Aula 13 Geometria Espacial e trigonometria. Prof. Arthur Lima. Curso Regular de Matemática p/ Professor de Matemática

Aula 13 – Geometria Espacial e trigonometria

Curso Regular de Matemática p/ Professor de

Matemática

Sumário

SUMÁRIO ...2

GEOMETRIA ESPACIAL ... 3

GEOMETRIAESPACIAL ... 3

Paralelepípedo ... 3

Cubo ... 6

Cilindro ... 9

Cone ... 13

Pirâmide... 17

Prisma... 19

Esfera... 21

TRIGONOMETRIADOTRIÂNGULORETÂNGULO(ÂNGULOAGUDO) ... 23

Principais razões trigonométricas ... 23

Outras razões trigonométricas ... 28

Relação fundamental da trigonometria ... 29

CÍRCULOTRIGONOMÉTRICO ... 30

Soma e subtração de ângulos ... 33

Leis dos senos e cossenos ... 36

Principais ângulos ... 40

Funções trigonométricas ... 41

QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 43

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 106

GABARITO ... 134

RESUMO DIRECIONADO ... 135

Geometria Espacial

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Geometria Básica – Espacial.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

GEOMETRIA ESPACIAL

A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões (altura, largura e profundidade).

Em especial, você deve conhecer os poliedros, que são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, cada uma delas sendo um polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas principais figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, além de áreas e volumes que podem ser pedidos em sua prova.

Paralelepípedo

No desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, largura L e comprimento C:

Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os ângulos entre os segmentos de retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas ao todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui exatamente 8 vértices.

H

C L

Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre quatro arestas, formando um plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, que diz que, para qualquer poliedro convexo:

Vértices + Faces = Arestas + 2 Neste paralelepípedo, temos:

8 + 6 = 12 + 2 Pratique esta expressão comigo na próxima questão:

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) A alternativa que apresenta o número total de faces, vértices e arestas de um tetraedro é:

a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas RESOLUÇÃO:

A figura abaixo é um tetraedro (figura formada por 4 faces apenas):

Temos 4 vértices A, B, C e V. Também sabemos que temos 4 faces. O número de arestas pode ser contado ou, então, obtido pela relação de Euler:

V + F = A + 2 4 + 4 = A + 2 A = 6 arestas Resposta: D

Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura tridimensional como esta. O volume de um paralelepípedo, e de várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e a altura (H):

Volume = Ab x H

A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste caso, tanto a face superior quanto a face inferior poderiam ser consideradas “bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L.

Portanto, a área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L

Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas três dimensões:

V = C x L x H

No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem estar na mesma unidade de comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m³ (metro cúbico).

Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste paralelepípedo. Ela nada mais é que a soma das áreas das faces. Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a C x L. Se um exercício pedisse “qual a área de papel de presente que precisamos para embrulhar uma caixa de sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria calcular esta área superficial.

Vamos praticar um pouco?

VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Em um reservatório com a forma de paralelepípedo reto retângulo, com 2,5 m de comprimento e 2 m de largura, inicialmente vazio, foram despejados 4 m³ de água, e o nível da água nesse reservatório atingiu uma altura de x metros, conforme mostra a figura.

Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ de água.

Nessas condições, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, indicada por h na figura, é, em metros, igual a

(A) 1,25.

(B) 1,5.

(C) 1,75.

(D) 2,0.

(E) 2,5.

RESOLUÇÃO:

Veja que o volume total do reservatório é de 4 + 3,5 = 7,5m3. Este volume corresponde à multiplicação das dimensões, ou seja,

Volume = comprimento x largura x altura

7,5 = 2,5 x 2 x h 3 = 2 x h h = 1,5m Resposta: B

CESPE - CAGE/RS - 2018) O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08 hm, então o preço que se pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a A R$ 3,84.

B R$ 38,40.

C R$ 384,00.

D R$ 3.840,00.

E R$ 38.400,00.

RESOLUÇÃO:

Devemos colocar todas as medidas na mesma unidade. Veja que:

1,2 dam = 12m = 120dm = 1200 cm 0,08hm = 0,8dam = 8m = 80dm = 800cm Assim, o volume total é de:

V = 1200 x 125 x 800 V = 120.000.000 cm3

V = 120.000 dm3 V = 120.000 litros Se cada litro custa 0,32 reais, o preço total será de:

Preço = 0,32 x 120.000 Preço = 38.400 reais Resposta: E

Cubo

O cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas têm a mesma medida. Isto é, C = L = H.

Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A:

Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o paralelepípedo. O seu volume também é dado pela multiplicação da área da base pela altura, de modo que teremos:

Volume = Ab x H = (A x A) x A = A³ Vamos para mais umas questões?

VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Um recipiente R, na forma de prisma reto, tem uma base quadrada interna de lado medindo 4 cm e estava cheio de água, e um recipiente Q, na forma de cubo, de aresta interna 7 cm, estava vazio. Foi despejada uma quantidade de água do recipiente R para o recipiente Q até que ambos tivessem a mesma altura de coluna de água, conforme mostra a figura

Se o recipiente Q ficou com 99 cm3 a mais de água que o recipiente R, a diferença de capacidade, em cm3, entre os recipientes Q e R, vale

(A) 100.

(B) 112.

(C) 124.

(D) 136.

(E) 148.

A

A

A

RESOLUÇÃO:

A área da base de R é 4.4 = 16cm2. A área da base de Q é 7.7 = 49cm2. Sendo H a altura da água após igualarmos as alturas nos dois recipientes, os volumes de água em cada recipiente são:

Volume em R = 16.H Volume em Q = 49.H

Como o volume em Q é 99cm3 maior do que em R:

49H = 16H + 99 49H – 16H = 99

33H = 99 H = 99/33 H = 3cm

O volume total de água é 16H + 49H = 65H = 65.3 = 195cm3. Este era o volume de R quando estava cheio.

Já o volume do cubo Q, com arestas medindo 7cm, é igual a 73, ou seja, 343cm3.

A diferença entre os volumes dos sólidos é 343 – 195 = 148cm3.

Resposta: E

VUNESP – TJ/SP – 2017) As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC.

Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a (A) 11.

(B) 12,5.

(C) 16.

(D) 15,5.

(E) 14..

