Bolha Quadrada

Este primeiro exemplo tem por objetivo ´unico exibir o efeito da tens˜ao superficial sobre o escoamento. Assim, considerou-se a ausˆencia de efeitos de empuxo (Ri = 0).

Inicialmente, uma bolha quadrada encontra-se centrada em (π, π), e possui lado de comprimento 2. A Figura 6.7 apresenta a condi¸c˜ao inicial do problema. Nela, o campo de fase φ´e assumido 1 no interior da bolha e−1 fora dela. Devido `a tens˜ao interfacial considerada neste exemplo, a bolha ir´a se deformar rapidamente em uma bolha circular. De fato, seλ= 0 na Eq. (2.64) a bolha n˜ao ir´a se deformar.

Uma malha inicial de 2356 elementos, com refinamento local^xviii na regi˜ao da interface, foi adotada de modo a obter uma resolu¸c˜ao satisfat´oria. Com esta malha ´e poss´ıvel ter, inicialmente, a interface dentro de uma ´unica faixa de elementos (veja a Figura 6.8). A tolerˆancia n˜ao-linear utilizada foi de 1.0×10⁻⁴ e a tolerˆancia do solucionador linear foi de 1.0×10⁻⁹. A Tabela 6.3 apresenta um resumo dos dados de entrada.

xviii4 n´ıveis de refinamento.

2π

2π

x y

π π

1

-1

2

Figura 6.7: Condi¸c˜ao inicial para o caso da bolha quadrada.

Tabela 6.3: Dados de entrada para o problema da bolha quadrada.

Parˆametro de Entrada Valor Re₊₁ =Re₋₁ 10.0

Ri₊₁ =Ri−1 0.0 e_g [0.0,0.0,0.0]

∆t 0.002

λ 0.1

r_f 0.900

r_c 0.001

f_{AM R} 1

nAM R 4

N L_tol 1.0×10⁻⁶ L_tol 1.0×10⁻⁹

t_sim 2.0

np 32

ngp 4

n_GMRES 6

(a) Malha inicial. A regi˜ao da interface ´e refinada localmente.

(b) Condi¸c˜ao inicial do campo de fase φ.

(c) A interface encontra-se dentro de uma ´unica faixa de elementos.

Figura 6.8: Malha e condi¸c˜oes iniciais.

A Figura 6.9 apresenta os contornos do campo de fase φ para t= 0.1, 0.2, 0.3 e 0.5. Os resultandos mostram detalhadamente a evolu¸c˜ao da interface: inicialmente, devido `a tens˜ao interfacial, a bolha quadrada ir´a se deformar rapidamente em uma bolha circular. Ap´os, ela passar´a a ter forma de losango e, por fim, retornar´a a forma circular. ´E importante apontar que a deforma¸c˜ao que ocorre ir´a se repetir alternadamente at´e que a bolha atinja o estado permanente, ou de menor energia, representado pela geometria circular. Estes resultados s˜ao compar´aveis aos obtidos por TAN et al. [29], ZHANG e TANG [30]. A Figura 6.9 ainda apresenta os campos de velocidade e a malha para cada um dos respectivos tempos. Como pode ser observado, o refinamento da malha mostra boa concordˆancia com a dinˆamica da interface.

Figura 6.9: Contornos das fases, campo de velocidade e malha para o problema da bolha quadrada nos tempos t= 0.1, 0.2, 0.3 e 0.5.

N˜ao h´a solu¸c˜ao anal´ıtica para este problema. Para avaliar a acur´acia, o mesmo modelo foi simulado utilizando-se uma malha fixa equivalente `a adaptada (160² elementos). A Figura 6.10 mostra um perfil deφ ao longo de uma linha que passa por x=π para t= 0.3 e 0.5. A linha cont´ınua representa o resultado obtido com adaptatividade de malha, j´a os c´ırculos azuis exibem o resultado para malha fixa.

Como ´e poss´ıvel ver, graficamente s˜ao indistingu´ıveis e em ambos a interface se mant´em bem definida.

0 2 4 6

t= 0.5. Os c´ırculos representam o resultado obtido com malha fixa para o mesmo passo de tempo.

Avalia¸c˜ao do Solucionador Num´erico h-FGMRES

Selecionou-se este exemplo para avaliar o desempenho do solucionador num´erico hier´arquico h-FGMRES (veja a se¸c˜ao 5.3). Esta op¸c˜ao deveu-se `a simplicidade deste problema uma vez que n˜ao h´a coalescˆencia de bolhas ou quebra de filamentos. Tais fenˆomenos podem requerer passos de tempos extremamente pequenos devido `a velocidade com que ocorrem e `a extens˜ao que podem alca¸car.

