Cálculo da tensão cisalhante na parede da tubulação Para o cálculo da tensão cisalhante na parede da tubulação (

consideração a fase em contato com a mesma, pois caso contrário os resultados obtidos na modelagem podem sofrer discrepâncias graves com relação aos valores experimentais. Diversos autores propõem teorias diferentes para determinação da tensão cisalhante em escoamentos multifásicos. Conforme observado por Lima (2011), dentre os diversos modelos, temos aqueles que são baseados na fenomenologia do escoamento, aqueles que são baseados em modelos empíricos e o modelo de mistura.

Considerando o modelo de mistura, conforme observado por Lima e Rosa (2014), o modelo de cálculo da viscosidade efetiva da mistura proposto por Dukler, Wicks e Cleveland (1964) (Equação 5.13 para o caso trifásico), mostrou-se adequado quando aplicado em escoamentos bifásicos dominados pela gravidade. No entanto, a hipótese proposta por Dukler, Wicks e Cleveland (1964) possui incertezas que em determinadas situações podem não ser desprezíveis. Em escoamentos verticais dominados pela gravidade, os erros causados pela hipótese de Dukler, Wicks e Cleveland (1964) são atenuados, pois na maioria das vezes a componente friccional do gradiente de pressão total possui pequena magnitude, comparada ao componente gravitacional. Para óleos altamente viscosos tal erro pode se tornar relevante, sendo necessária outra abordagem.

𝜇_𝑚 = 𝜇_𝑤𝜀_𝑤(𝑧) + 𝜇_𝑜𝜀_𝑜(𝑧) + 𝜇_𝑔𝜀_𝑔(𝑧) (5.13)

O modelo hibrido proposto por Guet et al. (2006) para a determinação da viscosidade da mistura em escoamentos bifásicos óleo-água obteve excelentes resultados quando comparado com dados experimentais. Tal modelo leva em consideração fenômenos que ocorrem em escoamentos óleo-água, como a inversão de fase contínua e o aumento da viscosidade da mistura em emulsões. Dessa forma, a utilização do modelo proposto por Guet

et al. (2006) em escoamentos trifásicos óleo-água-ar para previsão da viscosidade da fase líquida mostra-se promissora. No entanto, averiguar os efeitos da injeção de gás na viscosidade efetiva da mistura ainda é um grande desafio. Para tanto, na modelagem realizada, foi averiguada a hipótese de se utilizar o modelo para o cálculo da viscosidade da mistura dado pela Equação 5.14.

𝜇_𝑚 = 𝜇_{𝑙 ℎ𝑖𝑏}𝜀_𝑙(𝑧) + 𝜇_𝑔𝜀_𝑔(𝑧) (5.14)

onde a viscosidade da fase líquida (𝜇_{𝑙 ℎ𝑖𝑏}) é determinada conforme o modelo híbrido proposto por Guet et al. (2006), o qual é detalhado na Seção 2.3.3 e exemplificado na Tabela 2.4.

Uma vez determinada a viscosidade efetiva da mistura, a tensão cisalhante na parede do tubo (𝜏𝑤) pode ser determinada conforme Equação 5.15.

𝜏_𝑝 =𝐶𝑓𝑚(𝑧) 𝜌𝑚(𝑧) 𝑗

2

2 (5.15)

O fator de atrito da mistura (𝐶_𝑓𝑚) pode ser obtido através da correlação de Churchil (Equação 2.37) e a densidade da mistura (𝜌_𝑚) pode ser determinada através da Equação 5.16.

𝜌_𝑚(𝑧) = 𝑝(𝑧)

𝑅_𝑔𝑇₀𝜀𝑔(𝑧) + 𝜌𝑤𝜀𝑤(𝑧) + 𝜌𝑜𝜀𝑜(𝑧) (5.16)

Diversos autores, como Poesio, Strazza e Sotgia (2009) e Stapelberg e Mewes (1994), utilizaram as correlações propostas por Lockhart-Martinelli para o cálculo do gradiente de pressão friccional em escoamento trifásicos horizontais óleo-água-ar, obtendo boa concordância com dados experimentais. Sabe-se que o modelo proposto por Lockhart- Martinelli foi desenvolvido preferencialmente para escoamentos horizontais com efeitos aceleracionais desprezíveis. Dessa forma, a utilização apenas do modelo de Lockhart- Martinelli para previsão do gradiente de pressão total e fração volumétrica em escoamentos verticais resultaria em erros consideráveis (WALLIS, 1969).

