to re s d e F ra n k -C o n d o n ... 49
A .2 - O O scilador D e slo cad o e os E lem en to s d e M a triz ... 50
B ...53
B .l - N ú m e ro d e N ív eis... 53
B .2 - L ocalização das G aussianas... ... ... 56
B.3 - E lem entos d e M a triz ...57
T u n e lam e n to em su p e rfíc ies d e en e rg ia m ultidim ensionais é um p ro b le m a in te re ssa n te e d esafiad o r em v árias á re a s d a física. E m física n u c le a r o tra ta m e n to m ic ro sc ó p ico de fissão leva a su p e rfíc ies m ultidim ensionais, das quais d e v e -se e x tr a ir a tra je tó ria d e tunelam ento. T e o ria s co m o H a r tr e e F o ck D e p e n d e n te d o T e m p o A d ia b á tica e H a r tr e e F o ck com V ín c u lo (C o n stra in ed H a r tr e e F o c k ) des'em nos d a r m eios p a ra o b te r a tra je tó ria d e fissão. E n tre ta n to estas p re sc riç õ e s não são únicas, e d este m odo, p o d e m g e r a r d ife re n te s potenciais e in érc ia s p a ra o processo. T e m o s a in d a o p ro b le m a d e q u e a tra je tó ria n ão defin e um g ra u d e lib e rd a d e e x a ta m e n te d esacoplado, e a in fluência dos o u tro s g ra u s de lib erd ad e não é lev ad a em c o n ta p a ra cálculos unidim ensonais. N e ste tra b a lh o , nós investigam os a ap licab ilid ad e d o m éto d o d e bases gaussianas n ã o o rto g o n a is (M a k ri e M iller[13]), p a ra t r a ta r o g ra u d e lib e rd ad e d e tu n ela m e n to a c o p la d o a N o scilad o res h arm ônicos iguais. O m éto d o é ap licad o p a ra um m o d elo d e m uitos c o rp o s, p ro p o sto re c e n te m e n te p o r A rv e e seus c o la b o ra d o re s[1 0 ]. N ossos resu lta d o s são c o m p a ra d o s com os seguintes m étodos; H a r tr e e F o c k com V ínculo, H a rtre e -F o c k D e p e n d e n te do T em p o (em tem p o im aginário). M ovim entos C oletivos d e G ra n d e A m p litu d e e os resultados exatos.
T unnelling in a m ultidim ensional e n e rg y su rfa c es is still a challenging an d in te restin g p ro b le m in sev eral a r e ^ o f physics. In n u c le a r physics th e m ic ro sc o p ic tre a tm e n t o f fission leads to m ultidim ensional su rfa c es fro m w hich is n e c essa ry to e x tr a c t th e tunnelling path. T h e o rie s like A d ia b a tic T im e D e p e n d e n t H a r tr e e F o c k an d C o n stra in e d H a r tr e e F o ck co u ld give us m ean s to ob tain th e fission paths. N e v e rth e le ss, those p re sc rip tio n s a re not unique a n d th e y could g e n e ra te d iffe re n t p o ten tia ls a n d in ertia s f o r th e process. F u rth e rm o re th e p a th does n o t d efin e an ex a ctly d eco u p le d d e g re e o f fre e d o m and th e in flu en ce o f th e o th e r d e g re e s a re n o t ta k e in to a c c o u n t on o n e dim ensional calculations. In this w o rk w e investigate th e applicability o f th e n o n - o rto g o n a l gaussian basis m ethod, p ro p o se d e lse w h e re (M a k ri e M iller[13]), to tr e a t th e tu n nelling d e g re e o f fre e d o m co upled to N equal h a rm o n ic oscillators. T h e m eth o d is a p p lied to a m any body m odel re c e n tly p ro p o se d by A rv e , B e rtsc h , P u d d u a n d N e g e le[1 0 ]. O u r resu lts a re c o m p a re d w ith th e follow ing m ethods: e x a c t solutions. C o n stra in e d H a r tr e e Fock, Im ag in ary T im e an d L a rg e A m p litu d e C o llectiv e M otion.
T u n e lam e n to em sistem as d e m uitos c o rp o s é um p ro b le m a in te re ssa n te e d e sa fia d o r em v ário s cam pos d e conhecim ento.
O te rm o tim elam en to [6 ,9 ], d ev e s e r en te n d id o com o um a m o d ificação na c o n fig u ra ç ã o do sistem a, o c asio n ad a pela possibilidade d e tra n siç õ e s e n tre estad o s
se p a ra d o s p o r um a reg iã o p ro ib id a classicam ente(região de b a rre ira ).
E m quím ica, p o r exem plo, sabe-se q u e esse e fe ito tem g ra n d e in fluência em p ro ce sso s q u e envolvem a tra n s fe rê n c ia d e p a rtícu la s le v e s(p ró to n s e áto m o s d e h id ro g ê n io ),[l,2 ].E m m uitos casos, é possível u tiliz a r esse e fe ito c o m o u m a " c o rre ç ã o q u â n tic a " [ l] . em tra ta m e n to s convencionais(i. é, tra ta m e n to s clássicos), d a cin ética d e re a ç õ e s quím icas.
O u tro exem plo, a g o ra em física n u c le a r, o n d e esse e fe ito é do m in an te, é o fe n ô m e n o d e fissão n u c le a r esp o n tâ n e a [6].
C o m o é bem c o n h e c id o [l,2 e 9], os estados estacionários, d e sistem as q u e a p re se n ta m essas b a rre ira s, q u e possuem energia ab aix o da b a rr e ir a a p a re c e m em p a re s d e g e n era d o s. A possibilidade d e tu n elam ento a tra v é s da b a r r e ir a q u e b ra essa d e g e n ere cê n c ia, e os estados são sep arad o s em um estado sim é tric o e um e sta d o an tissim étrico (co m en erg ia m ais alta). A reso lu ç ão d o p ro b lem a d e tu n ela m e n to co n siste em o b te r a se p ara ç ão d e energia("spliting”), desses p ares, já q u e e sta q u a n tid a d e está
A reso lu ç ão d o pro b lem a consiste em duas e ta p a s distintas. A p rim e ira, q u e é c o m u m às v árias teo rias, consiste em o b te r um a p a ra m e triz a ç ã o p a ra os d iv erso s g ra u s d e lib e rd a d e do sistem a d e interesse. C om o ilustração, vam os c ita r dois exem plos;
i - Iso m e riz a ç ã o da m olécula do M alo n ald eid o [2 ],(v er fig .[I-l]
F i g . I~ 1 ” Esquetn» I diref.(2). M olécuU de Malonaldeido.
N e ste caso, o e sp e c tro é resolvido, d e algum m odo, e os e sta d o s são p a ra m e triz a d o s a tra v é s das distâncias e n tre os constituintes da m o lé c u la (v er fig. [1-2]), o b te n d o -se assim u m a su p e rfíc ie m ultidim ensional(em term o s dos p a râ m e tro s). P o d e -se o b s e rv a r nesta fig u ra q u e alguns p a râ m e tro s são m ais significativam ente m o d ificad o s d u r a n te o p ro ce sso d e isom erização.
ii - Fissão N u c le a r. N o caso n u clear, p ode-se p a ra m e triz a r os v á rio s g ra u s d e lib e rd a d e em te rm o s d e um co n ju n to d e p a râ m etro s d e d efo rm ação . P o r exem plo, as
v á ria s m u ltip o la rid a d es associadas a fo rm a do núcleo. A d e scrição realística do p ro c e sso d e fissão exige, a o m en o s trê s p a râ m e tro s[6 ],(v e r a fig.[1-3]),:
- um p a râ m e tro c, q u e d e s c re v e a distância e n tre os frag m en to s em fo rm a ç ã o (c o o rd e n a d a d e elon g ação ), associada a o m om ento de q uadrupolo;
- um p a râ m e tro h, q u e d e sc re v e a fo rm a ç ã o do pescoço e n tre os frag m en to s( c o o rd e n a d a d e pesco ço );
- um p a râ m e tro a^, q u e m ede a assim etria das m assas( n o caso de fissão a ssim étrica), (c o o rd e n a d a d e fra g m en ta çã o ), o que tam bém nos leva a um a su p e rfíc ie m ultidim ensional d e en erg ia.
Fig-ÍI-3]
“ Algumáis formas, em um* p aram etriza çío apropriada f c » . As tmhas sóUdas mostram as formas simétricas e as linhas pontilhadas mostram formas o n d a o p a ra m e tro de assimetria è diferenta de zero.Pig.11-14] da Tef.Ifij.M uitos m éto d o s v em sendo desen v o lv id o s e estudados p a ra tra ta r , m icro sco p icam en te, a dinâm ica n a reg ião p ro ib id a , p o ré m a m aio ria destes m étodos e stã o re s trito s a tra ta m e n to s im idim ensionais(via teo rias d e cam p o m édio a u to c o n s iste n te (H a rtre e F o c k D e p e n d e n te d o T e m p o A d ia b á tica (H F D T A ), o u H a r tr e e F o ck com V ín c u lo (H F V )).
E stas te o ria s d e sp re z a m os efe ito s d o s aco p lam en to s com os o u tro s g rau s d e lib e rd ad e (n ão co letiv o s), [8]. Isto, p o rq u e o s tra ta m e n to s d e tu n elam en to baseados em teo rias a u to c o n siste n te s(d e c a m p o m édio), b u scam e x tra ir da su p e rfíc ie d e en e rg ia d o sistem a, um a tra je tó ria d e tu n elam en to .
