Compara¸ c˜ ao do modelo ACResNS com o Modelo de Interface Livre VOFInterface Livre VOF

O limite apresentado na Eq. (2.47) n˜ao ´e trivial quando se considera que o tempo de relaxa¸c˜ao el´astico ´e vari´avel. Nesse caso, γ tende a zero concomitantemente ao res´ıduo R φ^h

. Para calcular esse limite, deve-se considerar o maior γ dentre todos os encontrados na fam´ılia γ φ^h

. Ou seja, deve-se obter um γmax tal que

deve tender a zero para que γ_max tenda a zero, obt´em-se novamente o modelo cl´assico de interface livre VOF, ou seja:

(φ)^• = 0.

4.4.5 Algoritmo

Neste trabalho optou-se por utilizar um algoritmo segregado simples de modo a n˜ao necessitar o c´alculo explicito da matriz Jacobiana e, por conseguinte, obter uma redu¸c˜ao do custo computacional envolvido. Mesmo que a taxa de convergˆencia seja prejudicada, o ganho em tempo de execu¸c˜ao e de recursos computacionais justificam a utiliza¸c˜ao desse esquema. Existem outras variantes para esse acoplamento e maiores detalhes podem ser encontrados em GOMEZ e HUGUES [64] e FELIPPAet al. [65].

Alem disso, a teoria geral de marcha no tempo de problemas acoplados pode ser encontrada em BELYTSCHKO e HUGHES [66] e em VALLI et al.[67].

O algoritmo que descreve o processo global de acoplamento e solu¸c˜ao do modelo ACResNS convecional ´e apresentado abaixo. No algoritmo base n˜ao ´e considerado o transporte adicional de um escalar, pois este n˜ao ´e o foco deste trabalho.^xiv

Caso o foco seja a resolu¸c˜ao de problemas em que ´e importante modelar o transporte de algum escalar, pode-se adicionar tantas equa¸c˜oes escalares quanto forem necess´arias. Nesse caso, adiciona-se no algoritmo 1 a solu¸c˜ao de um escalar β, que refere-se a um escalar qualquer (conforme em 2.53). No algoritmo 2 as altera¸c˜oes efetuadas no algoritmo base encontram-se marcadas em azul. Como se pode observar,

´

e muito simples adicionar novas equa¸c˜oes ao sistema sendo esta uma das vantages do esquema de acoplamento escolhido.

O algoritmo do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo requer maior detalhe uma vez que devido `a caracter´ıstica dinˆamica do processo surgem questionamentos acerca de qual res´ıduo deve ser considerado para o c´alculo do campo de fase corrente.

Diante a natureza extremamente n˜ao-linear desse modelo (veja a Figura 4.2), optou-se pela utiliza¸c˜ao do res´ıduo atrasado no tempo para os termos do lado direito do sistema resultante da discretiza¸c˜ao em elementos finitos do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo. Deste modo, a Eq. (4.8) torna-se

γ φ^h_n

Caso considere-se o res´ıduo adiantado no tempo:

γ φ^h_n+1

xivNo apˆendice A, se¸c˜ao B, ´e poss´ıvel encontrar dois esquemas que ajudam na compreens˜ao dos algoritmos.

Algoritmo 1 : Algoritmo base global

1: Inicializa φ=φ0

2: Inicializa~v =~v₀

3: Inicializa t= 0

4: enquanto t6=tm´ax fa¸ca

5: enquantoAdaptatividade de malha e n_k 6npassos de refinamento fa¸ca

6: enquanto |R_{N S}|>tolerˆancia ou i6n_{itera¸c˜oes} fa¸ca

7: Resolve Navier-Stokes

8: enquanto fim

9: v~_i+1 ←~v_i

10: enquanto |RAC|>tolerˆancia ou i6nitera¸c˜oes fa¸ca

11: Resolve Modelo Conservativo Allen-Cahn

12: enquanto fim

13: φi+1 ←φi

14: Corre¸c˜ao do campo de fase . manter φ no intervalo f´ısico

15: AMR

16: nk+1←nk+ 1

17: enquanto fim

18: enquanto fim

Algoritmo 2 : Algoritmo base modificado

1: Inicializa φ=φ₀

2: Inicializa β =β₀

3: Inicializa~v =~v₀

4: Inicializa t= 0

5: enquanto t6=t_m´ax fa¸ca

6: enquantoAdaptatividade de malha e n_k 6npassos de refinamento fa¸ca

7: enquanto |R_{N S}|>tolerˆancia ou i6n_{itera¸c˜oes} fa¸ca

8: Resolve Navier-Stokes

9: enquanto fim

10: v~_i+1 ←~v_i

11: enquanto |R_AC|>tolerˆancia ou i6n_{itera¸c˜oes} fa¸ca

12: Resolve Modelo Conservativo Allen-Cahn

13: enquanto fim

14: φ_i+1 ←φ_i

15: Corre¸c˜ao do campo de fase . manter φ no intervalo f´ısico

16: enquanto |R_escalar|>tolerˆancia ou i6n_{itera¸c˜oes} fa¸ca

17: Resolve Equa¸c˜ao escalar

18: enquanto fim

Tanto em (4.24) quanto em (4.25),nrepresenta o passo de tempo corrente e, portanto, n+ 1 ´e o passo de tempo que est´a sendo resolvido.

O algoritmo da montagem do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo

´e mostrado abaixo.