As simula¸c˜oes foram realizadas com np = 12 e este valor foi escolhido devido `a quantidade de n´ucleos em um ´unico n´o do cluster utilizado. A ideia ´e a de evitar latˆencia na comunica¸c˜ao entre processos em n´os diferentes. O m´etodo hier´arquico de Krylov h-FGMRES foi comparado ao m´etodo GMRES cl´assico com pr´e-condicionador BILU(1). Considerou-se tanto malha fixa quanto uma malha adaptativa equivalente^xx e os mesmos crit´erio de convergˆencia foram adotados (Tabela 6.3).

A Tabela 6.4 mostra um resumo comparativo dos resultados para os casos com malha fixa e adaptativa (fAM R= 1). Os resultados obtidos mostram que o m´etodo h-FGMRES necessitou 60% e 14% menos itera¸c˜oes lineares do que o m´etodo GMRES para a solu¸c˜ao com adaptatividade, respectivamente, das ENS e do modelo AC. Por outro lado, quando se olham os tempos totais de solu¸c˜ao, observa-se que o m´etodo GMRES foi em torno de^∼34% mais r´apido que o m´etodo h-FGMRES.

A constata¸c˜ao discutida no par´agrafo anterior poderia ser explicada atrav´es da grande n˜ao-linearidade introduzida pelo modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo, uma vez que este ´e dependente do tamanho dos elementos da malha^xxi e esta varia ao longo do tempo para os casos com adaptatividade. Assim, apesar de

xxMalha fixa: 25600 elementos; malha adaptativa equivalente: 2356 elementos (4 n´ıveis de refinamento)

xxiVeja a Eq. (4.7).

o n´umero total de itera¸c˜oes ser menor em rela¸c˜ao ao m´etodo GMRES, para os casos com adaptatividade, como o m´etodoh-FGMRESainda requer n_GMRES itera¸c˜oes internas, estas podem levar mais tempo que o esperado devido `a um mal condicionamento dos sub-blocos. O mal condicionamento ´e proveniente dos diferentes n´ıveis de refinamento presentes no dom´ınio e, quando este ´e particionado entre os processos, pode levar

`

a sub-matrizes com valores de magnitude muito discrepantes. J´a para malha fixa isto n˜ao ocorre, e mesmo que oGMRES tenha levado vantagem em termos do n´umero de itera¸c˜oes lineares requeridas, ele perdeu no tempo total de solu¸c˜ao. Isto indica o bom desempenho computacional do m´etodo h-FGMRES. O problema apresentado com a adaptatividade poderia ser reduzido atrav´es de um melhor balanceamento das parti¸c˜oes e divis˜ao entre blocos.

Tabela 6.4: Compara¸c˜ao entre os diferentes solucionadores num´ericos.

ENS AC

Malha Solucionador t_total N Li Li N Li Li Adaptativa GMRES 635.7 3491 50686 14614 116171

h-FGMRES 975.0 3446 28503 14747 102011 Fixa GMRES 939.0 2296 3282 7160 14322

h-FGMRES 891.0 2277 4458 7214 23165

A Figura 6.11 e a Tabela 6.5 apresentam o n´umero de itera¸c˜oes n˜ao-lineares e lineares para malha fixa e adaptada com diferentes per´ıodos de refinamento (T).

Como pode ser facilmente notado na Figura 6.11a, ainda que haja uma varia¸c˜ao no n´umero de itera¸c˜oes n˜ao-lineares das ENS, esta ´e uma varia¸c˜ao marginal se comparada `a que ´e vista para a equa¸c˜ao do modelo AC. Em comum, tanto as ENS quanto o modelo AC tendem a uma ass´ıntota `a medida que o per´ıodo de refinamento aumenta. Isto claramente mostra que h´a um ponto ´otimo, em que ´e poss´ıvel aliar qualidade de solu¸c˜ao e eficiˆencia computacional.

Tabela 6.5: Compara¸c˜ao entre os diferentes per´ıodos de refinamento da malha.

