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IV - A- M atem ática e a activ id ad e m atem ática

Importa dizer que, relativamente à visão da Matemática aqui proposta, os seus próprios defensores recomendam que ela deve ser considerada apenas como uma “aproximação muito grosseira” da Matemática real (Bourbaki, 1971, p. 339). Entre outros aspectos, é chamada a atenção para o facto de a descrição proposta ser uma descrição “ríg id a” 1: “nada é mais estranho ao método axio­ mático do que uma concepção estática da ciência”, dizem os autores, pois “as estruturas não são imutáveis, nem no seu número, nem na sua formà” (p. 34), acrescentando que a evolução e o desenvolvimento da Matemática poderá conduzir à descoberta de novas estruturas:

“A julgar pelos que produziram as estruturas actualmente conhecidas, podemos dar como adquirido que irá verificar-se um progresso decisi­ vo na invenção de [novas] estruturas (itálico no original). Naturalmen­ te, as estruturas [já conhecidas] não são de modo nenhum edifícios completos, e seria muito surpreendente se toda a essência da sua fonte estivesse já esgotada.” (p. 34)

A justificação da refo rm a e as suas finalidades educativas. A necessidade de mudança no ensino da Matemática manifesta em diversos países europeus, referida ao ensino não superior, vinha a ser sentida desde o início da década de cinquenta, e também em países do outro lado do Atlântico, muito em particular, nos Estados Unidos da América2. Os seus mentores e promotores presentes em Royamont justificaram a urgência e a necessidade dessa mudança invocando imperativos de natureza social, razões relacionadas com o desenvolvimento da Matemática e- razões relacionadas com o progresso científico e tecnológico3. 1 Para além deste aspecto, os autores consideram a descrição realizada “esquemática” — como fazem notar, “as coisas não acontecem da forma tão simples ou regular” como é sugerido — e “idealizada” pois, relativamente às estruturas principais o seu “exacto papel está longe de ser perfeitamente conhecido em todas as áreas da Matemática” (Bourbaki, 1971, pp. 33-34).

2 Os Estados Unidos da América do Norte e o Canadá não eram membros da OECE mas participaram também no inquérito e nos trabalhos do seminário de Royamont. Em 1960, vieram contudo a integrar aquela organização que, com a sua entrada, passou a denominar-se Organi­ zação para o Desenvolvimento e Cooperação Económica (ÒCDE).

3 Na exposição sobre os “argumentos em favor de uma reform a” que inicia o relatório do seminário, podemos encontrar:

— “A sociedade exige cada vez mais de todos os cidadãos o conhecimento de noções elementares de Matemática e o reconhecimento da importância do ponto de vista numérico.” — “Solicitam-se cada vez mais investigadores e engenheiros e que tódos eles devam possuir conhecimentos matemáticos sólidos.”

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Marshall Stone, na conferência com que abriu os trabalhos, depois de referir que grande parte dos assuntos matemáticos, que então se ensinavam aos alunos até ao final do ensino secundário, provinha de há pelo menos duzentos anos, e que, neste período de tempo, “e mesmo durante o último século”, como frisou, “se fizeram mais descobertas matemáticas do que no decurso de toda a restante história da humanidade” (Stone, 1961, p. 16), sintetiza, do seguinte modo, as razões para uma reforma do ensino da Matemática:

“Duas razões principais nos obrigam a analisar com um novo olhar a Matemática que nos propomos ensinar aos jovens ao lòngo dos seus estudos secundários e dos primeiros anos da universidade. Há, em primeiro lugar, o extraordinário desenvolvimento da Matemática pura da nossa época. Há em seguida o facto de que o pensamento científico: é cada vez mais tributário dos métodos matemáticos, numa era em que a sociedade tem necessidade de um número sempre crescente de investigadores de todas as disciplinas.” (Stone, 1961, p. 15)

