O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para estender os conceitos vistos até aqui para todos os ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um desenho deste círculo:
Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). O ângulo a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em vermelho, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical.
Veja comigo essa questão:
FCC – SEE/MG – 2012) No ciclo trigonométrico abaixo estão localizados os ângulos α e β.
Nessas condições, está correto afirmar que a) sen α> cos α
b) sen α> cos β c) sen β> cos β d) sen β> cos α RESOLUÇÃO:
Veja, a seguir, os senos e cossenos dos ângulos marcados no círculo:
Vamos analisar as alternativas. Lembre-se que o primeiro quadrante apresenta valores positivos para seno e cosseno e o terceiro quadrante, negativo para ambos.
sen α > cos α → Errado. Analisando o tamanho das retas, concluímos que sen α < cos α.
sen α > cos β → Correto. Veja que sen α > 0 e cos β < 0.
sen β > cos β → Errado. Veja que ambos são negativos e o módulo do sen β é maior do que cos β (analise os tamanhos das retas). Logo, sen β < cos β.
sen β > cos α → Errado. Vimos que sen β < 0 e cos α > 0.
Resposta: B
Podemos ainda incluir um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do ângulo a.
Veja:
Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. Isto é, este cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando com o ângulo a = 135º:
Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno toca na parte negativa (entre 0 e –1) do eixo horizontal, tendo por isso valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno negativos:
E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo:
Assim, dependendo do quadrante em que se encontrar o ângulo, o seno e cosseno podem ter sinal positivo ou negativo. A tabela abaixo resume estes casos:
Quadrante do ângulo Seno Cosseno Tangente Primeiro
(de 0 a 90º)
+ + +
Segundo (90º a 180º)
+ - -
Terceiro (180º a 270º)
- - +
Quarto (270º a 360º)
- + -
Soma e subtração de ângulos
Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de dois ângulos a e b, e solicitarão o seno, cosseno ou tangente da soma ou subtração destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas a seguir (que também não iremos demonstrar):
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)
cos (a + b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b) cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ). tan( )
a b
a b
a b
+ = +
−
tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ). tan( )
a b
a b
a b
− = − +
Sabendo as fórmulas acima, você não precisa decorar as fórmulas para obter o seno do dobro do ângulo a, isto é, sen(2a), o cosseno do dobro do ângulo a, cos(2a), ou da tangente tan(2a).Veja como obtê-los rapidamente:
sen(2a) = sen(a + a) = sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) Portanto,
sen(2a) = 2 sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a)
cos(2a) = cos (a + a) = cos(a)cos(a) – sen(a)sen(a) Portanto,
cos(2a) = cos2(a) – sen2(a)
Utilize esta fórmula na próxima questão:
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Seja um arco do primeiro quadrante, tal que tg = 3. Sabendo-se que sec = 1 / cos, desde que cos 0, quanto vale sec(2)?
(A) – 0,8 (B) –1,25 (C) 0,8 (D) 1,25 (E) 101/2
RESOLUÇÃO:
Note que:
cos(2X) = cos2X – sen2X cos(2X) = cos2X – (1 – cos2X)
cos(2X) = 2cos2X – 1
Veja ainda que:
tg(X) = sen(X) / cos(X) 3 = sen(X) / cos(X)
9 = sen2(X) / cos2(X) 9.cos2(X) = sen2(X) 9.cos2(X) = 1 – cos2(X)
10.cos2(X) = 1 cos2(X) = 1/10 Logo,
cos(2X) = 2cos2X – 1 cos(2X) = 2.(1/10) – 1
cos(2X) = 1/5 – 1 cos(2X) = -4/5
Assim,
sec(2X) = 1 / cos(2X) = 1 / (-4/5) = -5/4 = -1,25 Resposta: B
tan( ) tan( ) tan(2 ) tan( )
1 tan( ). tan( )
a a
a a a
a a
= + = +
− Portanto,
2
2 tan( ) tan(2 )
1 tan ( ) a a
= a
−
Outras questões apresentam seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo a e solicitam os valores dessas medidas para a sua metade, isto é, o ângulo a/2. Para isso, você precisa conhecer as seguintes fórmulas:
1 cos
2 2
a A
sen = −
1 cos
cos 2 2
a + A
=
1 cos tan 2 1 cos
a A
A
= −
+
Repare que o sinal de sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) vai depender do quadrante onde o ângulo a/2 se encontrar. Ex.: se a/2 = 45º, ele se encontra no primeiro quadrante, logo sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) devem ser
positivos. Já se a/2 = 105º, o seno deve ter sinal positivo mas o cosseno e a tangente devem ter sinal negativo;
afinal este ângulo se encontra no segundo quadrante.
Leis dos senos e cossenos
Precisamos ainda conhecer algumas leis que relacionam lados e ângulos de um triângulo qualquer. Para isso, vamos trabalhar com o triângulo abaixo:
São elas:
a) Lei dos senos:
( ) ( ) ( )
sen A sen B sen C
a = b = c
Utilize a lei dos senos nesta questão:
FUMARC - SEE/MG – 2018) Para fazer um projeto de rede elétrica, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta dessa distância. Um engenheiro posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles. Com os equipamentos apropriados, realizou as medidas e fez o seguinte esboço, chamando de d a distância entre os postes.
