As operações de intersecção e união de subespaços em Álgebra Geométrica são análogas às operações de mesmo nome em Teoria de Conjuntos. Por isso, nessa seção usaremos diagramas de Venn para ilustrar as relações entre os blades operados (Figura 2.11). A diferença é que, em Álgebra Geométrica, é preciso ficar atento aos elementos que compõe os conjuntos: subespaços 1-dimensionais, linearmente independentes, resultantes da fatoração de blades pelo produto externo.
Para qualquer par de blades Ahrie Bhsi, é possível fatorar um blade Mhti tanto
de Ahri quanto de Bhsi:
Ahri= A0hr−ti∧ Mhti e Bhsi= Mhti∧ Bhs−ti0 . (2.8.74)
A intersecção retorna o subespaço compartilhado por Ahrie Bhsi (Figura 2.11b):
Ahri∩ Bhsi = Mhti, (2.8.75)
enquanto que a união é o subespaço expandido pelas porções disjuntas e pela parte comum a Ahrie Bhsi (Figura 2.11c):
Ahri∪ Bhsi= A0hr−ti∧ Mhti∧ Bhs−ti0 . (2.8.76)
Por exemplo, na Figura 2.12a, os blades Ah2ie Bh2i podem ser fatorados em
Ah2i= a0∧ m e Bh2i= m ∧ b0.
A porção compartilhada por eles é o vetor m, e a união de Ah2ie Bh2ié um 3-blade:
Ah2i∩ Bh2i= m e Ah2i∪ Bh2i= a0∧ m ∧ b0≡ Ih3i.
Assumindo que os blades operados nesse exemplo residem em um espaço 3-dimensio- nal, então o resultado da união é uma versão escalada do pseudo-escalar unitário Ih3i.
A X \2 B X \2 m (a) B X \2 a γ (b)
Figura 2.12: Exemplos de união e intersecção de subespaços que residem em um es- paço 3-dimensional. No exemplo (a), os blades Ah2ie Bh2i compartilham um fator
m e, juntos, expandem um 3-blade proporcional ao espaço total Ih3i. No exem-
plo (b), nenhum fator vetorial é compartilhado pelos blades a e Bh2i. O resultado
da intersecção é a porção escalar γ comum a ambos, enquanto que o resultado da união é o espaço total, proporcional a Ih3i.
Em outro exemplo, a Figura 2.12b mostra que a intersecção de blades que não compartilham fatores vetoriais leva a um 0-blade, i.e., um escalar. Observe, na Figura 2.12b, que o vetor a é linearmente independente de Bh2i. A intuição vinda
da Teoria de Conjuntos pode sugerir que o resultado seria um conjunto vazio re- presentado por um blade igual a zero. Entretanto, a intersecção será igual a zero se e somente se pelo menos um dos blades operados for igual a zero. No caso de subespaços, o conjunto vazio é representado por um valor escalar γ:
a ∩ Bh2i= γ ≡ 1 e a ∪ Bh2i≡ Ih3i.
Ambos os resultados da intersecção (equação (2.8.75)) e união (equação (2.8.76)) são independentes de qualquer métrica particular que o espaço multivetorial V
Rn possa ter, pois essas operações são baseadas na fatoração pelo produto externo, que é não-métrico. Isso implica que, mesmo em um espaço métrico qualquer, podemos utilizar a contração à direita e a contração à esquerda, sob a métrica Euclidiana, para escrever as porções disjuntas de Ahrie Bhsi como:
A0hr−ti = Ahrib Mhti−1 e Bhs−ti0 = M −1
hti c Bhsi. (2.8.77)
O Capítulo 5 apresenta um algoritmo para avaliar a intersecção e a união de subespaços (Algoritmo 5.10). Esse algoritmo ora calcula a união e ora calcula a intersecção. A partir das relações apresentadas nas equações (2.8.74) e (2.8.77), é possível concluir que, uma vez conhecida a união (i.e., Jhr+s−ti= Ahri∪ Bhsi), a
intersecção pode ser calculada como Mhti= Ahri∩ Bhsi=
Bhsic Jhr+s−ti−1 c Ahri = Bhsi∗ c Ahri =Bhsi∗ ∧ A∗hri−∗, (2.8.78)
onde, neste caso, as operações de dualização (equação (2.7.65)) e desdualização (equação (2.7.68)) não são relativas ao pseudo-escalar do espaço total (Ihni), mas
A X \r BX \s (a) A X \r∆BX \s (b)
Figura 2.13: Resultado do produto delta, representado por diagramas de Venn. O produto delta de dois blades, Ahri e Bhsi (a), produz o blade expandido pelas
porções disjuntas, e linearmente independentes, dos blades operados (b).
sim ao pseudo-escalar Jhr+s−ti do espaço onde o problema de intersecção reside.
De maneira complementar, caso a intersecção Mhtiseja conhecida, a união pode ser
calculada como
Jhr+s−ti= Ahri∪ Bhsi= Ahri∧
Mhti−1c Bhsi =Ahrib Mhti−1 ∧ Bhsi. (2.8.79)
Nas equações (2.8.78) e (2.8.79), a métrica corrente do espaço deve ser substituída temporariamente pela métrica Euclidiana durante a avaliação da inversão e dos produtos métricos.
