Ao se aprofundar no estudo da realização da computação quântica, algumas questões são por vezes suscitadas, relacionas a sua capacidade de processamento e suas vantagens em relação ao campo clássico. Desta forma, é necessário exemplificar, para responder a essas questões, quais as possíveis ações que um computador quântico tem a capacidade de fazer, a sua comparação com o campo clássico, tanto no âmbito da viabilidade, tanto no âmbito da rapidez de processamento desta tarefa.
Qualquer nova teoria (seja ela física ou não), que se proponha a suplantar outra teoria deve ser apresentada de tal forma a explicar com mais clareza e solidez questões já abarcadas pela antiga teoria e dar suporte teórico a questões ainda sem esclarecimento e fazer previsões sobre outras questões ainda não elucidadas. Assim, a computação quântica preenche todos os requisitos mencionados para essa nova teoria. É de se esperar, com isso, que a computação quântica tenha a capacidade de realizar qualquer tarefa já praticada por um computador clássico e se propor a realizar outras tarefas que sejam inviáveis de serem efetuadas pela computação convencional.
Um exemplo interessante deste tipo de tarefa é o paralelismo quântico. Este procedimento tem por finalidade calcular o valor de uma função estabelecida para tantos pontos quantos sejam necessários, simultaneamente. Considere uma função f(x) : {0, 1} → {0, 1} de um bit, domínio e imagem. Con- sidere um circuito quântico que opere com estados de dois qbits, capaz de realizar a seguinte tarefa: |x, yi → |x, f(x) ⊕ yi, em que ⊕ representa a soma módulo dois. O primeiro qbit será referenciado como registro de dados e o segundo qbit será referenciado como registro alvo e pelo postulado 3.2, sem perda de generalidade, pode-se referenciar o circuito quântico por Uf (x). Tomando para o registro
de dados um qbit que esteja na base de Hadamard, |+i = |0i + |1i/√2, e no registro alvo um qbit preparado no estado padrão |0i. Ao se fazer aplicar sobre esses estados o circuito quântico, o estado de saída é:
|ψi = |0, f(0)i + |1, f(1)i√
2 . (4.9)
Ao se analisar o estado de saída, verifica-se que o circuito foi capaz de calcular simultaneamente o valor da função referente ao qbit que se encontrava no registro de dados. Cada parcela da soma contém todos os possíveis valores de x e consequentemente, todos os possíveis valores de f(x), esse é o efeito do paralelismo quântico. O segredo subjacente a este processo está novamente ligado aos estados de superposição, pois foi necessário, unicamente, um circuito que compute a função para diferentes valores do seu domínio e a preparação desses estados superpostos para se realizar o paralelismo. Isto difere do modelo clássico, no qual é necessário que vários circuitos sejam postos em paralelo para que se calculem os valores da função. Em outras palavras, a diferença do paralelismo está em se retirar o problema físico de vários circuitos que trabalham concomitantemente para se concentrar na simultaneidade de vários dados, os estados superpostos.
Esse procedimento pode ser generalizado, no intuito de se expandir o domínio da função a ser cal- culada, através da transformação de Hadamard-Walsh, em que várias portas Hadamard são aplicadas simultaneamente em vários qbits diferentes. Por questões didáticas, frequentemente, o símbolo H⊗n
refere-se à aplicação simultânea da porta Hadamard, em vários qbits. Ou seja, significa a aplicação simultânea desta porta em n qbits diferentes. O resultado, por exemplo, da aplicação de uma da porta H⊗2 sobre o estado padrão |00i é:
|+i|+i = |0i + |1i √ 2 |0i + |1i √ 2
=|00i + |01i + |10i + |11i
2 .
Como já deve poder ter ser percebido, sem perda de generalidade, a aplicação da função Hadamard- Walsh sobre n qbits, oriundos do estado padrão |0 · · · 0i é:
1 √ 2n X x |xi,
em que, cada parcela da soma faz referência a um valor específico do domínio da função f(x). O procedimento é o mesmo descrito, cada porta Hadamard cria um estado de superposição equilibrada, com todas as amplitudes iguais, para cada qbit padrão do estado de n qbits, como todos os qbits estão ligados pelo produto tensorial. O resultado é a formação de uma soma de todos os possíveis valores, na base binária, compreendidos entre 0 e n − 1.
Assim, o cálculo de uma função de n bits é feita da seguinte maneira: Inicialmente prepara-se um estado padrão de n qbits, |0...0i, que será indicado como registro de dados. Em seguida, aplica-se a transformação de Hadamard-Walsh no estado preparado, o modificado para a base de Hadamard. Na verdade isto corresponde à prepará-lo para um estado de superposição perfeitamente equilibrado em cada qbit que o compõe. O próximo passo é acoplar um qbit, no estado padrão, |0i, ao estado de saída da transformação de Hadamard-Walsh, que será denominado registro alvo. Por fim, aplica-se sobre esse estado de n + 1 qbits a porta quântica referente à função f(x), denotada por Uf (x). O estado
quântico de saída do circuito terá em cada parcela um representante do domínio da função f(x) e o cálculo da função para esse elemento do domínio, equação 4.10.
1 √ 2n X x |x, f(x)i . (4.10)
Apesar do potencial aplicativo do paralelismo ser verdadeiramente fantástico, alguns comentários devem ser tecidos. O paralelismo quântico permite que para uma dada função, sejam calculados todos os possíveis valores dos elementos do seu domínio, ou seja, avaliando-os de forma simultânea. O problema seria como acessar, também, de forma simultânea, vários valores calculados dessa função. Pelo postulado da medida, existe o problema da aleatoriedade associado à base em que se realiza a medida e o problema de interferência no estado de teste, já que o estado quântico que resulta após a realização de medida se encontrará estritamente relacionado ao resultado da medida. Por exemplo, no caso de uma função binária, equação 4.9, caso uma medida seja realiza, na base computacional, sobre o primeiro qbit, haverão dois possível resultados 0 ou 1, com probabilidades iguais para ambos, o que significa que o estado resultante daria informação somente para um único valor do domínio da função. Mesmo para o caso mais genérico isso ocorrerá. Realizando-se uma medida na base computacional, sobre os n primeiros qbits. Quaisquer resultados têm as mesmas chances de serem sorteados durante o
Figura 4.9: Esquema da Codificação Superdensa
processo de medida, o que resultará em um estado que só pode conter informação sobre um elemento avaliado na função. Para que o paralelismo se torne um processo útil é necessário que este problema seja transposto. Caso contrário, a tarefa realizada por ele é a mesma que um computador clássico.