Cálculo de funções vetoriais. Cálculo Diferencial e Integral III Suzana M. F. de Oliveira

(1)

Cálculo de funções vetoriais

Cálculo Diferencial e Integral III Suzana M. F. de Oliveira

(2)

Objetivos da aula

●

Compreender limite, derivada, integral e suas

(3)

3

Índice

●

Revisão

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Limite e continuidade

–

Derivadas

–

Integrais

●

Resumo

(4)

(5)

5

Revisão

●

Curvas paramétricas no espaço tridimensional

(6)

Revisão

●

Equações paramétricas de interseções de

(7)

7

Revisão

●

Funções vetoriais

–

Notação utilizando vetor

–

Funções componentes

–

Domínio natural

(8)

Revisão

●

Gráfico de funções vetoriais

–

Caminho traçado por um vetor saindo da origem

● Vetor posição

(9)

9

Revisão

●

Forma vetorial de um segmento de reta

(10)

Revisão

(11)

11

Revisão

●

Dúvida nos exercícios?

–

Descreva o gráfico:

(12)

Revisão

●

Dúvida nos exercícios?

–

Descreva o gráfico:

● Passa pelo ponto

(1,-1)

● Tem o vetor

diretor 2i+3j

(13)

13

Revisão

●

Dúvida nos exercícios?

–

Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t

₀

):

(14)

Revisão

●

Dúvida nos exercícios?

–

Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t

₀

):

r

_{(t)=cos π t i−ln t j+}

√

t

_{−2k , t}

₀

₌₃

cos

_πt

ln t

√

t

₋₂

+∞ -∞ +∞ 0 +∞ 2

(15)

(16)

Cálculo de funções vetoriais

(17)

17

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Definição

● Seja r(t) uma função vetorial definida em cada t de algum

intervalo aberto contendo o número a, exceto que r(t) não precisa estar definido em a. Escrevemos

(18)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Definição

● Seja r(t) uma função vetorial definida em cada t de algum

intervalo aberto contendo o número a, exceto que r(t) não precisa estar definido em a. Escrevemos

se, e somente se r(t) → L sse as funções componentes de r(t) tendem as componentes corres-pondentes de L

(19)

19

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Teorema:

● Se r(t) = <x(t), y(t)> = x(t)i + y(t)j, então

sempre que existirem os limites das funções componentes.

● Reciprocamente, existem os limites das funções

componentes sempre que r(t) tender a um vetor limite quando t tender a a.

(20)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Teorema:

componentes sempre que r(t) tender a um vetor limite quando t tender a a.

O 3D é semelhante

(21)

21

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Teorema:

componentes sempre que r(t) tender a um vetor limite quando t tender a a. Todas as propriedades de limites para funções →ℝ ℝ valem!

(22)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Relembrando as propriedades dos limites

● Unicidade do limite

– Se e então L=M ● Limite de uma função constante

(23)

23

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Relembrando as propriedades dos limites

● Multiplicação por escalar

● Multiplicação de limites

(24)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Relembrando as propriedades dos limites

● Potência de limites

● Exponencial do limite (b )∈ ℝ

(25)

25

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Relembrando as propriedades dos limites

● Raiz do limite

● Propriedade do confronto

– Se tal que

(26)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

(27)

27

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

(28)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Continuidade

● Uma função vetorial r(t) é contínua em t = a se

● Isto é:

– _{r(a) está definido}

– o limite de r(t) quando t→a existe – ambos coincidem

(29)

29

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Continuidade

● Uma função vetorial contínua em um intervalo I se for

contínua em cada ponto de I

– Exceto os limites extremos

(30)

Cálculo de funções vetoriais

●

Limites

–

Continuidade

● Uma função vetorial contínua em um intervalo I se for

contínua em cada ponto de I

– Exceto os limites extremos

● Limite bilateral substituído pelo limite lateral apropriado

● Uma função vetorial é contínua em t = a se, e somente

(31)

31

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Definição

● Se r(t) for uma função vetorial, definimos a derivada de r

(32)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Definição

em relação a t como a função vetorial r’ dada por

● O domínio de r’ consiste em todos os valores de t do

(33)

33

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Definição

em relação a t como a função vetorial r’ dada por

● O domínio de r’ consiste em todos os valores de t do

domínio de r(t) nos quais o limite existe

A função r(t) é dita derivável ou diferenciável

(34)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

(35)

35

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Notação

Lembrar que r(t) e r’(t) são vetores

(36)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Interpretação geométrica

Passam pela reta secante em sentidos opostos

(37)

37

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Interpretação geométrica

Passam pela

reta secante em sentidos opostos O que acontece

se o vetor diferença for dividido por h?