A e x tra ç ã o d a tra je tó ria , d esta fo rm a , d e p e n d e da im posição d e c rité rio s físicos. E stes c rité rio s são im plem entados, nas v á ria s teo rias, faz e n d o -se p resc riç õ e s p a ra a dinâm ica local d o sistem a.
N o c a p ítu lo II, estas te o ria s p a ra a e x tra ç ã o d e tra je tó ria s coletivas s e rã o ap resen tad as. C o m o vam o s o b s e rv a r, e sta s te o ria s tra z e m d ife re n te s p resc riç õ e s p a ra a o b te n ç ã o d a tra je tó ria co letiv a e só fo rn e c e m u m a solução única p a ra a tra je tó ria d e tu n elam ento, q u a n d o o g ra u d e lib e rd a d e c o le tiv o f o r e x a ta m e n te desacoplado.
E stes a c o p la m e n to s com os o u tro s g ra u s d e lib e rd a d e m odificam as p ro b ab ilid a d e s d e tu nelam ento, j á q u e u m a co n seq u ê n c ia d ire ta destes aco plam entos é a c ria ç ã o d e u m a ham iltoniana e fe tiv a (i. é, os aco p lam en to s m o d ificam ta n to a m assa com o a b a rr e ir a d e potencial, m o d ifican d o assim a p ro b ab ilid a d e d e tu n e la m e n to [l]).
coletiv o (asso ciad o a fissão), a c o p la d o a um c o n ju n to d e osciladores h a rm ô n ico s n ão acoplados( q u e re p re s e n ta m , d e algum m odo, os g ra u s d e lib e rd ad e n ã o coletivos). M otivados p o r esta discussão e p e lo tra b a lh o d e M a k ri e M iller[13], vam os e s tu d a r um m éto d o d ife re n te d e a ta c a r o p ro b le m a.
E ste m éto d o , q u e co nsiste em o b te r um a ham ilto n ian a efetiv a p a ra o sistem a, o n d e os acop lam en to s são lev ad o s em c o n ta e x p liu c ita m e n te ( e, d este m odo, estaríam o s reso lv e n d o o p ro b le m a d e tu n ela m e n to m ultidim ensional), será a p re se n ta d o no cap ítu lo III. A í tam bém a p re se n ta m o s a base d e gaussianas lo calizad as(B G L )[1 4 ,1 5 ], q u e utilizam os p a ra a d iag o n alização d a h am ilto n ian a e fe tiv a .
A a p re s e n ta ç ã o d o m o d elo e a solu ção d o p ro b lem a, q u e consiste em o b te r a se p a ra ç ã o d e e n e rg ia (q u e b ra d e d e g e n e re c ê n c ia d e v id o ao tu n elam en to d a b a rre ira ), utilizando a m eto d o lo g ia a p re s e n ta d a n o c a p ítu lo III, é a p re se n ta d a n o c a p ítu lo IV.
P a ra fin a liz a r, n o c a p ítu lo V , a p re se n ta m o s nossos resultados, e c o m p a ram o s com os exatos, H F V e tem p o im ag in ário [1 0 ], e aq ueles ob tid o s via tra je tó ria d e V a l e [ l l ] , e tecem o s alguns c o m e n tá ris e conclusões.
II -Teorids de Cdmpo Médio
E ste c a p ítu lo é destin ad o a o e stu d o das teo rias d e cam po m édio e das v árias p re sc riç õ e s utilizadas p a ra a o b te n ç ã o d e ham iltonianas coletivas.(O bs.: q u a n d o estas ham iltonianas possuem um ún ico g ra u d e lib e rd ad e , são cham adas tra je tó ria s co letiv as)
2.1 -T eorid de Hdrtree Fock Dependente do Tempo (HFDT)
N e sta te o ria [6 -8 ], as e q u a çõ e s d e H F D T p odem s e r g e ra d a s d o p rin c íp io de m ínim a a ç ã o q u ân tico ,
H - ^
- O , ( I I - l )(1 í= l ),o n d e H é um a ham ilto n ian a g e n é ric a d e m uitos co rp o s
H = f r .
^
(V jj é um a in te ra ç ã o g e n é ric a d e dois co rp o s), e os estados v a riacio n ais^ (|)(+ |'^ o
sistem a(graus d e Iib e rd ad e ).V a m o s e n tã o su p o r q u e exista um a p a ra m e triz a ç ã o tal q u e os d e te rm in a n te s d e S la te r possam s e r e scrito s com o
o n d e
^ = 1 ■ 'í ■ ■ • v f
;
? * ? > • .
,e cad a p a r (q^^.p^-) está associado a um m odo d e e x c itaç ã o do sistem a. S ubstituindo ( II -2 ) em ( I I - l ) , o btem os
on d e
/ ( n - 3 .b )
< - cn- 3. c)
são g e ra d o re s infinitesim ais n o esp aço d e p a râ m e tro s. V am o s a g o ra e fe tu a r a v a ria ç ã o n a e q .(II-3 .a )
o n d e a g o ra ) (II-5 .a ) „.4«— __>• = c <(}>C^ | ) 1 í , y \ ( i , t)ç<; < Q * ^ > = - < : < 4 > '‘í ' f M 5 ç i < J f L ' (II-5.C ) o n d e
è
T '■
5 ^ -
'
^ Y < P
c> = - ‘ < <
í í\ L Q S
;
(II-6 .b )(II-6.C )
(II-6 .d )
/»» A
O s g e ra d o re s Q e P podem ser c o n stru íd o s d e tal fo rm a q u e ob ed eçam às seguintes re g ra s d e c o m u ta ç a o (v e r re f. 8):
< ’4'l C P - i
= 0 ,
.(O bs.; É im p o rta n te o b s e rv a r q u e as re g ra s d e c o m u ta ç ã o (II-7 ) são obed ecid as se o esp aço d e fases possui a e s tru tu ra sim plética(i.é,um a e s tru tu ra d e esp aço d e fases clá ssic o (v er caps. 3 e 4 da r e f .[8]).
À ^ C . '' ( n - 8 b )
i.é, q u an d o as equ açõ es d e H F D T são escritas em te rm o s dos p a râ m e tro s (p a ra d e te rm in a n te s d e S la te r p a ra m e triz a d o s a p ro p ria d a m e n te ), elas são eq u a çõ e s d e H am ilton.
D ev em o s o b s e rv a r tam bém q u e a e q u a çã o v ariacio n al (II-3 .a ), tem a fo rm a de um a e q u a çã o v ariacio n al com vínculo. E n tre ta n to dev em o s e n fa tiz a r q u e se a p a ra m e triz a ç ã o dos d e te rm in a n te s d e S la te r f o r co m p le ta (i.é ,c ad a g ra u d e lib e rd a d e está asso ciad o a um p a r(q * , pj)), esta e q u a çã o n ã o possuí apro x im açõ es.
N a m edida em q u e n ã o fizem os hipóteses re stritiv a s(e o te o re m a d e T h o u lees g a ra n te a e s tru tu ra sim plética[7,8]), a fo ra a d e q u e nos restrin g im o s a dinâm ica d e um c o rp o , as eq u ações d e H F D T nos dão, a princípio, a dinâm ica d e to dos o s g ra u s d e lib e rd ad e .
Se estiverm os in teressados em um p a rtic u la r g ra u d e lib e rd a d e ( o co letiv o associado a fissão, p o r exem plo), d ev e-se im p o r c rité rio s q u e p e rm ita m a e x tra ç ã o d este g ra u d e lib erd ad e. A p e s a r d e q u e m uitas vezes é possível(im pondo c rité rio s físicos), e x tra ir, p o r m eio d e tra n sfo rm a ç õ e s d e c o o rd e n a d a s(tra n sfo rm a ç õ e s canônicas), o p a r (q ^,P c), associado a o m odo coletivo, não se p o d e g a ra n tir, a prin cíp io , q u e o sistem a um a
v e z inicializado com posição e m o m en to coletivos, ev o lu a se m p re n o p lan o de fase(q*^,pc), já q u e a dinâm ica, g o v e rn a d a p ela ham ilto n ian a clássica pode, a tra v é s dos acoplam entos, la n ç a r o sistem a p a ra fo ra d o plano (q^^vPc)- E m o u tra s p alav ras, a
c o o rd e n a d a (o u tra je tó ria ), co letiva q^ não é, o b rig ato riam en te, solução das e q u a çõ e s d e H F D T .
D e ste m odo, dev e-se p a rtir p a ra esquem as q u e p erm itam o b te r a tra je tó ria co letiv a, e tr a ta r os acoplam entos p o sterio rm en te, ao m en o s d e fo rm a ap ro x im ad a * .
N a lite ra tu ra , sugeriu-se trê s p resc riç õ e s p a ra a o b te n ç ã o d e tra je tó ria s c o le tiv a s(d e fo rm a au to -consistente), p a ra h am iltonianas H (q ,p ) q u a d rá tic a s nos m om entos.
2.2 - Trajetórias Coletivas
A s te o ria s p a ra tra je tó ria s coletivas buscam e x tra ir um m o d o m ax im alm en te desac o p lad o q u e possua c a ra c te rístic a s coletivas. A s co ndições d e d esac o p lam e n to podem se r d e riv a d a s á p a rtir d a análise local da ham iltoníana, a té segunda o rd e m nos m om entos e co o rd e n a d a s.