RESOLUÇÃO:

Os volumes dos cubos A e B são:

VA = 53 = 125 VB = 103= 1000 Utilizando a relação fornecida no enunciado:

VA + VB = VC/2 125 + 1000 = VC/2

1125 = VC/2 VC = 2250 O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja,

VC = 18.10.h 2250 = 18.10.h

225 = 18h h = 225 / 18

h = 12,5 Resposta: B

Cilindro

Veja na figura abaixo um cilindro:

Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. Portanto, a área da base do cilindro é:

Ab=R2

R

H

V =Ab H

A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser contada duas vezes, afinal temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a área lateral.

Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, temos o seguinte:

O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da circunferência da base, isto é, C=2R.

Assim, a área lateral do cilindro é:

lateral 2

A =HxC =Hx



Área total = 2 x Abase + Alateral

Veja comigo estes exercícios:

FCC – SABESP – 2017) Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório também cilíndrico de altura h/2 e raio 2R.

Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a capacidade do novo reservatório é

a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo.

b) igual à capacidade do reservatório antigo.

c) o dobro da capacidade do reservatório antigo.

d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo.

e) metade da capacidade do reservatório antigo.

RESOLUÇÃO:

O volume de um cilindro é dado por:

V =Ab H O cilindro inicial possui raio R. Seu volume será:

R

H H

C

R

V1 = π x R² x h O cilindro que irá substituí-lo possui raio R e altura h/2. Logo:

V2 = π x (2R)² x h/2 V2 = π x 4R² x h/2 V2 = π x 2R² x h = 2 x π x R² x h

V2 = 2 x V1

Portanto, o cilindro substituto terá o dobro da capacidade do antigo.

Resposta: C

CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) Sobre os cilindros, sólidos geométricos classificados como corpos redondos, pois, se colocados sobre uma superfície plana levemente inclinada, rolam, analise as afirmativas a seguir.

I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes.

II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos.

III. A planificação do cilindro é

IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r).

V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h.

Estão INCORRETAS apenas as afirmativas:

A) I e III B) I e V C) II e V D) III e V RESOLUÇÃO:

Vamos analisar as afirmativas:

I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes.

Correto. Veja a indicação de cada elemento:

II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos.

Correto. São estas duas formas, respectivamente:

III. A planificação do cilindro é

Errado. Faltou a planificação das bases, que são dois círculos.

IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r).

A área do cilindro é dada pela soma das duas bases circulares com a área lateral retangular (cuja largura é a altura desse cilindro e o comprimento, o perímetro da circunferência da base). Fica:

A = 2 x π x r² + 2 π x r x h Colocando 2 π x r em evidência, temos:

A = 2πr(r + h) Afirmação correta.

V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h.

Volume de um cilindro é dado pela área da base multiplicada pela altura. Fica:

V = π x r² x h = πr²h Alternativa errada.

Resposta: D

Cone

O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém com uma ponta na outra extremidade. Veja um exemplo:

Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R:

Ab=R2

Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é:

3 V = Ab H

Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples multiplicação da área da base pela altura – foi preciso dividir esse produto por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e o prisma (que veremos a seguir).

No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a extremidade da base. Veja-a marcada pela letra “G” na figura acima.

Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo retângulo. Portanto, fica fácil calcular a geratriz com auxílio do teorema de Pitágoras:

G² = R² + H² Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir:

R

H G

Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. O comprimento deste setor circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é,

2

C= R. Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção:

Área do círculo de raio G --- Comprimento do círculo de raio G Área do setor circular --- Comprimento do setor circular Isto é,







Portanto, podemos dizer que:

Área lateral do cone =



FAURGS – TJ/RS – 2017) Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a desse cilindro tenha volume V, a sua altura deve ser igual a

(A) 1h/3 (B) 1h/2 (C) 2h/3 (D) 2h (E) 3h

RESOLUÇÃO:

Sendo Ab a área da base do cone e do cilindro, o volume V do cilindro é:

V = área da base x altura V = Ab x h

R

G

No caso do cone, se sua altura for H, sabemos que seu volume é:

Volume = área da base x altura / 3 V = Ab x H / 3

Para este volume ser igual ao anterior, então:

Ab x H/3 = Ab x h H/3 = h

H = 3h Resposta: E

CESPE – PREVIC – 2011)

O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde à superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

( ) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura com a superfície lateral completamente fechada.

RESOLUÇÃO:

Veja abaixo uma figura que representa este tronco de cone:

Se abrirmos esta área lateral como uma folha de papel, teremos um trapézio como este:

Veja que as dimensões deste trapézio são:

Base menor = 2.









Altura = 3m

Portanto, fica fácil calcular a sua área, lembrando a fórmula da área do trapézio:

Área do trapézio = (base menor + base maior) x altura / 2 Área do trapézio = (9,42 + 15,7) x 3 / 2

Área do trapézio = 37,68 m2

Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste item.

Resposta: C

Pirâmide

Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular:

Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por:

3 V = Ab H

Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em detalhes aqui.

Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos.

Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas das faces laterais.

Vamos exercitar um pouco?

FUMARC - SEE/MG – 2018) Quando se coloca base a base duas pirâmides quadrangulares regulares, obtém- se um octaedro regular que é um poliedro com 8 faces na forma de triângulo equilátero. Assim, todas as 12 arestas do octaedro são congruentes.

Uma peça de metal com formato de um octaedro de aresta 5 cm tem volume aproximadamente igual a (A) 29 cm³

(B) 59 cm³ (C) 70 cm³ (D) 35 cm³

L

H

L L

C

H

L

RESOLUÇÃO:

Vamos visualizar o triângulo formado por metade da altura desse octaedro, metade da diagonal da base e uma aresta:

Por Pitágoras, achamos h:

5² = h² +( ^5√2₂ )² 25 = h² + ^{25 x 2}₄

h² = 25 - ²⁵

2

h² = ²⁵ ₂ h = _√2⁵ = ^5√2₂

Como a altura do octaedro é o dobro de h, temos H = 5√2.

O volume desse octaedro será dado por:

V = Área da base x H 3

V = ^{5² x 5√2}₃ V ≅ ^{125 x 1,41}

3

V ≅ 59 cm³ Resposta: B

Prisma

Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com base retangular:

Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é facilmente calculada. Além disso, você já sabe calcular a área da base de cada um deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na extremidade inferior e superior das figuras.