ENS AC

Malha Solucionador t_total N Li Li N Li Li Fixa h-FGMRES 891.0 2277 4458 7214 23165 T = 1 h-FGMRES 975.0 3446 28503 14747 102011 T = 2 h-FGMRES 851.0 2940 28971 10946 73308 T = 5 h-FGMRES 752.0 2619 28176 8675 59434 T = 10 h-FGMRES 711.9 2495 27887 7908 54573 T = 15 h-FGMRES 710.7 2438 27466 7684 54808 T = 20 h-FGMRES 689.3 2414 26837 7537 51589 T = 50 h-FGMRES 670.0 2367 26363 7191 57013

O cen´ario tamb´em ´e semelhante quanto ao n´umero de itera¸c˜oes lineares, como

´e poss´ıvel ver na Figura 6.11b. A particularidade nesse caso ´e que o n´umero de itera¸c˜oes lineares das ENS ´e praticamente constante na medida que o per´ıodo de refinamento varia. Este resultado, em conjunto com o comportamento apresentado pelo modelo AC ao passo que a per´ıodo de refinamento aumenta, evidencia que a malha est´a sendo adaptada de acordo com a evolu¸c˜ao do campo de fases e n˜ao dos campos de velocidade e/ou press˜ao. Na mesma figura, ainda ´e poss´ıvel observar que o n´umero de itera¸c˜oes lineares necess´arias para resolver o modelo Allen-Cahn tende a uma ass´ıntota, mais uma vez apontando para a existˆencia de um ponto ´otimo. Esta discuss˜ao ser´a aprofundada nos par´agrafos que se seguem.

Fixa T=1 T=2 T=5T=10T=15T=20T=50

(a) N´umero de itera¸c˜oes n˜ao-lineares.

Fixa T=1 T=2 T=5T=10T=15T=20T=50

(b) N´umero de itera¸c˜oes lineares.

Figura 6.11: Varia¸c˜ao no n´umero de itera¸c˜oes para diferentes per´ıodos de refinamento.

As itera¸c˜oes lineares dizem respeito ao m´etodo h-FGMRES e as n˜ao-lineares est˜ao relacionados ao m´etodo de Piccard (ponto fixo).

Na Figura 6.12, a rela¸c˜ao entre o tempo de solu¸c˜ao e o per´ıodo de refinamento

´e exibida. Como pode ser visto, na medida que o per´ıodo de refinamento aumenta (T ≥10) o gr´afico tende a uma ass´ıntota com um tempo total de solu¸c˜ao de^∼680.

Deste modo, para o problema da bolha quadrada, caso seja desejado um desempenho similar ao do caso com malha fixa, basta utilizar um per´ıodo de refinamento igual a 2.

Esta caracter´ıstica est´a intimamente relacionada ao que foi discutido anteriormente.

Na medida que a malha se adapta com mais frequˆencia, pior ´e o condicionamento dos sub-blocos. Todavia, ao passo que o per´ıodo diminui, a malha, por consequˆencia direta, modifica-se menos e, por conseguinte, o condicionamento dos sub-blocos n˜ao se modifica com tanto.

Do ponto de vista da qualidade da solu¸c˜ao, observando-se a Figura 6.13, percebe-se que a utiliza¸c˜ao de adaptatividade de malha leva a solu¸c˜oes em torno de 10% mais precisas (paraT = 1) e por volta de 4.4% melhores (para T > 2).

Ao passo que a adaptatividade adiciona uma camada extra de complexidade, ela

permite tamb´em alcan¸car solu¸c˜oes mais precisas. Para se obter uma solu¸c˜ao com desempenho similar `a atingida com malha fixa e com melhor qualidade, basta utilizar per´ıodos de refinamento maiores que 5. Deste modo, chega-se a um resultado com desempenho computacional compar´avel, por´em com maior precis˜ao. Portanto, vˆe-se claramente que a adaptatividade de malha ajuda e pode ser mais r´apida e precisa que um esquema de malha fixa.

Fixa T=1 T=2 T=5 T=10 T=15 T=20 T=50 0

200 400 600 800 1,000

891 975

851

752 711 710 689 670

TempodeSolu¸c˜ao

Figura 6.12: Varia¸c˜ao no tempo de solu¸c˜ao para diferentes per´ıodos de refinamento.

Fixa T=1 T=2 T=5 T=10 T=15 T=20 T=50 0.150 %

0.155 % 0.160 % 0.165 % 0.170 %

M´edia

Per´ıodo de Refinamento

ErroPercetualnoVolume

Figura 6.13: Erro no volume para diferentes per´ıodos de refinamento.