BREVE REVISÃO DE CONCEITOS

Para um melhor entendimento da informação adquirida num ensaio cíclico, é importante ter presente alguns conceitos que sustentam os resultados obtidos experimentalmente.

Relembre-se então a enunciação da Equação de equilíbrio dinâmico, admitindo-se um corpo sujeito a uma força exterior (p) ao longo do tempo, segundo a Segunda Lei de Newton, se a resultante das forças actuantes não for zero, a força resultante que actua no corpo - forças de inércia (fI) - é

proporcional à aceleração adquirida (ü) e à sua massa (m). As forças internas são as forças de

liberdade de massa m, com uma rigidez k e um coeficiente de amortecimento c, é ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1 Equilíbrio de forças num sistema de um grau de liberdade

A equação de movimento ou de equilíbrio dinâmico traduz, em cada instante, o equilíbrio global de uma estrutura sujeita a uma força externa que é dado pela seguinte expressão genérica:

̈ ̇ ̇ (3.1)

Para um sistema que apresente um comportamento elástico, o equilíbrio pode ser traduzido através da seguinte equação:

̈ ̇ (3.2)

No caso de uma estrutura importa compreender o equilíbrio dinâmico do sistema sujeito a uma acção sísmica. O movimento total induzido a um sistema por uma acção sísmica (ut) é dado por uma parcela

que provoca um deslocamento de corpo rígido do sistema (ug) e um deslocamento relativo entre a

massa do sistema e a sua base (u), ilustrado na Figura 3.2.

Figura 3.2 Equilíbrio de forças num sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção sísmica

Apenas o deslocamento relativo devido à deformação da estrutura provoca forças internas no sistema. Sendo as forças de inércia proporcionais à aceleração e à massa do sistema, a equação de equilíbrio de um sistema sujeito à acção sísmica pode ser rescrita da seguinte forma:

̈ ̇ ̈ (3.3) ut u m k, c ug

De seguida passa-se a analisar as parcelas de forças internas no equilíbrio de um sistema de um grau de liberdade:

 Forças de amortecimento

Num sistema idealizado, sem amortecimento, se o sistema for libertado após a imposição de um deslocamento inicial - u(0) -, este oscilará livremente em torno do ponto de equilíbrio - ver Figura 3.3 a). No entanto, numa estrutura real, esta oscilará com decrescente amplitude até ao repouso - ver Figura 3.3 b). Este processo, através da qual a vibração vai diminuindo progressivamente de amplitude, designa-se amortecimento (c).

a) b)

Figura 3.3 Movimento de um sistema de um grau de liberdade sem e com amortecimento

Considerando um sistema sem amortecimento (c=0), sem força exterior aplicada, pode rescrever-se a equação de movimento da seguinte forma:

{ ̈

̇ ̇ (3.4)

A solução desta equação diferencial homogénea descreve o movimento de um sistema com um grau de liberdade que oscila livremente em torno do ponto de equilíbrio - movimento harmónico simples.

̇ (3.5)

em que n é a frequência angular é dada por _n

k m

  (rad/s)

O período de vibração natural do sistema, i.e., tempo necessário para completar um ciclo de vibração livre, é dado por

(3.6)

sendo a frequência de vibração dada por 1

2 2 n n k f m      (ciclos/s; Hz) m u k u(0) u t m u, u k, c u(0) u t . Tn

As estruturas devem ter mecanismos da dissipação de energia (cinética e de deformação) que promovam a diminuição crescente do movimento. O amortecimento em estruturas é usualmente representado de uma forma idealizada, podendo ser simplesmente tratado como se de um amortecedor linear viscoso se tratasse (c - constante de amortecimento viscoso).

