H´rcules Alves de Oliveira Junior

(1)

H´rcules Alves de Oliveira Junior e

PART ICULAS INTERAGENTES NUM BILHAR COM PAREDES SUAVES

Disserta¸õ apresentada ao Curso de P´s-ca o Gradua¸õ em Fća ısica do Setor de Ciˆnciase Exatas da Universidade Federal do Paran´, a como requisito parcial ` obten¸õ do graua ca de Mestre em F´ısica.

Orientador:

Marcus Werner Beims

Curitiba

2008

(2)

Dedico esta disserta¸˜o a minha m˜e, aca a mem´ria de meu pai, a meu irm˜o, a minhao a av´ materna e a minha noiva, pelo apoio emo todos os momentos e pelo amor incondicio- nal recebido deles.

Deus seja Louvado.

(3)

Agradecimentos

Em primeiro lugar agrade¸o a Universidade Federal do Paran´ e ao departa-c a mento de F´ısica pela oportunidade de estudo.

Ao professor e amigo Dr. Marcus W. Beims, pela paciˆncia e tolerˆncia nose a momentos em que seu aluno se mostra inexperiente nos estudos. Por todo conhecimento transmitido, que foi extremamente necess´rio para meu crescimento na vidaa acadˆmica. E pelo exemplo como profissional e pessoa.e

Ao meu amigo e colega Cesar, que me ajudou com os problemas computaci- onais e conceituais do meu trabalho, al´m do incentivo dado.e

Tamb´m devo citar minha av´ Eloah, que desde pequeno est´ junto de mime o a passando por maus bocados para que eu pudesse estar aqui agora.

A meu irm˜o Rafael, a quem amo muito.a

A minha noiva Isadora, que me acompanhou nessa etapa(mestrado) muito importante da minha vida. Agrade¸o por toda paciˆncia e compreenss˜o nos mo-c e a mentos em que abdiquei do meu tempo junto a ela para dedicar-me aos estudos e a constru¸˜o do nosso futuro. A ela, o meu muito obrigado por todo amor que recebi.ca Isa eu te amo.

A mem´ria de meu pai H´rcules, j´ falecido, que se orgulharia do trabalhoo e a realizado por mim.

E a minha m˜e Estela, que em todos esses anos lutou incans´velmente paraa a que eu conseguisse chegar onde estou agora. M˜e, meu muito obrigado, eu te amoa muito e ´ por vocˆ que luto todos os dias, e por uma vida melhor.e e

A CNPq pelo suporte financeiro.

(4)

A mente que se abre a uma nova id´ia nunca voltar´ ao seu tamanhoe a original.

Albert Einstein

(5)

RESUMO

Neste trabalho estudamos o problema de duas part´ ıculas cl´ssicas, intera-a gindo via potencial de Yukawa e aprisionadas num bilhar unidimensional de paredes suaves. As paredes sõ modeladas pela fun¸õ “erro” de forma que o limite de pa-a ca redes r´ıgidas pode ser obtido. Obtemos express˜es analó ıticas para a evolu¸õ doca sistema no espa¸o de fases e no espa¸o tangente, que mostram a influˆncia das pa-c c e redes e da intera¸õ entre as partća ıculas sobre a dinˆmica nõ regular do sistema.a a Estudamos a distribui¸õ dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo finito emca a

termos da raz˜o de massas entre as part´a ıculas, e a complexidade da dinˆmica podea ser verificada nas respectivas Se¸˜es de Poincar´. Por meio destas distribui¸˜es en-co e co contramos evidˆncias de trajet´rias aprisionadas em torno de ilhas de regularidade,e o caracter´ısticas de espa¸os de fases misto.c

-Palavras chaves: Bilhares, Distribui¸˜o dos Expoentes de Lyapunov, Potencial deca Yukawa, Part´ıculas interagentes.

-Areas de conhecimento: Sistemas complexos, Dinˆmica n˜o-linear.´ a a

(6)

Abstract

The problem of two classical interacting particles confined to a one-dimencional billiard with soft walls is considered. While the interaction between the particles is of Yukawa type, the soft walls are represented by “Error” functions, which allows us to analyze the hard walls limit. Analytical expressions for the system evolution in phase space and tangent space show the influence of the walls and of the interaction between the particles on the dynamics. The distribution of the finite-time Lyapunov exponents is analyzed as a function of the mass ratios, between particles. The com- plexity of the dynamics could be verified by the Poincar´ Surface of Sections. Withe the Lyapunov distribution, evidences of trajectories trapped around regular islands were found.

-Keywords: Billiards, Distribution of Lyapunov Exponents, Yukawa Potential, In- teracting particles.

-Knowledge area: Complex systems, Nonlinear dynamics.

(7)

Sum´rio a

1 Introdu¸˜o ca

2 Sistemas Dinˆmicosa

2.1 Sistemas Hamiltonianos . . . . 2.1.1

2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Coordenadas generalizadas e Formalismo Lagrangeano . . . . Formalismo Hamiltoniano . . . .

Sistemas Hamiltonianos integr´veis . . . .a Teorema KAM . . . .

Se¸˜o de Poincar´ . . . .ca e Armadilhas dinˆmicas . . . .a Expoente de Lyapunov . . . .

C´lculo do Expoente de Lyapunov M´ximo a tempo finito . .a a

12

16 17 17 19 20 20 22 23 23 25 29 Caos . . . .

Distribui¸˜o dos Expoentes de Lyapunov M´ximo a tempo finito 30ca a

32

35 35 37

45 45

45 53 Dinˆmica de part´a ıculas n˜o-interagentes colidindo com v´riosa a

potenciais degrau . . . .

Dinˆmica das partá ıculas nõ-interagentes no espa¸o tangente .a c 3 Extensõ do algoritmo de Benettina

4 Bilhares com paredes suaves 4.1

4.2

Introdu¸˜o . . . .ca Bilhar com paredes suaves . . . .

5 Resultados

5.1 Resultados anal´ıticos . . . . 5.1.1

5.1.2

(8)

5.1.3 5.2

5.2.1 5.2.2

Expoentes de Lyapunov para part´ ıculas interagentes . . . .

Paredes aproximadamente r´ ıgidas (σ = 5 × 10⁻³) . . . . Paredes Suaves com (σ = 5 × 10⁻²) . . . .

56 60 60 69 76 Resultados Num´ricos . . . .e

6 Considera¸˜es Finaisco

(9)

Lista de Figuras

2.1 2.2

2.3

Representa¸ao do movimento sobre uma superf´ toroidal. c˜ ıcie . ... 21

24 Representa¸ao da Se¸ao de Poincar´. Nesta figura o fluxo que representa a evolu¸aoc˜ c˜ e c˜

do sistema, atravessa uma se¸ao Ω em v´rios pontos, formando a se¸ao de Poincar´.c˜ a c˜ e

Exemplo de armadilha de ilha-hier´rquica com um conjunto de ilhas auto-similaresa presentes na dinˆmica do mapa padr˜o. (a) Espa¸o de fases completo. (b-d)a a c Consecutivas amplia¸oes na cadeia de ilhas. Figura extra´ de [36]. c˜ ıda . . . .

Exemplo de armadilha de rede para o mapa padr˜o. A figura mostra uma arma-a dilha de rede. Figura extra´ de [36]. ıda . . . .

A figura mostra a evolu¸ao das estruturas internas das ilhas. (a) Estado inicialc˜

de um ponto el´ ıptico. (b) Bifurca¸ao e cria¸ao de duas selas e dois novos pontosc˜ c˜

el´ıpticos. (c) Dois pontos el´ ıpticos imersos num mar ca´tico e separados por umao camada ca´tica. Figura extra´ de [36]. o ıda . . . .

Trajet´rias principal e sat´lite obtidas da evolu¸ao do sistema. Esta figura mostrao e c˜

a divergˆncia entre as trajet´rias. e o. . . .

Representa¸ao da passagem de um estado ` outro atrav´s de colis˜es no espa¸o dec˜ a e o c fases. Figura baseada em [21]. . . . .

Representa¸ao do bilhar de Bunimovich.c˜

26

27 2.4

2.5

28

30 2.6

3.1

33 36

36

38 4.1

4.2

4.3

4.4

...

´ ´

Em (A) Orbitas peri´dicas no bilhar circular. Orbitas ca´ticas nos bilhares (B)o o Sinai e (C) Pascalian Snail. . . . .

Figura que representa o sistema de duas part´ ıculas em um bilhar unidimensional com paredes r´ıgidas e paredes suaves. . . . .

Esta figura representa as paredes do bilhar utilizado neste trabalho. A suavidade das paredes ´ obtida pela varia¸ao de σ. Esta suavidade ´ mostrada com ase c˜ e diferentes paredes sobrepostas. . . . .