O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura:

V = Ab x H Vejamos duas questões sobre Prisma:

VUNESP – PM/SP – 2018) Um bloco maciço de argila tem a forma de um prisma reto de base retangular e altura igual a 24 cm, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume desse bloco é 900 cm3, o perímetro da base indicada na figura mede (A) 20 cm.

(B) 22 cm.

(C) 15 cm.

(D) 25 cm.

(E) 18 cm.

RESOLUÇÃO:

C H

L

L

H

O volume desse prisma é dado pelo produto de suas três dimensões. Portanto:

V = x . 5 . 24 900 = 120x

x = 7,5 cm O perímetro da base será:

P = 2x + 2.5 = 2.7,5 + 10 P = 15 + 10

P = 25 cm Resposta: D

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e aresta lateral com medida H, assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse prisma:

a) Área total=3*A* (2*H+A √3) b) Área total=4*A* (2*H+A √3) c) Área total=5*A* (4*H+A √5) d) Área total=6*A* (3*H+A √3) e) Área total=3*A* (3*H+A √3) RESOLUÇÃO:

O prisma citado pela questão assume a seguinte ilustração:

Além disso, nota-se que as duas bases são hexágonos regulares, onde temos:

Repare que para calcular a área total desse prisma, devemos calcular a área lateral e a área da base, uma vez que a área total corresponde à soma da área lateral com as duas áreas da base, ou seja: Atotal = ALateral + 2xAbase

A área lateral é composta por seis retângulos de base A e altura L, portanto essa área corresponde a 6x(AxH).

A área da base corresponde à área de um hexágono, o qual é composto por seis triângulos eqüiláteros de lado A, onde a área de cada triângulo eqüilátero equivale à expressão . Assim, a área da base resulta em

2x(6x ) = 3x .

Deste modo, a área total equivale a

Atotal = ALateral + 2xAbase Atotal = 6x(AxH) + 3x

Atotal = 3xA x (2H + ) Resposta: A

Esfera

A esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se encontram à distância R de um ponto central C:

C

R

V = 4



A = 4



Veja uma questão interessante, que mistura o cone e a esfera:

FUMARC - SEE/MG – 2018) Uma fábrica de sorvetes decidiu lançar o Kornetone: uma casquinha de sorvete de forma cônica com 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura, totalmente preenchida com sorvete de chocolate, sem transbordar, e sobre o sorvete de chocolate, meia bola de sorvete de morango, formando uma semiesfera que se encaixa perfeitamente sobre a casquinha.

Considerando π = 3,14, o volume de sorvete necessário para fabricar um Kornetone é de, aproximadamente, (A) 151 ml

(B) 188 ml (C) 207 ml (D) 433 ml (E) 829 ml RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o volume do sorvete de morango, que equivale à metade do volume de uma esfera de raio

= 3 cm (já que o diâmetro vale 6 cm):

V =

1 2

4 x π x r

3

V =

2 x π x 3

3

V = 2 x π x 3² V = 18 π

O volume do sorvete que preenche a parte cônica, será dado por:

V =

π x r

x h

3

V =

π x 3

x 10 3

V = π x 3 x 10 V = 30 π O total de sorvete será a soma dos dois volumes:

V total = 18 π + 30 π V total = 48 π = 48 x 3,14 V total = 150,72 cm³ ≅ 151 ml Resposta: A

TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO (ÂNGULO AGUDO)

Principais razões trigonométricas

A trigonometria trata das relações entre comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Como você pode perceber, nos tópicos anteriores nós já tratamos sobre algumas dessas relações, ao explorar a semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras.

Veja o triângulo retângulo abaixo:

Além do ângulo reto temos os ângulos a e b. Além disso, temos os lados A, B e C, onde C é a hipotenusa e A e B são os catetos. Assim, podemos definir:

Seno de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa:

( ) Cateto Oposto Sen Ângulo

Hipotenusa

=

Isto é, o seno do ângulo a é a razão entre A e C: sen(a) = A / C. De maneira análoga, podemos dizer que sen(b) = B / C.

Cosseno de um ângulo: é a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa.

( ) Cateto Adjacente Cos Ângulo

Hipotenusa

=

Repare que o cateto B é adjacente ao ângulo a. Portanto, cos(a) = B / C, e cos (b) = A / C, uma vez que o cateto A é adjacente ao ângulo b.

Tangente de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um determinado ângulo.

( )

( )

( )

Cateto Oposto Sen Ângulo Tan Ângulo

Cateto Adjacente Cos Ângulo

= =

Assim, como A é oposto ao ângulo a e B é adjacente a este mesmo ângulo, então tan(a) = A / B. Já tan(b)

= B / A. Perceba ainda que tan(a) = sen(a) / cos(a), e tan(b) = sen(b) / cos(b).

Veja comigo estes exercícios:

FUNDATEC – CREA/PR – 2013) Para responder a essa questão, observe a figura a seguir:

Suponha que a rampa do Palácio do Planalto, em Brasília, forma com o solo um triângulo retângulo de vértices A, B e C, conforme a figura. Se sua inclinação com relação ao solo é constante de 26° e a distância de sua base no ponto B até o ponto C é de 9m, a distância do ponto A ao ponto C é:

(Considere: sen(26º) = 0,438; cos(26º) = 0,899 tan(26º) = 0,488) A) 3m

B) 3,942m C) 4,392m D) 5m E) 8,091m RESOLUÇÃO:

Foi dito que BC = 9m, e que o ângulo B mede 26º. A definição de tangente nos diz que:

Tangente de B = Cateto oposto / Cateto Adjacente Tangente de B = AC / BC

tan(26º) = AC / 9 0,488 = AC / 9 AC = 9 x 0,488 = 4,392 Resposta: C

VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017) Considere a elaboração, pelo Centro de Inteligência da Polícia Militar (CIPM), de um planejamento estratégico para a deflagração de uma operação policial ostensiva em uma região R, com alta incidência do tráfico de drogas. A questão tem como referência essa proposição.

Na operação, está previsto o apoio aéreo de um helicóptero, que deve seguir um trajeto previamente determinado: partir de um ponto A, dirigir-se a um ponto B e, em seguida, deslocar-se até um ponto C, retornando depois ao ponto de partida. A rota do helicóptero está representada pelo triângulo retângulo ABC mostrado na figura.