Se
(co m som a nos índices rep etid o s), a exp an são em to rn o d e um p o n to q o (g en é ric o ),
e um m o m en to p=0, a té segunda o rd em , nos dá
a d e riv a d a segunda c o v a ria n te d o p otencial).
A g o ra, p o d e-se fa z e r p rescriçõ es, a fim d e o b te r um a din âm ica d e saco p lad a localm en te(i.é, na vizinhança d o po n to q^).
0 P o te n c id V (g ) é iH na sn p e riic ie m d tiA n e n sK H u l de e nergia s o b » a Qual se p ro fa sa om a trajrtécia qoB
V am o s p rim e iro to m a r a ham iltoniana local em p rim e ira o rd em nas c o o rd e n a d a s
on d e
e p re sc re v e r:
i)- o ten so r d e m assa
Ê t ^ , V = o ;
(o n d e c é o índice associado ao m odo co letivo); ii)- o g ra d ie n te d o p o ten cial \J ) é tal que
- o
•
Isto é, o te n s o r d e m assa B n ã o aco p la o g ra u d e lib e rd ad e co letiv o com os re s ta n te s e a fo rç a \ / )> com p o n en tes n a d ire ç ã o da c o o rd e n a d a coletiva.
Isto g e ra a seguinte e q u a çã o p a ra c o o rd e n a d a s coletivas
F
^
^
(M , é o te n so r d e m assa in v erso d e F é o m ódulo do g ra d ie n te
e X® (q ) d e scre v e a cx»rva c u jo v e to r ta n g e n te é p aralelo ao g ra d ie n te d o p o ten c ial e c o rre s p o n d e , em cad a po n to , a um dos eixos co o rd e n a d o s locais. E sta tra je tó ria é d e n o ta d a L in h a d e F o rç a. A coletiv id ad e é, n e ste caso, definida p o r c o n d içõ es iniciais, e to m a -se p o r hipótese, q u e o g ra d ie n te (fo rç a ), q u e usualm ente leva a um p o n to d e m ínim o, é se m p re tan g e n te a tra je tó ria . N u m p ro ce sso d e fissão com en erg ia acim a d a b a rre ira , p o r ex em p lo , leva d o p o n to d e sela ao p o n to d e m ínim o
N a segunda p re s c riç ã o p a ra tra je tó ria , to m a-se um a exten são p a ra po n to s f o r a d e e q u ilíb rio d a te o ria d e R P A (R andon P h ase A p p ro x im atio n ). N o c o n te x to da Física N u c le a r, os m odos d e R P A estão associados às ex citaçõ es h a rm ô n ica s d o sistem a na v izin h a n ça d e um p o n to d e e q u ilíb rio (estad o d e H a rtre e -F o c k ). O s m odos d e R P A são, n e ste c o n te x to , os m odos norm ais, q u e n o form alism o a p re se n ta d o são o b tid o s p ela re s o lu ç ã o da ham iltoniana q u a d rá tic a na v izin h an ça d o p o n to d e equilíbrio, O g r a u d e lib e rd a d e c o le tiv o é, usualm ente, associado a o m o d o d e fre q u ê n c ia m ais b aix a. A e x te n sã o d esta te o ria p a ra p o n to s fo ra do eq u ilíb rio p o d e e n tã o s e r efet\m da, o b rig a n d o - se o sistem a a e v o lu ir se m p re n a d ire ç ã o d o m o d o d e fre q u ê n c ia m ais baixa, o q u e lev a a seg u in te e q u a ç ã o p a ra a ta rje tó ria
o n d e ^ Ç ^ /c )5 é um a co m p o n e n te do v e to r tan g en te a c u rv a e é o a u to v a lo r assíociado à fre q u ê n c ia m ais baixa. Esta c u rv a (tra je tó ria ), é d e n o ta d a L inha de M odos N o rm ais.
U m a análise das duas tra je tó ria s a n te rio re s em c o n ju n to com a h am ilto n ian a local nos leva à te rc e ira tra je tó ria . N esta, a ju n ç ã o das duas hipóteses nos leva a um d esaco p lam en to m axim al, isto é, a hipótese d e q u e a fo rç a é p a ra lela ao m o d o local d e fre q ê n c ia m ais baixa e leva a um g ra u d e lib e rd ad e desacoplado. E sta ta r je tó ria c o rre s p o n d e a um vale num a superfície m ultidim ensional e tem co m o eq u a ç3 o (e sta d e n o ta d a L inha d e V ale),
- o . (11-16)
P o d e -se m o s tra r que, se h o u v e r um m o d o co letiv o e x a ta m e n te d esaco p lad o [8 ], estas te o ria s co incidem (isto é, são equivalentes).
E sta últim a tra je tó ria foi investigada n o m odelo d e A rv e e seus c o la b o ra d o re s[1 0 ], p o r B ulgac e seus c o la b o r a d o r e s [ll] ( o s resu ltad o s são a p re se n ta d o s n o cap. V ).
V isto q u e em cáuculos realísticos, é m uitas vezes p ro ib itiv a a utilização d e te o ria s p a ra tra je tó ria s o b tid a s d e fo rm a autoconsistente, p ro c u ra -s e o b te r tra je tó ria s c o letiv as d e e q u a çõ e s d e H a rtre e -F o c k com V ínculo(H F V ), e, já q u e é d o nosso in te re s s e (v e r cap. V ), vam o s d a r um a b re v e d e scrição desta teo ria. C om este intuito, vam os to m a r u m a ham ilto n ian a g e n é ric a do tipo
H ^ T ò -t . (11-17)
1 4 > >
(n -ia )
é um d e te rm in a n te de S later).
N e sta te o ria a h am iltoníana d e p a rtícu la única(s.p.), é o b tid a to m a n d o o v a lo r e sp e ra d o d a h am ilto n ian a (e q .(II-1 7 )), em (11-18) e v a ria n d o ^ C^> .
A e q u a ç ã o d e tra je tó ria é obtida pela v a ria ç ã o da h am iltoníana d e s.p. vin cu lad a(v ia m u ltip licad o res d e L agrange), a o p e ra d o re s coletivos(Q jj). D e ste m odo, os e sta d o s v a ria cio n a is p o d em s e r p a ra m etriz a d o s a tra v é s d e um ou m ais o p e ra d o re s coletivos. P o r ex e m p lo o m o m en to d e quad ru p o lo (asso ciad o à d e fo rm a ç ã o ), e o m o m e n to d e h ex ad ec a p o lo (a sso c ia d o a fo rm a çã o d o pescoço), n o p ro ce sso d e fissão. A ssim , tra ta n d o a d e fo rm a ç ã o c o m o c o o rd e n a d a coletiva, p o d e-se o b te r estad o s de m e n o r en e rg ia associados a c a d a v a lo r da d efo rm ação , a tra v é s d e um cálc u lo v aríacio n al com vín cu lo
é < ( Í > C x ) l H - \ Q l c Í > W l > ; (11-19)
on d é o o p e ra d o r d e q u a d ru p o lo Q, fix a a d e fo rm a ç ã o
/ , z Q • ( n - 2 0 )
E stes estad o s en tão , p e rm ite m a o b te n ç ã o d o p o ten cial c o le tiv o
P a ra se c o n s tru ir a ham iltoniana co letiv a é necessário o b te r a en erg ia c in ética associada a este m odo. P a ra tal p o d e -se o b te r a m assa a tra v é s d a a p ro x im aç ã o ”C ra n k in g ”( v e r c a p . l l d a r é f .[7]). E n tã o o o p e ra d o r d e energia c in ética é definido c o m o
o n d e
(11-23)
P o rta n to , nesta a b o rd ag em tam b ém precisam os im por c rité rio s físicos(vínculos), p a ra a o b te n ç ã o d a tra je tó ria coletiva.
A ssim , estas tra je tó ria s coletivas p o d em g e ra r, so b re a su p e rfíc ie m ultidim ensional de e n e rg ia, d ife re n te s cam inhos, p a ra o sistem a ev o lu ir d e um m ínim o a o u tro . P o rta n to o p o ten c ial (co letiv o ), associado a c a d a tra je tó ria se rá d ife ren te , e estam os obrig ad o s a escolha d e um p a rtic u la r. E sta escolha im plica em um potencial c u ja a ltu ra e la rg u ra (d a b a rr e ir a ), n ã o são n e c essa ria m e n te as reais. A lém deste, tem os ain d a o p ro b lem a d e q u e os a c o p la m e n to s com o s o u tro s g rau s d e lib erd ad e, q u e são d e sp re z a d o s nestas teo rias, in flu en ciam a p ro b ab ilid a d e d e tu n elam en to , o q u e p o d e ria s e r tra d u z id o co m o um a m o d ific a ç ão na b a rre ira , ou seja, a c ria ç ã o d e um potencial efetivo.
V isto q u e estas ta ra je tó ria s co letiv as podem g e ra r d ife re n te s poten ciais e m assas coletivas, elas p o d e m g e ra r d ife re n te s pro b ab ilid ad es d e tu n elam en to , o q u e p o d e s e r visto n o c á lc u lo d e sta p ro b ab ilid a d e pelo m éto d o W .K .B .[1 ]. N e sta te o ria o "spliting” é d e te rm in a d o p o r
I ^ B ^ ^ , C n -2 4 )
e U ü é a fre q u ê n c ia a n g u la r clássica na reg ião p erm itida.