Aproxima¸ao do potencial suave em degraus. Em (A) potencial com apenas umc˜

degrau e 5 colis˜es. Em (B) representa¸ao de n degraus. o c˜ . . . . Bilhar com paredes aproximadamente r´ ıgidas σ = 5 × 10−3 .

41 5.1

5.2

47 62 ...

(10)

5.3 5.4

5.5

5.6

Bilhar com paredes suaves σ = 5 × 10−2 . ... 62

62

63 Sobreposi¸ao das paredes aproximadamente r´c˜ ıgidas (linha inteira) e paredes suaves

(pontos). . . . .

Convergˆncia dos expoentes de Lyapunov para 5 trajet´rias, num tempo de evolu¸aoe o c˜

de 104 e τ = 0, 2 para o tempo de evolu¸ao da trajet´ria sat´lite. c˜ o . . . .e

Valor m´dio do expoente de Lyapunov m´ximo a tempo-finito. Esta figura ´e a e constru´ com 400 trajet´rias para σ = 5 × 10ıda o −3 (paredes aproximadamente

r´ıgidas) com linha tracejada. A curva com linha inteira representa os expoentes para paredes r´ıgidas. . . . .

Distribui¸ao P (Λc˜ t , γ) dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo finito Λa t em fun¸ao da raz˜o de massas γ das part´c˜ a ıculas. Em (a) temos o caso de paredes aproximadamente r´ıgidas (σ = 5 × 10−3 ). Em (b) o caso de paredes r´ ıgidas. . . .

N´ mero de ocorrˆncias dos expoentes de Lyapunov m´ximo de maior probabili-u e a dade Λt p(γ). Na parte de cima da figura temos o caso de paredes aproximadamente r´ıgidas (σ = 5 × 10−3 ). Em baixo paredes r´ ıgidas. . . . .

Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 1, 0 e σ = 5 × 10a −3 . Figura gerada para 100 trajet´rias. A figura mostra ilhas de regularidade imersaso num mar ca´tico. o . . . .

63 5.7

65 5.8

66 5.9

67

68

69 5.10 Amplia¸ao da figura (5.9). Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massasa

γ = 1, 0 e σ = 5 × 10−3 . . . . .

5.11 Segunda amplia¸ao da figura (5.9). Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ c˜ e ıcula 1, para raz˜oa de massas γ = 1, 0 e σ = 5 × 10−3 . Forma¸ao de ilhas no espa¸o de fases. c˜ c . . . .

5.12 Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 1, 8 e σ = 5 × 10a −3 . A figura apresenta ind´ ıcios de poucas ilhas no espa¸o de fases. c . . . .

5.13 Valor m´dio do expoente de Lyapunov m´ximo a tempo-finito. Esta figura ´e a e contru´ para 400 trajet´rias para σ = 5 × 10ıda o −2 para linha inteira. Para a linha

tracejada temos o caso de paredes aproximadamente r´ ıgidas (σ = 5 × 10−3 ). . . . 70

71

72

72 5.14 Distribui¸ao dos expoentes de Lyapunov m´ximos a tempo finito P (γ) em fun¸aoc˜ a c˜

da raz˜os de massas γ das part´a ıculas. Caso de paredes suaves σ = 5 × 10 . . . .−2

5.15 N´mero de ocorrˆncias dos expoentes de Lyapunov m´ximo de maior probabili-u e a dade Λp _t(γ) para σ = 5 × 10−2 . . . . .

5.16 Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 0, 8 e σ = 5 × 10a −2 . Esta figura apresenta ilhas de regularidade no espa¸o de fases. c . . . .

5.17 Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 1, 0 e σ = 5 × 10a −2 . Observamos evidˆncias do comportamento misto do sistema atrav´s de armadilhase e

dinˆmicas imersas no mar ca´tico. a o . . . 73

(11)

5.18 Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 1, 0 e σ = 5 × 10a −2 . Esta figura ´ uma amplia¸ao da se¸ao (5.17), que possibilita a melhor visualiza¸aoe c˜ c˜ c˜

das ilhas. . . . 73

5.19 Se¸ao de Poincar´ da partć˜ e ıcula 1, para razõ de massas γ = 1, 0 e σ = 5 ×a 10−2 . Esta apresenta uma amplia¸ao de (5.17) em outra regiõ. Observamos oc˜ a

movimento regular coexistindo com o comportamento ca´tico. o. . . 74

74 5.20 Se¸ao de Poincar´ da part´c˜ e ıcula 1, para raz˜o de massas γ = 2, 2 e σ = 5 × 10a −2 .

Apenas uma regi˜o n˜o visitada ´ apresentada nesta figura. aa e . . . .

(12)

Cap´ ıtulo 1 Introdu¸˜o ca

O problema de muitas part´ ıculas interagentes ´ de fundamental importˆnciae a em todos os ramos da F´ısica, como na mecˆnica celeste, f´a ısica nuclear e de part´ıculas.

E conhecido que o n´ mero de constituintes (part´´ u ıculas), o tipo de intera¸˜o entre estesca constituintes, bem como as condi¸˜es de contorno, s˜o os fatores respons´veis peloco a a

tipo de dinˆmica presente no sistema. Normalmente sistemas com muitas part´a ıculas, ou seja, com muitos graus de liberdade, apresentam um comportamento irregular e

ca´tico.o

A investiga¸õ da origem do movimento ca´tico em bilhares, como o bilharca o de Sinai [1], bilhar est´dio de Bunimovich [2], ou do bilhar Anular [3], desempenhoua um papel pioneiro desde o in´ ıcio da teoria do caos. Nestes sistemas, a dinˆmica a ca´tica de uma unica partó ´ ıcula ´ consequˆncia da geometria espacial do bilhar. Parae e sistemas com muitas part´ ıculas interagentes, o movimento ca´tico pode ser geradoo pela combina¸õ de efeito da for¸a externa (paredes, for¸as oscilantes) e da intera¸õca c c ca m´ tua.u

Quando o n´ mero de partú ıculas ´ maior que um, o tratamento cl´ssico ee a quˆntico destes sistemas pode ser bastante complexo. Nos sistemas cl´ssicos, pora a exemplo, ´ poss´ construir Se¸˜es de Poincar´ que permitam analisar a dinˆmicae ıvel co e a das part´ıculas no epa¸o de fases. Algumas estruturas como armadilhas dinˆmicas ouc a Stickys podem aparecer. Uma ferramenta bastante util para quantificar a existˆncia´ e de armadilhas no espa¸o de fases ´ a distribui¸õ dos expoentes de Lyapunov. Maisc e ca especificamente, a variˆncia [4] dos expoentes de Lyapunov pode ser usada paraa este fim, ou a varia¸õ do expoente de Lyapunov m´ximo de maior probabilidade deca a ocorrˆncia, proposta recentemente [5] como uma ferramenta para determinar detalhese da dinˆmica no espa¸o de fases.a c

O problema de duas part´ ıculas em uma caixa unidimensional com colis˜es o r´ıgidas, pode ser tratado como um caso particular do movimento de trˆs part´ e ıculas num anel finito [6, 7, 8]. A dinˆmica de duas part´a ıculas tamb´m pode ser mapeadae pelo movimento de uma part´ ıcula num bilhar triangular [9]. Bilhares triangulares tˆm sido usados no estudo da difus˜o de energia em sistemas unidimensionais [10].e a

(13)

Em [11] foi estudado um sistema com duas part´ ıculas num bilhar unidimensional, no qual Casati et al. mostraram que a dinˆmica n˜o ´ erg´dica quando o ˆngulo θ, quea ae o a relaciona as velocidades das part´ ıculas, ´ um m´ ltiplo racional de π.e u

O problema envolvendo a intera¸õ entre as partća ıculas, para razõ de mas-a sas iguais, foi estudado em [13]. Duas part´ ıculas num bilhar unidimensional com intera¸õ Coulombiana foi considerado. Esse sistema exibe comportamento ca´ticoca o e atrav´s das se¸˜es de Poincar´ foram encontradas ilhas de regularidade no espa¸oe co e c de fases.

Um sistema cl´ssico em que duas partá ıculas estõ confinadas num bilhar uni-a dimensional foi apresentado em [5, 14]. Manchein et al. analisaram a dinˆmica a desse sistema variando a razõ de massas entre as partá ıculas. Para a intera¸õ dasca part´ıculas foi considerado o potencial de Yukawa, para curto e longo alcance. O bilhar apresentou comportamento ca´tico para ambos os tipos de intera¸õ. Ilhaso ca de regularidade afetam a distribui¸õ dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempoca a finito. Conforme aumenta-se a razõ de massas, verifica-se o decaimento do valora dos expoentes de Lyapunov.