(38)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Interpretação geométrica

● Quando h→0

● Se existir e não for nulo ● Vetor tangente a curva

– Posicionado com seu ponto

inicial no ponto final do vetor posição r(t)

Aponta na direção do parâmetro crescente

(39)

39

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

– Se r(t) for uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e

somente se, cada uma das funções componentes for diferenciável em t

Componente a componente, como o limite

(40)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

● Demonstração

(41)

41

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

● Demonstração

(42)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

● Demonstração

(43)

43

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Cálculo

● Teorema:

● Demonstração

(44)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

(45)

45

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

(46)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

● Sejam r(t), r₁(t) e r₂(t) funções vetoriais que são todas 2D

ou 3D, f(t) uma função real, k um escalar, c um vetor constante

(47)

47

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

(48)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

(49)

49

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

(50)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Teorema: Regras de derivação

(51)

51

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Seja P um ponto no gráfico de uma função vetorial r(t) e seja

r(t₀) o vetor posição da origem a P.

Se r’(t₀) existir e r’(t₀) ≠ 0,

então dizemos que r’(t₀) é um

vetor tangente ao gráfico de

r(t) em r(t₀), e a reta que passa

por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta tangente ao gráfico de

(52)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Se r’(t

0) existir e r’(t0) ≠ 0,

r(t) em r(t₀), e a reta que passa por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta

(53)

53

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

–

Definição:

● Se r’(t

0) existir e r’(t0) ≠ 0,

r(t) em r(t₀), e a reta que passa

por P que é paralela ao vetor tangente é denominada reta tangente ao gráfico de

(54)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r

_=r

₀

_{+t v}

₀

(55)

55

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

r

_=r

₀

_{+t v}

₀

onde r₀_{=r (t}₀_{) e v}₀_{=r ' (t}₀₎

Notar que esse r e t da reta não estão relacionados com

(56)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo: Hélice circular

– Obtenha equações paramétricas da reta tangente onde t=t₀ e

(57)

57

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo: Hélice circular

– Descobrindo r₀ e v₀

– _{Substituindo na equação da reta}

– Reta no ponto t=π

(58)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo:

(59)

59

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais

● Exemplo:

– r₁ passa pela origem em t=0 e r₂ passa pela origem em t=1 – Vetor tangente de r₁

– Vetor tangente de r₂

– Ângulo

arccos

(

√3

(60)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

d

dt

[r

1

(t)⋅r

2

(t)]=r

1

(t)⋅

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

⋅r

2

(t)

d

dt

[r

1

(t)×r

2

(t)]=r

1

(t)×

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

×r

2

(t)

(61)

61

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

d

dt

[r

1

(t)⋅r

2

(t)]=r

1

(t)⋅

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

⋅r

2

(t)

d

dt

[r

1

(t)×r

2

(t)]=r

1

(t)×

d r

₂

dt

+

d r

₁

dt

×r

2

(t)

Valor Vetor

(62)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

(63)

63

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

O que indica que dois vetores perpendiculares?

(64)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

Não são

(65)

65

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

– Se r(t) for uma função vetorial em 2D ou 3D e || r(t) || for uma

função constante de t, então

isto é, r(t) e r’(t) são vetores ortogonais com qualquer t.

(66)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

● Demonstração – Norma

(67)

67

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

que é equivalente a:

r_{(t)⋅r ' (t)=0}

(68)

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

● Teorema

(69)

69

Cálculo de funções vetoriais

●

Derivadas

–

Produtos escalares e vetoriais

O mesmo acontece para qualquer caminho em sobre

(70)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no

intervalo a ≤ t ≤ b, então definimos a integral definida de

r(t) ao longo desse intervalo como o limite de somas de

(71)

71

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

Riemann

FONTE: https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann

(72)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

(73)

73

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

Riemann

O que se pode fazer com o limite?

(74)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

(75)

75

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

(76)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

(77)

77

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

(78)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Isto é, a integral definida de r(t) ao longo do intervalo

(79)

79

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

a ≤ t ≤ b pode ser expressa como: um vetor cujos

componentes são as integrais definidas das funções componentes de r(t).

