Geração de Afluências
Algoritmo 5: Cálculo do Limite Inferior 2 1 Carrega a informação da FCF obtida na PDDE;
2. Sorteia Nl cenários da árvore de cenários usada na PDDE; 3. Faça de = 1, ..., Nl
Faça t = 1, ..., T
Construa o PL para o cenário e estágio t; Resolva o Problema (3.95);
Fim
Calcule o ZSUP;
Fim
Calcule o ZINF e ZSUP;
min , Nl SUP INF L Z Z (4.30)
2 1 1 1
Nl L SUP SUP S Z Z Nl (4.31)Com essa estratégia, reduz-se o tempo computacional de forma bastante significativa, viabilizando a avaliação da qualidade da política de operação. No entanto, a segunda estratégia pode proporcionar intervalos de confiança muito grandes, visto que é uma estratégia mais conservadora.
4.4.3 Construção do Intervalo de Confiança para o gap
Nas duas seções anteriores foram sugeridas estratégias para o cálculo do limite superior e inferior com o intuito de avaliar a qualidade da política de operação. Esta seção discutirá a construção do Intervalo de Confiança (IC) que será utilizado para fazer a análise da qualidade da FCF no PEN. O cálculo do IC independe do método utilizado para o cálculo dos limites superior e inferior.
Conforme foi discutido anteriormente, a política de operação é um mapeamento das consequências que as decisões em cada estágio têm sobre o custo futuro de operação. Nesse sentido, se a política tem uma boa qualidade, ou seja, o mapeamento abrange a maior parte do espectro de possibilidades, a diferença entre as decisões tomadas para o problema original com base nessa política e valor ótimo tem que ser pequena. No entanto, devido a limitações computacionais, os dois valores são inviáveis de serem obtidos; porém pode-se utilizar os valores dos limites superiores e inferiores para construir um intervalo de confiança unilateral para a diferença acima que será denotada de U – z*.
1, 1, * 1 2 Nl L Nu U Nu Nl t S t S U z U L Nl Nu (4.32) Em que,tNl-1, Distância em desvios padrões da distribuição t-student
entre o valor médio e o valor que cobre (1-)100% da função de distribuição de probabilidade da t-student com Nl-1 graus de liberdade;
tNu-1, Distância de desvios padrões entre o valor médio e o
valor que cobre (1-)100% da função de distribuição de probabilidade da t-student com Nu-1 graus de liberdade;
(.)+ Indica o Max(.,0).
Assim, o IC para uma confiança de (1-2) é dado por:
1, 1, Nl L Nu U Nu Nl t S t S IC U L Nl Nu (4.33)Quanto menor o valor do IC melhor será a qualidade da política de operação calculada pela PDDE. Ressalta-se que existem outras estratégias para avaliar a qualidade da solução de problemas de programação estocástica, mas que não foram objeto de estudo neste trabalho, sendo que outras alternativas foram citadas na Seção 2.6. 4.5 ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DA PDDE
No Capítulo 2 foram discutidos diversos aspectos da otimização estocástica, dentre eles destaca-se a PDDE utilizada neste trabalho para encontrar a política de operação para o PEN. A PDDE é um processo iterativo no qual a cada iteração sorteiam-se cenários dentro de uma árvore de cenários que são percorridos nas recursões progressiva e regressiva.
Nesta seção serão apresentadas alternativas ao algoritmo tradicional da PDDE de maneira a produzir políticas de operação de melhor qualidade com um número menor de iterações e, portanto, melhorar o desempenho da PDDE. Novas estratégias de solução da PDDE já foram discutidas em (PHILPOTT e GUAN, 2008; DE MATOS et al., 2011; SHAPIRO et al., 2011) e focam principalmente na maneira de se percorrer os cenários sorteados na PDDE. Neste trabalho serão analisadas duas estratégias, discutidas em mais detalhes na sequência:
Um cenário por recursão;
Incrementando cenários por recursão. 4.5.1 Um cenário por recursão
Na PDDE tradicional sorteiam-se, por exemplo, NC cenários, com
isso percorrem-se todos os NC cenários na recursão progressiva e se o
algoritmo não convergiu retorna-se pela recursão regressiva em todos os cenários ao mesmo tempo. Entretanto, nas primeiras iterações quando a informação de custo futuro ainda é de baixa qualidade ou inexistente, a recursão regressiva construirá muitos cortes ao mesmo tempo, os quais podem não contribuir significativamente para o desempenho da PDDE.
Dessa forma, na estratégia apresentada em (PHILPOTT e GUAN, 2008; DE MATOS et al., 2011) sugere-se percorrer um cenário por recursão. Com isso, percorre-se apenas o primeiro cenário na recursão progressiva, ao invés de percorrer todos os NC cenários. Ao final da
recursão progressiva retorna-se no mesmo cenário pela recursão regressiva construindo apenas um corte de Benders para cada estágio, o qual é compartilhado por todos os nós de um mesmo estágio.
Na sequência faz-se o mesmo processo para o segundo cenário, construindo, assim, o segundo corte para cada estágio. É importante notar que ao percorrer o segundo cenário já se tem uma primeira aproximação da Função de Custo Futuro e, portanto, não são tomadas decisões ingênuas, como utilizar toda a energia hidrelétrica nos primeiros estágios.
Esse processo continua até que todos os NC cenários tenham sido
percorridos e um corte tenha sido calculado para cada cenário. Dessa forma, ao final da iteração tem-se um número de cortes que é exatamente igual ao da PDDE Tradicional, porém como eles foram construídos um por vez é possível perceber que no início do processo iterativo os cortes da metodologia com um cenário por recursão serão de melhor qualidade quando comparado com a PDDE Tradicional.
A dificuldade dessa estratégia alternativa diz respeito à estimação do limite superior do custo total de operação, que é de fundamental importância para o critério de parada da PDDE. Isto se deve ao fato de que as políticas de cada recursão estão sendo incrementadas dentro da iteração e, com isso, tem-se que os valores de custo total de operação deixam de ser independente e identicamente distribuídos. O cálculo do limite superior (ZSUP) e do desvio padrão (Z) só serão representativos
quando a Função de Custo Futuro for de boa qualidade, sendo de difícil avaliação ao longo do algoritmo.
A alternativa para obter o ZSUP e Z é ao final de cada iteração
sortear um novo grupo de cenários e percorrê-los em uma única recursão progressiva, como na PDDE Tradicional. Com isso, é possível continuar calculando o valor do ZSUP conforme é feito na PDDE Tradicional.
Apesar de aumentar o tempo computacional, a recursão progressiva é bastante rápida e eficiente, não sendo uma desvantagem muito séria.
Destaca-se, também, que quando for utilizado processamento paralelo sugere-se utilizar uma de duas alternativas. Na primeira, ao invés de se utilizar um cenário por recursão sugere-se usar P cenários por recursão, em que P é o número de processos paralelos. Dessa forma, cada processo percorrerá um cenário por processo. Enquanto que, na
segunda, mantém um cenário por recursão e distribui-se o processamento apenas na recursão regressiva. Com isso, ao invés de resolver todos os nós descendentes em um único processo, eles são divididos entre os P processos paralelos.
Por fim, pode-se descrever o algoritmo, sem processamento paralelo, como:
Algoritmo 6: PDDE – Um cenário por recursão