Nos bilhares mencionados acima as paredes sõ consideradas rá ıgidas. Poten- ciais real´ısticos sõ, entretanto, suaves. Surge entõ a pergunta: qual o efeito dea a

potenciais suaves sobre a dinˆmica de partá ıculas interagentes? Neste contexto, o bilhar ´ptico foi estudado, numericamente e experimentalmente por Kaplan et al.o [15]. Esse bilhar ´ constitu´ pela ressonˆncia de um laser, com alta frequˆncia,e ıdo a e num ´tomo de a ⁸⁵Rb (Rub´ ıdeo). As paredes do bilhar foram modeladas atrav´s de e um potencial Gaussiano. O bilhar tem comportamento ca´tico com presen¸a de ilhaso c de regularidade no espa¸o de fases do sistema. Para esse sistema as paredes suavesc sõ consideradas como uma perturba¸õ ao sistema integr´vel, e a quebra dos torosa ca a sõ explicados pelo teorema KAM. O teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM)a fornece uma ferramenta importante para o entendimento de sistemas Hamiltonianos integr´veis submetidos a perturba¸˜es [16]. Quando a amplitude de uma perturba¸õa co ca cresce, alguns dos toros que descrevem a dinˆmica de sistemas integr´veis, come¸ama a c a ser destru´ıdos e a regiõ ca´tica no espa¸o de fases aumenta. A sequˆncia de quebraa o c e dos toros ´ fornecida pelo teorema KAM.e

Bilhares quˆnticos s˜o modelos feitos para o estudo da dinˆmica de el´tronsa a a e em pontos quˆnticos. Para este caso ´ utilizado um bilhar circular com paredesa e

r´ıgidas. Em [17] foi analisada a dinˆmica de um sistema de duas part´a ıculas interagindo via potencial de Yukawa, sujeito a um campo magn´tico, e confinadas em ume bilhar circular. Neste trabalho concluiu-se que quando a raz˜o de massas aumenta,a o sistema tende a um comportamento completamente ca´tico. Contudo, para es-o

pec´ıficos valores da razõ de massas, existe regularidade no sistema. Outra situa¸õa ca bastante interessante foi mostrada por Van Vessen et al. [18] utilizando um sistema quˆntico formado por duas partá ıculas confinadas num bilhar unidimensional. Neste trabalho mostrou-se que quando a razõ de massas entre as partá ıculas ´ diferente dee 1, o comportamento apresentado pelo sistema possui caracter´ ısticas ca´ticas.o

(14)

Neste trabalho estudamos o comportamento de duas part´ ıculas interagindo via potencial de Yukawa e confinadas a um bilhar unidimensional com paredes suaves.

As paredes do bilhar sõ modeladas pela fun¸õ “Erro”, de modo que o limite dea ca paredes r´ıgidas possa ser obtido. Para a an´lise da dinˆmica do sistema ´ apresentadaa a e a distribui¸õ dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo finito em fun¸õ daca a ca

m2

raz˜o de massas γ = a ^m¹das part´ ıculas. Apresentamos o n´ mero de ocorrˆncia dosu e expoentes de Lyapunov m´ximo de maior probabilidade. Enquanto a m´dia dosa e expoentes de Lyapunov quantificam o grau de caoticidade do sistema, a distribui¸˜o ca dos expoentes de Lyapunov, junto com o n´ mero de ocorrˆncias do expoente maisu e

prov´vel, nos fornecem importantes informa¸˜es sobre a existˆncia de armadilhasa co e dinˆmicas no espa¸o de fases. A verifica¸õ da existˆncia de trajet´rias aprisionadasa c ca e o em torno de ilhas de regularidade no espa¸o de fases, presentes na distribui¸õ dosc ca expoentes de Lyapunov, ´ feita atrav´s da Se¸õ de Poincar´ do sistema.e e ca e

Estudo semelhante foi apresentado em [20]. A dinˆmica do Mapa Padrõ foia a analisada atrav´s da distribui¸õ Bimodal dos Expoentes de Lyapunov M´ximo ae ca a tempo finito em fun¸õ das trajet´rias do sistema. O espa¸o de fases do sistemaca o c apresentou armadilhas dinˆmicas que diminuiram o valor do Expoente de Lyapunov,a criando dois picos distintos na distribui¸õ dos Expoentes.ca

Usando o m´todo de Dellago et al. [21], uma extensõ do m´todo cl´ssico de-e a e a senvolvido por Benettin et al. [22] para o c´lculo analá ıtico do espectro dos expoentes de Lyapunov, encontramos express˜es analó ıticas que fornecem a evolu¸õ do sistemaca no espa¸o de fases e no espa¸o tangente do bilhar. Fizemos uma aproxima¸õ dasc c ca paredes, representadas pela fun¸õ erro, atrav´s de n potenciais degrau. Essas apro-ca e xima¸˜es nos fornecem as quantidade fćo ısicas, presentes nas matrizes de evolu¸õ, queca levam a valores de expoentes de Lyapunov diferentes de zero, ou seja, nos mostram a influˆncia dos mesmos no comportamento dinˆmico do sistema. Um n´ mero maiore a u de ilhas de regularidade no espa¸o de fases ´ encontrado devido ` suavidade dasc e a paredes. Isto indica que para certas regi˜es do espa¸o de fases o sistema apresentao c uma dinˆmica regular.a

No cap´ıtulo 2 faremos uma introdu¸õ aos conceitos de Sistemas dinˆmicosca a tratando dos Formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano, passando por sistemas integr´veis, teorema KAM, Se¸õ de Poincar´, Armadilhas dinˆmicas, Expoentes dea ca e a Lyapunov, e pela Distribui¸õ dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo finito.ca a

No terceiro cap´ıtulo apresentaremos o m´todo desenvolvido por Dellago et al.,e citado anteriomente, para o c´lculo anal´a ıtico da matriz Monodrˆmica, que representao a evolu¸˜o do sistema no espa¸o tangente e fornece os parˆmetros que influenciamca c a seu comportamento.

No cap´ıtulo 4 estudaremos os conceitos b´sicos sobre part´a ıculas aprisionadas em certas regi˜es do espa¸o, ou seja, em bilhares. Tamb´m trataremos do sistemao c e

desta disserta¸˜o.ca

No cap´ıtulo 5 s˜o apresentados c´lculos anal´a a ıticos, que se baseiam na proposta feita no cap´ıtulo 3, e c´lculos num´ricos que visam qualificar o comportamento doa e

(15)

sistema estudado neste trabalho.

Por fim, no cap´ ıtulo 6 faremos as conclus˜es finais sobre o trabalho, baseadoso nos resultados obtidos no cap´ ıtulo anterior. Entre outros resultados, encontramos ind´ıcios de trajet´rias aprisionadas no espa¸o de fases com a distribui¸˜o dos expo-o c ca entes de Lyapunov. Atrav´s das se¸˜es de Poincar´ obtemos a confirma¸˜o dessese co e ca ind´ıcios e informa¸˜es importantes sobre o espa¸o de fases do sistema.co c

(16)

Cap´ ıtulo 2

Sistemas Dinˆmicos a

Em todos os ramos da ciˆncia um dos conceitos centrais no entendimentoe dos fenˆmenos naturais ´ o de evolu¸˜o no tempo. A descri¸˜o dinˆmica, na qualo e ca ca a o tempo exerce o papel essencial de vari´vel independente, ´ utilizada nas maisa e

variadas ´reas da fá ısica, astronomia, matem´tica aplicada e engenharia. O tempo á e considerado, nesta visõ, como um parˆmetro unidimensional, contá a ınuo, representado matematicamente pela reta dos n´ meros reais. Mesmo com o advento da teoriau

da relatividade, que quebrou o conceito de um tempo absoluto e independente do observador, a continuidade do tempo e seu papel de parˆmetro evolucion´rio b´sicoa a a permanece. Com o sucesso da mecˆnica newtoniana, nos s´culos XVIII e XIX,a e

no qual a evolu¸˜o temporal dos sistemas ´ representada matematicamente pelasca e

solu¸˜es das equa¸˜es de Newton, outras ´reas do conhecimento tiveram avan¸osco co a c significativos. Talvez a grande importˆncia do estudo da dinˆmica seja o fato dea a

podermos prever o futuro dos sistemas. De fato, a previsibilidade (pelo menos em

princ´ıpio), junto com o conceito de determinismo, ´ caracter´e ıstica central da f´ ısica cl´ssica.a

Neste cap´ıtulo falaremos sobre alguns conceitos de sistemas dinˆmicos, ema especial dos sistemas Hamiltonianos. Trataremos dos formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano. Analisaremos tamb´m os sistemas integr´veis e o teorema KAM. Nae a se¸õ (2.2) de caos, faremos um breve estudo sobre Se¸õ de Poincar´, Armadilhasca ca e dinˆmicas, e finalmente sobre expoentes de Lyapunov, incluindo a distribui¸õ dosa ca mesmos.