A e x p o n e n cia l a p a re c e n d o n a e q u a çã o (II-2 4 ), é usualm ente d e n o ta d a com o P e n e tra b ilid a d e da B a rre ira na a p ro x im a ç ã o W .K .B .[1 ].
A m en o s q u e se tenha um a tra je tó ria coletiva ótim a, to d as as tra je tó ria s podem s e r c o n sid e rad a s c o m o um a p rim e ira ap ro x im aç ã o , e som ente q u a n d o se tem um m odo c o le tiv o e x a ta m e n te d esacoplado os p o ten ciais obtidos c o rre sp o n d e m às b a rre ira s dinâm icas. E stas b a rre ira s dinâm icas levam em co n ta os aco plam entos com os o u tro s g ra u s d e lib e rd a d e d u ra n te o p ro c e sso d e tunelam ento. P o r vezes elas podem s e r sim uladas p o r p o ten c iais e m assas efetivas.
III
Cap. III - 0 Método e as Bases
A idéia p re se n te na m aio ria das te o ria s p a ra m ovim entos coletivos (fissão p o r e x e m p lo ),é a d e q u e o sistem a evolui ao longo d e um a calha o u v a le (tra je tó ria coletiva), s o b re a su p e rfíc ie m ultidim ensional d e e n e rg ia(N a fig. [IV -3], po d e-se o b s e rv a r c la ra m e n te um v ale so b re a su p e rfíc ie bidim ensional V (q ,x )), sendo q u e as co o rd e n a d a s o rto g o n a is ao fu n d o da calha esta ria m associadas aos o u tro s g rau s d e liberdade. C om o vim os n o cap ítulo a n te rio r, as v á ria s te o ria s fo rn e c e m , se p ara d a m e n te , tra je tó ria s co letiv as d ife ren te s, c a d a um a d esp re z a n d o , d e algum m odo, os acoplam entos com os g ra u s d e lib e rd a d e n ã o coletivos.
E stes g rau s d e lib e rd a d e o rto g o n a is(n ã o coletivos) ,p o d e m (c o m o discutim os no c a p ítu lo a n te rio r), g e r a r poten ciais efetiv o s q u e m odificam as pro b ab ilid ad es de tu n ela m e n to . P o r o u tro lado, eles podem s e r tratad o s, ao m enos na vizin h an ça da tra je tó tia coletiva, co m o oscilad o res h a rm ô n ico s o rto g o n ais(n ão acoplados). Isto nos p e rm itiria d e s c re v e r a d inâm ica co m o
(n i-
1)
o n d e (q^p««), e stã o associados aos m odos ortogonais m encionados acim a, ( ÍT, X ) a o m o d o co letiv o e o ú ltim o te rm o en v o lv e o a co p lam en to dos diversos g rau s de lib e rd a d e com o g ra u coletivo.
A p re s e n ç a dos ac o p la m e n to s im plica q u e tra ta m e n to s d o tipo W .K .B ., o n d e ap en as a h am ilto n ían a coletiva
U A l
-V
I
é le v a d a em co n ta, d e sp re z a m te rm o s q u e n ão n e cessariam en te são desprezíveis. E m o u tra s p a la v ras, tra je tó ria s coletivas p a ra m odos n ão e x a ta m e n te desacoplados n ã o fo rn e c e m rig o ro sa m e n te u m a resp o sta ú n ica p a ra o p ro b lem a d e tu n ela m e n to m ultim ensional.
D e s te m o d o a p rese n ç a dos aco p lam en to s a fe ta a p ro b ab ilid ad e d e tunelam en to , o qu e p o d e ria s e r sim ulado a tra v é s d e um a ham ilto n ian a efe tiv a
N e s te tra b a lh o vam os e m p re g a r um m étodo, sugerido p o r M akri e M iller[13], p a ra in v estig a r ás d ife re n ç a s riás p ro b ab ilid ad es d e tu n elam en to e n tre este m éto d o e alguns q u e u tiliz a n d o eq u a çõ e s p a ra tra je tó ria s analisam tu n elam en to em um a dim ensão.
A seg u ir d e scre v e m o s o m étodo.
I I I . l - O Método
A essência d o m éto d o p ro p o sto p o r M ak ri e M iller[13], é fo rm u la r um a p re s c riç ã o p a ra so m a r os efe ito s dos m odos orto g o n ais 'a tra je tó ria , d e fo rm a a o b te r um a h a m ilto n ian a efetiv a. C om e ste fim , eles p ro p õ e um "an satz” p a ra a fu n çã o d e o nda d o tipo
o n d e d e p e n d e ap e n as d a c o o rd e n a d a co letiv a e ((Ç3i) é um a fu n çã o d e o n d a d e um o sc ila d o r h a rm ô n ic o deslocado, o b tid a c o m o segue.
C om o au x ilio das fu n çõ e s d e on d a ( p o d e -se o b te r a seguinte ham iltoniana, re s trita às c o o rd e n a d a s o rto g o n a is(v e r eq. ( I I I - l ) )
que é c la ra m e n te a ham iltoniana de um o scilador h a rm ô n ico d eslocado, c u ja s fu n ç õ e s d e o n d a são dadas p o r
I )<
\
• ( III-7 )O b v iam en te, a fu n çã o d e o n d a ((Ç^) d e p e n d e d o p a rtic u la r e stad o ( escolhido. D aí a o rig em d o s u p ra índice em ( CÇtá' )•
D e s te m odo, a base p a ra o sistem a to ta l se rá
e os e le m en to s d e m a triz p a ra a h a m ilto n ia n a (e q .(III-l)), nesta base, s e rã o d ados p o r(p o r e n q u a n to a base ( ) é g e n é r ic a ) ^
VÎI
, (III-9 ) o n d eH t k - < c i . m c £ i H j >
(IlI-lO .a ) k h : « s i c [ U A \ < s > - ^ ' y , (I lI -lO .b )A /
( i i i - i i ) ( v e r a p ê n d ic e A -2 ).J á q u e o a n satz p a ra a fu n ç ã o d e on d a é g eral, a e q u a çã o ( III-9 ) n ã o possui ap ro x im aç õ e s. P o r o u tro lado, e sta tam bém n ão fo rn e c e nenhum a sim plificação, p o rq u e p a r a re s o lv e r o p ro b le m a, p rec isaría m o s diagonalizar esta m atriz in teira.
A p ro p o sta d e M ak ri e M iller[1 3 ], é então, to m a r com o h am iltoníana efe tiv a d o sistem a(n a a p ro x im a ç ã o d e o rd e m z e ro ), a p a rte da eq u ação (III-9 ), q u e é diagonal nos n ú m e ro s qu ân tico s d o s osciladores, i.é.
ü í i -
C
-e p a ra a m a triz ham ilto n ían a -ef-e tiv a , t-em os -en tão
U U = ^& [w & í
^ v ú ) K ‘ 4
(III-1 3 )
O s c o e ficie n te s q u e a p a re c em na e q u a çã o (III-1 3 ) são d e n o m i n ados fa to re s d e F ra n k -C o n d o n (F C ), cu ja fo rm a é (v e r a p ên d ice A -1 )
(111-14)
o n d e
= - ^ Í V v i ,
-e, o b v iam en t-e, c a rre g a m um a g ra n d e co n trib u iç ã o dos acoplam entos.
A q u i d e v e m o s e n fa tiz a r q u e os acoplam entos e n tre os g rau s d e lib e rd a d e já e stã o sen d o lev ad o s em c o n ta n o p ró p rio ansatz. N e ste sentido ele d ife re d a fo rm a usual e a escolha d a b a se ( C ) to m a -s e crucial.
C om o o b je tiv o d e c o m p re e n d e r m elh o r esta p resc riç ã o , vam os s e p a ra r a m a triz ( i n - l 3 ) em suas p a rte s diagonal (n a base ( (Jçj ^ )),
U 'à . c 4 Ç / (111-15)
A qui, p o d e ría m o s fic a r ten tad o s a e sco lh e r a base ( ) p a ra s e r aquela que d iagonaliza a h am iltoniana coletiva. N e ste caso, teriam os
(III-1 7 .a )
(III-1 7 .b )
e p o d em o s o b s e rv a r c la ram e n te q u e um a escolha d este tip o d e s p re z a algum e fe ito dos aco p lam en to s. A in d a devem os le m b ra r q u e um a escolha d e ste tip o nos lim ita a sistem as c u jo s te rm o s d e a co p lam en to possuam elem entos diagonais n a base coletiva(i.é, K y^O ), o q u e n ão n e cessariam en te é v e rd a d e iro p a ra q u a lq u e r sistem a. N o caso d e o
a c o p la m e n to n ão possu ir term o s diagonais, precisam os incluir, p e rtu rb a tiv a m e n te , term o s d e o rd e m s u p e rio r[ l 3],(isto é, dev eríam o s c o n sid e ra r as tran siçõ es p a ra estad o s n'í=n dos o scilad o res).
D e s te m o d o a escolha da base ( ) é guiada, não c o m o u su alm en te p a ra s e r a q u e la d o s estados coletivos, m as sim p a ra p re s e rv a r os efeito s dos aco p lam en to s na h a m ilto n ian a efetiv a, já n a a p ro x im aç ã o d e o rd e m zero.