Sendo AC = 6 km, é correto afirmar que AB + BC + AC é, em quilômetros, igual a a) 18√3

b) 6 + 10√3 c) 12√3 d) 6 + 6√3 e) 1 + 6√3 RESOLUÇÃO:

O ângulo no vértice B do triângulo mede 180 – 120 = 60 graus. Oposto a esse segmento, temos o segmento AC, cuja medida é 6km. Sabendo que o seno de 60 graus é √3/2, podemos montar a seguinte proporção:

3 6 cos 60

2 3 12 12 12 3 12 3

3 4 3

3 3 3

CB CB

CB

= =

=

= = = =

A tangente de 60 graus é √3. Assim, temos:

tan 60 3 6

6 6 3 6 3

3 2 3

3 3 3

AB AB

= =

= = = =

Assim, AB + BC + AC é, em quilômetros, igual a 2√3 + 4√3 + 6 = 6 + 6√3.

RESPOSTA: D

FCC – SEDU/ES – 2016) Uma rampa inclinada, com ângulo de inclinação de 12°, em relação ao solo, tem 25 m de comprimento.

Na parte mais alta da rampa, sua altura em relação ao solo é, aproximadamente, igual a

Dados:

sen 12° = 0,21 cos 12° = 0,98 tg 12° = 0,21 a) 25,50 m.

b) 24,50 m.

c) 4,20 m.

d) 5,25 m.

e) 20,00 m.

RESOLUÇÃO:

O cateto oposto ao ângulo de 12º é h e a hipotenusa desse triângulo é 25 m. Aplicando o conceito de seno de um ângulo, temos:

sen 12° = cateto oposto/hipotenusa 0,21 = h/25

h = 0,21 x 25 h = 5,25 m Resposta: D

ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, z metros e (w – 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w – 2) metros é igual a um ângulo de 45°, então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a

a) z 2 (w – 2).

b) z w (2 – 2 ).

c) z w (2 + 2 ).

d) (z + w) (z + w 2 ).

e) z (2 + ² ).

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte disposição:

Veja que:

tan(45º) = (w – 2) / z 1 = (w – 2) / z

z = (w – 2)

Veja ainda que:

cos(45º) = z / h

2 2

z

= h

.2 2 2

h= z =z

Portanto, o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a:

Perímetro = z + (w – 2) + h Perímetro = z + z + z 2

Perímetro = 2.z + z ² Perímetro = z . (2 + 2) Resposta: E

ESAF – DNIT – 2012) Suponha que um avião levanta voo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 2.800 metros em linha reta sob o mesmo ângulo da decolagem, a altura em que o avião está do solo em relação ao ponto em que decolou é igual a:

a) 1.400 metros b) 1.500 metros c) 1.650 metros d) 1.480 metros e) 1.340 metros RESOLUÇÃO:

Observe o triângulo retângulo abaixo, que representa a trajetória do avião em relação ao solo:

Assim, temos:

sen(30^o) = H / 2800

½ = H / 2800 H = 1400m Resposta: A

Outras razões trigonométricas

Definimos ainda proporções derivadas das que já estudamos, que são:

cossecante: inverso do seno. Isto é, cossec(a) = 1 / sen(a) secante: inverso do cosseno. Assim, sec(a) = 1 / cos(a) cotangente: inverso da tangente, ou seja, cot(a) = 1 / tan(a)

Pelo que vimos acima, repare que, se a e b são ângulos agudos de um mesmo triângulo retângulo:

sen(a) = cos(b) sen(b) = cos(a) tan(a) = 1 / tan(b)

Como sabemos que os ângulos a, b e 90º somam 180º (por serem os ângulos internos de um triângulo), então b = 90º - a. Isto nos permite perceber que:

sen(a) = cos(90º - a) tan(a) = 1 / tan(90º - a)

Relação fundamental da trigonometria

Podemos definir uma relação fundamental da trigonometria. Sendo sen²(a) o valor do quadrado do seno de a, e cos²(a) o valor do quadrado do cosseno de a, então:

sen²(a) + cos²(a) = 1

Isto vale para qualquer ângulo! Não demonstraremos essa propriedade para não perdermos tempo. Mas grave-a, pois ela será bastante utilizada. Antes de avançarmos, vejamos um exemplo numérico:

A hipotenusa é lado de medida 5. O cateto de medida 3 é oposto ao ângulo a e adjacente ao ângulo b. Já o cateto de medida 4 é oposto ao ângulo b e adjacente ao ângulo a.Portanto,

sen(a) = 3 / 5 = 0,6 cos(a) = 4 / 5 = 0,8 tan(a) = 3 / 4 = 0,75

sen(b) = 4 / 5 = 0,8 cos(b) = 3 / 5 = 0,6 tan(b) = 4 / 3 = 1,333…

cossec(a) = 1 / sen(a) = 5 / 3 = 1,666…

sec(a) = 1 / cos(a) = 5 / 4 = 1,25 cot(a) = 1 / tan(a) = 4 / 3 = 1,333...

Como você pode ver:

sen(a) = cos(b) = cos (90º - a) = 0,6 cos(a) = sen(b) = sen(90º - a) = 0,8 tan(a) = 1 / tan(b) = 1 / tan(90º - a) = 0,75

Observe ainda que a nossa propriedade fundamental é respeitada:

sen²(a) + cos²(a) = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para estender os conceitos vistos até aqui para todos os ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um desenho deste círculo:

Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). O ângulo a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em vermelho, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical.

Veja comigo essa questão:

FCC – SEE/MG – 2012) No ciclo trigonométrico abaixo estão localizados os ângulos α e β.

Nessas condições, está correto afirmar que a) sen α> cos α

b) sen α> cos β c) sen β> cos β d) sen β> cos α RESOLUÇÃO:

Veja, a seguir, os senos e cossenos dos ângulos marcados no círculo:

Vamos analisar as alternativas. Lembre-se que o primeiro quadrante apresenta valores positivos para seno e cosseno e o terceiro quadrante, negativo para ambos.

sen α > cos α → Errado. Analisando o tamanho das retas, concluímos que sen α < cos α.

sen α > cos β → Correto. Veja que sen α > 0 e cos β < 0.

sen β > cos β → Errado. Veja que ambos são negativos e o módulo do sen β é maior do que cos β (analise os tamanhos das retas). Logo, sen β < cos β.

sen β > cos α → Errado. Vimos que sen β < 0 e cos α > 0.

Resposta: B

Podemos ainda incluir um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do ângulo a.

