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GEOMETRIA ANALÍTICA
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1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema.
IMPORTANTE Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal
1) Origem (0,0)
2) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a)
4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)
EXERCÍCIO BÁSICO
01-(Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições,
x
y é igual aa) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9. GABARITO
1)A
2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
3
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-Calcule a distância entre os pontos A( 1 , 3 ) e B( -1,4)
02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à origem.
03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices
consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da BD é
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5
04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a) 2.b)
2
2
. c)3
2
. d) 5. e)5
2
05-Dados A (x,5) , B (-2,3) e C ( 4,1), obtenha x para que A seja equidistante de B e C.
06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5)
07-Determine P, pertencente a bissetriz dos
quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 12,-2) 08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4 b) 4
2
c) 8 d)82
e) 16 09-(PUC) O ponto B = (3, b) é eqüidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). d) (3, 2) e) (3, 0)10-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.
GABARITO
1)
5
2)10 3)D 4) E 5) x=2 6)P (-3,0) 7) (-5,5) 8)A 9)C 10)B3- PONTO MÉDIO
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto
médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1)Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1).
2) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.
3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as
coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale:
a) 2
3
b) 3 c) 5 d) 32
e) 6 4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é:a) B = (5, -1) b) B = (1, -1) c) B = (-1, 3) d) B = (2, 2) e) B = (4, 0)
4
a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4
06- (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que apresenta o ponto
correspondente ao quarto vértice.
a) (2, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3).
GABARITO
1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A
4-BARICENTRO
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde
A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois de seus vértices são A(2,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vértice
2) Calcule a distância do baricentro do triângulo A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) à origem.
3)- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:
a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2)
d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)
GABARITO
5
5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS
5.1 - Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por
S =
D
2
1
onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .
Temos portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
5.2 - Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .
Exercício resolvido:
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2
Solução:
6
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares ?
02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ? 03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.
06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices
são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12
07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3),
(-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5
08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1),
Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x do ponto R é:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices
A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1). a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 4 e) 9/2
10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3
GABARITO
1) x=2 2) a≠-1 e a ≠ 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C
6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE
UMA RETA
6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO
Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta).
Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.
A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário
a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg β.
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Exemplo 1:
Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.
Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1. Exemplo 2:
Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.
Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2. Exemplo 3:
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.
Exemplo 4:
Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0.
6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS
O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα
8 Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
A B A B B A B A
x
x
y
y
x
x
y
y
tg
m
adjacente
cateto
oposto
cateto
EXERCÍCIOS BÁSICOS01- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo representado a seguir.
A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t.
d) s, t, r. e) t, s, r.
2- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:
Podemos afirmar que
a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo.
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero.
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I.
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II.
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7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.
A equação fundamenta da reta é: PARA FACILITAR A(xA, yA) =A
x
0, y
00 0 0 0
x
x
m
y
y
x
x
y
y
m
EXERCÍCIOS BÁSICOS1) Determine a equação da reta de 135 de inclinação e que passa pelo ponto A (1,4). 2) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2,3) e B( 1,5)
3) (Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é:
a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x. e) 6y = x.
4- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60° é: a)
2
x - y =2
- 1 b)3
x + y = 1 -3
c)3
x - y =3
- 1 d)3
2
x + y = 1-3
2
e)3
2
x - y =3
3
- 15-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0
c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0
6-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (1;3).
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta
10 07-(Unirio )
A equação geral da reta anterior representada é: a) 3x - 3y + 6 = 0 b) 3x + 3y + 6 = 0 c) 3x - y - 2 = 0 d) y = 3x + 2 3 e) y = 3 3 (x+2)
8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos
a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).
9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.
Uma equação cartesiana da reta r é a) y = 3 3 - x b) y = 3 3 (1-x) c) y = 1 - 3x d) y = 3(1-x) e) y = 3(x-1)
10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir.
A área desse triângulo é
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20
11- (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então seu coeficiente angular é igual a:
a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/2
12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é
a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5.
13- (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser: a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3
14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir. I. O triângulo ABC é isósceles.
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB.
III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 2x + y = 5.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são
verdadeiras.
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por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:
a) x 2y 4 b) 4x 9y 0 c) 2x 3y 1
d) x y 3 e) 2x y 3
Gabarito
1) y= -x+5 2) y=-2x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A
8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA
8.1-Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
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8.2-Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:
Onde:
8.3-Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
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Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela origem.