Estes eram os argumentos com que os proponentes justificavam a reforma pretendida para o ensino da Matemática, defendida em Royamont com entusi­ asmo, convicção e optimismo, como.se pode depreender do tom geral de várias das intervenções no seminário e de análises sobre essa reforma — as de-Fey (1978) e de Moon (1986), por exemplo — e também, dos breves testemunhos - de uma das participantes, Emma Castelnuovo (Castelnuovo, 1983, 1990); Nas- conclusões gerais do seminário, o programa que tinha sido delineado durante -os" trabalhos é considerado “muito imaginativo, desafiador e bastante revolucioná­ rio” (p. 111), e é bem evidente o sentimento de que o que se propunha, em termos do ensino da Matemática, era profundamente diferente face ao que então se praticava na generalidade das escolas. “Em relação aos programas actuais”, diz-se nas conclusões gerais do seminário, “a reforma apresentada pela sessão de estudo representa uma mudança bastante radical”, acresçentando-se: “sé a mudança se concretizar dentro, de dez anos, será a primeira no. espaço de ..um século, e, com toda a evidência, essa mudança será muito tardia” (p. 131).

— “As novas aplicações da Matemática na indústria e em outros ramos da actividade econó­ mica obrigam a que sejam necessários mais matemáticos e que eles possuam conhecimentos -, matemáticos novos.” (OECE, 1961a, p. 11)

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Em termos de finalidades para o ensino da Matemática, os grandes propósi­ tos da mudança pretendida são formulados considerando a disciplina de Mate­ mática sob um duplo ponto de vista: “o. ensino geral” e “a formação dos alunos muito dotados (brillament doués)” (p. 164). São apresentadas três finalidades formuladas do seguinte modo: “Foram tidas em conta, em todas as discussões, três finalidades educativas que em parte se recobrem mas que não são certamen­ te contraditórias:

a) a Matemática como método de ensino liberal (meio de formar o es­ pírito);

b) a Matemática, base para a vida e para o trabalho (instrumento ne­ cessário a todos);

c) :a Matemática, enquanto propedêutica (preparação para os estudos universitários).” (p. 64)

Ou seja, reclama-se para a Matemática, em termos das finalidades do seu ensino, um triplo papel. Um papel formativo que, apesar de ser enunciado de um modo muito genérico, podemos dizer que é visto como um meio de desenvolver as capacidades mentais e intelectuais do aluno, um papel de preparação dos alunos tendo em vista o prosseguimento dos seus estudos, e um papel instru­ mental no que se refere à sua inserção na vida quotidiana e profissional. No entanto, a encerrar as conclusões do relatório, quando é enunciado o propósito com que os trabalhos de reforma são encarados, a primeira das finalidades anteriormente apresentadas não aparece, mantendo-se apenas as outras duas que visavam a preparação dós alunos para a vida quotidiana e para a continuação dos seus estudos1.

As orientações e propostas cu rricu lares de R oyam ont. A proposta da Matemática Moderna é hoje considerada um projecto reformador que, na sua concretização e no seu desenvolvimento, se veio centrar essencialmente numa mudança na estrutura e nos assuntos matemáticos do currículo. No entanto, os seus promotores em Royamont consideravam qüe a reforma era necessária, 1 Diz-se no relatório que é duplo o objectivo dos esforços empreendidos: “em primeiro lugar, preparar melhor os alunos para os estudos universitários; em seguida por à disposição de cada um, um instrumento utilizável na vida de todos os dias” (OECE, 1961a, p. 132).

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quer ao nível dos conteúdos matemáticos, quer ao nível dos métodos de ensino. Na verdade, esta dupla incidência com que a reforma era proposta é explicita­ mente formulada no relatório do seminário e permeia muitas das intervenções que ocorreram durante os trabalhos. “Todos estes elementos [que justificavam a necessidade de uma reforma] militam em favor de uma revisão do conteúdo e dos métodos de ensino da Matemática*’ (p. 11), diz-se logo nos primeiros parágrafos do relatório, assim como são aí valorizados aspectos como a “troca de pontos de vista entre os promotores de novos métodos de ensino da Matemá­ tica” (p. 12) e aqueles que irão elaborar nos novos programas, sublinhando-se que essa troca deveria incidir, não só sobre as transformações programáticas, mas também sobre “as técnicas pedagógicas e os problemas psicológicos” (p. 12) que esse ensino coloca. Igualmente, na especificação da reforma já referida — “Um programa moderno de Matemática para o ensino secundário” (OECE, 1961b) — elaborada cerca de um ano depois, na sequência das orienta­ ções e recomendações saídas de Royamont, constam, para além do conjunto dos temas e subtemas matemáticos, propostos para integrar os novos progra­ mas, indicações de carácter metodológico com algum desenvolvimento e dè diferente grau de generalidade1.

