C´alculo da capacitˆancia

Um capacitor de placas paralelas possui placas circula-res de raio^?/#" cm e separac¸˜ao ^H mm. (a) Calcule a capacitˆancia. (b) Que carga aparecer´a sobre as placas se a ddp aplicada for de^M"A V?

(a) de dois cilindros concˆentricos com a catodo sendo o ci-lindro central. O diˆametro do catodo ´e de ^- mm e o diˆametro da placa ´e de ^? mm; os dois elementos tˆem comprimento de^"l; cm. Calcular a capacitˆancia do dio-do.

Para um capacitor cil´ındrico (com ^ʛš ) temos da Eq. 27-14 ou da Tabela 1:

Calculamos, na Sec¸˜ao 27-3, a capacitˆancia de um capa-citor cil´ındrico. Usando a aproximac¸˜ao ^{,Ÿ ¼y0ª@¡¼} ,

quando^¼ Ì (veja o Apˆendice G), mostre que ela se aproxima da capacitˆancia de um capacitor de placas pa-ralelas quando o espac¸amento entre os dois cilindros ´e pequeno.

A capacitˆancia em quest˜ao ´e dada por

mQ

"Aw„t

5 O

¤ ! ¥

Chamando-se de o espac¸amento entre os dois cilin-dros, temos que ^Ê .

onde^{a#" "Aw Ê3O} ´e a ´area das placas e a aproximac¸˜ao foi

feita supondo-se que^Ê%¿ .

P 27-13.

Suponha que as duas cascas esf´ericas de um capacitor esf´erico tenham aproximadamente raios iguais. Sob tais condic¸˜oes, tal dispositivo se aproxima de um capacitor de placas paralelas com^†e)Ê% . Mostre que a Eq. 27-17 se reduz, de fato `a Eq. 27-9, nesse caso.

A capacitˆancia do capacitor esf´erico em quest˜ao ´e

m¡

Chamando-se de ^v os dois raios supostos aproximada-mente iguais, segue que ^{ʯ@Rv X} . Por outro lado,

ecÊ%N . Portanto,

mQ

Um capacitor foi construido para operar com uma capa-citˆancia constante, em meio a uma temperatura vari´avel.

Como se demonstra na Fig. 27-23, o capacitor ´e do tipo de placas paralelas com “separadores” de pl´astico para

manter as placas alinhadas. (a) Mostre que a taxa de variac¸˜ao da capacitˆancia^m com a temperatura^% ´e dada por placas. (b) Se as placas forem de alum´ınio, qual dever´a ser o coeficiente de expans˜ao t´ermica dos separadores a fim de que a capacitˆancia n˜ao varie com a temperatura?

(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitˆancia.)

(a) A capacitˆancia^m ´e uma func¸˜ao de duas var´aveis:

(i) da ´area^a das placas e (ii) da distˆancia ^¼ entre as placas:

mQ t5 a¼

Portanto, a disciplina de C´alculo nos ensina que as variac¸˜oes da capacitˆancia^m com a temperatura ^% s˜ao determinadas pela equac¸˜ao

3m

Calculando-se as derivadas parciais, encontramos

Ñ m

que, substituidas da express˜ao para^=mÅA% acima, nos fornecem

que ´e o resultado pedido.

(b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variac¸˜ao^%O de um com-primento^O qualquer quando submetido a uma variac¸˜ao

'% de temperatura ´e dado pela equac¸˜ao

%O LO–ô+'%

’

onde^ô ´e o chamado ‘coeficiente de expans˜ao t´ermica’

do material em quest˜ao. Esta equac¸˜ao pode tamb´em ser re-escrita como

O

%O

(%

Nô‘ž

onde ^ô‘ž j´a representa agora o valor do coeficiente de expans˜ao t´ermica do separador.

Analogamente (veja o Exerc´ıcio 19-37), a variac¸˜ao^a de uma ´area^a em func¸˜ao de uma variac¸˜ao^'% de tem-peratura pode ser escrita como

.†¶ / C representa o coeficiente de expans˜ao t´ermica do alum´ınio (veja a Tabela 19-3) de que s˜ao feitas as placas, e o fator^" leva em conta a bidi-mensionalidade das ´areas.

Para que a capacitˆancia n˜ao varie com temperatura ´e preciso que3m<&%

, ou seja, que

onde consideramos variac¸˜oes^a e^(% infinitesimais.

Da igualdade mais `a direita vemos que, para evitar variac¸˜oes de ^m com ^% , o coeficiente de expans˜ao t´ermica dos separadores dever´a ser escolhido tal que

ô ž " ô Al

2"$78l.y¶

/ C 27.2.3 Capacitores em paralelo e em s´erie

E 27-15.