A sugestão d e M ak ri e M íU er[13], é u sa r um a base n ã o o rto g o n a l lo calizada (B ase d e C au ssia n a s R eais L ocalizadas), q u e a p re se n ta rem o s n a p ró x im a seção.
C o m o em q u a lq u e r esquem a ap roxím ativo, este tam bem a p re s e n ta u m a p e rd a d e g e n e ra lid a d e , e e ste talv e z seja o asp ecto m ais d ram á tic o desta a p ro x im a ç ã o . P odem os o b s e rv a r q u e a h am iltoniana e fe tiv a e q .(III-1 3 ), dep en d e das fu n ç õ e s ( <^ i ) via os p a râ m e tro s K j , e d este m odo, um a m o d ificação nestas fun çõ es im plica em u m a m u d an ç a
vi
'i
i '
(n i-
1 8)
n ã o leva a um a tra n sfo rm a ç ã o u n itá ria da ham iltoníana e fe tiv a e q .(III-1 3 ), i.é.
E sta p e rd a d e u n ita rie d a d e p a ra a ham iltoniana e fe tiv a im plica que seus a u to v a lo re s d ep en d em da p a rtic u la r escolha d a base. P o r o u tro lado, é possível r e c u p e r a r esta im p o rta n te p ro p rie d a d e , re to rn a n d o p a ra o sistem a total(i.é, p a ra m a triz com p leta d o sistem a), desde q u e a base ( ) seja com pleta.
C o ncluindo, o p ro ce d im e n to acim a d e sc rito nos fo rn e c e um a h am iltoníana e fe tiv a q u e lev a em co nta, explicitam ente, os efeitos dos acoplam entos. D e v e m o s re ssa lta r q u e a te o ria d e M a k ri e M iller p e rm ite um tra ta m e n to em todas as o rd en s, e a a p ro x im aç ã o d e o rd e m z e r o é um caso p a rtic u la r, o nde in c o rp o ra -se m ais aco p lam en to s do q u e n o tra ta m e n to susal.
A seg u ir vam os e stu d a r a B ase de G aussianas L ocalizadas(B G L ).
III.2 - Base de Gaussianas Localizadas(BGL)
E m 1985, I.P. H am ilton e J.C . L ight[14], m otivados n o tra b a lh o d e M .J. D av is e E .J. H e lle r[1 5 ]( e ste tra b a lh o tra z um a p ro p o sta d e utilização d e B ases d e G aussianas C o m p lex as, cu jas localizações so b re as tra je tó ria s clássicas d o e sp aç o d e fases está fu n d a m e n ta d a em arg u m en to s sem iclássicos), p ro p u se ra m a u tiliz a ç ão d e B ases d e G au ssianas R eais L ocalízadas(B G L ), tam bém so b re argum entos sem iclássicos, p a ra re s o lv e r p ro b le m as variacio n ais(o u d e cam p o m édio au to c o n siste n te ), de estad o s víb ra c io n a is.
N e sta seção vam os a p re s e n ta r a p ro p o sta dos a u to re s e d isc u tir alguns asp ecto s d e sta base.
P o ré m , a n te s d e a p re s e n ta r a B G L , vam os d isc u tir algum as im plicações d e se u tiliz a r bases n ã o ortogonais.
A
V am o s su p o r q u e desejam os d iag onalizar um o p e ra d o r h e rm itian o H (q u a lq u e r), em um a base n ã o orto g o n al. N e ste caso o p ro b le m a d e a u to v a lo re s d ife re da fo rm a usual, i.é,
U Ú - ^ ^ t , (III-2 0 )
A *
(o n d e U e E são as m atriz e s de a u to v e to re s e a u to v a lo re s d e H , resp e c tiv a m e n te, e S é a m a triz " o v e rla p ”), e d este m odo som os o b rig a d o s a d iag o n alizar a m a triz "o v e rla p ” p rim eiro . A g o ra, se T é a m atriz q u e diagonaliza S (T*" T = T T = i ) , en tão
A ^
6<
i= T ' 6 T ,
( i n - 2 1 )
e p o dem os e s c re v e r a e q u a çã o (III-2 0 ) com o
H ' f ^ O = Ü E ^ ( m -22) (H ’= T ^ H T ). D e c o m p o n d o Sd=Sd^ S d ^o p ro b le m a d e a u to v a lo re s s e rá e n tã o ' ^ ( in - 2 3 .a ) o n d e ~ » L A H -- 5 d ‘ H í>4 , ( in - 2 3 .b )
\ / = 6 d T " U , ( m - 2 3 .c )
e a m atriz dos a u to v e to re s p o d e s e r obtida in v e rte n d o a e q u a ç ã o m atricial
(III-23.C)
A
-( J = T V . (III-2 4 )
P o rta n to , a diagonalização do o p e ra d o r H (q u a lq u e r), exige a in v ersã o da m a triz do s a u to v a lo re s do "o v erlap ”, e p recisam o s g a ra n tir(a o m enos n u m erica m en te ), a in d ep en d ên cia lin e a r da base. D e o u tro m o d o ficam os im pedidos d e in v e rte r esta
A
m a triz (já q u e a d ep en d ên cia lin e a r im plica n o apm recim ento d e a u to v a lo re s d e S nulos). P a ra elim inar este problem a, a escolha d a base ( (^ t ) d e v e s e r cuidadosa. A sugestão d e H am ilton-L ight[14], é
, C n i-2 6 )
onde os parâm etros Aj e Xj(larguras e centros das gaussianas, respectivam ente),
d e v e m s e r escolhidas seguindo c rité rio s q u e satisfaçam a física d o p ro b le m a e busquem m a n te r a base d e tal fo rm a q u e ela ad m ita u m a re p re se n ta ç ã o co m p le ta e lin e a rm e n te in d e p e n d e n te a tra v é s das o p e ra ç õ e s d e scrita s acim a.
V isando p ro b lem as gerais, eles p ro p õ e que:
1- os c e n tro s das gaussianas e stejam dispostos d e tal fo rm a q u e d e scre v a m as a u to fu n ç õ e s v e rd a d e ira s(c o m seus nodos), d e fo rm a suave;
2 - a indep en d ên cia lin e a r d a base se ja g a ra n tid a p o r um a ju s te d a s la rg u ra s A j
q u e seja com p atív el com o espaçam ento.
V ejam o s a p ro p o sta p a ra esp açam en to sem íclássico.
V am o s su p o r q u e desejam os d e s c re v e r n estad o s ligados d e um sistem a, utilizan d o a B G L (e q .(III-2 6 )). E n tã o a fu n çã o d e o n d a p a ra um d e te rm in a d o e sta d o (n), possui (n - 1) n o dos espaçados, sem íclassícam ente, d e tal m o d o q u e a a ç ão sem íclássica, e n tre dois n o dos é d a d a p o r
J / c
o n d e p (x ) é o m om ento clássico d e u m a p a rtíc u la com en e rg ia Ej, em x. J á q u e a
fu n ç ã o d e onda d e v e s e r um a co m binação lin e a r d e gaussianas, precisam o s no m ínim o, um a fu n ç ã o c e n tra d a e n tre dois nodos. D e ste m o d o podem os lo calizar, sem íclassícam ente os nodos e e n tã o d istrib u ir as fu n çõ e s d a base e n tr e os nodos. S e f o r n ec essá rio in clu ir o u tra s fun çõ es p a ra a u m e n ta r a p re c isã o dos resu ltad o s(i.é, m e lh o ra r a d e sc riç ã o d o sistem a), estas podem s e r incluídas tam b ém sem iclassícam en te(v er abaixo).
V am o s e n tã o d e fin ir a q u an tid ad e Rl(1i= 1),
o n d e Rl é o n ú m e ro d e níveis p a ra u m a d a d a e n e rg ia E (v e r a p ê n d ic e B .l) , e Xttiíti
e Xjjjgjj são os po n to s d e r e to r n o clássicos. E n tã o p a ra o c a so E= E j,; R L =n+l, e os c e n tro s d as gaussianas p o d em s e r definidos com o os Xj q u e satisfazem
(III-2 9 .b )
ou, p a ra o caso m ais g eral, o n d e o n ú m ero d e fu n çõ es é m a io r q u e o n ú m e ro d e níveis(M > n),
( III-3 0 .a )
f
(v e r a p ê n d ic e B .2 )
A re fe rê n c ia [14] tam bém tra z a p ro p o sta d e u tilização d e um a B G L com c e n tro s Xj d istribuidos igualm ente e n tre os p o n to s d e r e to m o clássicos, i.é.
(III-3 1 .a )
r )Cv C i - V') ,
(III-3 1 .b )
e m é o n ú m e ro d e fun çõ es que d esejam os utilizar.
A g o ra p a ra c o m p le ta r a esp ecificaçao da base, ainda p recisam o s e sc o lh e r as larg u ras A j. Assim se d esejanos um a boa base(localizada), p a ra d e s c re v e r n estad o s
ligados d e um sistem a, esta d ev e se r cap az d e f o rn e c e r fu n çõ es d e o n d a suaves(em o u tra s palav ras, já q u e vam o s lo calizar o p acote, os elem entos d e m a triz d a E n erg ia C in ética n ã o dev em se r m uito g ra n d e s), e p o rta n to os A j dev e m s e r p e q u e n o s(v e r a p ê n d ic e B .3). P o r
o u tro lado, co m o vim os acim a, a base d ev e ser, ao m enos a p ro x im ad am en te, lin e a rm e n te in d ep en d en te. D e ste m o d o os A j não devem s e r m uito pequenos.