Em modelos experimentais tratados em laboratório, os fenómenos que contribuem para a dissipação de energia de vibração imposta no sistema são os efeitos térmicos resultantes da deformação elástica e do próprio atrito interno que se gera num sólido deformado [Chopra (1995)]. Em estruturas reais, muitos outros fenómenos contribuem para a dissipação de energia, tais como, a abertura e fecho de microfissuras e o atrito entre os elementos estruturais e não-estruturais. Torna-se quase impossível identificar e descrever matematicamente todos os mecanismos de dissipação de energia. Desta forma, define-se uma constante de amortecimento viscoso correspondente à energia dissipada por todos os fenómenos de amortecimento para amplitude de deformações dentro dos limites do comportamento linear elástico da estrutura.

Num sistema com amortecimento, ao dividir a equação do movimento pela massa, vem que

̈ ̇ (3.7)

Nesta expressão designa-se por coeficiente de amortecimento e é uma grandeza adimensional que representa a razão entre o amortecimento e o amortecimento crítico (ccr), o qual corresponde ao valor

mínimo de amortecimento para que não se observe oscilação. O coeficiente de amortecimento é dado pela expressão:

(3.8)

 Forças de restituição

As forças de restituição são forças internas que se opõem ao deslocamento imposto. Num sistema elástico linear, a relação força-deslocamento é linear. Numa estrutura real, para pequenas deformações pode-se admitir um comportamento linear, no entanto, para grandes deformações, a estrutura apresenta uma resposta não-linear - ver Figura 3.4. As forças de restituição passam a depender da história de deslocamentos imposta, i.e., passam a depender do deslocamento e da velocidade - fk (u,u̇).

Figura 3.4 Forças de restituição de um sistema real para grandes deformações

A equação de equilíbrio (3.3) para um sistema inelástico pode ser reescrita da seguinte forma:

̈ ̇ ̇ ̈ (3.9)

A energia dissipada devido ao comportamento não-linear das estruturas para grandes deformações, às quais correspondem curvas força-deformação histeréticas, é dada pela área interior ao ciclo histerético - amortecimento histerético (área a sombreado representada na Figura 3.4).

O amortecedor viscoso não modela esta dissipação de energia. Na análise estática não-linear, o amortecimento histerético pode ser tratado admitindo uma relação tensão-deformação que simule o comportamento não-linear dos materiais ou modelando o comportamento inelástico através de uma relação força-deslocamento baseada em resultados experimentais. Estas relações podem ser obtidas para as estruturas ou, apenas, em ligações, componentes ou subestruturas, através de testes experimentais efectuados a baixa velocidade.

Na análise dinâmica, o amortecedor viscoso tem como objectivo modelar a energia dissipada para amplitudes de deformações dentro do limite elástico linear da estrutura. Uma abordagem possível para a modelação da dissipação de energia por histerese é a conversão desta energia para a mesma amplitude de deslocamento do amortecimento viscoso, definindo-se um amortecimento viscoso

equivalente [Priestley et al. (1996)].

Pense-se então no equilíbrio do sistema em termos de energia:

 Energia do sistema

As várias parcelas de energia envolvidas no movimento dinâmico de um sistema, induzido por uma acção sísmica, podem ser obtidas por integração da equação de equilíbrio (3.9), vem que

A primeira parcela refere-se à energia cinética (Ec), correspondente à energia associada ao movimento,

ou seja,

∫ ̈ ∫ ̇ ̇ ̇ ̇ (3.11)

A segunda parcela refere-se à energia dissipada por amortecimento viscoso (Ea), ou seja,

∫ ̇ (3.12)

A terceira parcela corresponde ao somatório da energia potencial de deformação elástica (Ep)

(recuperável) com a energia de deformação inelástica (dissipada sob a forma de calor e outras formas de energia não recuperáveis, incluindo, a energia de deformação plástica) - energia histerética (Eh).

Desta forma, a energia dissipada por histerese é dada pela diferença entre a energia total e a energia recuperada, ou seja,

∫ ̇ com

(3.13)

Na figura seguinte ilustra-se as parcelas de energia de deformação envolvidas na aplicação de um ciclo de carga-descarga a um sistema com comportamento não-linear. A energia dissipada no fim do ciclo corresponde à área limitada pelo diagrama força-deslocamento.