8.4-Equação paramétrica da reta
As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.
As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos:
Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x – 9 = t
y = 2t – 1 y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.
8.5-Reta horizontal
É toda reta do tipo y=k.
8.6-Reta vertical.
14 EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:
a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1
3-(PUC) Considere a parábola de equação
y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r é
a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0
4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:
a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0
5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.
Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é
a) - 5 b) - 2 c) 6
5 d) 2 e) 5
6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma
trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t ≥ 0) dada pelas equações.
x 2t
y 3t 2. A distância percorrida pelo ponto
P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é
a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61
7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é
a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25
08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (1/2)x + 3, situado no 1 . quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma é: a) menor que 11. b) maior que 25. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 20. GABARITO
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9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.
9.1-Retas paralelas
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem.
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO
m
um
te
q
uq
tAs retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais.
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9.2-Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não.
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes.
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.
EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-(Ufmg ) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a) 2,3 5 b) 12 2, 5 c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)
02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa:
a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das
ordenadas
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale:
a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa 1. A equação de r é
a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação
y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é
17 08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são
paralelas; logo o valor de k é a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2
09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor de m será:
a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.
10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será:
a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D
10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS
Relembrado a definição de retas concorrentes:Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.
Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o
ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo:
x + 4y – 7 = 0 3x + y + 1 = 0 x + 4y = 7 (-3) 3x + y = -1 -3x – 12y = -21 3x + y = -1 -11y = -22 y = 2
18 x + 4y = 7 x + 4 . 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = -1
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0
02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) é:
a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4). e) (10/3, 13/3).
03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b é:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam:
a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0).
e) no ponto (1/2, 0).
05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.
06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:
a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3) c) 5 (3 + 5) d) 3 (3 3) e) 5 ( 5 + 3)
07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é
a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.
08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x + 2. O valor de a é a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2
GABARITO
1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D
11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Considere duas retas perpendiculares r e s .Pelo teorema dos ângulos externos temos :
19 1 0 1 0 2
90
cos
90
sen
tg
1 0 1 0 0 1 1 0.
90
cos
.
90
cos
90
cos
.
cos
.
90
sen
sen
sen
sen
= 1 1cos
sen
= 11
tg
PORTANTO 1 21
tg
tg
Portanto r sm
m
1
, ou seja,m
r.
m
s1
EXERCÍCIOS BÁSICOS01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto:
a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4)
02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0
03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto:
a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)
04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é: a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0
c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0
05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0
06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas
a) se interceptam no ponto de coordenadas (-1,2).
b) se interceptam formando um ângulo de 60°. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,
respectivamente.
d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3).
07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são
a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0).
08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo das abscissas no ponto:
a) (9/2, 0) b) (5, 0) c) (11/2, 0) d) (6, 0) e) (13/2, 0)
09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem
coordenadas cuja soma vale: a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5
10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0
11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares. O valor de a é:
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2
12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1
13-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6
20
equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0.
c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.
15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2)
GABARITO
1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 12)C 13)D 14)A 15)C
12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste
ponto P à reta através da expressão matemática:
DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3 GABARITO
21
13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES
22
Exemplo 1
Resolver graficamente
a) x + y - 2 > 0
e
x - y < 0
b) x + y - 2 > 0
ou
x - y < 0
EXERCÍCIOS BÁSICOS1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir.
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que
a) y ≤ 3 2x + 3 e y ≤ -3x + 3 b) y ≤ 2 3x + 3 e y ≤ -3x + 1 c) y ≤ 3 2x + 3 e y ≥ -3x + 3 d) y ≤ 3x + 3 e y ≤ 3 2x + 3 e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1
2-(Fgv) A região do plano cartesiano
23 3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y
= 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é: a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5
4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações
3x
5y
15
0
2x
5y
10
0
x
0
a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3
5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é:
a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.
6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 é
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
GABARITO
1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D
14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.
A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.