Também René Thom, um dos fortes detractores da reforma da Matemática Moderna, quer ao nível pedagógico, quer ao nível dos seus pressupostos episte^ mológicos (Thom, 1970), embora reconhecendo a grande complexidade, da.. Matemática Moderna no que diz respeito às suas origens, e ao que a constitui como movimento reformador, não deixa de lhe atribuir quer o objectivo de renovação pedagógica, quer o objectivo de modernização do currículo (Thom, 1973). A mesma dupla incidência, portanto, nos métodos de ensino e nos assuntos matemáticos curriculares, também reconhecida por James Fey, em 1978, na sua análise das mudanças na educação matemática nos Estados Unidos da América: “o projecto da ‘Matemática Moderna’ tendo em vista [a introdu­ ção no ensino] de novos conteúdos, nova estrutura curricular e novos estilos pedagógicos, constituiu uma ambiciosa agenda para os responsáveis pelo desen- 1 Por exemplo: “As situações concretas familiares aos alunos podem ser utilizadas como um ponto de partida para a teoria de conjuntos” (OECE, 1961b, p. 15); ou, “Com a ajuda cons­ tante dos alunos, muitas aplicações serão descobertas: o conjunto dos alunos na aula, o conjunto dos dedos da mão” (p. Í7); ou ainda, “Um modelo material (dando lugar, à observa­ ção e à experiência) é a base a partir da qual podemos desenvolver a abstracção matemática” (p. 75).

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volvimento de materiais, formação de professores e implementação dos pro­ gramas” (Fey, 1978, p. 343).

Do ponto de vista intemo à Escola e ao ensino da Matemática, evidenciam- sé, ria proposta de Royamont e na sua especificação de Dubrovnik, um propósi­ to principal global e algumas orientações curriculares centrais. O propósito principal tinha em conta essencialmente a continuação de estudos dos alunos1 e as necessidades do ensino superior, e visava acabar ou reduzir, o desfasamento que existia entre a Matemática dos programas das escolas secundárias e aquela que se estudava nas universidades. A este respeito, numa das conclusões gerais do seminário, a propósito do programa que foi aí delineado, é dito que esse programa “está em harmonia com as matemáticas universitárias m odernas” (OECE, 1961a, p. 360).

Na verdade, logo na alocução inicial do seminário (Stone, 1961), é dito que a modernização então já realizada nos cursos universitários de Matemática dera origem a um “fosso” considerado em progressivo alargamento, entre a univer­ sidade e a Escola secundária, no que respeitava à Matemática ensinada, extrain­ do-se dai a seguinte ilação:

- “Que não fosse apenas por esta razão, não podemos esperar mais . tempo para estudar de modo aprofundado a possibilidade de introdu­

zir certas noções modernas no programa do ensino secundário. É in­ dispensável fazê-lo se nós quisermos que os alunos estejam

familiarizados, ao entrar para a universidade, com a forma de raciocí­ nio matemático que deles depois esperaremos”, (p. 17)

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Jean Dieudonné, por sua vez, começou a sua intervenção, referindo, preci­ samente, o atraso do ensinò secundário face ao universitário, relativamente ao conteúdo matemático dos cursos, sublinhando as necessidades do ensino superi­ or: “para poder proporcionar um ensino matemático satisfatório, os professores da Faculdade são da opinião que os seus alunos do primeiro ano deverão estar

1 No resumo e conclusões dos trabalhos do seminário, apesar de se afirmar que o ensino da Matemática, muito ejn especial no que se refere ao ensino secundário, “não pode ser exclusi­ vamente orientado para a formação de futuros matemáticos”(OECE, 1961a, p. 109), reconhe­ ce-se que esses trabalhos se oriêntarám e desenrolaram tendo como preocupação primeira “ a formação dos alunos aptos para os estudos universitários” (p. 109).

