Uma câmera é um mapeamento entre pontos em um espaço 3-dimensional e uma imagem 2-dimensional. Nesta seção, o termo câmera remete a um modelo mate-
mático capaz de realizar este mapeamento. No mundo real, o termo câmera está associado a um aparato para capturar imagens. O modelo matemático de câmeras lineares descreve a geometria envolvida na formação das imagens produzidas pelos aparatos físicos. O estudo de modelos de câmera são fundamentais para áreas como computação gráfica, visão computacional e fotometria, dentre outras. Nesta seção, usaremos o modelo homogêneo de geometria da Álgebra Geométrica (Seção 3.2) para descrever câmeras com modelo de projeção linear. Em particular, estamos in- teressados em câmeras finitas (câmera estenopeica ou pinhole, Seção 4.3.1) e câmera no infinito (câmera afim, Seção 4.3.2). A questão mais interessante a ser observada é que, ao contrário da Álgebra de Matrizes, a Álgebra Geométrica permite a de- finição de equações gerais capazes de lidar com os diferentes tipos de câmeras e projeções lineares, sem a necessidade de adaptações ou especializações. Além disso, o raciocínio geométrico que envolve a formação de imagens 2-dimensionais de cenas 3-dimensionais pode ser facilmente estendido para dimensões mais altas.
Para questões relacionadas ao uso de Álgebra Geométrica na modelagem de câmeras olho-de-peixe e câmeras omnidirecionais com espelho hiperbólico e elíptico, é sugerida a leitura do Capítulo 9 do livro de Kanatani [24].
4.3.1
Câmera Estenopeica
O modelo de câmera estenopeica (ou pinhole) considera a projeção de pontos do espaço 3-dimensional sobre um plano de imagem 2-dimensional usando como re- ferência um centro de projeção pontual finito. A Figura 4.4 ilustra o modelo de câmera estenopeica, onde o ponto
o = e0+ o1e1+ o2e2+ o3e3 (4.3.7)
representa o centro de projeção da câmera. Na equação (4.3.7), {e0, e1, e2, e3} define
a base do espaço vetorial R3+1,0no modelo homogênero de Álgebra Geométrica. Na Figura 4.4, o plano Jh3i é conhecido como plano de imagem e, nesse exemplo, ele
possui a mesma atitude que o plano expandido pelo ponto finito o e por dois dos três eixos do sistema de coordenadas da câmera: o eixo x = x1e1+ x2e2+ x3e3 e o
eixo y = y1e1+ y2e2+ y3e3. Ou seja, o plano Jh3ié paralelo ao plano o ∧ x ∧ y .
Nas câmeras com modelo de projeção linear, um ponto finito p, que reside no espaço 3-dimensional da cena, é projetado no ponto p0 sobre o plano de imagem (veja a Figura 4.4). O ponto p0é obtido a partir da intersecção do plano de imagem Jh3i com a linha reta que passa por o e por p. Ou seja:
p0 = Jh3i∩ (o ∧ p) ≡ Jh3i∨ (o ∧ p) . (4.3.8)
O ponto o0 na Figura 4.4 é conhecido como ponto principal. O ponto principal é a origem do sistema de coordenadas da imagem e é dado pela intersecção do eixo principal da câmera (i.e., eixo z = z1e1+ z2e2+ z3e3, também chamado de eixo
óptico) e o plano Jh3i:
o0= Jh3i∨ (o ∧ z ) .
A distância Euclidiana entre o ponto o e o ponto o0 é chamada de distância focal. As coordenadas (α1, α2) do ponto p0(equação (4.3.8)) no sistema de coordenadas
2-dimensional da imagem são obtidas transladando o ponto p0 para que este seja representado em relação à origem o0 da imagem e usando o produto interno de vetores para projetar a translação de p0 nos eixos {u, v }:
α1= p0 p0· e 0 − o 0 o0· e 0 · u, α2= p0 p0· e 0 − o 0 o0· e 0 · v . (4.3.9)
p' Jx3 X \ y x z p o o' u v
Figura 4.4: A formação de imagens em câmeras estenopeicas ou pinhole é guiada pela relação espacial entre o plano de imagem Jh3i, o centro de projeção o da câmera
e os pontos no espaço da cena. Observe nesse exemplo que um ponto p no espaço 3-dimensional é projetado no plano de imagem na posição p0, ou seja, no ponto de intersecção entre a reta o ∧ p e Jh3i. Nesse exemplo, {x , y , z } define o sistema de coordenadas da câmera no espaço 3-dimensional e {u, v } o sistema de coordenadas bidimensional do plano de imagem, com origem no ponto o0.
