Bilhares com paredes suaves
4.2 Bilhar com paredes suaves
1 + m2 /m1 1+γ (4.1)
com γ = m2 /m1 sendo a raz˜o de massas das part´a ıculas. O sistema n˜o ´ erg´dicoae o se θ for um m´ ltiplo racional de π, mais especificamente, escrevendo-se θ = u n π comm
m e n inteiros. Com isso 4n velocidades distintas podem ser encontradas. Se θ for um n´ mero irracional de π, o espa¸o das velocidades torna-se denso.u c
Como exemplo quˆntico de estudo de bilhares com paredes suaves temos aa an´lise dos autoestados e autofun¸˜es do bilhar Andreev [60]. Esse bilhar possuia co
geometria retangular com paredes parab´licas. Libisch et al. [60] mostraram que ´o e poss´ encontrar as autoenergias atrav´s da aproxima¸˜o EBK. Outro trabalho a serıvel e ca
citado, foi o estudo de um sistema composto por poucas part´ ıculas interagentes num bilhar quˆntico unidimensional [18]. Neste trabalho foi apresentado a distribui¸˜oa ca dos n´ıveis de energia do sistema. Atrav´s destas distribui¸˜es verificou-se que oe co
an´logo cl´ssico desse sistema, pode ser ca´tico. A condi¸˜o para isso acontecer ´a a o ca e fazer com que a raz˜o de massas das part´a ıculas seja diferente de um.
4.2 Bilhar com paredes suaves
Um bilhar bidimensional com paredes suaves foi apresentado em [19]. Neste trabalho apresentou-se um tratamento anal´ ıtico para dois caos distintos, uma e duas part´ıculas interagentes. As paredes do bilhar eram descritas por um potencial Gaus-siano. Mostrou-se que ´rbitas peri´dicas est´veis aparecem quando duas part´o o a ıculas, interagindo via potencial de curto alcance, movem-se num toro bidimensional.
Buscamos nesta disserta¸˜o estudar a dinˆmica cl´ssica conservativa do mo-ca a a delo f´ısico de duas part´ ıculas r´ıgidas e interagentes, aprisionadas num bilhar unidi-mensional com paredes suaves, em fun¸˜o da raz˜o das massas das part´ca a ıculas. Na
figura (4.3) temos um desenho esquem´tico do bilhar com paredes r´a ıgidas e paredes suaves. As paredes do bilhar fixadas em q = ±1, s˜o representadas pela fun¸˜oa ca
“erro”, de forma que esta passa a variar entre r´ ıgida e suave. A part´ ıcula 1 ficar´ doa lado esquerdo do bilhar enquanto a part´ ıcula 2 estar´ do lado direito. Como trata-a mos de part´ıculas r´ıgidas, as mesmas n˜o poder˜o trocar de lado, ou seja, a part´a a ıcula 1 n˜o pode estar no lado direito e a 2 do lado esquerdo. Esta organiza¸˜o do bilhara ca
n˜o impede que as duas part´a ıculas sintam a influˆncia das duas paredes, esquerdae e direita, separadamente. Tal fato se deve `s paredes suaves. Ent˜o, quando asa a duas part´ıculas est˜o pr´ximas a uma das paredes ambas sentir˜o sua presen¸a. Pora o a c exemplo, se a part´ ıcula 1 estiver perto da parede da direita (pr´ximo a q = 1), maso do lado esquerdo da part´ ıcula 2, as duas part´ ıculas sentir˜o a for¸a da parede.a c
O interesse principal deste trabalho ´ investigar o comportamento do sistema,e quando existe intera¸˜o entre as part´ca ıculas. Tamb´m buscamos obter respostas como:e qual a influˆncia na dinˆmica do sistema quando a raz˜o de massas das part´e a a ıculas torna-se um parˆmetro do sistema, e o comportamento do bilhar frente ` mudan¸aa a c das paredes.
- 1 1
-1
paredes r´ıgidas e paredes suaves.
