Cálculo de funções vetoriais ● Derivadas

–

Interpretação geométrica

Passam pela reta secante em sentidos opostos

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Interpretação geométrica

Passam pela

reta secante em sentidos opostos O que acontece

se o vetor diferença for dividido por h?

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Interpretação geométrica

● Quando h→0

● Se existir e não for nulo ● Vetor tangente a curva

– Posicionado com seu ponto

inicial no ponto final do vetor posição r(t)

Aponta na direção do parâmetro crescente

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

Componente a componente, como o limite

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

● Demonstração

Componente a componente, como o limite

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

● Demonstração

Componente a componente, como o limite

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

● Demonstração

Componente a componente, como o limite

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

● Demonstração

Componente a componente, como o limite

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Seja P um ponto no gráfico de uma função vetorial r(t) e seja

r(t₀) o vetor posição da origem a P.

Se r’(t₀) existir e r’(t₀) ≠ 0,

então dizemos que r’(t₀) é um

vetor tangente ao gráfico de

r(t) em r(t₀), e a reta que passa

por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta tangente ao gráfico de

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Seja P um ponto no gráfico de uma função vetorial r(t) e seja

r(t₀) o vetor posição da origem a P.

● Se r’(t

0) existir e r’(t0) ≠ 0,

então dizemos que r’(t₀) é um

vetor tangente ao gráfico de

r(t) em r(t₀), e a reta que passa por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Seja P um ponto no gráfico de uma função vetorial r(t) e seja

r(t₀) o vetor posição da origem a P.

● Se r’(t

0) existir e r’(t0) ≠ 0,

então dizemos que r’(t₀) é um

vetor tangente ao gráfico de

r(t) em r(t₀), e a reta que passa

por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta tangente ao gráfico de

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r_=r

₀

_{+t v}

₀

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r_=r

₀

_{+t v}

₀

onde r₀_{=r (t}₀_{) e v}₀_{=r ' (t}₀₎

Notar que esse r e t da reta não estão relacionados com

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo: Hélice circular

– Obtenha equações paramétricas da reta tangente onde t=t₀ e

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo: Hélice circular

– Descobrindo r₀ e v₀

– _{Substituindo na equação da reta}

– Reta no ponto t=π

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo:

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo:

– r₁ passa pela origem em t=0 e r₂ passa pela origem em t=1 – Vetor tangente de r₁

– Vetor tangente de r₂

– Ângulo

arccos

(

√3

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

d

dt

[r

(t)⋅r

(t)]=r

(t)⋅

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

⋅r

(t)

d

dt

[r

(t)×r

(t)]=r

(t)×

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

×r

(t)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

d

dt

[r

(t)⋅r

(t)]=r

(t)⋅

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

⋅r

(t)

d

dt

[r

(t)×r

(t)]=r

(t)×

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

×r

(t)

Valor Vetor

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

O que indica que dois vetores perpendiculares?

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

Não são

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

– Se r(t) for uma função vetorial em 2D ou 3D e || r(t) || for uma

função constante de t, então

isto é, r(t) e r’(t) são vetores ortogonais com qualquer t.

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

– Se r(t) for uma função vetorial em 2D ou 3D e || r(t) || for uma

função constante de t, então

isto é, r(t) e r’(t) são vetores ortogonais com qualquer t.

● Demonstração – Norma

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

– Se r(t) for uma função vetorial em 2D ou 3D e || r(t) || for uma

função constante de t, então

isto é, r(t) e r’(t) são vetores ortogonais com qualquer t.

● Demonstração – Norma

que é equivalente a:

r_{(t)⋅r ' (t)=0}

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

– Se r(t) for uma função vetorial em 2D ou 3D e || r(t) || for uma

função constante de t, então

isto é, r(t) e r’(t) são vetores ortogonais com qualquer t.