Um sistema dinˆmico ´ descrito por qualquer conjunto de grandezas, chama-a e das de vari´veis dependentes, que variam no tempo. O tempo ´ chamado de vari´vela e a independente. O estado do sistema ´ representado pelos valores, num dado instantee de tempo, do conjunto completo de vari´veis dependentes. O espa¸o de estadosa c poss´ıveis para um sistema ´ denominado espa¸o de fases. A evolu¸˜o de tal sistemae c ca

´ descrita por um conjunto de equa¸˜es discretas, por meio de mapas, ou cont´e co ınuas, atrav´s de equa¸˜es diferenciais, permitindo-nos a descri¸˜o do comportamento doe co ca

sistema conforme o tempo evolui. O sistema dinˆmico, no qual o tempo ´ umaa e

(17)

vari´vel cont´a ınua, ´ expresso por N equa¸˜es de primeira ordem autˆnomas [23]e co o

 dx

 dt1 = F1 [x1 , x2 , ..., xN ],



 ^dx²

 ^dt= F2 [x1 , x2 , ..., xN ],

 (2.1)

 .



 ^dx

^N _dt = FN [x1 , x2 , ..., xN ], o qual n´s podemos escrever em forma vetorialo

dx(t)

= F [x(t)],

dt (2.2)

onde x ´ um vetor de dimensõ N. Este ´ um sistema dinˆmico porque para qualquere a e a condi¸õ inicial do sistema x(0) podemos, em princća ıpio, resolver a equa¸õ (2.2)ca obtendo assim o estado do sistema em um tempo futuro.

Para o caso de sistema com tempo discreto, ou seja, tempo com valores inteiros, podemos citar o exemplo de um mapa escrito em forma vetorial como

xi+1 = M (xi ), (2.3)

onde xi possui dimensõ N. Dado um estado inicial xa 0 , podemos obter o estado no tempo i = 1 por x1 = M(x0 ). Determinando x1 podemos determinar o estado no tempo i = 2 atrav´s de xe ²= M (x¹), e assim os demais estados. Um sistema de tempo cont´ınuo de dimensõ N pode ser transformado num mapa de tempo discretoa de dimensõ N − 1, via tćnica da Se¸õ de Poincar´ [23].a e ca e

2.1 Sistemas Hamiltonianos

Sistemas Hamiltonianos s˜o uma classe de sistemas dinˆmicos cujo movimentoa a

´ descrito pela solu¸õ das equa¸˜es de Hamilton. Os sistemas Hamiltonianos di-e ca co ferem essencialmente de outros, por seu volume no espa¸o de fases ser constante.c Pode-se citar como exemplo de dinˆmicas Hamiltonianas, o problema de v´rios osci-a a ladores acoplados. Nesta se¸õ trataremos das coordenadas generalizadas, passandoca pela equa¸õ de Lagrange, pelo formalismo Hamiltoniano, sistemas Hamiltonianosca integr´veis e finalmente pelo teorema KAM.a

2.1.1 Coordenadas generalizadas e Formalismo Lagrangeano

O estado de um sistema Hamiltoniano num tempo qualquer ´ totalmentee obtido a partir de uma fun¸˜o escalar H(q, p, t) e do estado inicial. Para se obterca

(18)

esta configura¸õ, devemos antes, encontrar a equa¸õ de Lagrange. Por isso primeiroca ca introduziremos a formula¸õ Lagrangeana, e em seguida analisaremos a formula¸õca ca Hamiltoniana.

Em determinados sistemas ´ poss´ introduzir um certo n´ mero n de vari´veise ıvel u a independentes, expressas genericamente por q1 , q2 , ..., qn e denominadas coordenadas generalizadas [24, 25]. No caso de um sistema tridimensional teremos como coodena- das q1 , q2 e q3 representando, por exemplo, as coordenadas cartesianas x, y e z. Um sistema mecˆnico constitu´ por N part´a ıdo ıculas submetidas a p v´ ınculos holˆnomoso [25] expressam suas equa¸˜es da formaco

 f¹(r¹, ..., r^N, t) = 0

 ... (2.4)

 f (r , ..., r , t) = 0.p1 N

Das 3N coordenadas (x1 , y1 , z1 ), ..., (xN , yN , zN ) apenas n = 3N − p podem ser tomadas como independente entre si, ent˜o o sistema possui N graus de liberdade.a E poss´ introduzir N coordenadas generalizadas q´ ıvel ¹, ..., q^Nem termos de

ri = ri (q1 , ..., qN , t), i = 1, ..., N, (2.5)

para que as equa¸˜es (2.4) sejam identicamente satisfeitas. Cada conjunto de valoresco atribu´ıdos `s coordenadas generalizadas definem uma configura¸˜o do sistema, pora ca isso o espa¸o cartesiano, que possui coordenadas generalizadas como eixos, ´ chamadoc e de espa¸o de configura¸˜o do sistema.c ca

A segunda lei de Newton,

dp = F,

dt (2.6)

relaciona a varia¸õ temporal do momento p de um corpo ` for¸a F que atua sobreca a c ele. Pelo formalismo Lagrangeano essa lei pode ser reescrita de maneira equivalente em termos da energia cin´tica e da energia potencial associadas ` for¸a aplicada. Essae ac formula¸õ adv´m de um princ´ variacional escrito numa forma integral chamadoca e ıpio de princ´ıpio de m´ınima a¸õ [24]. O formalismo Lagrangeano consiste em escreverca uma fun¸õ com as vari´veis do sistema chamada de Fun¸õ de Lagrange descritaca a ca como

L(q, q, t) = T (q) − V (q),˙ ˙ (2.7)

onde T representa a energia cin´tica e V a energia potencial do sistema [24]. Dee posse desta fun¸˜o encontramos as equa¸˜es de movimento do sistema denominadasca co Equa¸˜es de Lagrange, que s˜o escritas na formaco a

d dt

∂L

∂ q˙k − ∂L

∂qk = 0,

k = 1, ..., n. (2.8)

Essas equa¸˜es constituem um sistema de n equa¸˜es diferenciais ordin´riasco co a de segunda ordem que determinam univocamente os q^k(t), desde que sejam dadas as

(19)

2n condi¸˜es iniciais. As equa¸˜es de Lagrange descrevem as equa¸˜es de movimentoco co co de uma forma mais simples do que a equa¸˜o de Newton, pois envolvem o n´ meroca u m´ınimo de coordenadas, al´m de eliminar qualquer referˆncia `s for¸as de v´e e a c ınculos.

Em lugar das for¸as e acelera¸˜es vetoriais que caracterizam a formula¸˜o Newtoni-c co ca ana, o m´todo de Lagrange apenas lida com fun¸˜es escalares, simplificando bastantee co nossos c´lculos. Essas equa¸˜es ainda nos permitem a utiliza¸˜o de qualquer sistemaa co ca de coordenadas generalizadas que melhor se encaixa em cada problema.

2.1.2 Formalismo Hamiltoniano

Na se¸˜o anterior vimos que, na formula¸˜o Lagrangeana, o movimento de umca ca sistema mecˆnico ´ descrito por equa¸˜es diferenciais ordin´rias de segunda ordema e co a no tempo. As equa¸˜es de Lagrange, para um sistema com n graus de liberdade,co constituem um conjunto de n equa¸˜es diferenciais ordin´rias de segunda ordem noco a

tempo para as coordenadas generalizadas q1 (t), ...qn (t). O movimento do sistema ´ e univocamente determinado desde que 2n condi¸˜es iniciais sejam especificadas, e ´co e descrito por uma curva no espa¸o de configura¸˜o.c ca

Na formula¸˜o Hamiltoniana o quadro ´ diferente, temos 2n equa¸˜es deca e co primeira ordem no tempo para 2n vari´veis independentes. O movimento do sistemaa

´ descrito por uma curva no espa¸o de fases, onde o estado do sistema ´ descritoe c e pelas vari´veis independentes q e p.a

Para que haja uma descri¸˜o hamiltoniana deve-se realizar uma substitui¸˜oca ca das vari´veis (q, q) para (q, p) em todas as grandezas mecˆnicas. A Hamiltoniana,a ˙ a

ou fun¸˜o de Hamilton, prov´m de uma transforma¸˜o de Legendre [26] e ´ escritaca e ca e como

H(q, p, t) = pj q˙j − L(q, q, t).˙ (2.9)

j

A partir da defini¸˜o de momento generalizado [26] obtemos as equa¸˜o de movi-ca ca mento do sistema, ou tamb´m chamadas equa¸˜es canˆnicas de Hamilton, expressase co o como

dqj ∂H(q, p, t)

= ,

dt ∂pj

∂H(q, p, t) dpj

=− .