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familiarizados com um certo número de técnicas , elementares1, cuja aprendiza­ gem exige tempo e que são necessárias para adquirir novas noções” (Dieudonné, 1961, p. 32). Considerando os programas do ensino secundário sobrecarregados de tópicos inadequados e desactualizados face ao desenvolvi­ mento da Matemática e ao que se ensina nas universidades, propõe que tais tópicos sejam retirados para que possa existir disponibilidade para aliviar “ a Universidade do fardo que só ela (...) suporta” (p. 34). Também em propostas programáticas específicas é visível a preocupação com os interesses do ensino superior e a continuação dos estudos dos alunos, como quando se diz a propósi­ to do ensino da Geometria: “Ao introduzir a Geometria vectorial o mais rapi­ damente possível, preparamos o aluno para os estudos universitários” (OEÇE,

1961a, p. 83). A importância que tal preocupação assumiu pode ainda inferir-se de um dos pontos das conclusões gerais do seminário, onde se considera que o programa delineado durante os trabalhos “está em harmonia com a Matemática universitária moderna” (p. 111).

Para a elaboração do programa de Dubrovnik (OECE, 1961b), foi clara­ mente assumida a preocupação com os alunos mais dotados do ensino secundá-. no , com o pressuposto de que estes alunos seriam os que mais facilmente se adaptariam aos novos assuntos matemáticos e a um ensino mais moderno, tendo sido acordado dedicar todo o tempo disponível aos temas considerados prioritá­ rios e sobre os quais deveriam incidir as principais transformações — a Álgebra; a Geometria e a Estatística. No entanto, para que esse programa pudesse sei “eventualmente acessível a todos os alunos” (p. 6), os autores pensaram con­ cebê-lo de modo a que pudesse ser convenientemente adaptado, tendo em conta alunos com expectativas diferentes em termos de prosseguimento, de, estudos. Com esse objectivo, estabeleceram uma divisão etária da escolaridade secundária em dois ciclos: para o Io ciclo (11-15. anos de idade), os programas foram 1 Dieudonné refere-se aqui a tópicos como álgebra linear elementar, Geometria analítica, elementos de cálculo diferencial e integral, tendo acrescentado ainda o domínio dà dedução lógica e “ter uma ideia” do método axiomático (Dieudonné, 1961, p. 32). N o entanto, fez questão em salientar que a enumeração destes tópicos não quer dizer que a eles se reduzam os objectivos do ensino da Matemática no nível secundário, justificando a enumeração que fez por ter apenas em mente, no que iria expor, o que chamou “o problema estritamente prático da passagem dos estabelecimentos [de ensino] secundário para a Universidade” (p. 32).

2 Na introdução do programa referido diz-se; “Ò grupo [de trabalho] decidiu dedicar-se mais particularmente à formulação de um programa adáptado à metade mais dotada dos álunos frequentando os liceus e ós gymnases” (OECE, 1961b, p. 6).

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elaborados pará poderem ser sujeitos á modificações dè modo a adaptarem-se a alunos de um “nível médio”; no 2o ciclo (15-18 anos) os programas foram elaborados tendo em vista a continuação de estudos e, sobretudo, os estudantes que escolhessem seguir estudos “mais avançados” (p. 6).

Às orientações principais no que se refere ao cunículo propriamente dito, incidiam principalmente sobre o seu conteúdo e estrutura, mas também sobre os métodos de ensino e assumiram muitas vezes o carácter de propostas e reco­ mendações concretas.

Sobre os conteúdos curriculares e sua organização. Na proposta de Royamont (OECE, 1961a) ressaltam duas orientações principais relativas ao conteúdo e organização curricular para um novo programa de Matemática que, de uma forma sintética, podem ser assim enunciadas: por um lado, dar ênfase à unidade da Matemática e, por outro, introduzir novos tópicos e abordagens, ditos modernos, da Matemática. Estas orientações decorriam essencialmente do diagnóstico que então era feito relativamente à Matemática ensinada no ensino secundário e que, em poucas palavras se pode traduzir do seguinte modo: a constatação dè um enorme atraso em relação ao estado do desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos da época e um desfasamento em relação ao que era ensinado nas universidades. Com base neste diagnóstico, as recomendações eféctuadas traduziram-se sobretudo numa valorização da Álgebra e da Geome­ tria vectorial, com a correspondente desvalorização da Geometria de Euclides1, na orientação axiomática dada ao estudo da Matemática, e numa valorização da linguagem é simbologia matemáticas.