Ou seja
d
CPr
24 Elevando-se os dois lados ao quadrado temos:
(x-a)² + (y-b)² = r²,
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)2 + (y – b)2
. (x – (-4))2 + (y – 1)2
= (1/3)2 (x + 4)2 + (y – 1)2
= 1/9
Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)2
+ (y + 5/2)2 = 9. É preciso que seja feito à comparação das equações:
(x – 1/2)2 + (y + 5/2) 2= 9 (x – a)2 + (y – b)2 = R2 - a = -1/2 a = 1/2 - b = 5/2 b = -5/2 R2 = 9 R = 3
Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio igual a R = 3
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é: a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20 c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20
2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5
b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10 c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10 d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25
3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
4- (Pucrs ) A distância entre o centro da
circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é
a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9
5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é:
a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:
f(x) = x2 - 5x + 6.
Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é:
25
7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28 GABARITO
1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B
15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes:
comparação e redução. Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos:
–2a = –2 a = 1
–2b = 8 2b = –8 b = –4
a² + b² – r² = 8 1² + (–4)² – r² = 8 1 + 16 – r² = 8 17 – r² = 8 – r² = 8 – 17 – r² = – 9 r = 3
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.
Redução
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:
1º passo
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. (x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8
2º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito. (x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1
3º passo
26
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9 (x – 1)2
+ (y + 4)2 = 9
Comparando com a equação reduzida.
(x – 1)2
+ (y + 4)2 = 9 (x + a)2 + (y + b)2 = r2
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:
a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12 d) K > 12 e) K < 10
2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas. 4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13
5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é: a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a:
a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15
7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma
circunferência de raio 1 e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).
8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente uma circunferência é:
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10
9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do círculo é a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0. c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0. d) x2 + y2 + 2 = 0. e) x2 + y2 - 4y = 0.
11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação
a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0
12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação
27
A área do octógono é
a) 5 2. b) 8 2. c) 10. d) 10 2. e) 20.
14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de
equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c2 de centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à
circunferência c1 e externos à circunferência c2, em unidades de área, é:
a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.
15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92.
16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente,
a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86
17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1
18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) x2 y2 2 10 x 2 10 y 10 0 b) x2 y2 2 8 x 2 8 y 8 0 c) x2 y2 2 10 x 2 10 y 10 0 d) x2 y2 2 8 x 2 8 y 8 0
e) x2 y2 4x 4y 4 0
19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação
y 2x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s.
20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos A( 1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela intersecção das retas r e s . c) Determine a equação da circunferência que possui
centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s. GABARITO
28
16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA
CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIADISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0
CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
29 O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência
(x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:
Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência.
Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau.
Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. Resolução:
x + y – 6 = 0 → equação 1 (x+1)2 + y2 = 25 → equação 2
Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y – 6 = 0
x = 6 – y
Substituímos o valor de x na equação 2. (6 – y +1)2 + y2 = 25 (-y + 7)2 + y2 = 25 (-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25 y2 – 14y + 49 – 25 + y2 = 0 2y2 – 14y + 24 = 0 (: 2) y2 – 7y + 12 = 0 Δ = b2 – 4ac Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12 Δ = 49 – 48 Δ = 1
Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.
Para y’= 4
30 x = 6 – y x = 6 – 3 x = 3
Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3). EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta x + y = 3 determina na circunferência de centro em (2,1) e raio 5
2 é:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2
2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa
circunferência?
a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5
3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma
circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relação
a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36
4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência x2 + y2 = 9. O valor de b é
a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7
5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x -
12 = 0, então a circunferência α, que é
concêntrica à circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é a) x2 + (y + 2)2 = 4 b) y2 - 4x + y2 = 0 c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0 e) (x + 2)2 + y2 = 2
6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2 c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4
7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de comprimento:
a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2
8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a
circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam
pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto:
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)
10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema
2 2
x
y
9
x
y
3
0
, pode-se afirmar que esta áreacorresponde a a)
9
4
π
b)9
2
4
π
. c)3
3
2
π
. d)3
3
4
π
. e)3
3
π
.11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + y2 ≤ 1, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é
a) π/4 - 1/2 b) π/4 - 1/3 c) π/2 - 1 d) π/2 + 1 e) 3π/2 - 1
12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são: a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 d) 1 ou 3 e) 2 ou 4
13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a
circunferência C dada pela equação x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem.
31 14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de
interseção da circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 = 0, onde m é real, podemos afirmar que:
a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m.
15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: a) r é tangente a C.
b) r não corta C.
c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C.