A ssim d e v em o s e sco lh e r as lai^guras A j d e tal m odo a o b te r um b a la n ç o e n tr e os e lem entos d e m a triz d e E n e i^ ia C inética(A j p eq u en o ), e um a ra z o á v e l in d ep e n d ê n c ia lin e a r d a base(A j g ra n d e ).
A p ro p o sta d a re f.[1 4 ], é e scalo n ar as larg u ras Aj a tra v é s d o n ú m e ro m d e
fu n ç õ e s q u e s e rã o utilizadas m ais um p a râ m e tro liv re "c"(q u e s e rv e p a ra o tim iz a r algum a m edida d e en e rg ia e /o u c o n tro la r a in d ep endência lin e a r d a base),
A u - ^ (III-3 2 .a )
(III-3 2 .b )
\
1
A c = I . (III-32.C)
P odem os o b s e rv a r que estas definições p a ra as la rg u ra s tam bém v ã o f o r n e c e r um a d istrib u ição sem iclássica das funções d a base via os c e n tro s Xj.
C om o já m encionam os n o início d esta seção, a so lu ção d e p ro b le m as d e a u to v a lo re s em bases n ão diagonais exige a diagonalização d o "o v erlap " e a in v e rsã o da m a triz dos seus a u to v a lo re s , e d este m odo p recisam os a g a ra n tia d e in d ep en d ên cia lin e a r d a base.
P a ra d isc u tir esta im p o rta n te p ro p rie d a d e , vam os to m a r u m a B G L com c e n tro s Xj
ig u alm en te e sp aç a d o s(v e r e q s.(III-3 1 ) e (111-32)), i.é.
iftr Y ( i n - 3 5 )
W. z
(III-3 3 )
o n d e (V = X j„ax'^m in)- A ssim o o v e rla p se rá
A e q u a çã o (III-3 4 ) p o d e se r e scrita com o
(III-3 4 )]
on d e
^ rr • a = L ç .^ • X - ^ .
V ' v j t / d \j'- ^ ( in - 3 6 .a )
A g o ra n o lim ite o n d e o n ú m ero n d e fun çõ es ten d e a in fin ito (n o o ), as ex p o n en ciais q u e a p a re c em na integral da e q .(III-3 5 ), podem s e r c o n sid e rad a s c o m o um a seq u ên c ia d e lta [1 6 ], c e n tra d a s em (xj + x j)/2 , i. é.
(III-3 7 )
D e ste m odo, p a ra n fin ito terem o s
6 h '
» F ( . \ c - i \ , e O , (III-3 8 )m as a m edida q u e n c re sc e o o v e rla p a p ro x im a-se do o v e rla p d e fu n çõ es d e lta isoladas, c e n tra d a s s o b re (Xj+Xj)/2
e ^ ( s Ct< - Un. + X;j)M) .
«A -OCO (III-3 9 )
D e ste m o d o o o v e rla p Sjj ten d e a z e ro ex p o n e n cia lin e n te com |i-j| . A g o ra dev em o s le m b ra r q u e ap e sa r d e q u e os elem entos d e m a triz Sy n ã o d ep e n d em d e n, os
a u to v a lo re s d e S dependem , já q u e a sua dim ensão é nxn. P o ré m , co m o vim os, p a ra esta base, p o dem os a u m e n ta r o n ú m ero d e funções e as defin içõ es p a ra os c e n tro s e la rg u ra s g a ra n te m a u to v a lo re s d e S d ife ren te s d e z e ro (i.é , S c o n tin u a positiva definida, p a r a um d a d o c fixo).
P o rta n to a B G L p a re c e s e r com pleta, a o m en o s n a reg iã o d e interesse(i.é, s o b re os n ú m ero s rac io n ais Xj), e n ã o fo rm alm en te su p e rc o m p le ta . H am ilto n -L ig h t[1 4 ], ain d a
su sten tam q u e os arg u m en to s acim a se ap licariam p a ra q u a lq u e r dom ínio d e x e q u a lq u e r d istrib u içã o dos X j, desd e que
--000
N o en tan to , p a ra p ro p ó sito s p rático s a B G L é b em c o m p o rta d a [1 3 ,1 4 ,1 5 e cap. V d e ste tra b a lh o ]
IV
Cdp. I V - A Hamiltoniana Efetiva de Tunelamento
Em 1987 A r v e e seus co la b o rad o re s[1 0 ], p ro p u se ra m um M odelo a fim d e c o m p a ra r v á ria s p resc riç õ e s u tiliz a d a s(v e r cap. V ), p a ra e stu d a r tu n ela m e n to em sistem as d e m u ito s corpos.
N e ste cap ítulo vam os a p re s e n ta r e ste M odelo e a o b te n ç ã o d a H am ilto n ian a E fe tiv a com a ap licação da p ro p o sta a p re se n ta d a n o c a p ítu lo III.
I V -1 -0 Modelo
U m m odelo, p a ra s e r utilizad o n a c o m p a ra ç ã o d e te o ria s d ife ren te s, d e v e s e r sim ples o su ficiente p a ra q u e se possa e n c o n tra r sua solução ex ata. A lém disso, p a ra p e rm itir um a re p re s e n ta ç ã o d e tunelam ento, d e v e sim u lar m ínim os isolados p o r reg iõ es d e b a rr e ir a . P a ra p re e n c h e r estes requisitos, os a u to re s p ro p u se ra m [1 0 ], um m o d elo c u ja ham iltoniana, q u e g o v e rn a a dinâm ica d e N p a rtícu la s distinguíveis, c a d a um a possuindo u m a c o o rd e n a d a co n tínua qj (q u e sim ula a d e p e n d ên c ia dos estad o s d e s. p. s o b re a
O s p rim e iro s dois term o s à d ire ita d a e q u a çã o (IV -1 ), re p re se n ta m a h am ilto n ian a d e H a rtre e (u m a p a rte d e o scilad o r d e um c o rp o , m ais u m a p a rte d e dois c o rp o s q u e aco p la a c o o rd e n a d a q ao spin). O últim o term o , é a in te ra ç ã o residual, incluida p a ra q u e b ra r a sim etria dos estados d e H a rtre e .
E ste m odelo é um a g e n e ra liz a çã o d o m odelo d e L ip kin[12], esten d id o p a ra in clu ir u m a d ep en d ên cia co n tín u a so b re a posição.
P a ra c o m p re e n d e r um p o u c o m elh o r o m odelo(eq. P /- 1 ) , vam os d e n o ta r M o v a lo r m édio d o spin to ta l na d ire ç ã o z ( D e ste m o d o sem in te ra ç ã o r e s id u a l, M é um bom n ú m e ro q u ântico, e a ham iltoniana d e H a r tr e e se rá d a d a p o r
(IV -2 )
A e q u a çã o (IV -2 ) é a ham iltoniana p a ra N oscilad o res h a rm ô n ico s deslocados, n ã o acoplados. P o rta n to , os estados d e s.p. s e rã o
(IV -3 )
isto é, para um d a d o M , os estados d e s.p. s e rã o estad o s p ro d u to s d a s fu n ç õ e s d e o sc ila d o r deslocado. A en erg ia p a ra estes estados é d ad a p o r
(IV -5 )
D e ste m odo, o estado d e m e n o r energia, p a ra um d a d o M, se rá d a d o pelo e sta d o fu n d am e n ta l dos osciladores(>S'^ = O ), e tere m o s
(IV-6)
Podem os o b se rv a r, n a eq .(IV -6 ), q u e a en erg ia é m ínim a q u a n d o |M | possui seu v a lo r m áxim o, e q u e ela c re sc e a m edida q u e o |M| dim inui. Isto é, a o c u p a çã o d e spin p ro v id e n c ia a b a rre ira d e se ja d a (v e r fig. IV . 1).
U m a sim plificação final p o d e se r obtida, n o tan d o q u e o m o v im en to in te rn o é d e sac o p lad o (so m e n te o c e n tro d e m assa é aco p la d o ao spin total), e in tro d u z in d o n ovas variav eis (IV -7 .a ) (IV-7.b) (IV-7.C) o btem os i
D e s p re z a n d o o segundo te rm o da e q u a çã o (IV -8 ), tem os
(IV-8)
(IV -9 )
Obs.: N e ste tra b a lh o vam os c o n sid e rar N = 2 J+ 1 , o n d e J é o v a lo r d o m o m en to a n g u la r to ta l p a ra a b a n d a d e estad o s que inclui o estado fundam ental.
A solução e x a ta foi o b tid a pelos a u to re s da r e f .[ 1 0 ] ( 0 b s .;0 s resu lta d o s o b tid o s p o r A rv e p a ra as en e rg ias d e excitação e resp ectiv o s "splitings", c o n ju n ta m e n te com
alguns co m e n tário s, são a p re se n ta d o s n o cap. V ), diag o n alizan d o n u m e ric a m e n te a h a m ilto n ian a eq. (TV-9), na base n a tu ra l da h am iltoniana sem in te ra ç ã o resid u al,
(IV -1 0 )
( CQvr são os a u to estad o s d o o scilad o r deslocado), e os p a râ m e tro s a p ro p ria d o s p a ra tu n e la m e n to n u c le a r em fissão e sp o n tâ n e a (v e r abaixo). O s a u to re s da re f. [10], e n c o n tra ra m cin c o níveis abaixo d a b a rr e ir a (N a fig. IV .2 p o dem os o b s e rv a r um d iag ra m a e sq u em á tic o (sem escala), p a ra os cinco níveis ab aix o da b a n 'e ira ).