A distância d entre os postes é (A) 100√2
(B) 50√2 (C) 25√2 (D) 100
(E) 50
RESOLUÇÃO:
O outro ângulo do triângulo será:
x + 135 + 45 = 180 x = 180 – 150
x = 30º Pela Lei dos Senos, temos:
𝑃𝑄 𝑠𝑒𝑛 45
=100 𝑠𝑒𝑛 30
Aqui, você deveria lembrar que sen 45º =
√2
2
e sen 30º =1
2
. Portanto:PQ =
√2 2
x100 1/2
PQ =
√2
2
x 100 x 2PQ = 100√2 m Resposta: A
b) Lei dos cossenos:
2 2 2
2 cos( ) a = + − b c bc A
ou
2 2 2
2 cos( ) b = + − a c ac B
ou
2 2 2
2 cos( ) c = + − a b ab C
Veja uma questão comigo sobre a lei dos cossenos:
ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?
a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m RESOLUÇÃO:
Como o quadrado tem área 1600m2, então seu lado mede:
Área = L2 1600 = L2 L = 40m
Incorporando as demais informações do enunciado, temos a figura:
A diagonal deste quadrado mede, aproximadamente:
Diagonal = L. 2 = 40x1,41 = 56,4
Assim, metade da diagonal é 28,2, então PB mede 28,2 – 10 = 18,2. Assim, temos:
Pela lei dos cossenos:
2 2 2
2 cos( ) a = + − b c bc A
2 2 2
18, 2 40 2.18, 2.40cos(45 )
OPC = + −
2 2 2
2
18, 2 40 2.18, 2.40
PC = + − 2
30 PC=
(aproximadamente)
Resposta: A
Lembrando que sen(30º) = ½, podemos também dizer que 30º é o arco com seno igual a ½.
Representando a expressão “arco com seno igual a” por arcsen, podemos dizer que:
arcsen(1/2) = 30º ou sen-1 (1/2) = 30º
Observe que esta segunda simbologia denota que estamos fazendo uma operação inversa, isto é, estamos partindo do valor do seno para chegar no valor do ângulo. Da mesma forma, lembrando que cos(30º)
=
3
/ 2, e tan(30º) =3
/ 3, temos que:arccos(
3
/2) = 30º oucos-1 (
3
/2) = 30ºE também que:
arctan(
3
/3) = 30ºou
tan-1 (
3
/3) = 30ºPrincipais ângulos
É importante conhecer os valores de seno, cosseno e tangente dos principais ângulos: 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Veja-os na tabela abaixo:
Ângulo Seno Cosseno Tangente
0º 0 1 0
30º 1
2
3
2 3
3
45º
2
2 2
2
1
60º
3
2
12
3
90º 1 0 infinito
Conhecendo estes ângulos, é possível descobrir o seno, cosseno e tangente de vários outros.
Exemplificando, vamos trabalhar com o ângulo de 105º. Repare que 105º = 45º + 90º. Logo, sen(105º) = sen(45º + 90º) = sen(45º)cos(90º) + sen(90º)cos(45º)
Como sen(90º) = 1 e cos(90º) = 0, podemos afirmar que:
sen(105º) = cos(45º) = 2/2
Da mesma forma,
cos(105º) = cos (45º + 90º) = cos(45º)cos(90º) – sen(45º)sen(90º) cos(105º) = cos (45º + 90º) = -sen(45º) = - 2/2
Funções trigonométricas
Uma função trigonométrica é uma função na qual alguma das razões trigonométricas aparece.
Exemplificando, a função f(x) = 2.sen(x) – 3.cos(x) é uma função trigonométrica.
Note que, para x = 45º (ouseja, x =
4rad), temos:
f(4) = 2.sen(
4) – 3.cos(
4) f(4) = 2.
2
2
- 3.2
2
= -2 2
Veja comigo estas questões:
CESPE – PREVIC – 2011) Em um estudo da interação entre caça e predador, tanto a quantidade de predador quanto a quantidade de caça foram modeladas por funções periódicas do tempo. No início dos anos 2000, a quantidade de predadores em certa região, em milhares, era dada pela função P(t)=5+2cos(πt/12), em que o tempo t é considerado em meses.
A partir dessa situação, julgue o item seguinte.
( ) O gráfico abaixo corresponde à função P(t),0≤t≤35.
RESOLUÇÃO:
Veja que para t = 0, temos P(0) =5. Vamos analizar a função dada:
P(t) = 5 + 2cos(πt/12) P(t) = 5 + 2cos(0) Sabemos que cos(0) = 1. Logo:
P(t) = 5 + 2 = 7
Portanto, o gráfico não corresponde à função do enunciado. Item errado.
Resposta: E
FCC – SEDU/ES – 2016) Na função trigonométrica g(x) = sen x, com x ∈ R, g (13π3 ) (A) g(5π
2) (B) g(π
4) (C) g(2π
3) (D) g(π) (E) g(π
3) RESOLUÇÃO:
Uma volta completa em um círculo trigonométrico corresponde a 2 π. Vamos achar a medida do arco congruente a 13π3 :
Veja que: 13π3 =12π
3 + π
3
Como 12π3 = 4 π, significa que foram dadas duas voltas no círculo trigonométrico e ainda mais π
3. Portanto, o arco congruente vale π
3. Resposta: E