Um produto não-linear, diretamente relacionado à união e à intersecção de su- bespaços, é o produto delta:
Chmaxi= Ahri∆Bhsi =AhriBhsi
max
= A0hr−ti∧ Bhs−ti0 ,
(2.8.80)
onde o grau max de Chmaxi é obtido como o maior grau no multivetor resultante
do produto geométrico de Ahripor Bhsi. Conforme ilustra a Figura 2.13, o produto
delta retorna o subespaço expandido pelas porções disjuntas de Ahrie Bhsi(última
linha da equação (2.8.80)). Os blades A0hr−ti e Bhs−ti0 , usados na equação (2.8.80), são definidos na equação (2.8.74).
Com o produto delta de dois blades, podemos calcular o grau esperado para o resultado das operações de intersecção e união. A intuição empregada é similar à utilizada na Teoria de Conjuntos para obter a cardinalidade de conjuntos. Ao conhecer o grau do blade resultante do produto delta, o grau da intersecção é calculado como
grau Ahri∩ Bhsi =
r + s − grau Ahri∆Bhsi
2 , (2.8.81)
e o grau da união é dado por
grau Ahri∪ Bhsi =
r + s + grau Ahri∆Bhsi
2 . (2.8.82)
Utilize as Figuras 2.11 e 2.13 para entender o funcionamento das equações (2.8.81) e (2.8.82). No caso da intersecção (equação (2.8.81)), ao somar os graus r e s
A X \r BX \s A X \r∆BX \s (a) A X \r BX \s A X \r∆BX \s (b) A X \r BX \s A X \r∆BX \s (c)
Figura 2.14: Diagramas de Venn para os casos de relação de inclusão de um subes- paço Ahriem um subespaço Bhsi. À esquerda são apresentados os blades analisados. À direita, o produto delta desses blades. (a) Caso em que Ahri e Bhsi são linear-
mente independentes, i.e., conjuntos disjuntos de fatores. (b) Caso em que Ahri e
Bhsi não são linearmente independentes, mas onde existe algum fator em Ahri que
não está contido em Bhsi. (c) Caso em que Ahri está contido em Bhsi.
teremos o grau t de Mhti (equação (2.8.78)) acumulado duas vezes, enquanto que
os graus das porções disjuntas, A0hr−ti e Bhs−ti0 (equação (2.8.74)), são acumulados apenas uma vez. Ao subtrair
grau Ahri∆Bhsi = r + s − 2t
da soma de r e s, o que resta é apenas o grau t multiplicado por dois. A divisão por dois na equação (2.8.81) elimina a redundância na contagem de t. Já no caso da união de subespaços (equação (2.8.82)), a soma de r, s e grau Ahri∆Bhsi duplica
tanto a dimensionalidade das porções disjuntas quanto da porção comum a Ahri e
Bhsi. Logo, a divisão por dois, na equação (2.8.82), leva ao grau de Ahri∪ Bhsi.
O produto delta de blades também pode ser usado na construção de um teste que indica quando um subespaço Ahriestá contido em um subespaço Bhsi. O teste
pela aplicação da antissimetria do produto externo: a ∧ Bhsi= 0 , se a ⊆ Bhsi.
O uso do produto delta generaliza o teste para blades de quaisquer graus:
Ahri∧ Ahri∆Bhsi 6= 0 , se Ahri⊆ Bhsi. (2.8.83)
A Figura 2.14 ilustra as três possibilidades na avaliação do teste apresentado na equação (2.8.83). Caso Ahrie Bhsi sejam linearmente independentes (Figura 2.14a)
ou, caso compartilhem algum fator, mas não todos os fatores de Ahri(Figura 2.14b), o blade produzido pelo produto delta inclui algum fator vindo de Ahri. Isso faz com que o produto externo, avaliado na equação (2.8.83), resulte em zero, por dependência linear entre Ahri e Ahri∆Bhsi. O resultado do produto delta entre
Ahri e Bhsi não incluirá fatores de Ahri se e somente se Ahri estiver contido em
Bhsi (Figura 2.14c). Nesse caso, Ahri será linearmente independente de Ahri∆Bhsi,
resultando em um multivetor diferente de zero na avaliação do produto externo da equação (2.8.83).
Intersecção e união são operações não-lineares. Entretanto, se Ahrie Bhsiforem
disjuntos, então Mhti é um valor escalar (i.e., Ahri∩ Bhsi = Mh0i≡ 1, um 0-blade)
e a união se reduz ao produto externo (i.e., Ahri∪ Bhsi≡ Ahri∧ Bhsi), que é linear.
De maneira similar, se a união de Ahrie Bhsié o espaço total (i.e., Ahri∪ Bhsi≡ Ihni,
o pseudo-escalar) então a operação de intersecção se reduz ao produto regressivo (i.e., Ahri∩ Bhsi≡ Ahri∨ Bhsi), que também é linear e não-métrico. O produto
delta também se reduz aos produtos lineares ∧, c e b, caso Ahri∧ Bhsi6= 0, caso
Ahri⊆ Bhsi e caso Ahri⊇ Bhsi, respectivamente. Tais reduções costumam ser le-
vadas em consideração na simplificação de soluções. Os casos em que produtos não-lineares, como intersecção, união e delta, se reduzem para produtos lineares, como produto externo, produto regressivo e contrações, permitem a substituição de operações mais complicadas por operações mais simples que, eventualmente, levam à substituição pelo produto geométrico inversível e à simplificação de soluções.