( F Í § . r V “ 2 ) - D iigrà»4 esqueTnítico(sem esciU), dos cinco níveis abaixo da b arreira e doj "splitings’ de tunelamento
O s p a râ m e tro s são escolhidos co m o segue.
N é esco lh id o p a ra t e r a o rd e m d e g ra n d e z a d o n ú m e ro d e n íveis c ru z a d o s(n u m tra ta m e n to d e H F V ), ab a ix o d a b a rre ira (~ 5 0 )[4 ,6 ], A lém disso, e x iste m trê s escalas d e
e n e rg ia n a ham ilto n ian a(eq . (ÍV -9 )). A p rim e ira, associada a o m o v im en to d e s.p. da h a m ilto n ia n a (p a rte d e oscilad o r), fix a a escala d e en erg ia. N o p ro b le m a d e fissão e sp o n tâ n e a , a fre q u ê n c ia d e s.p. é id en tifica d a com a v ib ra ç ã o d e q u a d ru p o lo gig an te (~ 1 0 -1 5 M ev). A s o u tra s escalas são o b tid as p a ra fix a r a a ltu ra d a b a rre ira . E m fissão
e s p o n tâ n e a ela é d a oixíem d e c in c o M ev, e p o rta n to a b a rr e ir a d e v e t e r um a a ltu ra d e 1 /2 - 1/3.
O lh an d o p a ra os elem entos diagonais da h am iltoniana(eq. (IV -9 )), na base n a tu ra l(e q . (IV -1 0 )),
1)
ob serv am o s q u e ta n to q u a n to K a fe tam a a ltu ra da b a rre ira . Assim K é esco lh id o p a ra fix a r a a ltu ra da b a rre ira , e X p a ra sim ular a en e rg ia d e um "gap pairing"(~ 2 M ev), p a ra c o n fig u raçõ es a d ja c e n te s (i.é, M - 0 M Í2 ). A ssim , ^ é escolhido
p a ra p o ssu ir um v a lo r tal q u e os elem entos n ã o diagonais da in te ra ç ã o resid u al possuam u m a o rd e m d e alguns décim os no m eio d a barreira(M = |M ™ “ ^ |/2 ). Os p a râ m e tro s p ro p o sto s são
Kl = H O ”, VC - ^ = - 5 v O ; < v d ' ^ ( r v - i
2
)O sinal d e X® escolhido p a ra sim ular um a in te ra ç ã o resid u al a tra tiv a (já q u e a in te ra ç ã o p airin g te n d e a b a ix a r a energia).
ObS.: É im p o rta n te f r iz a r q u e a in te ra ç ã o residual Ô a sim ula a en erg ia d o "gap p airing" e n ã o a in te ra ç ã o pairing.
A S eguir vam o s a p lic ar a p re sc riç ã o d o c a p ítu lo a n te rio r p a ra o M odelo d e N egele.
IV-2 - A Hamiltoniana Efetiva de Tunelamento
V am o s a g o ra a p lic ar a m etodologia a p re se n ta d a n o C ap. III, p a ra o b te r um a h am ilto n ian a e fe tiv a p a ra o m odelo a p re se n ta d o n a seção a n te rio r .
C om este fim , vam os to m a r um a p a ra m e triz a ç ã o [8 ], tal q u e os o p e ra d o re s d e "spin” s e rã o dados p o r
(IV -1 3 .a )
o n d e
E n tã o a ham iltoniana clássica se rá d ad a p o r(eq s. (IV -9 ) e (IV -1 3 )),
^ ^
(IV -1 4 )C o n sid e ra n d o a a p ro x im aç ã o p a ra baixos m o m en to i^ v er a p ê n d ic e A d a re f.[8 ] e a re f-[7 ]), o btem os
(IV -1 5
o n d e
^ ( . < ^ . , 1
1 ^ )
c^c_o:);< - HA(IV -1 7 )
N a fig. (IV .3 ), p o dem os v e r um c o n to rn o da en e rg ia p o ten c ial V (q ,x ).
Fig. (IV-3)
- Conlomo dò energiapotendal V(ipt)(sem escMa).A n a liz a n d o o po ten cial V (q ,x ), nós e n c o n tra m o s q u e V é m ínim o p a ra
(T V -IS )
o n d e
= o (IV-20) (rv-
21
) e possui po n to s d e sela em o nde v J i = V v j ' - .A a ltu ra d a b a rre ira (h ), é e n tã o
_ X NJ ^ -v ^ ^ (IV -2 2 )
q u e é idêntica à d efin ição p a ra a a ltu ra e fe tiv a da b a rre ira d a d a n a ref.[1 0 ].
P a ra p ro sseg u ir com nosso objetivo, vam os r e e s c re v e r a ham ilto n ian a (e q .(IV - 15), na fo rm a
(IV -2 3 .a )
o n d e
X m " TT-- .
A g o ra, utilizando o m éto d o a p re se n ta d o n o cap. III, o b tem o s a ham iltoniana efetiv a, n a a p ro x im aç ã o d e o rd e m z e ro , com o
o n d e \ H . \ , ( r v - 2 5 .a ) (IV-25.b)
C e -
(IV-25.C) e (v e r ap. A .l) , ”*> 1 ^ I I h/i ^C
= -K-i n-, rr , co&A U - 'KVJ ' CÛ&K
(IV -2 6 ) /V H ' (IV -2 7 )
F c7
_________ _______ e . ^ n r - C ^ C ; ^\
d . \ (IV -2 8 ) o n d e hu. -- i l C c ^ C ^ )J á que a en erg ia do o scilador fixa a unidade d e energia, e é bem m aio r q u e as o u tra s escalas envolvidas, podem os c o n sid e rar(co m o um a boa a p ro x im aç ã o ), q u e o
oscilad o r p e rm a n e c e n o estado fu n d am en tal deslocado da posição d e e q u ilíb rio (v e r tam bém o re su lta d o e x a to n o cap. V ).
N e s te caso tere m o s
] . ( i v - 2 9 )
u tiliz a n d o ag ora, com o base p a ra o sistem a efetivo, a B G L a p re s e n ta d a n a se çã o 2 do cap. III
(IV -3 0 )
ob tem o s p a ra os elem entos de m a triz (v e r re f.[1 2 ]).
\In
j ú
H Í '' -- >■ (IV -3 2 ) L . (IV -3 3 )o n d e
~ • (IV -3 4 .b )
0 ci-C -V
P a ra d iag onalizar a ham iltoniana e fe tiv a (eq .(IV -2 9 )), precisam os ainda e sp e c ific a r os po n to s Xj (lo calização das gaussianas). C om este fim , vam os to m a r a p a rte
diagonal da ham iltoniana e fe tiv a (eq. (IV -29)),
(IV -3 5 )
on d e
N a fig u ra(IV .4 ), podem os v e r a fo rm a da p a rte diagonal do p o ten c ial efetivo.
Fig-(IV-4)
Parte diagoníl do potendal eíetívo(eq.(IV-37)A nalisanda o p o te n c ia l(e q .(IV -3 7 ), o btivem os
\ J ^ A
-(r v -3 8 .a )
• pC = C2. Y V ^ O ^ / í
D e ste m odo, a a ltu ra d a b a rre ira h^,, é igual a a ltu ra d a b a rre ira p a ra a su p e rfic ie
m ultidim ensional.
A fim de o b te r Vg= 0, vam os a d ic io n ar a co n sta n te na H col(eq .(IV -3 5 )).
Assim
en tão
M 'c-oUO X -V ic o :Ô c
(rv-39)
D e ste m odo, p a ra um a en e rg ia E=0, o m om ento se rá
] ‘" c o b A ^
(IV-40)
e p a ra o p rim e iro p o ç o (v e r fig. IV .4), Xj„jn= - tt e Xjjjgjj= í . Assim , p a ra a T
2-q u an tid a d e Rl, d efin id a n o cap. III, tere m o s
Q l = - j f r r u í d * * ^ . A integral d o m o m en to (e q .(rV -4 1 )), é
~
1 ^
V1
(IV -4 1 ) (rV-42) o que dá p a ra Rj^ .Q , . - < 3 , o L .
(TV-43)
D e s te m odo, tem os, n a a p ro x im a ç ã o sem iclássica, n o v e níveis em cad a poço. A lo calização sem iclássica p a ra n o v e gaussianas n o p rim e iro p o ç o ( as gaussianas p a ra o o u tro p o ç o são d efin id as p o r r e fle x ã o ), fo rn e c id a s pelas eqs. (111-29), está d a d a na tab e la [rV-1.]