Veja:

Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. Isto é, este cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando com o ângulo a = 135º:

Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno toca na parte negativa (entre 0 e –1) do eixo horizontal, tendo por isso valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno negativos:

E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo:

Assim, dependendo do quadrante em que se encontrar o ângulo, o seno e cosseno podem ter sinal positivo ou negativo. A tabela abaixo resume estes casos:

Quadrante do ângulo Seno Cosseno Tangente Primeiro

(de 0 a 90º)

+ + +

Segundo (90º a 180º)

+ - -

Terceiro (180º a 270º)

- - +

Quarto (270º a 360º)

- + -

Soma e subtração de ângulos

Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de dois ângulos a e b, e solicitarão o seno, cosseno ou tangente da soma ou subtração destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas a seguir (que também não iremos demonstrar):

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

cos (a + b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b) cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

tan( ) tan( )

tan( )

1 tan( ). tan( )

a b

a b

a b

+ = +

−

tan( ) tan( )

tan( )

1 tan( ). tan( )

a b

a b

a b

− = − +

Sabendo as fórmulas acima, você não precisa decorar as fórmulas para obter o seno do dobro do ângulo a, isto é, sen(2a), o cosseno do dobro do ângulo a, cos(2a), ou da tangente tan(2a).Veja como obtê-los rapidamente:

sen(2a) = sen(a + a) = sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) Portanto,

sen(2a) = 2 sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a)

cos(2a) = cos (a + a) = cos(a)cos(a) – sen(a)sen(a) Portanto,

cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)

Utilize esta fórmula na próxima questão:

CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Seja  um arco do primeiro quadrante, tal que tg  = 3. Sabendo-se que sec = 1 / cos, desde que cos   0, quanto vale sec(2)?

(A) – 0,8 (B) –1,25 (C) 0,8 (D) 1,25 (E) 10^1/2

RESOLUÇÃO:

Note que:

cos(2X) = cos²X – sen²X cos(2X) = cos²X – (1 – cos²X)

cos(2X) = 2cos²X – 1

Veja ainda que:

tg(X) = sen(X) / cos(X) 3 = sen(X) / cos(X)

9 = sen²(X) / cos²(X) 9.cos²(X) = sen²(X) 9.cos²(X) = 1 – cos²(X)

10.cos²(X) = 1 cos²(X) = 1/10 Logo,

cos(2X) = 2cos²X – 1 cos(2X) = 2.(1/10) – 1

cos(2X) = 1/5 – 1 cos(2X) = -4/5

Assim,

sec(2X) = 1 / cos(2X) = 1 / (-4/5) = -5/4 = -1,25 Resposta: B

tan( ) tan( ) tan(2 ) tan( )

1 tan( ). tan( )

a a

a a a

a a

= + = +

− Portanto,

2

2 tan( ) tan(2 )

1 tan ( ) a a

= a

−

Outras questões apresentam seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo a e solicitam os valores dessas medidas para a sua metade, isto é, o ângulo a/2. Para isso, você precisa conhecer as seguintes fórmulas:

1 cos

2 2

a A

sen  =   −

 

1 cos

cos 2 2

a + A

  = 

  

1 cos tan 2 1 cos

a A

A

  =  −

  +

 

Repare que o sinal de sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) vai depender do quadrante onde o ângulo a/2 se encontrar. Ex.: se a/2 = 45º, ele se encontra no primeiro quadrante, logo sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) devem ser

positivos. Já se a/2 = 105º, o seno deve ter sinal positivo mas o cosseno e a tangente devem ter sinal negativo;

afinal este ângulo se encontra no segundo quadrante.

Leis dos senos e cossenos

Precisamos ainda conhecer algumas leis que relacionam lados e ângulos de um triângulo qualquer. Para isso, vamos trabalhar com o triângulo abaixo:

São elas:

a) Lei dos senos:

( ) ( ) ( )

sen A sen B sen C

a = b = c

Utilize a lei dos senos nesta questão:

FUMARC - SEE/MG – 2018) Para fazer um projeto de rede elétrica, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta dessa distância. Um engenheiro posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles. Com os equipamentos apropriados, realizou as medidas e fez o seguinte esboço, chamando de d a distância entre os postes.

A distância d entre os postes é (A) 100√2

(B) 50√2 (C) 25√2 (D) 100

(E) 50

RESOLUÇÃO:

O outro ângulo do triângulo será:

x + 135 + 45 = 180 x = 180 – 150

x = 30º Pela Lei dos Senos, temos:

𝑃𝑄 𝑠𝑒𝑛 45

100 𝑠𝑒𝑛 30

Aqui, você deveria lembrar que sen 45º =

√2

2

1

2

PQ =

√2 2

100 1/2

PQ =

√2

2

PQ = 100√2 m Resposta: A

b) Lei dos cossenos:

2 2 2

2 cos( ) a = + − b c bc A

ou

2 2 2

2 cos( ) b = + − a c ac B

ou

2 2 2

2 cos( ) c = + − a b ab C

Veja uma questão comigo sobre a lei dos cossenos:

ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Considere um terreno quadrado com área de 1600 m² e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?

a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m RESOLUÇÃO:

Como o quadrado tem área 1600m², então seu lado mede:

Área = L² 1600 = L² L = 40m

Incorporando as demais informações do enunciado, temos a figura:

A diagonal deste quadrado mede, aproximadamente:

Diagonal = L. 2 = 40x1,41 = 56,4

Assim, metade da diagonal é 28,2, então PB mede 28,2 – 10 = 18,2. Assim, temos:

Pela lei dos cossenos:

2 2 2

2 cos( ) a = + − b c bc A

2 2 2

18, 2 40 2.18, 2.40cos(45 )

PC = + −

2 2 2

2

18, 2 40 2.18, 2.40

PC = + −  2

30 PC=

(aproximadamente)

Resposta: A

Lembrando que sen(30º) = ½, podemos também dizer que 30º é o arco com seno igual a ½.