1
Figura 4.3: Figura que representa o sistema de duas part´ ıculas em um bilhar unidimensional com
Agora descreveremos a constru¸˜o da fun¸˜o de Hamilton e as equa¸˜es deca ca co movimento do sistema. Como vimos no cap´ ıtulo 2 as equa¸˜es que descrevem aco dinˆmica de um sistema s˜o expressas pelas equa¸˜es de movimento no formalismoa a co
Hamiltoniano [24]
q=˙ ∂H
∂p , p=−˙ ∂H
∂q , (4.2)
onde q e p s˜o as coordenadas e os momentos generalizados respectivamente e H(q, p)a
´ a Hamiltoniana do sistema.e
Para duas part´ıculas aprisionadas num bilhar unidimensional podemos escre-ver as energias cin´ticas para cada uma das part´e ıculas separadamente como
1 ˙2
T1 = m1 q1 , 2
T2 = m12 q2 .˙2
2 (4.3)
Para a intera¸˜o entre as duas part´ca ıculas, utilizaremos o potencial de Yukawa e−αr
V (r) = V0 ,
r (4.4)
onde α ´ o parˆmetro que controla a intera¸˜o entre as part´e a ca ıculas, sendo que para α = 0 a intera¸˜o ´ de longo alcance e α = 0 temos intera¸˜o de curto alcance. Oca e ca
m´dulo do vetor posi¸˜o relativa ´ representado por r = |qo ca e 1 − q2 |. Quando V0 = 1 e α = 0 o potencial de Yukawa recai no potencial Coulombiano. O potencial de Yukawa, na forma apresentada aqui, possui o car´ter repulsivo, a mudan¸a do sinala c de V0 tornaria-o atrativo. Para descrevermos o potencial que representa as paredes
suaves do bilhar, supomos que a for¸a de intera¸˜o entre as paredes e as part´c ca ıculas seja expressa por uma distribui¸˜o Gaussiana,ca
F=√
de modo que possamos obter
σ→0
Fazemos com que a part´ıcula 1 esteja do lado esquerdo da caixa e a part´ ıcula 2 no lado direito. Com isso, a part´ ıcula 1 sofrer´ colis˜es com a parede da esquerdaa o e com a part´ıcula 2. A part´ ıcula 2 sofrer´ colis˜es com a parede da direita e com aa o part´ıcula 1. Como estamos trantando de duas part´ ıculas r´ıgidas, estas n˜o poder˜oa a trocar de lugar dentro do bilhar. Assim mesmo, cada part´ ıcula sofrer´ a a¸˜o dasa ca paredes opostas devido ` sua suavidade. Para escrever as express˜es das for¸as quea o c s˜o aplicadas pelas paredes nas part´a ıculas devemos antes fixar as paredes em q = −1 e 1. Ent˜o obtemos para a part´a ıcula 1
Para a part´ıcula 2, temos como for¸a correspondentec
F1,2 = √ 1
Generalizando essas express˜eso direita 2; o termo F0 introduzido ´ uma constante que nos d´ a intensidade da for¸ae a c aplicada.
O potencial que representa as paredes do bilhar ´ encontrado pore F (q) = − e sabendo que o centro do nosso bilhar est´ em xa 0 = 0, encontramos o potencial para a part´ıcula 1 como
Para a part´ıcula 2 temos
q2
Agora faremos os c´lculos do potencial devido `s duas paredes sobre uma das part´a a ıcula.
Os resultados obtidos poder˜o ser generalizados `s duas part´a a ıculas e aos dois poten-ciais. Ent˜oa
Estas duas equa¸˜es s˜o do tipoco a A express˜o geral ´ escrita comoa e
Vk (qi ) = (−1)k F0 2 erf
√ (q1 i + (−1)k−1 ) .
σ2 (4.23)
O comportamento do potencial, fun¸˜o erro, que representa as paredes doca
bilhar, pode ser visto na figura (4.4). A suavidade das paredes ´ obtida pela varia¸˜oe ca de σ. Esta suavidade ´ mostrada na figura com as diferentes paredes sobrepostas.e
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Figura 4.4: Esta figura representa as paredes do bilhar utilizado neste trabalho. A suavidade das paredes ´ obtida pela varia¸ao de σ. Esta suavidade ´ mostrada com as diferentes paredese c˜ e sobrepostas.