dt ∂q^j

dH(q, p) dt =

=

j

(2.10)

No caso em que a Hamiltoniana n˜o dependa explicitamente do tempo teremosa

∂H dq^j∂H dp^j

∂q^jdt + ∂p^jdt

= 0. (2.11)

j

∂H ∂H ∂H ∂H

∂q^j∂p^j − ∂p^j∂q^j

(20)

Isso mostra que H ´ uma constante de movimento. Na situa¸õ em que podemose ca escrever a Hamiltoniana como uma soma, entre a energia cin´tica e a energia poten-e cial do sistema, poderemos dizer que a fun¸õ de Hamilton ´ igual a energia total doca e sistema, ou seja, H = E, entõ o sistema ´ dito conservativo.a e

2.1.3 Sistemas Hamiltonianos integr´veis a

Consideramos um sistema Hamiltoniano com N graus de liberdade. Se a equa¸˜o de Hamilton-Jacobi, expressa comoca

H q1 , ..., qN , ∂S ∂S ∂S , ..., ,t + = 0,

∂q¹ ∂q^N ∂t (2.12)

for separ´vel em N equa¸˜es independentes, uma para cada grau de liberdade, ent˜oa co a podemos dizer que o movimento resultante ´ integr´vel. Na equa¸˜o ( 2.12), S =e a ca

S(qⁱ, αⁱ) ´ a fun¸õ Geratriz [25] obtida da solu¸õ da equa¸õ de Hamilton-Jacobi.e ca ca ca As constantes de separa¸õ αcai sõ escritas em termos das vari´veis a¸õ-anguloa a ca αⁱ(ϕⁱ, Jⁱ), onde temos

Ji = 1 pi dqi , i = 1, ..., N, (2.13) 2π

como a representa¸˜o da vari´vel a¸˜o, e a vari´vel angular ´ descrita comoca a ca a e ϕⁱ= ∂S

∂Jⁱ . (2.14)

As constantes αⁱ(ϕⁱ, Jⁱ), s˜o conhecidas como integrais de movimento, ou invari-a antes de movimento. Cada invariante isola um grau de liberdade pela propriedade

∂H/∂pⁱ= f (qi ) [27].

Um sistema tamb´m ´ dito integr´vel se possuir m integrais de movimentoee a I1 (q, p), ..., Im (q, p) em involu¸˜o [27, 24], ou seja,ca

{I^k, I^l} = 0, k, l = 1, ..., m. (2.15)

Um sistema ´ dito Super-integr´vel quando possui mais constantes de movi-e a mento do que seus graus de liberdade.

2.1.4 Teorema KAM

O teorema KAM foi provado independentemente por Arnold [28] e Moser [29], seguindo uma conjectura proposta por Kolmogorov [30], por isso recebeu o nome de teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser).

Consideremos um sistema com dois graus de liberdade [27], onde a hamiltoniana ´ separ´vel e escrita como fun¸˜o das coordenadas e dos momentos generalizadose a ca

(21)

(q, p), e igual ` energia total do sistema (E). Devemos considerar ainda, ωa ¹e ω², como sendo as frequˆncias naturais do sistema. Essa rela¸˜o implica que, conhe-e ca cidos os valores de E e de trˆs vari´veis num instante t, pode-se obter o valor dae a

quarta vari´vel nesse mesmo instante. Portanto, uma vez que a condi¸˜o inicial ´a ca e escolhida, as trajet´rias permanecem confinadas numa variedade tridimensional deo

energia constante. Neste exemplo podemos escrever a Hamiltoniana em termos das vari´veis a¸˜o-ˆngulo (ϕa ca a 1 , J1 , ϕ2 , J2 ), da seguinte forma

K0 (J1 , J2 ) = E, e a evolu¸˜o do sistema ´ dada porca e

ϕ¹(t) = ϕ1 (0) + ω¹t, ϕ²(t) = ϕ2 (0) + ω¹t, (2.17) (2.16)

com J1 e J2 constantes. A condi¸õ inicial determina os valores das constantesca J1 , J2 , ϕ1 (0), ϕ2(0). Como h´ duas constantes de movimento, E e Ja 1 (ou E e J2 ), as trajet´rias estõ contidas numa variedade bidimensional. Representamos a evolu¸õo a ca desse sistema sobre uma superf´ toroidal. Sejam, respectivamente, Jıcie 1 e J2 , os raios menor e maior do toro, e ϕ1 e ϕ2 , os ˆngulos poloidal e toroidal, de acordo com aa figura (2.1). Como o movimento do sistema se d´ sobre uma superf´ Ka 0 = E =ıcie

2

J1

J2

1

Figura 2.1: Representa¸ao do movimento sobre uma superf´ toroidal.c˜ ıcie

constante, ent˜o cada valor de E corresponde a um toro de raios Ja ¹e J². Essa

superf´ toroidal ´ obtida atrav´s de Jıcie e 1 e= J2 (J1 , E) ou J2 = J1 (J2 , E). A varia¸˜o ca temporal da posi¸˜o angular de um ponto sobre o toro ´ determinada a partir dasca e

express˜es para ϕo 1 (t) e ϕ2 (t). Conforme o tempo passa, esse ponto descreve uma trajet´ria que tem a forma de uma h´lice toroidal. Se a raz˜o entre as frequˆnciaso e a e

n1 ω1

u a

q = ω2 , for um n´ mero racional, ou seja, se q = ⁿ², sendo n¹e n²inteiros, ent˜o o toro no qual se encontra a trajet´ria helicoidal toroidal ´ denominada de toro racionalo e ou superf´ racional, e o toro percorrido pela trajet´ria do sistema ´ chamado deıcie o e toro ressonante. Qualquer trajet´ria que perten¸a a esse toro se fecha ap´s no c ¹voltaso

(22)

poloidais e n2 voltas toroidais. Portanto, valores racionais de q implicam em um movimento peri´dico.o

Se q ´ um n´ mero irracional, ent˜o tem-se um toro irracional, e a trajet´riae u a o jamais se fecha. Assim, para t → ∞, qualquer trajet´ria cobre toda a superf´ doo ıcie toro, nesse caso, diz-se que o movimento ´ quase-peri´dico e o toro percorrido pelae o trajet´ria do sistema ´ chamado de toro n˜o-ressonante.o e a

Agora consideremos a Hamiltoniana perturbada

K(J, ϕ) = K0 (J) + εK1 (J, ϕ) = E. (2.18)

A Hamiltoniana K escrita em termos das vari´veis a¸˜o-ˆngulo, ´ dada pela somaa ca a e entre a Hamiltoniana K⁰, chamada de Hamiltoniana n˜o-perturbada de um sistemaa

integr´vel, com o termo perturbativo Ka 1 nõ-linear. Assume-se que a perturba¸õa ca seja pequena de tal forma que ε ≪ |K¹|/|K0|. Supondo que essa perturba¸õ quebreca

a integrabilidade do sistema, o problema agora ´ determinar se os toros sõ ou nõe a a destru´ıdos pela perturba¸õ. Em alguns casos, por menor que seja a perturba¸õ,ca ca eles sõ destruá ıdos [23]. Para os toros nõ-ressonantes, a resposta se obt´m atrav´sa e e do teorema KAM.

Este teorema nos diz que se as frequˆncias de um sistema hamiltoniano in-e tegr´vel Ka 0 sõ racionalmente independentes e suficientemente irracionais, entõ,a a para ε suficientemente pequeno, as solu¸˜es do sistema perturbado sõ predominan-co a temente quase-peri´dicos e s´ diferem ligeiramente das do sistema nõ-perturbado.o o a Portanto, perturba¸˜es fracas nõ alteram, substancialmente, a maioria dos toros queco a cont´m trajet´rias quase-peri´dicas. Sõ destrué o o a ıdos apenas os toros mais pr´ximoso dos ressonantes [25, 26, 27]. A medida que a intensidade da perturba¸˜es cresce, to-co dos os toros sõ sistematicamente destruá ıdos. Pelo teorema KAM sabemos [26] que o ultimo toro a ser destru´´ ıdo, ´ aquele cujo q ´ o n´ mero mais irracional possé _√ e u ıvel, o

( 5−1)

chamado m´dia de ouro dado por q = e ².