Representando a expressão “arco com seno igual a” por arcsen, podemos dizer que:

arcsen(1/2) = 30º ou sen^-1 (1/2) = 30º

Observe que esta segunda simbologia denota que estamos fazendo uma operação inversa, isto é, estamos partindo do valor do seno para chegar no valor do ângulo. Da mesma forma, lembrando que cos(30º)

=

3

3

arccos(

3

cos^-1 (

3

E também que:

arctan(

3

ou

tan^-1 (

3

Principais ângulos

É importante conhecer os valores de seno, cosseno e tangente dos principais ângulos: 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Veja-os na tabela abaixo:

Ângulo Seno Cosseno Tangente

0º 0 1 0

30º 1

2

3

2 3

3

45º

2

2 2

2

1

60º

3

2

12

3

90º 1 0 infinito

Conhecendo estes ângulos, é possível descobrir o seno, cosseno e tangente de vários outros.

Exemplificando, vamos trabalhar com o ângulo de 105º. Repare que 105º = 45º + 90º. Logo, sen(105º) = sen(45º + 90º) = sen(45º)cos(90º) + sen(90º)cos(45º)

Como sen(90º) = 1 e cos(90º) = 0, podemos afirmar que:

sen(105º) = cos(45º) = 2/2

Da mesma forma,

cos(105º) = cos (45º + 90º) = cos(45º)cos(90º) – sen(45º)sen(90º) cos(105º) = cos (45º + 90º) = -sen(45º) = - ²/2

Funções trigonométricas

Uma função trigonométrica é uma função na qual alguma das razões trigonométricas aparece.

Exemplificando, a função f(x) = 2.sen(x) – 3.cos(x) é uma função trigonométrica.

Note que, para x = 45º (ouseja, x =

4rad), temos:

f(4_{) = 2.sen(}

 4_{) – 3.cos(}

 4₎ f(4_{) = 2.}

2

2

2

2

2 2

Veja comigo estas questões:

CESPE – PREVIC – 2011) Em um estudo da interação entre caça e predador, tanto a quantidade de predador quanto a quantidade de caça foram modeladas por funções periódicas do tempo. No início dos anos 2000, a quantidade de predadores em certa região, em milhares, era dada pela função P(t)=5+2cos(πt/12), em que o tempo t é considerado em meses.

A partir dessa situação, julgue o item seguinte.

( ) O gráfico abaixo corresponde à função P(t),0≤t≤35.

RESOLUÇÃO:

Veja que para t = 0, temos P(0) =5. Vamos analizar a função dada:

P(t) = 5 + 2cos(πt/12) P(t) = 5 + 2cos(0) Sabemos que cos(0) = 1. Logo:

P(t) = 5 + 2 = 7

Portanto, o gráfico não corresponde à função do enunciado. Item errado.

Resposta: E

FCC – SEDU/ES – 2016) Na função trigonométrica g(x) = sen x, com x ∈ R, g (^13π₃ ) (A) g(^5π

2) (B) g(^π

4) (C) g(^2π

3) (D) g(π) (E) g(^π

3) RESOLUÇÃO:

Uma volta completa em um círculo trigonométrico corresponde a 2 π. Vamos achar a medida do arco congruente a ^13π₃ :

Veja que: ^13π₃ =^12π

3 + ^π

3

Como ^12π₃ = 4 π, significa que foram dadas duas voltas no círculo trigonométrico e ainda mais ^π

3. Portanto, o arco congruente vale ^π

3. Resposta: E

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja base é um triângulo retângulo com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 centímetros, respectivamente. Se esse vidro tem capacidade máxima para 15 mililitros de perfume, então é verdade que sua altura interna mede, em centímetros,

(A) 10.

(B) 9,5.

(C) 9.

(D) 8,5.

(E) 8.

RESOLUÇÃO:

Lembrando que 1dm³ corresponde a 1 litro, podemos dizer que 1cm³ corresponde a 1 ml. Assim, o volume é de 15cm³. O volume do prisma é dado pela multiplicação:

Volume do prisma = Área da base x altura 15 =

15.2 = 2,5 . 1,5 . altura 10 . 2 = 2,5 . altura

4 . 2 = altura 8cm = altura Resposta: E

2.

A bolinha que é utilizada no jogo de sinuca, ou de bilhar, é um objeto que pode ser dado como exemplo de representante de

(A) circunferência.

(B) cilindro.

(C) círculo.

(D) cone.

(E) esfera.

RESOLUÇÃO:

A bola de bilhar é uma esfera. Lembre que círculo e circunferência são figuras planas, enquanto a esfera é uma figura espacial.

Resposta: E

3.

A professora Márcia queria ensinar para seus alunos a relação existente entre litros e centímetros cúbicos. Para tanto, ela despejou o correspondente a um litro de água em um vasilhame, com formato interno de paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era também de um litro, e as dimensões da base eram 10 e 20 centímetros. A altura interna, em centímetros, desse vasilhame era

(A) 12,5.

(B) 10.

(C) 7,5.

(D) 5.

(E) 2,5.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que 1 litro corresponde a 1dm³ = 1000cm³. Portanto, o volume do paralelepípedo deve ser este. Ou seja,

Volume = Base x comprimento x altura 1000 = 10 x 20 x altura

5 cm = altura Resposta: D

4.

Um peso de papel tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas estão indicadas, em centímetros, na figura.

Sabendo-se que o volume dessa peça é 48 cm³, o valor de sua altura, representada na figura por 4x, é

(A) 2 cm.

(B) 4 cm.

(C) 6 cm.

(D) 8 cm.

(E) 10 cm.

RESOLUÇÃO:

O volume da peça é dado pela multiplicação de suas dimensões, ou seja, Volume = comprimento x largura x altura

48 = 3 . x . 4x 12 = 3x²

4 = x² x = 2

Logo, 4x = 4.2 = 8 cm.

Resposta: D

5.

Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/X é igual a

(A) 3 6



(B) 3 3



(C) 3 9



(D) 3



(E) 9 3



RESOLUÇÃO:

Vamos visualizar esse cilindro inscrito no prisma triangular regular:

A área lateral do prisma é a área de um retângulo de base L e comprimento H. Portanto: X = 3 x L x H

A área lateral do cilindro é dada por 2πr x H. O raio corresponde ao apótema do triângulo equilátero de lado L.

Logo:

apótema = lado x

√3 6

r =

L√3 6

Área lateral = Y = 2π

L√3 6

Y =

π×L×H√3 3

A razão será:

Y/X =

𝜋×𝐿×𝐻√3 3

3×𝐿×𝐻

Y/X =

π√3 9

Alternativa C.

Resposta: C

6.

