Geração alternativa da árvore de cenários

Conforme foi apresentado anteriormente, o modelo ARP(p) proposto por (CEPEL, 2001) apresenta uma não-linearidade que pode fazer com que a PDDE encontre uma política de operação sem sentido para o problema. Dessa forma, serão apresentadas duas metodologias alternativas que, assim como a anterior, foram implementadas no modelo com o intuito de contornar estas dificuldades.

4.1.2.1 Modelo AutoRregressivo Periódico Modificado

Inicialmente, vale lembrar que a dificuldade encontrada no modelo discutido na Seção 3.2 é consequência de alguns parâmetros dos

resíduos dependerem das realizações anteriores. Nesse sentido, para contornar esta dificuldade deve-se retirar esta dependência, porém mantendo os momentos estatísticos e garantindo que a energia afluente seja sempre positiva. A solução final não é trivial, sendo que a sugestão proposta neste documento e implementada deve ser vista como uma ideia inicial. Esta proposta ainda tem algumas dificuldades, porém não conflita com o algoritmo de solução, no caso a PDDE.

Nesse sentido, propõe-se utilizar um parâmetro  único para todos os nós de um mesmo estágio, pois com um  único garante-se que o resíduo t calculado em (3.52) é o mesmo para qualquer nó daquele

estágio quando o ξt for o mesmo e, assim, pode-se utilizar a modelagem

apresentada na Seção 3.2. No entanto, para garantir que a energia afluente seja sempre positiva, deve-se utilizar o maior valor de  dentre todos os nós que compõem um determinado estágio da árvore. Assim,

MAX _{max( ).}

t t



   (4.1)

Em que, tmax é o maior valor entre os nós de todos os cenários ωt

no estágio t, que por simplicidade será denominado de MAX _{no decorrer}

deste documento. Com isso, os parâmetros que definem o resíduo serão dados por: 2 2 ( ) MAX 1  ,     m (4.2)

 

ln ,     (4.3)





( ) ln . 1   _       _{  }    m (4.4) Dessa forma, o novo modelo ARP(p), que será denominado de ARP(p) Modificado, é dado por:





, 1 , 1 MAX , , . rt rt rt r t rt r t w rt Prm r t Prm rt rt rt rt rt y y y e                   (4.5) A principal dificuldade dessa estratégia é que o valor do MAX

pode ser muito alto e dificilmente seria possível manter os momentos estatísticos próximos aos valores do histórico, o que inutiliza a sua proposição. Assim, para viabilizar essa alternativa, aplica-se apenas aos cenários que são sorteados pela PDDE, como consequência não será possível reamostrar os cenários a cada iteração. Isto porque se o MAX

ser suficientemente grande e gerar Energias Afluentes negativas. No entanto, se o valor do MAX _{for recalculado em todas as reamostragens}

os cortes criados até então não serão mais válidos para a nova árvore que é obtida com o novo MAX_.

Assim, ao utilizar MAX _{sem a reamostragem pode-se}

comprometer o desempenho da PDDE, embora a PDDE torna-se uma estratégia de solução aplicável. Nesse caso o cálculo do coeficiente do corte apresentado em (3.107) torna-se válido.

4.1.2.2 Modelo Independente

O modelo Independente não utiliza nenhuma informação das realizações anteriores para gerar novos valores de Energia Afluente e, portanto, o modelo não tem nenhuma dependência temporal como é o caso do modelo ARP(p). No modelo Independente utiliza-se informação de média, variância e assimetria dos dados do histórico para gerar as Energias Afluentes. Para tanto, manteve-se a abordagem de se usar uma LogNormal a três parâmetros, proposta por (CHARBENEAU, 1978), porém modelando a Energia Afluente diretamente e não um resíduo como era o caso no modelo ARP(p). Nesse caso, o sorteio também é feito com base em uma distribuição Normal e, por isso, faz-se necessário definir as relações para calcular a Energia Afluente com a distribuição desejada. Assim, tem-se que:

ln( ).

  

x y (4.6)

Em que

x Variável aleatória com distribuição Normal, N(x,x2);

x Média da variável x;

x Desvio Padrão da variável x;

 Deslocamento da Energia Afluente;

y Energia Afluente com distribuição LogNormal. Dessa forma, o cálculo de y é dado por:

exp( ) .

  

y x _(4.7)

Na prática o sorteio é feito com base em uma distribuição Normal com média zero e variância unitária, com isso, y é calculado pelo seguinte equacionamento:

exp( ) .

     x x

y (4.8)

Em que,

De acordo com (CHARBENEAU, 1978), os parâmetros x, x e

 são calculados por (4.9)-(4.11) para obter a melhor aproximação dos três primeiros momentos estatísticos de y.

 

2 _{log ,}  x  (4.9) 2 log  ,   _{ }      y x (4.10) , 1        y y (4.11)





3 ₃ 2 ₄ 2 _0.      y  (4.12) Em que

y Média da Energia Afluente;

y Desvio Padrão da Energia Afluente;

y Assimetria26 da Energia Afluente.

Em (4.12)  é a única raiz real do polinômio e será sempre maior ou igual a 1 (CHARBENEAU, 1978). Assim, a formulação para o modelo Independente é dada por:

  ( ) ( ) _{( )} 12 ( 1), ,          m m t i i D m m t i i y e (4.13)

Dessa forma, como se pode perceber pelas formulações acima, os parâmetros i(m),  i(m) e i(m) são calculados para cada mês m e REE i.

Além disso, a energia afluente calculada para cada nó independe do cenário, pois a mesma não depende das realizações anteriores. Com isso, tem-se que a árvore de cenários é definida pela energia afluente diretamente, não pelo ruído como era nos casos anteriores. Isto garante as propriedades requeridas pelo algoritmo da PDDE, conforme discutido no Capítulo 2.

4.1.3 Nó fantasma

No planejamento anual da operação energética as decisões são tomadas no início do mês de estudo, para todo o mês. Entretanto, em geral é difícil de ter uma boa estimativa da Energia Afluente do primeiro estágio, assim faz-se necessário considerar o primeiro estágio como

26 _{A assimetria, ou terceiro momento estatístico, é uma medida estatística que define o quanto a}

função de distribuição de probabilidade é simétrica em relação à média. Quando a assimetria for nula a FDP é simétrica, caso contrário a função será assimétrica e a assimetria será diferente de zero.

estocástico também, apesar da teoria de otimização estocástica requerer que o primeiro estágio seja determinístico, pois deve-se ter uma única decisão no mesmo. No caso do PEN, isso não é uma questão importante, visto que as decisões operativas não são feitas pelo PEN, mas sim por outro modelo computacional na etapa de curto prazo no Programa Mensal da Operação (PMO).

A principal restrição de considerar o primeiro estágio estocástico é devido ao critério de parada da PDDE. Neste sentido, será considerado que se tem um nó determinístico no estágio zero, isto é, um estágio antes do primeiro. Neste nó não se toma nenhuma decisão, pois independentemente das consequências na operação futura já se conhece o volume final do estágio zero, que será o volume inicial do primeiro estágio. Assim, esse nó fictício só servirá para o cálculo do ZINF, visto

que não tem custo de operação imediato e, portanto, não contribui com o ZSUP. Para tanto, o primeiro estágio gera cortes de Benders ao estágio 0

e, assim, o limite ZINF é calculado no estágio zero.

No documento Um modelo para o planejamento anual da operação energética considerando técnicas avaçadas de otimização estocástica (páginas 142-146)