Quantos capacitores de ^ªp F devem ser ligados em pa-ralelo para acumularem uma carga de C com um po-tencial de V atrav´es dos capacitores?

Para poder armazenar C a V a capacitˆancia equivalente do arranjo a ser construido dever´a ser:

m î ! Para uma conex˜ao em paralelo sabemos que^{m î}

 m

onde ^m ´e a capacitˆancia individual de cada capacitor a ser usado. Portanto, o n´umero total de capacitores ser´a:

 m î

Na Fig. 27-24, determine a capacitˆancia equivalente da combinac¸˜ao. Suponha ^m

ˆp F, ^{m X [ p} F e

m \

;Áp F.

Os capacitores^m

e^{m X} est˜ao em paralelo, formando um capacitor equivalente^m

X que, por sua vez, est´a em

s´erie com^{m \} . Portanto, a capacitˆancia equivalente total

Na Fig. 27-25, determine a capacitˆancia equivalente da combinac¸˜ao. Suponha ^m

·p F, ^{m X T[ p} F e

m \

;Áp F.

Os capacitores^m

e^{m X} est˜ao em s´erie. Portanto

m X

O capacitor equivalente total ´e dado pela ligac¸˜ao em pa-ralelo de^m

X e^{m \} :

Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26 tem uma capacitˆancia de^{" [ p} F. Uma diferenc¸a de po-tencial de^;3"A V ´e estabelecida quando a chave ´e fecha-da. Quantos coulombs de carga passam ent˜ao atrav´es do amper´ımetro^a ?

Basta usar a f´ormula^!&óm

î , onde^m

î

´e o ca-pacitor equivalente da ligac¸˜ao em paralelo,^{m î}

±H3m ,

onde^{mƒ " [ p} F, e^{Ò ;="A} Volts. Portanto, a carga

total medida ´e

!CNH

Uma capacitˆancia ^m

-sp F ´e ligada em s´erie com uma capacitˆancia ^{m X ;{p} F e uma diferenc¸a de po-tencial de^"A V ´e aplicada atrav´es do par. (a) Calcule a capacitˆancia equivalente. (b) Qual ´e a carga em cada capacitor? (c) Qual a diferenc¸a de potencial atrav´es de cada capacitor?

(a) A capacitˆancia equivalente ´e

m î (b) A carga no capacitor equivalente ´e

!¨m

Como os capacitores est˜ao em s´erie, este valor ´e o m´odulo da carga que est´a sobre cada uma das placas dos dois capacitores. Ou seja,^!

A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em s´erie, cuja sec¸˜ao central, de comprimento , pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitˆancia equivalente dessa combinac¸˜ao em s´erie ´e independente da posic¸˜ao da sec¸˜ao central e ´e dada por

mQ t 5 a

Ê4e)

Chamando-se de a distˆancia entre as placas da par-te superior da figura, obpar-temos as seguinpar-tes express˜oes para as capacitˆancias individuais de cada um dos dois capacitores:

Ligando-os em s´erie obtemos

m î

Desta express˜ao vemos que a capacitˆancia equivalente n˜ao depende de , ou seja, n˜ao depende da posic¸˜ao da sec¸˜ao reta central.

P 27-28.

Na Fig. 27-29, os capacitores^m

p

F e^{m X ÎH p} F s˜ao ambos carregados a um potencial^{™ 8} V mas com polaridades opostas, como ´e mostrado. As chaves

e ^X s˜ao, ent˜ao fechadas. (a) Qual ´e a diferenc¸a de potencial entre os pontos^Ê e ? (b) Qual ´e a carga sobre

m

? (c) Qual ´e a carga sobre^{m X} ?

(a) Ap´os as chaves serem fechadas as diferenc¸as de potencial s˜ao as mesmas e os dois capacitores est˜ao em paralelo. A ddp de ^Ê at´e ´e ^{! ó]Am î}

, one ^] ´e a carga l´ıquida na combinac¸˜ao e ^{m î}

´e a capacitˆancia equivalente.

A capacitˆancia equivalente ´e

A carga total na combinac¸˜ao ´e a carga l´ıquida sobre ca-da par de placa conectaca-das. A carga sobre o capacitor

´e e a carga sobre o capacitor^" ´e

! X m X

de modo que a carga l´ıquida sobre a combinac¸˜ao ´e

,He

C. Portanto, a diferenc¸a de potencial pedida ´e

!

(b) A carga no capacitor ´e agora

! (c) A carga no capacitor^" ´e agora

! X

Quando a chave , na Fig. 27-30, ´e girada para a esquer-da, as placas do capacitor C, adquirem uma diferenc¸a de potencial

5

. Os capacitores^m

e^{m X} est˜ao inicialmente descarregados. A chave ´e, agora, girada para a direita.