Algoritmo 3 : Algoritmo do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo

1: β¯←2

2: elem ←1

3: enquanto elem6n_elementos fa¸ca

4: Calcularhelem

5: ponto←1

6: enquantoponto6npontos de Gauss fa¸ca

7: Calcular τSU P G

8: Calcular F⁰(φ_n) .em cada ponto de integra¸c˜ao

9: Calcular ξ(t_n) .em cada ponto de integra¸c˜ao

10: Calcular ∆φn+1 .em cada ponto de integra¸c˜ao

11: Calcular R^h(φ_n, t_n) .atrasado no tempo

O algoritmo 3 ´e v´alido tanto para problemas uni quanto bi e tridimensionais.

Deste modo, o algoritmo acima ´e geral, sendo esta uma de suas mais valorosas caracter´ısticas.

Caso seja desejado, ´e poss´ıvel avaliar o res´ıduo em ambos os lados tanto adiantado como atrasado no tempo. Para a primeira possibilidade, devido a alta n˜ao-linearidade, instabilidades podem ocorrer, o que pode levar `a divergˆencia do modelo. J´a a segunda op¸c˜ao consiste na lineariza¸c˜ao do mesmo e, assim, espera-se que o modelo convirja ap´os duas itera¸c˜oes n˜ao-lineares. Contudo, dependendo da velocidade do escoamento, esta op¸c˜ao pode levar a solu¸c˜oes mais pobres do que as obtidas pelo algoritmo proposto (res´ıduo atrasado no tempo no lado direito e adiantado no lado esquerdo).

A seguir encontra-se o algoritmo para o modelo atrasado no tempo. O caso adiantado pode ser visto no algoritmo 5.

Existem algumas aproxima¸c˜oes que podem ajudar a melhorar a estabilidade do algoritimo. Uma delas consiste em tomar a m´edia temporal do termo de restri¸c˜ao de volume constante ξ(t_n). A ideia ´e relaxar a restri¸c˜ao tornando-a v´alida em m´edia e, deste modo, reduzindo o efeito que mudan¸cas bruscas na condi¸c˜ao dinˆamica do

Algoritmo 4 : Algoritmo do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo atrasado no tempo

1: β¯←2

2: elem ←1

3: enquanto elem6n_elementos fa¸ca

4: Calcularhelem

5: ponto←1

6: enquantoponto6npontos de Gauss fa¸ca

7: Calcular τSU P G

8: Calcular F⁰(φ_n) .em cada ponto de integra¸c˜ao

9: Calcular ξ(t_n) .em cada ponto de integra¸c˜ao

10: Calcular ∆φn+1 .em cada ponto de integra¸c˜ao

11: Calcular R^h(φ_n, t_n) .atrasado no tempo

12: Calcular γ φ^h_n

.atrasado no tempo

13: n´o ←1

14: enquanto n´o 6n_n´os fa¸ca

15: Montar K(φn+1, tn+1, tn) .termo atrasado (γ φ^h_n

∆φn+1)

16: Montar f(φ_n, t_n) . vetor de for¸cas do modelo Allen-Cahn

17: enquanto fim

18: enquanto fim

19: enquanto fim

escoamento possam trazer ao algoritmo proposto. Esta aproxima¸c˜ao ´e dada pela seguinte express˜ao:

ξ(t_n) = ξ(tn) +ξ(tn−1)

2 . (4.26)

Outra aproxima¸c˜ao bastante conhecida e que pode ser utilizada baseia-se em uma aproxima¸c˜ao de segunda ordem de Adams-Bashforth para a derivada do termo poten-cialF. Maiores detalhes dessa aproxima¸c˜ao podem ser encontradas em SHAMPINE e GORDON [68]. Como base nessa aproxima¸c˜ao pode-se obterF⁰ como

F⁰(φ_n+1) = 1

2(3F⁰(φ_n)−F⁰(φn−1)) . (4.27) Aproxima¸c˜oes temporais de ordem maior tamb´em podem ser utilizadas de modo a permitir maiores passos de tempo e garantir a convergˆencia do algoritmo. Vale ressaltar que, para este trabalho, n˜ao foram utilizadas as aproxima¸c˜oes apresentadas nas Eqs. (4.26) e (4.27), ficando ent˜ao as suas utiliza¸c˜oes como sugest˜ao para trabalhos futuros.

Algoritmo 5 : Algoritmo do modelo conservativo Allen-Cahn baseado em res´ıduo adiantado no tempo

1: β¯←2

2: elem ←1

3: enquanto elem6n_elementos fa¸ca

4: Calcularh_elem

5: ponto←1

6: enquantoponto6npontos de Gauss fa¸ca

7: Calcular τ_{SU P G}

8: Calcular F⁰(φ_n+1) .em cada ponto de integra¸c˜ao

9: Calcular ξ(t_n+1) .em cada ponto de integra¸c˜ao

10: Calcular ∆φn+1 .em cada ponto de integra¸c˜ao

11: Calcular R^h(φn+1, tn+1) .tempo corrente

12: Calcular γ φ^h_n+1

.tempo corrente

13: n´o ←1

14: enquanto n´o 6n_n´os fa¸ca

15: Montar K(φ_n+1, t_n+1) . matriz de rigidez do modelo Allen-Cahn

16: Montar f(φ_n+1, t_n+1, φ_n, t_n) .termos adiantados

17: enquanto fim

18: enquanto fim

19: enquanto fim