Nas equações (4.3.9), as divisões normalizam a coordenada homogênea dos pontos finitos p0 e o0envolvidos na operação, e a subtração resulta na direção que define a translação de p0 em relação à origem do sistema de coordenadas da imagem. Para que as coordenadas (α1, α2) sejam representadas em pixels (unidade de medida
comumente utilizada em imagens), basta escalar os vetores u e v de modo que a magnitude desses vetores permita a conversão da unidade de medida usada no espaço 3-dimensional (e.g., metros, centímetros, etc.) para pixels no último produto interno executado nas equações (4.3.9).
O plano de imagem Jh3ina Figura 4.4 pode ser construído como o plano expan-
dido pelo ponto o0(ou qualquer outro ponto finito sobre o plano de imagem) e pelas direções u = u1e1+ u2e2+ u3e3 e v = v1e1+ v2e2+ v3e3:
Jh3i= o0∧ u ∧ v .
Outra opção é usar alguma das expressões apresentadas na Seção 3.2 para constru- ção de planos.
Conforme comentado anteriormente, na Figura 4.4 o plano de imagem é paralelo a o ∧ x ∧ y . Porém, na prática, Jh3ipode ser qualquer plano finito, desde que esse
não contenha a reta o ∧ z , i.e., Jh3i∪ (o ∧ z ) ≡ e0∧ e1∧ e2∧ e3.
É comum a literatura que descreve modelos de câmeras lineares definir apenas o mapeamento entre pontos em um mundo 3-dimensional e uma imagem 2-dimensional. Isso porque a Álgebra de Matrizes permite a codificação de pontos como matrizes linha ou coluna, enquanto que matrizes de mais alta ordem são utilizados para co- dificar a projeção em si. Com o uso de Álgebra Geométrica, fica fácil estender a equação (4.3.8) para projetar qualquer subespaço planar na cena para o plano de imagem Jh3i. Fazendo uso da generalidade do produto externo, da operação de
intersecção de blades e do produto regressivo, basta substituir p na equação (4.3.8) por um k-blade Phkique codifique um ponto (k = 1) ou uma reta (k = 2) para obter
uma versão mais geral da projeção de câmeras lineares:
Aumento da distância focal Diminuição da distorção perspectiva
Figura 4.5: Efeito da variação da distância focal em câmeras com modelo de projeção linear. À medida que a distância entre o centro de projeção e o plano da imagem cresce (da esquerda para a direita), os efeitos da distorção perspectiva diminuem. No limite (à direita), o centro de projeção é colocado no infinito, o que caracteriza um modelo de câmera afim.
4.3.2
Câmera Afim
À medida que aumentamos a distância focal (distância entre o e o0na Figura 4.4) em uma câmera estenopeica, diminuímos a distorção perspectiva dos elementos proje- tados na imagem. A Figura 4.5 ilustra esse comportamento. Com a distorção pers- pectiva, a projeção de linhas paralelas (no espaço 3-dimensional) não corresponde a linhas paralelas no plano de imagem. No limite, quando o centro de projeção o vai para o infinito e se torna uma direção, linhas paralelas no espaço projetam para linhas paralelas no plano de imagem. Câmeras com essa característica seguem o modelo de câmera afim.
Câmeras estenopeicas e câmeras afins costumam ser tratadas de maneiras dis- tintas quando o problema de projeção linear é modelado por Álgebra de Matrizes. Ou seja, para cada tipo de câmera é construída uma matriz de projeção diferente. Com Álgebra Geométrica, a mesma expressão apresentada pelas equações (4.3.8) e (4.3.10) podem ser usadas para ambos os modelos de câmera. Para isso, basta substituir nas equações (4.3.8) e (4.3.10) o ponto finito, o que caracteriza o centro de projeção de uma câmera estenopeica, por um ponto não-finito (uma direção)
o = o1e1+ o2e2+ o3e3 (4.3.11)
que caracterize o centro de projeção de uma câmera afim. Compare os centros de projeção o definidos nas equações (4.3.7) e (4.3.11) e observe que a única diferença é que, na primeira, temos um ponto próprio, enquanto que, na segunda, temos um ponto impróprio (i.e., o coeficiente associado ao vetor homogêneo e0é igual a zero).
Todo o restante do raciocínio geométrico que define a relação entre os elementos na cena 3-dimensional, o plano de imagem Jh3ie o centro de projeção o, permanecem
p q
Figura 4.6: O diagrama de Voronoi de um conjunto de pontos (chamados de sítios, sementes ou geradores) divide o espaço em regiões convexas de maneira que qualquer ponto dentro de uma região seja mais próximo do sítio que gerou a região do que a qualquer outro sítio. Nesse exemplo, os sítios residem em um espaço 2-dimensional. Duas regiões são colocadas em destaque. A região associada ao sítio p possui vértices finitos e, consequentemente, área finita. A região associada ao sítio q possui dois vértices no infinito.