2.2 Caos

O estudo do caos iniciou-se com Henri Poincar´ entre 1886 e 1889, quandoe este elaborou solu¸˜es parciais para o problema de trˆs corpos [31]. Esta pesquisaco e foi publicada em 1899 e Poincar´ tinha o intuito de explicar a estabilidade do sis-e tema solar. Desde entõ, v´rios cientistas deparam-se com in´ meros problemas dosa a u quais nõ se podem encontrar solu¸˜es exatas. Um sistema pode ser completamentea co regular (nõ exibe caos) e ainda assim nõ possuir solu¸ao analá a c˜ ıtica expl´ıcita. E´ justamente o caso do pˆndulo simples [32]. Na realidade, uma defini¸õ exata dee ca

caos torna-se bastante complicada devido ` variedade e complexidade de sistemasa existentes na natureza, mas como uma defini¸˜o prim´ria, usaremos a seguinte pro-ca a posta feita por R. L. Devaney em [33]. Um sistema dinˆmico ´ ca´tico se possuira eo dependˆncia sens´e ıvel `s condi¸˜es iniciais. Isso nos diz que, as equa¸˜es de movi-a co co mento, com duas condi¸˜es iniciais pr´ximas dadas pelas posi¸˜es, geram trajet´riasco o co o

(23)

exponencialmente divergentes no espa¸o de fases do sistema. A sensibilidade a pe-c quenas varia¸˜es, sobre determinados parˆmetros contidos no sistema, faz com queco a apare¸a uma imprevisibilidade pr´tica em tempos futuros.c a

2.2.1 Se¸˜o de Poincar´ ca e

Uma ferramenta bastante util na transforma¸õ de um fluxo cont´´ ca ınuo no espa¸o de fases em um mapa discreto, ´ a Se¸õ de Poincar´. Esta transforma¸õ nosc e ca e ca diz que modificamos um sistema de N equa¸˜es diferenciais, em um mapa, com tempoco discreto, num espa¸o de fases com dimensõ N − 1. Tal m´todo foi desenvolvido porc a e H. Poincar´ para o estudo do problema de trˆs corpos.e e

O uso desse m´todo nos fornece algumas vantagens tais como:e

1) Redu¸˜o Dimensional do espa¸o de fases do problema, um espa¸o de N para N −1ca c c dimens˜es.o

2) Para sistemas com dimens˜es de ordem mais baixa, a integra¸˜o num´rica daso ca e equa¸˜es de movimento do problema, exp˜e uma forma mais simples a dinˆmica doco o a sistema.

3) Essa tćnica salienta alguns conceitos fé ısicos importantes no estudo do sistema, que nõ apareciam em sua forma original. Como por exemplo o aparecimento dasa curvas KAM em sistemas Hamiltonianos.

Para construir uma se¸˜o de Poincar´ consideramos um fluxo N-dimensional,ca e representado por equa¸˜es diferenciais do tipoco

dx(t)

= F [x(t)].

dt (2.19)

Essas equa¸˜es geram um espa¸o de fases dado pelas vari´veis do sistema. Fazendoco c a uma interse¸˜o num dado volume, nesse espa¸o, obtemos uma hiper-superf´ Ω porca c ıcie onde o fluxo passar´. Cada vez que uma trajet´ria gerada pela evolu¸˜o do sistema,a o ca atravessa a hiper-superf´ ıcie, ´ marcado um ponto representado por xe ⁿ, xⁿ⁺¹, xⁿ⁺²e

assim sucessivamente. A marca¸õ ´ feita num unico sentido. Com esses pontos ća e ´ e escrito o mapa de Poincar´ [26], que nos fornece a rela¸õ entre um ponto e outro.e ca

Na maioria dos casos nõ ´ poss´ achar uma expressõ analáe ıvel a ıtica para o mapa de Poincar´. Entretanto, na an´lisa num´rica esta ferramenta ´ bastante util. Essee a e e ´

esquema pode ser visualizado melhor na figura (2.2).

2.2.2 Armadilhas dinˆmicas a

A F´ısica Estat´ıstica considera sistemas dentro do chamado limite termo- dinˆmico [34] coma

N = constante, (2.20)

lim

V →∞ V

(24)

xn

Xn+2

Ω

Xn+1

Figura 2.2: Representa¸ao da Se¸ao de Poincar´. Nesta figura o fluxo que representa a evolu¸aoc˜ c˜ e c˜

do sistema, atravessa uma se¸ao Ω em v´rios pontos, formando a se¸ao de Poincar´.c˜ a c˜ e

sendo N o n´ mero de partú ıculas e V o volume que as limita. Certos sistemas dinˆmicos ca´ticos, como o problema de uma partá o ıcula confinada num bilhar retan- gular com dois lados sendo semi-c´ ırculos (bilhar de Bunimovch), podem apresentar caracter´ısticas diferentes das esperadas segundo a F´ ısica Estat´ıstica. As armadilhas dinˆmicas podem ser definidas como regi˜es do espa¸o de fases, onde partá o c ıculas (ou trajet´rias) podem permanecer durante grandes intervalos de tempo, nos quais ao

dinˆmica se torna quase-regular [35]. Uma das caracter´a ısticas de tais armadilhas, ´ e a sua propriedade fractal [36].

Um dos principais objetivos desta disserta¸˜o ´ estudar as armadilhas dinˆmicasca e a existentes no espa¸o de fases do sistema. Sabemos que em quase todo espa¸o de fa-c c ses de um sistema Hamiltoniano, podemos encontrar estruturas muito complicadas, onde regi˜es ca´ticas coexistem com regi˜es regulares ou quase-regulares [23, 27].o o o Uma consequˆncia qualitativa da presen¸a de armadilhas dinˆmicas num sistemae c a dinˆmico, est´ relacionada com a diminui¸˜o do m´dulo do expoente de Lyapunova a ca o local na armadilha, ou seja, a influˆncia das armadilhas aparecem no c´lculo doe a expoente de Lyapunov, durante o intervalo de tempo que a trajet´ria permaneceo aprisionada. Podemos classificar as armadilhas dinˆmicas, seguindo a literatura,a como:

◮ Armadilhas de Ilhas-hier´rquicasa

Esta armadilha relaciona-se ` existˆncia de regi˜es no epa¸o de fases onde ocorrea e o c

o aprisionamento de trajet´rias por um certo intervalo de tempo, e que mant´mo e uma auto-similaridade com diferentes partes do espa¸o de fases [36]. A figura (2.3)c apresenta uma se¸˜o de Poincar´, para o mapa padr˜o dado porca e a

pⁿ⁺¹= pⁿ+ Ksen(xⁿ), (2.21)

(25)

onde encontramos uma estrutura de armadilha de ilhas-hier´rquicas.a

◮ Armadilhas de Rede

Armadilhas de rede surgem atrav´s da varia¸õ de parˆmetros de controle de ume ca a sistema dinˆmico. O sistema pode apresentar diferentes bifurca¸˜es. Neste casoa co ocorre a cria¸õ de uma cadeia de ilhas que separam-se aos poucos, formando ilhasca prim´rias [36, 37]. Um exemplo deste tipo de armadilha ´ visto no mapa padrõ,a e a esquematizado na figura (2.4), que foi retirada de [36].

◮ Armadilhas de Camadas Ca´ticaso

A armadilha de camadas consiste numa ilha com um ponto el´ ıptico imerso no mar ca´tico, conforme a figura (2.5-a). Com a mudan¸a de um parˆmetro de controle,o c a

uma bifurca¸õ aparece na regiõ onde h´ a cria¸õ de dois pontos elća a a ca ıpticos adicionais e um hiperb´lico, de acordo com a figura (2.5-b). As separatrizes apresentadas nao

figura (2.5-c) sõ destruá ıdas por uma perturba¸õ e substituća ıdas por uma estreita camada ca´tica.o

2.2.3 Expoente de Lyapunov

Uma das caracter´ ısticas de um sistema ca´tico ´ a sua sensibilidade ` mu-o e a dan¸as nas condi¸˜es iniciais. Para medir a taxa de divergˆncia de trajet´rias, ec co e o portanto, quantificar a dependˆncia sensitiva `s condi¸˜es iniciais utilizam-se ose a co Expoentes Caracter´ ısticos de Lyapunov, ou simplesmente, Expoentes de Lyapunov [26, 32].

Num sistema de N equa¸˜es diferenciais ordin´rias, consideremos uma hiper-co a esfera de condi¸˜es iniciais centradas num ponto x(tco 0 ). A hiper-esfera se deforma com a evolu¸õ temporal do sistema. Assumindo que o raio inicial dca j (t0 ) varie exponencialmente no tempo ao longo da j-´sima dimensõ, com j = 1, 2, ..., N,e a temos a rela¸õ entre dca j (t0 ) e o valor correspondente ao instante t, dado por dj (t), expressa como

dj (t) = dj (t0 )eΛj (t−t0 ) . (2.22) Essa rela¸˜o pode ser reescrita comoca

Λ^j= 1 dj (t)

ln

(dj (tlim0 )→0) ((t−t0 )→∞) limt − t0 dj (t0 ) (2.23)

Os n´ meros Λu j s˜o chamados de expoentes de Lyapunov. Um sistema de dimens˜oa a N possui N expoentes de Lyapunov, e estes podem ser escritos de forma decrescente Λ¹≥ Λ²≥ ... ≥ Λ^N.