Os re su lta d o s ob tid o s p a r a as e n e rg ias e resp e c tiv o s "splitings" p a ra a m b o s(esp açam en to sem íclássico e e sp a ç a m e n to igual), p a ra bases com um n ú m e ro v a ria d o d e elem entos, c o n ju n ta m e n te com alguns co m e n tário s e conclusões estão d ados n o cap. V . i X j(ra d ) i X j ( r a d ) 1 -1 ,2 5 6 0 ,2 6 2 -0 .8 2 7 0,51 3 -Ó.51 8 0 ,8 2 4 -0 ,2 5 9 1,24 5 0 ,0 2
Cap. V - Resultados e Conclusões
V im os nos capítulos a n te rio re s, v á ria s p re sc riç õ e s utilizadas p a ra a o b te n ç ã o de ham iltonianas coletivas, e discutim os q u e elas podem lev a r a potenciais e m assas d ife ren te s, q u e p o r sua v e z d ã o resp o stas d ife re n te s p a ra o p ro b lem a de tunelam ento. D esta fo rm a , vam os a p re s e n ta r e c o m p a ra r os resu ltad o s o btidos p o r algum as destas p resc riç õ e s, m ais p rec isam e n te H F V [1 0 ], e L inha d e V a l e [ l l ] , com os resultados o btidos sem negligenciar os aco p lam en to s e n tr e o g ra u co letiv o ( d e fissão), e os o u tro s g rau s d e lib e rd ad e [ca p .IV ].
N ó s diagonalizam os a m a triz ham ilto n ian a e fe tiv a (eq .(IV -2 9 ), p a ra v á rio s c o n ju n to s b a se(p a ra esp aç a m e n to sem iclássico e esp açam en to igual), com n ú m ero s d ife re n te s d e elem entos d a base. O s re su lta d o s se m antém ap ro x im ad am en te constantes, m as a m ed id a q u e o n u m e ro d e fu n ç õ e s c re s c e m uito, os resu ltad o s com eçam a a p re s e n ta r p ro b lem as d e v id o a d ep en d ên cia lin e a r d a base(isto é, os a u to v a lo re s da m atriz " o v e rla p ” to rn a m -se m u ito peq u en o s). N a tab e lafV -3 ], p o d em o s o b s e rv a r o menor a u to v a lo r da m atriz " ò v e rla p ”( ) psi*"® v á rio s c o n ju n to s base. O n ú m e ro N d e fun çõ es e o p a râ m e tro liv re " c " (p a ra am bos, e sp aç a m e n to sem iclássico e esp açam en to igual) fo ra m escolhidos fita n d o o p rim e iro e sta d o e x c ita d o fo rn e c id o pelo resu lta d o ex ato [1 0 ].
N a s tab elas [V -1] e [V -2], n ó s a p re se n ta m o s nossos resu ltad o s e aqueles o btidos p o r A r v e e seus c o la b o ra d o re s[1 0 ], utilizan d o um c álcu lo d e H F V (p a ra duas escolhas do o p e ra d o r d e vínculo : ^7*'^ > ^ ) , e H a rtre e -F o c k D e p e n d e n te do T em p o (em tem p o
im aginário), e p o r B ulgac e se u s c o la b o r a d o r e s [H ] co m a L inha d e V a le , p a ra a s en e rg ias d e e x c itaç ã o a p a r tir d o e s ta d o fu n d am e n ta l, e re s p e c tiv o s splitings.
O s resu lta d o s e x a to s fo ra m o btidos p o r A rv e [1 0 ], p a ra n 6 4 (n é o n ú m e ro q u â n tic o d o oscilad o r), e o s re su lta d o s o b tid o s p a ra n = 0 e n = 4 são v irtu a lm e n te idênticos(as d ife re n ç a s se n d o d a o rd e m d e 10“^ ). D e s te m o d o , a a p ro x im aç ã o q u e c o n sid eram o s (isto é, d e q u e o o sc ila d o r p e rm a n e c e n o e sta d o fu n d am e n ta l d eslocado), é raz o á v e l.
O s resu lta d o s o b tid o s p a r a esp aç a m e n to igual sã o m e lh o re s d o q u e aqueles o b tid o s p a ra e sp aç a m e n to sem iclássico, p o rém a c h am o s q u e esta q u e stã o m e re c e u m a investigação m ais cuid ad o sa.
T am b ém p o d e m o s o b s e rv a r n a tabela[V -23 q u e a escolha d e tra je tó ria s nos fo rn e c e splitings b a sta n te d ife re n te s, e co m o já m encionam os, estas d ife ren ç a s e stã o associadas as d ife re n te s m assas e potenciais co letivos q u e a fe tam d e m an e ira d ife re n te as p ro b ab ilid ad es d e tu n ela m e n to .
E x a to B .G .I.E . - N = 3 6
En. de excitaçîo "SpUling“ E a de excitaçSo 'SpW ng“
g.s. 13 ,00 g.s. 12,25 0 ,1 5 4 8 ,9 6 0 ,1 5 4 8,01 0 ,2 8 9 5 ,9 2 0 ,2 8 8 4,95 0,403 3,51 0 ,3 9 7 2,77 0 ,4 8 9 1.92 0 ,485 1,73
Tab.|V -l]
E nergiiJ da a x d ta ç îo média s raspectivos "spBttingi"(o valor dos “splitÜngs’sSo dados pot onde ^ 6 , . = - t bHFV(z) H F V lS j) B .G .S.E.
B .G .I.E H FD TI H F D T A
Spliting j Spliting N=18 N=3S Spliting Spliting Sptitiiig Spliting 1 « » .« 1225 13U» iz n 1<5 UM> 5JK W1 8.5T a j3 8.3 fi.5 <95 SJ9 5.87 <6 3.9 3.-0 2.T7 2 « 3Í1 2.2 2.1 3 .« 1.73 U » 1.92
Tàb.[V-2]
" 'SpUttng dos estido fundamanUl(g.s ) e dos 4 primeiros estados exdtidos. Espaçamento Igual B.G.S.E.-Espaçamento Semidissico (1 •" r - ... E .I. E .S. N = 2 4 N = 3 6 N = 4S N = 18 N = 36 C ks 1,39 2 ,8 x 1 0 ”^ 1,83 6,3x10-1 0,53 3,1x10"'^ 1,53 4,0x10-1 0,95 9 ,1 x 1 0 -^Rg. V"3]
“ c-parâm etrolivraKj - menor «utovalor da matriz “ovarlap” E.I. espaçamsnto Igual
E.S. espaçamento Semidissico
V am os ag o ra a p re s e n ta r os potenciais e m assas coletivas, obtidas p o r estas p rescriçõ es.
N o caso d e H F V , A rv e e seus c o la b o ra d o re s[1 0 ], o b tiv e ram ham iltonianas coletivas p a ra dois vínculos d ife ren te s. P rim e iro , v inculando a c o o rd e n a d a contínua z, o b tiv e ram o p o ten cial coletivo
com m ínim os em © = e sela em ©=(.íy**^)£, e um a b a rre ira
P a ra a M assa, u tilizando a e q u a ç ã o (11-22), e n c o n tra ra m
(V-2)
CV-3)
Q u a n d o utilizaram com o v ínculo o o p e ra d o r , o b tiv e ram p a ra o potencial coletivo
(V -4 ) com m ínim os e sela localizados em ©« '-*>ÍT e respectivam ente, e um a b a rre ira (V -5 ) P a ra a M assa - L
<s>
<Ch> • (V -5 .a)P a ra a L inha d e V ale, B ulgac e seus c o la b o r a d o r e s [ ll] , o b tiv eram um a ham iltoniana co letiva igual a o b tid a na a p ro x im aç ã o d e B o rn -O p p e n h e im e r(e sta tam bém o btida n a ref. [11]), o n d e o p o ten c ial co letivo é d ado p o r
M t o lC ô ) - MkíZ - (. H K i l c o b ^ e
,(V-6)
onde
CV-7)
com m ínim os e sela localizados d e m an e ira id ên tica às tra je tó ria s d e H FV , e um a b a rre ira
e p a ra a M assa
- L
(V-8)
-
S K ) c o 5 ^ e . -Ô v V _
CV-9)A fim d e f a z e r um a c o m p a ra ç ã o (a p e s a r d e q u e n ã o estam os obrigados d isc u tir estas questões n esta m etodologia), vam os to m a r a p a rte diagonal d e nossa ham iltoniana e fe tiv a (eq .(IV -2 9 )), o q u e nos d á
/ (V -1 0 )
a h
£> ]
CV-11)
to
i-V e o U / c ) . - X i-V ) * - - i-V v c o : . i x
com m ínim os e sela lo calizados co m o acim a, e u m a b a rre ira
CV-12) V \ = ) vWi - + ! CV-13) e p a ra a M assa VA
-“
V
íilb L '* - " \ CV-14) 1-VvObs.: A qui dev em o s re s s a lta r q u e n a m etodologia p o r nós utilizada, a m aio r c o n trib u iç ã o dos aco p lam en to s a p a re c e via os fa to re s d e F -C , que a p a re c e m n a fre n te do lad o d ire ito da e q .(IV -2 9 ), e q u e, p a ra os elem en to s diagonais, são to dos iguais a u m ( l) . P o rta n to , a h am iltoniana q u e a p re se n ta m o s acim a é um a a p ro x im a ç ã o p a ra nossa h am iltoniana efetiva, o n d e os aco p lam en to s são desp rezad o s.
L e m b ra n d o das defin içõ es p a ra os o p e ra d o re s d e spin (eq s.(IV -1 2 )), podem os e s c re v e r a ham iltoniana e fe tiv a (p a rte diagonal), com o