A Figura a seguir representa um sólido obtido quando se cortam dois tetraedros de um prisma trapezoidal reto de bases PQAD e NRBC. As faces ABCD e PNCD são quadrados de lado 2 m, perpendiculares entre si, e o ponto M é tal que PM e MN têm mesmo comprimento e são perpendiculares entre si.

Qual o volume desse sólido, em m³? (A) 5

(B) 6 (C) 7 (D) 16/3 (E) 22/3

RESOLUÇÃO:

Observe que o triângulo PMN é retângulo, com ângulo de 90 graus em M, e com hipotenusa PN = 2. Os dois catetos são iguais, como disse o enunciado, pois PM = MN. Assim, vemos que PM = MN = √2 (basta aplicar o teorema de Pitágoras).

Agora veja o triângulo MNR. Nele, a hipotenusa é MN = √2, e o cateto MR mede 1 (pois ele é a metade de QR, cuja medida é igual a PN, ou seja, 2). Assim, o cateto RN tem que medir 1 também (basta aplicar Pitágoras).

Logo, olhando o tetraedro NMRB, vemos que a sua base é o triângulo MNR, e sua altura é igual a 2 (mesma medida de NC). Seu volume é, portanto:

Volume do tetraedro = Área da Base x altura / 3 Volume do tetraedro = ^[

1 𝑥 1 2 𝑥 2]

3 =¹

3

Analogamente, o tetraedro PMQA também tem volume igual a 1/3.

O prisma trapezoidal tem a base NCBR, na forma de trapézio, e altura PN = 2. Para calcular a área de sua base trapezoidal, veja que NR é a base menor, medindo 1, e BC é a base maior, medindo 2, e a altura é NC, que também mede 2. Assim,

Área do trapézio NCBR = (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)𝑥^{𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎}

2

Área do trapézio NCBR = ^(2+1)𝑥2₂ = 3 O volume do prisma original é:

Volume do prisma = Área da base x altura

Volume do prisma = 3 x 2 = 6

Logo, o volume da figura resultante é obtido pegando-se o volume do prisma e retirando-se o volume de 2 tetraedros:

Volume da figura = 6 − 2 𝑥¹

3=¹⁸

3 −²

3=¹⁶

3

Resposta: D

7.

Um tronco de prisma triangular reto tem como base um triângulo equilátero de lado 6√3⁴ cm. Suas arestas laterais, perpendiculares à base, medem 1 cm, 4 cm e 6 cm. Qual o volume, em cm³, desse tronco de prisma?

(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 96 (E) 90

RESOLUÇÃO:

Esse tronco pode ser representado da seguinte forma:

Vamos calcular primeiro o volume até a altura da aresta = 1, correspondente à região em vermelho:

O volume será a área da base triangular, multiplicada pela altura 1 cm (aresta). A área de um triângulo equilátero é dada por:

Área da base = ^lado₄^{2x √3} = ^{(6 √3}

4 )²x √3

4 = ^{36 √3 x √3}₄ Área da base = 9 x 3 = 27 cm²

Então: V₁= 27 x 1 = 27 cm³.

Resta calcular o volume da seguinte figura:

Note que é uma pirâmide de base quadrangular. O volume, então, será dado por:

V = Área da base x Altura 3

A área da base é a área de um trapézio retângulo cuja base maior será 5, a base menor 3, e a altura o lado do triângulo equilátero: 6∜3. Portanto:

Área da base = (5+3) x 6∜3 2

Área da base = 8 x 3∜3 = 24∜3 cm² A altura dessa pirâmide será a altura do triângulo equilátero:

Altura triângulo equilátero = ^{lado x √3} = ^{6∜3 x ∜3²}

Altura triângulo equilátero = 3∜3³ Portanto, o volume dessa pirâmide será:

V₂ = 24∜3 x 3∜3³

3 = 24 x ∜3⁴ V₂ = 24 x 3 = 72 cm³ Logo, o volume total desse tronco será:

V = V₁ + V₂ V = 27 + 72 V = 99 cm³ Resposta: B

8.

Os poliedros de Platão são aqueles que possuem algumas propriedades; analise-as.

Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas.

Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, por exemplo, então todos serão também.

É convexo

Vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler: V – A + F = 2.

São poliedros de Platão: cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.

Estão corretas as afirmativas:

(A) I, II, III, IV, e V (B) I, II, III e V, apenas.

(C) I, II, IV e V, apenas.

(D) I, III, IV e V, apenas.

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar as afirmações:

Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas.

Correto.

Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, por exemplo, então todos serão também.

Correto. Veja o exemplo do tetraedro:

É convexo.

Correto. Um poliedro é dito convexo quando qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estiver totalmente contido no poliedro. Todo poliedro de Platão é convexo. Veja um exemplo de poliedro convexo e um não-convexo:

Vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler: V – A + F = 2.

Correto.

São poliedros de Platão: cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.

Correto. São eles, respectivamente:

Resposta: A

9.

Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é um quadrado de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em caixas com capacidade para 5.184 cm³.

Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é

a) superior a 1.500.

b) inferior a 100.

c) superior a 100 e inferior a 500.

d) superior a 500 e inferior a 1.000.

e) superior a 1.000 e inferior a 1.500.

RESOLUÇÃO:

Sabendo que cada biscoito tem formato de prisma (área lateral retangular) e possui a base quadrada de lado 6 cm e altura 0,25 cm, o volume é calculado por:

V = Ab x H V = 6² x 0,25

V = 9 cm³

As caixas possuem 5.184 cm³, logo o número de biscoitos por caixa será:

Nº = 5.184 ÷ 9 = 576 biscoitos Resposta: D

10.

A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.

Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone?

(A) 800 π (B) 784 π (C) 748 π (D) 684 π (E) 648 π RESOLUÇÃO:

Veja a figura abaixo, na qual marquei alguns pontos:

Veja que:

- F é o centro da esfera.

- A é o ponto de contato da esfera com a geratriz do cone (BG). O ângulo formado é de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cone.

- E é o ponto de contato da esfera com a lateral do cilindro (DG). O ângulo formado é também de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cilindro.

- C é o ponto de contato da esfera com a base do cilindro, também formando ângulo de 90 graus.

Sendo R o raio da esfera, podemos dizer que todos os segmentos abaixo medem R:

AF, CF, EF, DE, CD

Como o raio da base do cilindro é 7, o segmento BD mede 7. Veja que:

BD = BC + CD 7 = BC + R BC = 7 – R

Como os segmentos BC e AB tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (B), eles tem o mesmo tamanho. Isto é, AB = 7 – R.