Num instante t > t0 , o volume V (t) da hiper-esfera ´ proporcional ao produtoe das distˆncias da ^j(t) que o caracterizam, isto ´: e

n

V (t) ∝ dj (t) = V (t0 )e

j=1

(t−t0 ) Pn j=1 Λj

, (2.24)

(26)

Figura 2.3: Exemplo de armadilha de ilha-hier´rquica com um conjunto de ilhas auto-similaresa presentes na dinˆmica do mapa padr˜o. (a) Espa¸o de fases completo. (b-d) Consecutivas am-a a c plia¸oes na cadeia de ilhas. Figura extra´ de [36].c˜ ıda

sendo V (t0 ) o volume no instante inicial t0 . Se o sistema ´ conservativo, ent˜oe a V (t) = V (t⁰), ou seja,

n

Λj = 0,

j=1

(2.25) para t > t0 . Isto mostra que, neste caso, o teorema de Liouville ´ v´lido [26, 32]. Seea

(27)

Figura 2.4: Exemplo de armadilha de rede para o mapa padr˜o. A figura mostra uma armadilhaa de rede. Figura extra´ de [36].ıda

o sistema ´ dissipativo, V (t) < V (te ⁰) para t > t⁰, o que equivale a

n

Λ^j< 0.

j=1

(2.26)

Numa trajet´ria fechada, correspondente a uma solu¸õ peri´dica, a distˆncia entreo ca o a dois pontos se mant´m constante, em m´dia, com o passar do tempo, de modo quee e a expansõ associada a essa dire¸õ ´ nula. Portanto, o expoente de Lyapunova ca e correspondente a essa dire¸õ ´ nulo.ca e

O comportamento ca´tico ´ caracterizado pela divergˆncia exponencial de tra-o e e jet´rias vizinhas. Nesse caso, h´ pelo menos um expoente de Lyapunov positivo, oo a que implica a dependˆncia sens´ `s condi¸˜es iniciais e a existˆncia de um atratore ıvel a co e

(28)

Figura 2.5: A figura mostra a evolu¸ao das estruturas internas das ilhas. (a) Estado inicial dec˜

um ponto el´ ıptico. (b) Bifurca¸ao e cria¸ao de duas selas e dois novos pontos el´c˜ c˜ ıpticos. (c) Dois pontos el´ıpticos imersos num mar ca´tico e separados por uma camada ca´tica. Figura extra´ deo o ıda [36].

no espa¸o de fases, quando a equa¸˜o (2.26) ´ satisfeita. Podemos concluir que:c ca e

a) a existˆncia de um ou mais expoentes de Lyapunov positivos define uma ins-e tabilidade das ´rbitas nas dire¸˜es associadas;o co

b) para uma solu¸˜o ca´tica, associada a um atrator, a dependˆncia `s condi¸˜esca o e a co iniciais implica na existˆncia de pelo menos um expoente de Lyapunov Λe ^j> 0;

c) para uma solu¸õ peri´dica, ou quase peri´dica, pode-se esperar que desloca-ca o o mentos na dire¸õ perpendicular ao movimento diminuam com o tempo, enquantoca que ao longo da trajet´ria eles nõ devem se alterar, correspondendo a um simpleso a deslocamento do ponto inicial.

Uma defini¸˜o de atrator pode ser obtida em [26]. Neste, um atrator ´ umca e conjunto fechado de pontos no espa¸o de fases de um sistema dinˆmico, no qualc a qualquer trajet´ria que come¸a no conjunto permanece nele por todo o tempo. Parao c informa¸˜es detalhadas sobre a defini¸˜o de atratores, o leitor pode consultar asco ca referˆncias [23, 26, 32].e

(29)

Um sistema que possui mais de um expoente de Lyapunov positivo pode ser classificado como sendo hiperca´tico [38]. Para que o sistema descrito por um fluxo,o ou seja, descrito por equa¸˜es diferenciais, possa ser chamado de hiperca´tico as se-co o guintes condi¸˜es devem ser respeitadas [39, 40]:co

1) O espa¸o de fases deve ter dimens˜o m´c a ınima igual a 4 para um sistema de tempo cont´ınuo (fluxos).

2) O sistema deve possuir mais do que um expoente de Lyapunov positivo, e a somat´ria de seus expoentes deve ser zero no caso de sistemas conservativos.o

Como exemplo da classifica¸˜o de um sistema devido aos expoentes de Lya-ca punov encontrados, podemos citar um sistema que possua quatro expoentes de Lya- punov, organizados da seguinte maneira:

a) Λ¹> 0; Λ²= 0; Λ³< 0 e Λ⁴< 0, o sistema possui um atrator ca´tico. o

b) Λ1 = 0; Λ2 < 0; Λ3 < 0 e Λ4 < 0, o sistema converge para um ciclo limite, ou seja, este fica contido numa certa regi˜o do espa¸o.a c

c) Λ¹> 0; Λ²> 0; Λ³= 0 e Λ⁴< 0, o sistema ´ dito hiperca´tico [39].e o

2.2.4 C´lculo do Expoente de Lyapunov M´ximo a tempo a a finito

A primeira t´cnica utilizada neste trabalho para o c´lculo do expoente dee a Lyapunov m´ximo, foi desenvolvida independentemente por Benettin et al. [41, 42]a e por Shimada e Nagashima [43] entre 1976 e 1979. A t´cnica consiste em utilizar ase solu¸˜es das equa¸˜es diferenciaisco co

dx(t)

= F [x(t)],

dt (2.27)

que governam a dinˆmica do sistema. Dada uma condi¸õ inicial xa ca 0 (t0 ), o sistema gera uma determinada trajet´ria chamada de trajet´ria principal. Na sequˆncia,o o e tomamos uma segunda condi¸õ inicial yca 0 (t0 ) pr´xima a anterior, tal que a separa¸õo ca entre elas ´ dada por |xe ⁰(t⁰) − y⁰(t⁰)| = ε⁰. Com esta condi¸õ inicial as equa¸˜esca co de movimento geram outra trajet´ria, chamada de trajet´ria sat´lite, pr´xima ò o e o a trajet´ria principal.o

Com a evolu¸˜o temporal desse sistema at´ um tempo τ , olhamos para osca e novos pontos x1 (τ ) e y¹(τ ), agora separados por uma distˆncia ε′ a ¹. Neste intervalo τ , continuamos no mesmo ponto da trajet´ria principal xo 1 (τ ), mas escolhemos um novo ponto y1 (τ ) para a trajet´ria sat´lite, de tal forma que estes dois pontos possuem ao e mesma separa¸˜o dos pontos no tempo t = 0, ou seja, |xca ¹(τ ) − y¹(τ )| = ε⁰.

(30)

Evolu´ımos novamente o sistema por um tempo τ e obtemos novos pontos, mas com uma separa¸˜o εca2 . Fazendo este procedimento v´rias vezes obtemos umaa s´rie de pontos da forma εe ⁱcom i = 1, 2, ..., n [44] conforme mostra a figura (2.6). O m´dulo |εo ⁰| ´ sempre o mesmo, mas o vetor εe ⁱno espa¸o de fases pode mudar.c

y¹

‘

^(t)

.

.Y y

e1 Tr etóri aj

Satél a

ite

y

‘

²⁽^t)

.

e2

y⁰^(t⁰⁾

.

y¹^(t)

.

y²⁽^t)

.

e0 ^e0

x

^{(t )}

.

e0

x

^. ¹⁽^t) Trajetória Principal

x

^. ²⁽^t)

00

Figura 2.6: Trajet´rias principal e sat´lite obtidas da evolu¸ao do sistema. Esta figura mostra ao e c˜

divergˆncia entre as trajet´rias.e o

Atrav´s do procedimento apresentado acima, Benettin, et al. [41] demonstroue que o expoente de Lyapunov m´ximo pode ser calculado com o aux´ da equa¸˜oa ılio ca

Λ^max= lim kn ,

n→+∞

N

(2.28)

com

kn = lim 1

ε0 →0 nτ ln

i=1

εⁱ ε0 ,

(2.29)

sendo que, se o sistema for erg´dico o c´lculo de Λo a ^max, n˜o depender´ da escolha dasa a condi¸˜es iniciais [45].co

2.2.5 Distribui¸˜o dos Expoentes de Lyapunov M´ximo a ca a tempo finito

Utilizando o procedimento apresentado na se¸õ anterior, encontramos osca expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo infinito. Para obtermos informa¸˜es sobrea co o espa¸o de fases do sistema usamos a Distribui¸õ dos Expoentes de Lyapunovc ca m´ximo a tempo finito P (Λa ^t). A distribui¸õ destes expoentes consiste em armazenarca as trajet´rias geradas pelas equa¸˜es de movimento e os expoentes de Lyapunovo co calculados para cada trajet´ria. Com esses dados geramos uma distribui¸õ doso ca expoentes de Lyapunov em fun¸õ das trajet´rias, e se necess´rio, de outro parˆmetroca o a a do sistema.