Figura 3.5 Energia envolvida num ciclo carga-descarga [fib Bulletin Nº.25 (2003)]

É de notar que no fim do evento sísmico, quando o sistema está em equilíbrio estático, a energia cinética e elástica são zero e portanto a energia dissipada é constituída pela energia de amortecimento (Ea) e pela energia de deformação inelástica (Eh). Estes dois termos deverão equilibrar a energia

introduzida no sistema pela acção sísmica (Ei), sendo a energia histerética a parcela mais importante

envolvendo deformações inelásticas significativas [Priestley et al. (1996)]. O equilíbrio em termos de energia vem:

 Energia dissipada num amortecedor viscoso

Se se considerar um sistema com comportamento elástico sujeito a uma acção harmónica , de amplitude p0 e frequência da acção aplicada , a equação de equilíbrio é

dado por

{ ̈ ̇

̇ ̇ (3.15)

A solução desta equação diferencial é dada pela soma da solução geral da equação homogénea e uma qualquer solução particular da equação completa.

A solução geral da equação homogénea é do tipo e as constantes A e B são obtidas através das condições iniciais. Esta solução corresponde à parcela estrutural em que a frequência é igual à frequência amortecida da estrutura e tenderá para zero.

A solução particular é do tipo , corresponde à parcela forçada, com frequência igual à frequência da acção aplicada (parcela estacionária). Para ω=0 ter-se-ia o valor da resposta estática e para ω=ωn temos a máxima amplitude da resposta devido ao efeito de ressonância

(efeito que ocorre quando a frequência da acção aplicada é próxima da frequência natural do sistema).

Então, se se considerar apenas a parcela estacionária, e sendo  o ângulo de fase, a solução particular pode ser rescrita da seguinte forma:

(3.16)

A energia cinética e potencial de deformação elástica no fim de um ciclo são zero, portanto, a energia introduzida no sistema num ciclo é dissipada pelo amortecedor viscoso e igual a:

∫ ̇ ∫ ⁄ ̇ ̇ ∫ ⁄ [ ] (3.17)

Conforme já referido, assumindo que a dissipação de energia por histerese (Eh) pode ser simulada por

um amortecimento viscoso equivalente através da conversão desta energia para a mesma amplitude de deslocamento do amortecimento viscoso equivalente [Priestley et al. (1996)], define-se o coeficiente

de amortecimento equivalente ( eq). Este coeficiente permite correlacionar a energia dissipada por um

amortecedor viscoso num ciclo de vibração (Eh) com a energia máxima absorvida pelo sistema elástico

(3.18)

Nesta abordagem admite-se que =n, ou seja, que a frequência da acção é aproximadamente igual à

frequência própria do sistema - ressonância - quando o sistema é mais sensível ao amortecimento. Segundo Chopra (1995), o coeficiente de amortecimento é exacto para uma frequência de oscilação =n, conduzindo a resultados aproximados para outras gamas de frequência de oscilação. Desta

forma, substituindo √ ⁄ em (3.18) e considerando (3.8), vem que o coeficiente de amortecimento equivalente pode ser obtido através da seguinte expressão:

(3.19)

No entanto, é de referir que a aplicação desta metodologia para descrever o comportamento de um sistema solicitado por uma acção sísmica pode conduzir a uma resposta subestimada pois baseia-se na imposição de uma força harmónica onde não se considera a contribuição da parcela transitória e na admissão que a frequência de vibração é igual à da estrutura (ressonância) [Belleri (2009)].

Na Figura 3.6 ilustra-se a resposta histerética do sistema real e do sistema elástico equivalente com uma rigidez efectiva (keff).

Figura 3.6 Energia histerética de dissipada num ciclo e energia de deformação elástica