Quais s˜ao as cargas finais^!

,^{! X} e^! sobre os capacitores correspondentes?

As cargas nos capacitores^" e ^H s˜ao as mesmas, de modo que eles podem ser substituidos por um capacitor equivalente dado por

equivalente ´e a mesma que em qualquer um dos capaci-tores da combinac¸˜ao. A diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor equivalente ´e^{! X m} eq. A diferenc¸a de po-tencial atrav´es do capacitor ´e^!

A diferenc¸a de potencia atrav´es da combinac¸˜ao dos ca-pacitores^" e^H tem que ser a mesma diferenc¸a de poten-cial atrav´es do capacitor , de modo que

!

m ! X

m eq

,IÊ=0

Quando fechamos a chave pela segunda vez, par-te da carga originalmenpar-te no capacitor flui para a combinac¸˜ao de ^" e ^H . Sendo ^!

5

´e a carga original, a lei da conservac¸˜ao da carga nos fornece

! ! X

´e a diferenc¸a de potencial original atrav´es do capacitor .

Da Eqs. (b) tiramos que

! X Lm

5

ec!

que, quando substituida na Eq. (a), fornece

!

m m 5

ec!

m eq ^’

que, finalmente, nos fornece^!

As cargas nos capacitores^" e^H s˜ao

! X

Segunda soluc¸˜ao:Considere a figura abaixo:

As cargas iniciais est˜ao indicadas `a esquerda de cada pacitor. As cargas finais est˜ao indicadas `a direita de ca-da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao:

!Nm

5

De acordo com a Lei da Conservac¸˜ao da Carga, ao co-nectarmos os capacitores^{m X} e^{m \} , a carga total ^eª! no condutor,^. indicado na figura da soluc¸˜ao deste proble-ma, deve permanecer constante. Logo,

eª!eª!

ec! \

Donde se conclui que

! ! \ ¨m

5

Aplicando a Lei da Conservac¸˜ao da Carga no condutor

/

indicado na figura de soluc¸˜ao deste problema, encon-tramos: ^{Qeª! X ! \} . Donde se conclui que^{! X ! \} . Aplicando a Lei da Conservac¸˜ao da Carga para o con-dutor ⁰ , indicado na figura do problema, n˜ao conduz a nenhuma equac¸˜ao nova. Sabemos que o campo ele-trost´atico ´e conservativo. Ent˜ao, as somas de diferenc¸a de potencial ao longo da malha fechada deve ser nula (Lei das Malhas). Portanto,

! X

m X ! \

m \ e !

m

As relac¸˜oes (1), (2) e (3) formam um sistema de trˆes equac¸˜oes e trˆes inc´ognitas^!

,^{! X} e^{! \} . A soluc¸˜ao deste sistema fornece a resposta

! m m X m m \

m m X m m \ m X m \ m 5 ’

! X L!

\ m X m \

m m X m m \ m X m \ m 5

27.2.4 Armazenamento de energia num campo el´etrico

E 27-34.

Que capacitˆancia ´e necess´aria para armazenar uma ener-gia de⁸ kW^Bh sob uma diferenc¸a de potencial de V?

Como sabemos que a energia armazenada num capa-citor ´e^{(Q¨mC X "} , a ‘dificuldade’ do problema consis-te apenas em deconsis-terminar quantos Joules correspondem a

kW^Bh.

Lembrando que J Watt^Bsegundo, simplesmen-te precisamos multiplicar ^{, \} W^{AÓ K 0:,H -} s/h⁰ para obter que kW^Bh^{H -$& —} J. Portanto

mQ

" (

X "

,IH

-$& — 0

, 0 X

¨Z

"

F

E 27-37.

Dois capacitores, de capacitˆancia ^"Ap F e^;p F, s˜ao liga-dos em paralelo atrav´es de uma diferenc¸a de potencial de^H V. Calcular a energia total armazenada nos capa-citores.

A energia total ´e a soma das energias armazenadas em cada capacitor. Com eles est˜ao conectados em paralelo, a diferenc¸a de potencial a que est˜ao submetidos ´e a mesma. A energia total ´e, portanto,

(

"

,êm

m X

0³

X

" Ž

"%$&/.†¶}i;)$&/.†¶



,IH

0 \

/#"

Z J

P 27-47.

Um capacitor cil´ındrico tem raio interno^Ê e raio externo

(como indicado na Fig. 27-6, p´ag. 95). Mostre que me-tade da energia potencial el´etrica armazenada est´a den-tro de um cilindro cujo raio ´e

v

Ä

Ê$

A energia acumulada num campo el´etrico que ocupa um volume¹ ´e obtida integrando-se, sobre todo o vo-lume ¹ , a densidade de energia^Ö-2 do campo el´etrico.

