17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS

1-ELIPSE

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

32 Na ilustração da elipse acima temos:

F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.

Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:

a² = b² + c²

Equação reduzida da elipse

De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:

Exemplo 1

Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a) a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10 Equação:

33 b)

a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13 Equação:

Exemplo 2

Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 → a = 4

b² = 4 → a = 2

a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.

2-HIPÉRBOLE

No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista

algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito

exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.

Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.

34 Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Elementos e propriedades da hipérbole: 2c → é a distância focal.

c² = a² + b² → relação fundamental.

A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real.

2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.

Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:

35 10² = 8² + b²

b² = 100 – 64 b² = 36 b = 6

Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).

Da equação da hipérbole obtemos que: a² = 16 → a = 4

b² = 9 → b = 3

Utilizando a relação fundamental, teremos: c² = a² + b²

c² = 16 + 9 c² = 25 c = 5

Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5). 3- PARÁBOLA

2-Como traçar uma parábola.

Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não

pertencente à diretriz, chamado foco.

Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.

O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:

36

2-Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:

Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde:

PF = distância entre os pontos P e F

PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:

y² = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:

(y - y0)² = 2p(x-x0)

37

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:

x² = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)² = 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem: y² = 2.4.x y² = 8x ou y² - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)² = 2.4(x - 2)² y² = 8(x-2) y² - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. 3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)² = 2.8(x - 2) y² - 6y + 9 = 16x - 32 y² - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada. 4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)² = 2.6(y - 1) x² = 12y - 12 x² - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de parábola, deve deduzir sua utilização.

Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas

parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais fracos se concentram tornando-se um sinal forte.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0 consiste de:

a) duas retas e uma parábola. b) duas parábolas e uma reta. c) dois círculos e uma reta. d) duas retas e um círculo. e) um círculo e uma parábola.

2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que os planetas se movem mais rapidamente quando próximos ao sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura,

38

aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o ponto:

a) A b) B c) C d) D e) E

3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente:

a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole

4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma:

a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta.

5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:

6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 + y2/9 = 1, é igual a:

a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:

a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas

extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:

a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole.

10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a)

1

,0

2

^e

1

,0

2

b) (2, 0) e (-2, 0) c) (2

2

, 0) e (-2

2

, 0) d) (0,

2

) e (0, -

2

) e)

1

0,

2

^e

1

0,

2

11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:

a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse

13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em laboratórios escolares de Ciências é constituída por um plano inclinado, de altura aproximadamente igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no

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qual se coloca uma bola de gude. A experiência consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da mesa e com a primeira bola. A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus

focos.

d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.

14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é

a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4. b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1. c) a parábola de equação y = 4x2 +1. d) a parábola de equação y = 2x2 +1.

15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) - (y2/9) = 1 é uma:

a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola.

16. (Unifesp ) A área sombreada na figura,

limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π.

17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra numa parede

representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura a seguir.

Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada é de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 é uma equação de:

a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.

19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice no ponto (xn, yn).

O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola.

b) uma elipse.

c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta.

e) duas retas concorrentes.

20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela

intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação

2x - y + 3 = 0, é a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0

21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0

representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas

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dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.

a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F

22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a

elipse

2 2

x

y 1

4 ^{em um único ponto. A soma dos} valores de b é:

a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5

GABARITO

1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C 11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)C 18)E 19)A 20)D 21)B 22)A

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QUESTÕES PARA A PO

01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é:

a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) 2x + y = 6

2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são:

a) (2, 2 + 3). b) 1 3,⁵ 2 c) (2, 1 + 3 ). d) (2, 2 - 3 ). e) (1 + 3 , 2 + 3 ).

3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2,

localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x - 3y = 0.

Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5

4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.

a) ¹ 5^{. b)} 1 2^{. c)} 3 2 . d) ² 2 ^. e) 5 .