No entanto, tendo em vista que a fase em contato com a parede da tubulação é o fator dominante da magnitude do gradiente de pressão friccional, a utilização do modelo de Lockhart-Martinelli torna-se viável para o cálculo do mesmo em escoamentos verticais

ascendentes de óleos viscosos. Além disso, no modelo apresentado, o cálculo das frações volumétricas é realizado através do modelo de deslizamento. Sendo assim, a aplicação do modelo de Lockhart-Martinelli está relacionada exclusivamente à obtenção do gradiente de pressão friccional.

O modelo de Lockhart-Martinelli foi desenvolvido para escoamentos bifásicos originalmente. Sendo assim, para aplica-lo no presente modelo, será considerado que o escoamento trifásico trata-se de um escoamento bifásico com uma pseudofase líquida (óleo mais água) e uma fase gasosa, no qual as propriedades do líquido podem ser obtidas através das Equações 5.17 e 5.18.

𝜌_𝑙(𝑧) = 𝜌_𝑤𝜀_𝑤(𝑧) + 𝜌_𝑜𝜀_𝑜(𝑧) (5.17)

𝜇_𝑙(𝑧) = 𝜇𝑙 ℎ𝑖𝑏 (5.18)

Para aplicação do modelo de Lockhart-Martinelli, torna-se necessária a definição do parâmetro adimensional de Lockhart-Martinelli (𝜒), conforme Equações 5.19.

𝜒2 ₌ 𝜙𝑔 2

𝜙_𝑙2 (5.19)

Os multiplicadores de Lockhart-Martinelli (𝜙_𝑔 e 𝜙_𝑙) são definidos conforme as Equações 5.20 e 5.21. 𝜙_𝑔2 = (𝑑𝑃/𝑑𝑧)𝑓𝑟𝑖𝑐 3 (𝑑𝑃/𝑑𝑧)𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑔 (5.20) 𝜙𝑙2 = (𝑑𝑃/𝑑𝑧)𝑓𝑟𝑖𝑐 3 (𝑑𝑃/𝑑𝑧)_{𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑙} (5.21)

Nas Equações 5.20 e 5.21 o termo (𝑑𝑃/𝑑𝑧)_{𝑓𝑟𝑖𝑐 3} corresponde ao valor do gradiente de pressão friccional trifásico a ser determinado, igual ao último termo do lado direito da Equação 5.2. Já (𝑑𝑃/𝑑𝑧)𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑔 e (𝑑𝑃/𝑑𝑧)𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑙 correspondem aos gradientes de pressão

friccional monofásicos do gás e do líquido, respectivamente, escoando sozinhos na tubulação com suas respectivas vazões mássicas do escoamento trifásico. Os gradientes de pressão

friccionais monofásicos podem ser determinados facilmente através da correlação de Churchil, por exemplo.

Conforme demonstrado por Wallis (1969), as variáveis definidas nas Equações 5.19, 5.20 e 5.21 podem ser relacionadas através da Equação 5.22.

𝜙𝑔2 = (1 + 𝑋2/𝑛) 𝑛

(5.22)

O valor do expoente 𝑛 pode ser determinado experimentalmente, o que incluiria diversos parâmetros como a influência do padrão de escoamento e da fase em contato com a parede da tubulação no gradiente de pressão friccional. Possuindo um valor para o expoente 𝑛, pode-se determinar o gradiente de pressão friccional trifásico diretamente através das Equações 5.19, 5.20, 5.21 e 5.22.

Sendo as frações volumétricas das fases uma função implícita de 𝑝(𝑧) , pode-se concluir que a tensão cisalhante ou o gradiente de pressão friccional, detalhados nesta seção, dependem exclusivamente da pressão atuante 𝑝(𝑧) e de constantes do sistema. Dessa forma, conforme observado na Seção 5.1, com a aplicação do modelo de deslizamento e de modelos adequados para o cálculo da tensão cisalhante na parede da tubulação, é possível fazer com que a Equação 5.2 dependa apenas da pressão atuante 𝑝(𝑧).

5.4 Método simplificado de resolução do modelo de