Veja que temos um triângulo retângulo BDG, no qual um cateto é BD = 7, e o outro é DG = 24 (altura do cilindro).

Podemos obter a hipotenusa BG pelo teorema de Pitágoras:

BG² = 7² + 24² BG² = 49 + 576

BG² = 625

BG = 25

Note ainda que:

BG = AB + AG 25 = 7 – R + AG

AG = 18 + R

Perceba que AG e EG são segmentos que tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (G). Eles tem o mesmo tamanho, ou seja, EG = 18 + R.

Para fechar, note que:

DG = DE + EG 24 = R + (18 + R)

6 = 2R R = 3

Portanto, o raio da esfera é 3cm. Temos o seguinte:

Volume da esfera = ⁴₃. 𝜋. 𝑅³=⁴

3. 𝜋. 3³= 4. 𝜋. 3²= 36𝜋

Volume do cilindro = (𝜋. 7²). 24 = 1176𝜋

Volume do cone = (𝜋. 7²).²⁴

3 = 392𝜋

Assim, o volume região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone é:

Volume do cilindro – volume do cone – volume da esfera = 1176 π - 392 π - 36 π = 748 π

Resposta: C

11.

Uma peça de madeira tem o formato de um prisma reto com 15 cm de altura e uma base retangular com 6 cm de comprimento, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa peça é 720 cm³, a área da base é (A) 40 cm².

(B) 48 cm². (C) 44 cm². (D) 36 cm². (E) 52 cm². RESOLUÇÃO:

O volume é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, 720 = 15 . 6 . x

120 = 15 . x 40 = 5 . x

8 = x

A área da base é:

Área = 6.x = 6.8 = 48 centímetros quadrados Resposta: B

12.

As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC.

Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a (A) 11.

(B) 12,5.

(C) 16.

(D) 15,5.

(E) 14..

RESOLUÇÃO:

Os volumes dos cubos A e B são:

VA = 5³ = 125 VB = 10³= 1000

Utilizando a relação fornecida no enunciado:

VA + VB = VC/2 125 + 1000 = VC/2

1125 = VC/2 VC = 2250

O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, VC = 18.10.h 2250 = 18.10.h

225 = 18h h = 225 / 18

h = 12,5 Resposta: B

13.

De um reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, totalmente cheio, foram retirados 3 m³ de água. Após a retirada, o nível da água restante no reservatório ficou com altura igual a 1 m, conforme mostra a figura.

Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do reservatório, indicada por h na figura, é, em metros, igual a

(A) 1,8.

(B) 1,75.

(C) 1,7.

(D) 1,65.

(E) 1,6.

RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de A a altura da parte que ficou vazia. Esta parte tem volume de 3m³, que foi a água retirada. A sua base tem 2,5m x 2m, com área de 5m². Portanto,

Volume da parte vazia = A x 5 3 = A x 5

A = 3/5 A = 0,6m

Portanto, a altura total do tanque é dada por 1m(que tem água) + 0,6m (que está vazio), ou seja, h = 1,6m.

Resposta: E

14.

Certo combustível preenchia totalmente um reservatório A, na forma de um cilindro circular reto, de raio da base igual a 5/√π m e altura igual a 5 m. Sabe-se que 4/5 do combustível contido em A foi transferido, sem desperdício, para 10 reservatórios menores B, todos iguais e também cilíndricos, de 1,25 m de altura, preenchendo-os totalmente.

Nessas condições, é correto afirmar que a medida do raio do reservatório B é, em metros, igual a) 10 2

 b) 4 2

 c) 4 

 d) 2 10

 e) 2 2



RESOLUÇÃO:

Sabemos que 4/5 do volume do reservatório A corresponde ao volume de 10 reservatórios B. Assim:

2

2

2

2

4 10

5

4 5

5 10 1, 25 5

4 5

5 12, 5 5

A B

V V

r

r

 





=

   = 

 

 

   =

 

 

2

2

2

4 25 12, 5 4 25 12, 5

4 2 r

r r







  =

 

 

 

=  

=    

2

4 2

2 2

2 2 2 2 r

r

r

r









 

=    

=    

 

=  

=

Resposta: E

15.

Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura e 8 m de altura.

Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são, respectivamente:

a) 60m² e 138m³ b) 236m² e 240m³ c) 236m²e 260m³ d) 240m²e 260m³ e) 280m² e 240m³ RESOLUÇÃO:

Por meio da ilustração acima, podemos calcular a área total, bem como o volume de um paralelepípedo. Ou seja:

Repare que temos três pares de retângulos idênticos cujas áreas valem

“Largura x Comprimento”, “Largura x altura” e “Comprimento x altura”. Assim, Atotal = 2x(Largura x Comprimento + Largura x altura + Comprimento x altura) Isto é,

Atotal = 2x(6x5 + 6x8 + 5x8) Atotal = 2x(30 + 48 + 40)

Atotal = 2x118 Atotal = 236m²

Já o volume do paralelepípedo corresponde ao produto da área da base pela altura. Considerando a base formada pelo comprimento e largura, teremos uma área equivalente a

Abase = 6x5 Abase = 30m² Volume = Abase x altura

Volume = 30m² x 8m Volume = 240m³ Assim, a área total equivale a 236m² e o volume corresponde a 240m³ Resposta: B

16.

A figura a seguir refere-se a três sólidos com raio = 1/6 de 36 cm; a altura do cilindro é 1/2 do raio mais 1 cm e a altura do cone é o dobro da altura do cilindro.

O volume do sólido gerado pela rotação completa em torno do seu eixo é:

A) 240π cm². B) 240π cm³. C) 384π cm². D) 384π cm³. RESOLUÇÃO:

O volume total será dado pela soma do volume do cone, do cilindro e da meia circunferência. Vamos calcular cada um separadamente e depois somá-los.

Cilindro

raio = r = 1/6 de 36 cm = 6 cm área da base = Ab = π r² = π 6² = 36π

a altura do cilindro é 1/2 do raio mais 1 cm = h = 1/2 x 6 + 1 = 3 + 1 = 4 volume cilindro = Ab x h = 36π x 4 = 144π

Cone

raio = r = 1/6 de 36 cm = 6 cm área da base = Ab = π r² = π 6² = 36π

a altura do cone é o dobro da altura do cilindro: 2 x 4 = 8