5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem três raízes reais distintas é:

a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 d) -1 < m < 1 e) m > - 4

6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A =

(0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:

a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2

7. (FUVEST) Para cada número real n seja

Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?

a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2) d) (-1/2, -1/2) e) (1,1)

8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1), então B é o ponto

a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)

9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é

a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x

10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se a) y < x 2^{e y < -x + 1 b) y <} x 2^{ou y > -x + 1} c) x 2^{< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y <} x 2 e) x 2^{< y < -x + 1}

11. (FUVEST) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à

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circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então a) 0 < m < 1 3 ^{b) m =} 1 3 ^c) 1 3 ^{< m < 1} d) m = 1 e) 1 < m < 5 3

12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:

a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2 d) x + y = 4 e) x + y = 6

13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na

sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades

x ≥ 0; y ≥ 0; x - y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9, é:

15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

a) -2 b) 0 c)2 d) 1 e) 1/2

16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a

equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 0, pode ser representado, graficamente, por:

17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:

a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)

18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, as coordenadas de C são:

a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) d) (5, 2) e) (5, 1)

19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD,

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coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e

passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) 5- 1 b) 5 - 2 2 c) 5 - 2 d) 2 + 5 e) 5 + 2 2

21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x - y│, consiste de

a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas.

22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale

a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8

23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.

Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a:

a) 2 2- 2 b) 2 2- 1 c) 2 2 d) 2 2+ 2 e) 2 2+ 4

24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a

a) ^{3 2} 2 ^b) 5 2 2 ^c) 7 2 2 d) ^{9 2} 2 ^e) 11 2 2

25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale

a) ⁵ 8 ^b) 5 4 ^c) 5 2 ^d) 3 5 4 ^{e) 5}

26.(FUVEST) No plano cartesiano Oxy , a

circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas

condições, o raio de C vale

a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10

27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o

ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação x 1² y 2 ² 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0),

B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado A—B e o vértice P sobre o lado B — C. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

a) (4, 16/ 5 ) b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 ) d) ( 11/ 2 , 2) e) (6, 8 /5)

29-(FUVEST)A equação X² + 2x +y² + my =n, em que m e n são constantes, representa uma

circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (23, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

44 30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de

equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é:

a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve ser:

a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3.

32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a:

a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5

33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio r < 4, com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x um ângulo de 30°, então o ponto de tangência correspondente é: a) (1, -

3

) b) (1, -

2

) c) (

1

2

^{, -}

³

⁾ d) (

1

2

^{, -}

2

) e) (

1

2

^,

3

2

⁾

34. (UNESP) A distância do vértice da parábola y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é:

a) 72/25 b) 29/25 c) 43 d) 43/25 e) 43/5

35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano

cartesiano da figura adiante, são os vértices de um triângulo equilátero cuja medida dos lados é dada por 3. As equações das retas AB e OB são, respectivamente, a) y = ( 2) . x - 3 e y = (- 2) . x. b) y = ( 3) . x - 2 e y = (- 3) . x. c) y = ( 3) . x - 3 e y = (- 3_{) . x.} d) y = x + 3e y = -x. e) y = 3x + 3e y = -3x.

36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os números reais, as equações y = ax + 1 representam

a) um feixe de retas paralelas.

b) um feixe de retas passando por (1, 0). c) todas as retas passando pela origem. d) todas as retas passando por (0, 1).

e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma.

37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de equação y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de equação a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3.

d) y = x - 3. e) y = - x + 2.

38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é

a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e) 2 .

39. (UNESP) Seja

S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9} uma região do plano. A área de S é:

a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2.

40. (UNESP) A equação da circunferência com centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por a) x2 + (y - 3)2 = 0. b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4. c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8. d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16. e) x2 + (y - 3)2 = 8.

41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é

a) equilátero.

b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno.

d) retângulo. e) obtusângulo.

45 42. (UNESP) A figura representa uma elipse.

A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é a) 2 x 5 ⁺ 2 y 7 ^{= 1.} b) 2 x 5 9 ⁺ 2 y 7 16 ^{= 1.} c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1. d) 2 x 5 9 ⁺ 2 y 7 16 ^{= 1.} e) 2 x 3 5 ⁺ 2 y 4 7 ^{= 1.}

43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y

satisfazem a equação sen [y/(x2 + 1)] = 0 é uma a) família de parábolas.

b) família de circunferências centradas na origem. c) família de retas.

d) parábola passando pelo ponto Q(0,1). e) circunferência centrada na origem.

44. (UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente: a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.

b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.

45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:

a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação

2 2

x y

100 25 ^{= 1, com x e y em milhões de}

quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede

4 π

.

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) 2 5. b) 2 10. c) 5 2.

d) 10 2. e) 5 10.

47. (UNESP) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se

tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes

consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111

46

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.

48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia, a representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos processos P1 e P2, em um dia, é: a) b) c) d) e)

49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P1 é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:

a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. d) 6.400,00. e) 11.200,00.

47 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas

No documento GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA (páginas 31-49)