16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x -1 é
a) 1 b) 1
2 c) 2 d)
2
2 e) 2 -1
17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças
(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y. A área de R, em unidades de superfície, é a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2
18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2 é
a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4
19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que
a) a reta é tangente à circunferência. b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência.
d) a reta está em plano distinto da circunferência.
20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.
21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de
coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta
y = x + b é tangente ao círculo de equação x2 + y2 = 1 é:
a) 2 b) 1 c) 2 d) 1
2 e) 3 GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B
18)C 19)A 20)C 21) C
17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS
1-ELIPSE
32 Na ilustração da elipse acima temos:
F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.
Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²
Equação reduzida da elipse
De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:
Exemplo 1
33 b)
a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13 Equação:
Exemplo 2
Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.
Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2
a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14
Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.
2-HIPÉRBOLE
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista
algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito
exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.
34 Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse
caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a
equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole: 2c → é a distância focal.
c2 = a2 + b2 → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
35 102 = 82 + b2
b2 = 100 – 64 b2 = 36 b = 6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que: a2 = 16 → a = 4
b2 = 9 → b = 3
Utilizando a relação fundamental, teremos: c2 = a2 + b2
c2 = 16 + 9 c2 = 25 c = 5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
3- PARÁBOLA
2-Como traçar uma parábola.
Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não
pertencente à diretriz, chamado foco.
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.
36
2-Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(y - y0) 2
= 2p(x-x0)
37
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:
x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 p = 4
Daí, por substituição direta, vem: y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. 3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada. 4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de parábola, deve deduzir sua utilização.
Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas
parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais fracos se concentram tornando-se um sinal forte.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0 consiste de:
a) duas retas e uma parábola. b) duas parábolas e uma reta. c) dois círculos e uma reta. d) duas retas e um círculo. e) um círculo e uma parábola.
38
aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o ponto:
a) A b) B c) C d) D e) E
3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole
4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma:
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta.
5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:
6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)
e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 + y2/9 = 1, é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12
8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36
9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:
a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole.
10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a)
1
,0
2
e1
,0
2
b) (2, 0) e (-2, 0) c) (22
, 0) e (-22
, 0) d) (0,2
) e (0, -2
) e)0,
1
2
e1
0,
2
11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:
a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse
39
qual se coloca uma bola de gude. A experiência consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da mesa e com a primeira bola. A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus
focos.
d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.
14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é
a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4. b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1. c) a parábola de equação y = 4x2 +1. d) a parábola de equação y = 2x2 +1.
15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) - (y2/9) = 1 é uma:
a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola.
16. (Unifesp ) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π.
17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra numa parede
representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura a seguir.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada é de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 é uma equação de:
a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.
19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice no ponto (xn, yn).
O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.
20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela
intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação
2x - y + 3 = 0, é a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0
21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0
representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.
40
dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.
a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F
22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a
elipse
2 2
x
y 1
4 em um único ponto. A soma dos valores de b é:
a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5
GABARITO
41
QUESTÕES PARA A PO
01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é:
a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) 2x + y = 6
2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são:
a) (2, 2 + 3). b) 1 3,5 2
c) (2, 1 + 3 ). d) (2, 2 - 3 ). e) (1 + 3 , 2 + 3 ).
3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2,
localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x - 3y = 0.
Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5
4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.
a) 1 5. b) 1 2. c) 3 2 . d) 2 2 . e) 5 .
5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem três raízes reais distintas é:
a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 d) -1 < m < 1 e) m > - 4
6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A =
(0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:
a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2
7. (FUVEST) Para cada número real n seja
Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?
a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2) d) (-1/2, -1/2) e) (1,1)
8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1), então B é o ponto
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)
9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é
a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x
10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se a) y < x 2e y < -x + 1 b) y < x 2ou y > -x + 1 c) x 2< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y < x 2 e) x 2< y < -x + 1
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circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então a) 0 < m < 1 3 b) m = 1 3 c) 1 3 < m < 1 d) m = 1 e) 1 < m < 5 3
12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2 d) x + y = 4 e) x + y = 6
13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na
sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades
x ≥ 0; y ≥ 0; x - y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9, é:
15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) -2 b) 0 c)2 d) 1 e) 1/2
16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a
equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 0, pode ser representado, graficamente, por:
17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)
18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) d) (5, 2) e) (5, 1)
19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD,