V´rios pontos desta distribui¸˜o convergem para o mesmo valor de expo-a ca ente de Lyapunov, formando o expoente de Lyapunov de maior probabilidade de

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ocorrˆncia Λe ^p. Os pontos abaixo desta curva representam as armadilhas dinˆmicas_t a presentes no sistema em estudo.

Enquanto o valor m´dio dos expoentes de Lyapunov m´ximo a tempo finitoe a apenas quantifica o grau de caoticidade do sistema, o expoente de Lyapunov de maior probabilidade de ocorrˆncia Λe p , extra´ da distribui¸˜o dos expoentes de Lyapunov_t ıdo ca m´ximo a tempo finito, nos fornece informa¸˜es significativas sobre estruturas re-a co gulares e trajet´rias aprisionadas no espa¸o de fases. A distribui¸˜o dos Expoenteso c ca de Lyapunov M´ximo a tempo finito, P (Λa ^t), tornou-se uma ferramenta bastante interessante para detectar ilhas de regularidade no espa¸o de fases [4, 5].c

Em sistemas Hamiltonianos, os movimentos regulares e ca´ticos podem apa-o recer simultanemente no espa¸o de fases. Isso causa uma grande varia¸õ na ins-c ca tabilidade local ao longo de uma trajet´ria ca´tica [46]. Essas varia¸˜es podem sero o co quantificadas atrav´s dos expoentes de Lyapunov a tempo finito, que medem a se-e para¸õ entre trajet´rias pr´ximas durante um intervalo de tempo τ . Essa tćnicaca o o e consiste em calcular os expoentes de Lyapunov para v´rias condi¸˜es iniciais.a co

Em geral, para um tempo infinito, os expoentes de Lyapunov Λ^∞sõ bem a definidos e nõ dependem das condi¸˜es iniciais. Essa caracterá co ıstica torna-se verdade para tempos relativamente longos, e quando o espa¸o de fases ´ erg´dico. Neste caso,c e o os expoentes de Lyapunov convergem rapidamente. Ergodicidade ´ uma propriedadee de sistemas dinˆmicos que ocorre quando a m´dia temporal de uma fun¸õ integr´vela e ca a no espa¸o de fases ´ igual a uma m´dia espacial desta fun¸õ [47]. Esta ´ chamadac e e ca e de fun¸õ invariante por nõ depender das condi¸˜es iniciais escolhidas.ca a co

Em sistemas quase-integr´veis, trajet´rias ca´ticas aprisionadas em torno dea o o ilhas de regularidade fazem com que os valores dos expoentes de Lyapunov locais diminuam [5]. Isto afeta a convergˆnca dos expoentes de Lyapunov Λe t , que agora podem depender das condi¸˜es iniciais. Por outro lado, isto implica que a distri-co bui¸˜o P (Λca ^t, γ), calculada sobre muitas condi¸˜es iniciais, cont´m informa¸˜es sobreco e co a quantidade de trajet´rias aprisionadas no espa¸o de fases.o c

Em sistemas erg´dicos, usualmente, para tempos longos mas finitos, P (Λo ^t) assume uma distribui¸õ Gaussiana em torno da m´dia dos expoentes de Lyapunovca e (ver referˆncia [48]). Para t → ∞ a distribui¸õ P (Λe ca^t), num espa¸o de fases comple-c tamente ca´tico tende a uma distribui¸õ delta, ou seja, P (Λo ca t ) = δ(Λ − Λ∞ ) [49, 50].

Para um longo intervalo de tempo, a maior parte da distribui¸˜o pode-se aproximarca de uma Gaussiana centrada em Λ∞ , com largura tendendo a zero quando t → ∞ [50, 51].

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Cap´ ıtulo 3

Extens˜o do algoritmo de Benettin a

Neste cap´ıtulo mostraremos a extensõ do algorá ıtimo cl´ssico desenvolvido pora Benettin et al. [22], para o c´lculo do espectro do expoente de Lyapunov para fluá ıdos [52]. Este c´lculo foi apresentado em 1996 por Dellago et al. [21], aplicado ` sistemasa a mais gerais. Este m´todo ser´ aplicado ao nosso problema que ser´ apresentado noe a a cap´ıtulo 4.

Tipicamente, sistemas com muitos corpos possuem forte sensibilidade a varia¸˜o da condi¸˜es iniciais, neste caso dois pontos inicialmente separados por umaca co pequena distˆncia no espa¸o de fases tendem ` divergir exponencialmente, assim oa c a sistema ´ dito ca´tico. Consideremos um sistema de N equa¸˜es diferenciais or-e o co din´rias acopladas da forma da equa¸˜oa ca

dx = G(x),

dt (3.1)

onde G(x) ´ um vetor N-dimensional no espa¸o de fases do sistema. Podemos rela-e c cionar um estado qualquer xf , descrito pelas equa¸˜es (3.1), ` um estado inicial xco a i

do sistema atrav´s dee

xf = M (xi ), (3.2)

aplicado a tempos discretos {τ¹, τ², ...}. O mapa M(xi ) deve ser diferenci´vel com a respeito as vari´veis do espa¸o de fases. Os ´a c ındices i e f denotam os estados inicial e final do mapa M. No intervalo de tempo τⁱ⁺¹− τⁱa trajet´ria ´ determinada viaoe

integra¸õ da equacõ (3.1). Considerando os eventos de mapeamento singular nosca a instantes τi , a evolu¸õ completa nos espa¸os de fases e tangente, pode ser escritaca c como

(3.3) x(t) = φt−τn · M · φt−τn−1 · ... · φτ2 −τ1 · M · φτ1 · x(0),

δx(t) = Lt−τn · S · Lt−τn−1 · ... · Lτ2 −τ1 · S · Lτ1 · δx(0), (3.4) onde L e φ s˜o os propagadores de x e δx nos segmentos suaves, e S ´ o mapa noa e

espa¸o tangente correspondente a M.c

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Para obter o estado do sistema num instante qualquer, devemos conhecer o seu estado inicial e o operador que far´ a evolu¸õ temporal do sistema. A trajet´riaa ca o do sistema ´ obtida pela integra¸õ de (3.1). Para avaliarmos se o sistema ´ ca´ticoe ca eo faremos uso do expoente de Lyapunov, que determina a divergˆncia entre duas tra-e jet´rias pr´ximas chamadas de trajet´ria principal e sat´lite. A separa¸õ entre estaso o o e ca trajet´rias ´ descrita por vetores no espa¸o tangente. Cada evento, no espa¸o tan-o e c c gente e no espa¸o real, ´ descrito como sendo uma colisõ nesse espa¸o. Essa colisõc e a c a pode representar a passagem de uma das part´ ıculas por um ponto, e at´ mesmo umae colisõ real com a outra partá ıcula ou com as paredes. Uma forma de visualizar essas colis˜es ´ atrav´s da figura (3.1) baseada na figura original de [21]. Nesta figura aoe e trajet´ria principal ´ representada pela linha s´lida e a trajet´ria sat´lite pela linhao e o o e

tracejada. A colis˜o da trajet´ria principal se d´ no ponto xa o a ⁱ, no tempo τ^c. A colis˜o a da trajet´ria sat´lite ocorreu em xo e i + δx^ce um tempo τ^c+ δτ^cda trajet´ria principal.o

O tempo de atraso δτ^crepresenta o tempo gasto pela trajet´ria sat´lite para atingiro e o ponto onde a trajet´ria principal colidiu, este pode ser positivo ou negativo.o

p

x

⁺^dx,

.dxi

.X

.tc +dtc

.dxc M(

x

⁺^dx⁾

xi

^,^tc

M(

x

⁾

.Axf ..dxf

q

Figura 3.1: Representa¸ao da passagem de um estado ` outro atrav´s de colis˜es no espa¸o dec˜ a e o c fases. Figura baseada em [21].

Da figura retiramos que o vetor δx^fimediatamente ap´s as colis˜es ´ dadoo oe por:

Estamos tratando de tempos infinitesimais, ent˜o podemos linearizar xa f (τc + δτc ) em torno de τ^c

∂x^f

x^f(τ^c+ δτ^c) = x^f(τ^c) + δτ^c, (3.6)

∂τ^c onde ^∂x_∂t^f

δx^f= M (xi + δx^c) − xf (τ^c+ δτ^c). (3.5)

= F (x^f), ou seja,

x^f(τ^c+ δτ^c) = x^f(τ^c) + F (x^f)δτ^c. (3.7)