No que se refere à unidade da Matemática, nas conclusões do seminário as­ sume-se qué elà é um dos traços característicos da Matemática mais actual e, por essa razão, recomenda-se contrariar toda a separação rígida tradicional entre os diversos domínios , matemáticos2. Considerando que “não é mais necessário 1 A expressão Geometria de Euclides é usada com ,o significado de Geometria baseada nos axiomas de Euclides, para seguir a distinção que os autores do programa de Dubrovnik fazem entre essa expressão e a expressão Geometria euclidiana que reservam para designar o estudo do espaço euclidiano que não é abandonado no programa, seguindo, no entanto outra aborda­ gem (OECE, 1961b).

2 Importa,, no. entanto, chamar a atenção para que, paralelamente a esta recomendação é

igualmente salientado que, nos anos mais iniciais do seu ensino, a unidade da Matemática só deve ser respeitada na medida em que decorra de um trábalho intuitivo prévio junto dos alunos,

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que a Álgebra seja [estudada de forma] isolada e paralela à Aritmética, à Geo-. metria, à Trigonometria, à Análise” (p. 115) defende-se, para o ensino secundá­ rio, um programa “unificado”, um programa que “respeite a unidade da Matemática” (p. 115).

Na verdade, a concepção unitária da Matemática está subjacente em diver­ sas intervenções no seminário sobre os aspectos curriculares da reforma, e tomou-se visível sob várias formas e em diversas propostas. Gustave Choquet, por exemplo, que interveio sobre o ensino da Aritmética, defende que, do ensino primário ao ensino secundário, “é importante não justapor Aritmética e Álgebra, mas, pelo contrário, fundi-las tão completamente quanto, possível” (OECE, 1961a, p. 66). E, na proposta que apresentou, sustenta que tal objectivo pode ser conseguido, repare-se, através do estudo das estruturas matemáticas, elementos essenciais, como vimos, na concepção bourbakista da Matemática (Bourbaki, 1971) que as toma, simultaneamente, como a base da unidade desta ciência e. elementos geradores dessa unidade. A importância dada às estruturas matemátir cas, aparece também na alocução de W. Servais sobre o ensino da Álgebra, onde defende que, logo “no início do ensino secundário” (OECE, 1961a, p. 71), a Álgebra deve incidir sobre o estudo das estruturas, argumentando que .estas constituem o seu verdadeiro objecto1.

A valorização da unidade da Matemática e a tendência, no ensino, para uma diluição das fronteiras entre os diversos domínios matemáticos, pode ainda identificar-se quando, na sequência da intervenção de Servais, é dito, como síntese da discussão sobre Geometria dedutiva, que a maioria as propostas apresentadas apontavam no sentido de uma abordagem algébrica da Geometria, para substituir os métodos tradicionalmente utilizados no seu estudo. Esta ideia está igualmente presente na discussão das propostas de O. Botsch, inteiramente dedicadas à Geometria, quando é recomendado “realizar o mais depressa e se ajuste, podemos dizer, às suas percepções espontâneas primordiais (também aqui, por certo, não será alheia a influência dos trabalhos de Piaget). Sobre esta questão, diz-se no relatório: “não é necessário respeitar, no iniciar [da aprendizagem] dá Matémáticà, uma unidade que não resulte da intuição, nem das noções instintivas de quantidade e de e sp a ç o ” (OECE, 1961a, p. 113).

1 Cabe aqui a menção ao facto de que não houve acordo, no que se refere ao ensino das, estruturas algébricas dos números como os grupos, anéis è corpos. A este respeito, na disc.us- são subsequente à intervenção de Servais, a “maior parte” dos presentes consideraram preferível que essas ideias constituíssem uma orièntação para o professor “mais do que [idéias a] serem estudadas sistematicamente no rifvel secundário” (OECE, 1961a, pp. 76-77).

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possível [na escolaridade] a síntese entre a Álgebra e a Geometria” (OECE, 1961a, p. 85), para promover a transição das noções geométricas intuitivas do