Os códigos apresentados até aqui protegem a informação quanto a dois tipos de erros, erros de inversão de bit e inversão de fase, representados pelas matrizes de Pauli X e Z. No entanto, essas estruturas não têm a capacidade de proteger a informação que trafega no canal simultaneamente aos dois tipos de erros. Uma saída a este problema foi construído pelo matemático americano Peter Shor [12].
A idéia da construção do código de Shor tem relativa semelhança com a estrutura de funções compostas, pois este código é construído utilizando as estruturas dos códigos de repetição para erros de inversão de bit e inversão de fase.
Considere que o estado quântico |ψ >= α|0i + β|1i, a codificação inicia-se aplicando o código relativo à proteção da inversão de fase ao estado de informação e em seguida o código relativo à proteção da inversão de bit. Os estados da base são modificados e codificados inicialmente da representação computacional convencional para a representação de Hadamard: |0i → | + ++i e |1i → | − −−i. A partir desse estado quântico de três qbits aplica-se a cada qbit a repetição na base computacional: |+i = (|0i + |1i) /2 → |e+i = (|000i + |111i) /2√2. A codificação proporcional o resultado final dado abaixo:
|0Ci ≡(|000i + |111i) (|000i + |111i) (|000i + |111i)
2√2
|1Ci ≡(|000i − |111i) (|000i − |111i) (|000i − |111i)
2√2
Através do circuito de codificação para o código de Shor é possível visualizar que a primeira parte do circuito é construída com a mesma topologia do circuito de codificação de inversão de fase e a segunda parte é idêntica a estrutura circuital ao código de inversão de bit. Essa maneira de construir o circuito do código de Shor é semelhante a estrutura matemática de funções compostas e pode, desta forma ser representado como tal.
O código de Shor é interessante não apenas por introduzir uma maneira de proteger a informação contida no estado quântico contra os tipos de erros apresentados, mas também por apresentar uma maneira eficiente de se construir novos códigos quânticos a partir de códigos quânticos já estabelecidos, essa maneira eficiente é conhecida como concatenação.
Suponha que um estado quântico de informação, |ψi = α|0i + β|1i seja codificado para trafegar em um canal quântico que apresente erros do tipo de inversão de bit e de inversão de fase. Um erro do tipo X1interage com o estado quântico codificado durante a passagem deste pelo canal. É possível
identificar esse erro através do processo de medição pelo observável Z1Z2, o qual terá como resultado
−1. No entanto, isso não é suficiente para identificar o erro. Outra medição é requerida através do operador Z2Z3: dois possíveis resultados podem ocorrer 1 ou −1. No caso da medição obter como
resultado 1, o erro que afetado de informação é X1, caso a medida tenha como resultado −1, o erro
que afetou o estado é X2.
Suponha agora, que outro tipo de erro afetou o estado, um erro do tipo Z1. O efeito deste operador
faz com que o primeiro bloco de três qbits tenha seu sinal modificado: |000i + |111i para |000i − |111i. O que mais interessa sobre esse tipo de codificação é que alguns tipos de erros têm o mesmo efeito sobre o estado codificado. Os operadores Z1, Z2ou Z3proporcionaram o mesmo efeito sobre o estado
de informação. Isto é interessante no sentido de que alguns tipos de erros são agrupados de forma que é necessária unicamente a aplicação de um operador de correção para desfazer o efeito destes erros, essa propriedade de agrupamento de erros torna o código conhecido como código degenerado. O processo necessário para que identificação do erro é a comparação por bloco dos seus sinais. Comparando os sinais do primeiro e do segundo bloco, obtém se que eles apresentam sinais diferentes, em seguida compara se os sinais do segundo e do terceiro bloco e obtém se que estes apresentam mesmo sinal. Por votação majoritária, toma-se a decisão de que um erro cujo efeito seria modificar o sinal do primeiro bloco deve ter ocorrido. A recuperação é alcançada invertendo a fase do primeiro bloco.
É possível também corrigir erros simultâneos através desse tipo de codificação. Suponha que tenha ocorrido um erro de inversão de inversão de fase e inversão de bit todos ocorridos no primeiro qbit. Através do procedimento descrito previamente, é possível se convencer de que esses erros serão detectados e corrigidos, confirmando assim a idéia de que o código de Shor corrige erros simultâneos sobre o mesmo qbit.
Uma análise mais profunda pode ser realizada de modo que uma explicação mais bem detalhada possa ser alcançada. Suponha que um estado quântico de informação seja codificado, |ψCi = α|0Ci +
β|1Ci e que durante o seu tráfego pelo canal de comunicação quântico, um ruído interagiu com o
mesmo. Como os possíveis erros que podem afetar esse estado são os descritos pelas matrizes de Pauli de inversão de bit e inversão de fase é possível expressar o ruído como uma combinação linear dessas matrizes:
Ei= ei0I + ei1X1+ ei2Z1+ ei3X1Z1. (5.19)
Vale salientar que está sendo considerado o efeito de erros simultâneos sobre o mesmo qbit e mais precisamente sobre o primeiro qbit. Quando este ruído interage com o estado codificado, ocorre uma superposição não normalizada de estados quânticos |ψi, X|ψi, Z|ψi, XZ|ψi. Ocorre em seguida que o processo de medição irá destruir essa superposição não normalizada, proporcionada pelo ruído, para algum dentre os estados da combinação linear de modo que só reste o estado quântico que pode ser
corrigido pelo processo de decodificação.
Esta mesma análise pode ser realizada para qualquer erro que atue sobre um qbit específico do estado quântico codificado. Isso é bastante interessante o fato de que a correção de um agrupamento de erros possíveis, erros de inversão de fase, erros de inversão de bit, erros simultâneos dessas inversões, pode corrigir um continuum de erros que podem ser representados sobre esfera de Bloch. Isto é, no entanto, uma classe de acontecimentos muito mais abrangente, já que esta pertence ao contínuo, que o conjunto especificado, que por sua vez pertence está discretizado.