(80)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

a ≤ t ≤ b pode ser expressa como: um vetor cujos

componentes são as integrais definidas das funções componentes de r(t).

3D é semelhante

(81)

81

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● De forma geral: – Bidimensional – Tridimensional

∫

a b r_{(t )dt=}

(

∫

a b x_{(t )dt}

)

i₊

(

∫

a b y_{(t )dt}

)

j

∫

a b r_{(t )dt=}

(

∫

a b x_(t)dt

)

i₊

(

∫

a b y_(t)dt

)

j₊

(

∫

a b z_(t)dt

)

k

(82)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Exemplo: Qual a integral de 0 ≤ t ≤ 1?

(83)

83

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Integrais definidas de funções vetoriais

● Exemplo: Qual a integral de 0 ≤ t ≤ 1?

(84)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

ou 3D e que sejam contínuas no intervalo a ≤ t ≤ b e seja

(85)

85

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

(86)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Teorema: Regras de integração

(87)

87

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

(88)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

● Notação de integral

(89)

89

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Antiderivada

● Notação de integral

– Onde C é um vetor contante arbitrário

Também pode ser efetuada componente a

(90)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo:

(91)

91

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo:

(92)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● A derivação e a integração de funções vetoriais também

são operações inversas

d

(93)

93

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Se R(t) for uma antiderivada de r(t) em um intervalo

contendo t = a e t = b, então d dt

∫

r(t)dt=r(t )

∫

r '(t)dt=r(t)+C

∫

a b r_{(t )dt=R(t)}

]

a b =R(b)−R(a)

(94)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Se R(t) for uma antiderivada de r(t) em um intervalo

contendo t = a e t = b, então

d

dt

∫

r(t)dt=r(t )

∫

r '(t)dt=r(t)+C

(95)

95

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Calcule a integral definida

(96)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Calcule a integral definida

(97)

97

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Obtenha r(t) sabendo que

(98)

Cálculo de funções vetoriais

●

Integrais

–

Antiderivadas de funções vetoriais

● Exemplo: Obtenha r(t) sabendo que

r’(t) = <3,2t> e r(1) = <2,5>

– Integrando r’(t)

onde C é um vetor constante de integração.

(99)

(100)

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Limite

Todos são semelhantes a funções de uma variável em real

(101)

101

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Derivada

Os cálculos são feitos componente a componente

(102)

Resumo

●

Cálculo de funções vetoriais

–

Integral

(103)

103

Resumo

●

Exercícios de fixação:

–

Exercícios de compreensão 12.2

–

1-6

–

11-14

–

31-40

(104)

Resumo

●

Próxima aula:

–

Parametrização lisa (suave)

–

Comprimento de arco

–

Mudança de parâmetro

–

Vetores

● Tangentes ● Normal ● Binormal

(105)

(106)

Bibliografia

●

Bibliografia básica:

–

Cálculo de funções vetoriais. Cálculo Diferencial e Integral III Suzana M. F. de Oliveira

Cálculo de funções vetoriais

Objetivos da aula

Compreender limite, derivada, integral e suas

Índice

Revisão

Cálculo de funções vetoriais

Limite e continuidade

Derivadas

Integrais

Resumo

Revisão

Curvas paramétricas no espaço tridimensional

Revisão

Equações paramétricas de interseções de

Revisão

Funções vetoriais

Notação utilizando vetor

Funções componentes

Domínio natural

Revisão

Gráfico de funções vetoriais

Caminho traçado por um vetor saindo da origem

Revisão

Forma vetorial de um segmento de reta

Revisão

Revisão

Dúvida nos exercícios?

Descreva o gráfico:

Revisão

Dúvida nos exercícios?

Descreva o gráfico:

Revisão

Dúvida nos exercícios?

Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t

):

Revisão

Dúvida nos exercícios?

Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t

):

r

(t)=cos π t i−ln t j+

√

t

−2k , t

=3

cos

πt

ln t

√

t

−2

Cálculo de funções vetoriais

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Definição

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Definição

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Teorema:

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Teorema:

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Teorema:

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Relembrando as propriedades dos limites

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Relembrando as propriedades dos limites

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Relembrando as propriedades dos limites

Cálculo de funções vetoriais

Limites

Relembrando as propriedades dos limites

_{(t)=cos π t i−ln t j+}

_{−2k , t}

₌₃

_πt

₋₂