● Demonstração – Norma

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

O mesmo acontece para qualquer caminho em sobre

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no

intervalo a ≤ t ≤ b, então definimos a integral definida de

r(t) ao longo desse intervalo como o limite de somas de

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no

intervalo a ≤ t ≤ b, então definimos a integral definida de

r(t) ao longo desse intervalo como o limite de somas de

Riemann

FONTE: https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no

intervalo a ≤ t ≤ b, então definimos a integral definida de

r(t) ao longo desse intervalo como o limite de somas de

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no

intervalo a ≤ t ≤ b, então definimos a integral definida de

r(t) ao longo desse intervalo como o limite de somas de

Riemann

O que se pode fazer com o limite?

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Isto é, a integral definida de r(t) ao longo do intervalo

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Isto é, a integral definida de r(t) ao longo do intervalo

a ≤ t ≤ b pode ser expressa como: um vetor cujos

componentes são as integrais definidas das funções componentes de r(t).

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Isto é, a integral definida de r(t) ao longo do intervalo

a ≤ t ≤ b pode ser expressa como: um vetor cujos

componentes são as integrais definidas das funções componentes de r(t).

3D é semelhante

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● De forma geral: – Bidimensional – Tridimensional

∫

a b r_{(t )dt=}

(

∫

a b x_{(t )dt}

)

i₊

(

∫

a b y_{(t )dt}

)

∫

a b r_{(t )dt=}

(

∫

a b x_(t)dt

)

i₊

(

∫

a b y_(t)dt

)

j₊

(

∫

a b z_(t)dt

)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Exemplo: Qual a integral de 0 ≤ t ≤ 1?

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Exemplo: Qual a integral de 0 ≤ t ≤ 1?

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D e que sejam contínuas no intervalo a ≤ t ≤ b e seja

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D e que sejam contínuas no intervalo a ≤ t ≤ b e seja

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D e que sejam contínuas no intervalo a ≤ t ≤ b e seja

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

● Notação de integral

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

● Notação de integral

– Onde C é um vetor contante arbitrário

Também pode ser efetuada componente a

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo:

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo:

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● A derivação e a integração de funções vetoriais também

são operações inversas

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● A derivação e a integração de funções vetoriais também

são operações inversas

● Se R(t) for uma antiderivada de r(t) em um intervalo

contendo t = a e t = b, então d dt

∫

r(t)dt=r(t )

∫

r '(t)dt=r(t)+C

∫

a b r_{(t )dt=R(t)}

]

a b =R(b)−R(a)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● A derivação e a integração de funções vetoriais também

são operações inversas

● Se R(t) for uma antiderivada de r(t) em um intervalo

contendo t = a e t = b, então

∫

r(t)dt=r(t )

∫

r '(t)dt=r(t)+C

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Calcule a integral definida

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Calcule a integral definida

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Obtenha r(t) sabendo que

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Obtenha r(t) sabendo que

r’(t) = <3,2t> e r(1) = <2,5>

– Integrando r’(t)

onde C é um vetor constante de integração.

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Limite

Todos são semelhantes a funções de uma variável em real

101

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Derivada

Todos são semelhantes a funções de uma variável em real

Os cálculos são feitos componente a componente

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Integral

Todos são semelhantes a funções de uma variável em real

103

Resumo

●

Exercícios de fixação:

–

Exercícios de compreensão 12.2

–

1-6

–

11-14

–

31-40

Resumo

●

Próxima aula:

–

Parametrização lisa (suave)

–

Comprimento de arco

–

Mudança de parâmetro

–

Vetores

● Tangentes ● Normal ● Binormal

Bibliografia

●

Bibliografia básica:

–

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen.

Cálculo, v. 2. 10a ed. Porto Alegre: Bookman,

2012.

No documento Cálculo de funções vetoriais. Cálculo Diferencial e Integral III Suzana M. F. de Oliveira (páginas 36-106)

Interpretação geométrica

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Interpretação geométrica

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Interpretação geométrica

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Teorema: Regras de derivação

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Teorema: Regras de derivação

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Teorema: Regras de derivação

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Teorema: Regras de derivação

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Teorema: Regras de derivação

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Definição:

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Definição:

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Definição:

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r=r

+t v

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r=r

+t v

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

(

Cálculo de funções vetoriais

Derivadas

Produtos escalares e vetoriais

r_=r

_{+t v}

r_=r

_{+t v}