Portanto,

(,v<0 ~ Ö 2 &1›

t 5

" ~ €

! X

&1

’

onde ^{3¦ "<w v<O v} ´e o elemento de volume da

gaus-siana cil´ındrica de raio^v considerada (ver Fig. 27-6).

Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo el´etrico entre as placas de um capacitor cil´ındrico de compri-mento^O contendo uma carga^! e de raio^v ´e dado por

,|vA0Ÿ

!

"<w„t

5

O}v

Substituindo-se este valor na equac¸˜ao para^(,v<0 , acima, encontramos a seguinte relac¸˜ao para a energia acumula-da no campo el´etrico dentro do volume compreendido entre o cilindro de raio^Ê e o cilindro de raio^v :

A energia potencial m´axima⁽⁴³ ´e obtida para^v5"# :

(436"¨(,:0}

Para obter o valor de ^v pedido precisamos simples-mente determinar o valor de ^v para o qual tenhamos

(,v<0Wó(73ø

"

. Substituindo-se nesta equac¸˜ao os va-lores de^(),|vA0 e⁽⁷³ acima, encontramos sem nenhuma dificuldade que

Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem mutuamente com uma forc¸a dada por^ï

! X

"At

5 a

Obtenha o resultado calculando o trabalho necess´ario para aumentar a separac¸˜ao das placas de^¼ para^{¼ ¼} , com a carga^! permanecendo constante.

O trabalho feito num campo el´etrico ´e definido por

K ï

Portanto, por comparac¸˜ao destas f´ormulas, obtemos a magnitude da forc¸a ´e

ï

*

.

Para um capacitor de placas paralelas sabemos que a magnitude do campo ´e dada por ^{n "At}

Modo alternativo, n˜ao supondo^! constante: Consi-dere uma carga infinitesimal^3! sobre uma das placas

do capacitor. O m´odulo da forc¸a infinitesimal de-vida ao campo el´etrico

existente no capacitor ´e dada por

ï

3!

A Eq. 27-7 nos diz que m´odulo do campo el´etrico

existente no capacitor ´e

!

Usando o resultado do Problema 27-49, mostre que a forc¸a por unidade de ´area (a tens˜ao eletrost´atica) atuan-do sobre cada placa ´e dada por ^t

5 X "

. (Na realida-de, este resultado ´e geral, valendo para condutores de qualquer formato, com um campo el´etrico

û

na sua su-perf´ıcie.

De acordo com o problema 27-49, a forc¸a em cada placa do capacitor ´e dada por

ï

Assim sendo, a forc¸a por unidade de ´area ´e

ïa

" t 5 X

P 27-51^ú .

Uma carga^! ´e colocada lentamente na superf´ıcie de uma bolha de sab˜ao, de raio ^u

5

. Devido `a repuls˜ao m´utua existente entre as cargas superficiais, o raio aumenta li-geiramente para^u . Por causa da expans˜ao, a press˜ao do ar dentro da bolha cai para ¹

598

:1 onde

8

´e a press˜ao atmosf´erica,¹

5

´e o volume inicial e¹ ´e o volume final.

Mostre que

(Sugest˜ao: Considere forc¸as que atuam sobre uma pe-quena ´area da bolha carregada. Forc¸as decorrentes de (i) press˜ao do g´as; (ii) a press˜ao atmosf´erica; (iii) a tens˜ao eletrost´atica. Ver o Problema 50.)

Conforme o Problema 27-50, a forc¸a eletrost´atica que atua numa pequena ´area ^%a ´e

ï î t 5 X

! ´e a carga na bolha. Portanto^ï

î

apontando para fora. A forc¸a do g´as dentro ´e o produto da press˜ao dentro pela ´area, ou seja,^ï

; 8 1 5

apontando para fora. A forc¸a do ar fora ´e

ï ! 8

%a ,

apontando para dentro.

Como a superf´ıcie da bolha esta em equil´ıbrio, a soma das trˆes forc¸as deve anular-se:

ï î ï ; e ï !

de onde tiramos facilmente que

! X

Em outras palavras:

As forc¸as que atuam sobre o elemento de ´area da bolha carregada s˜ao causadas pelas seguintes press˜oes: (a) A press˜ao do g´as

8 ; do interior da bolha (atuando de den-tro para fora), (b) A press˜ao atmosf´erica

8

(atuando de fora para dentro), (c) A tens˜ao eletrost´atica mencionada no Problema 27-12 (atuando de dentro para fora). No equil´ıbrio, como a soma das forc¸as ´e igual a zero, can-celando a ´area comum considerada, podemos escrever:

8 ; t 5 X

" 8

,<A0

De acordo com o enunciado do problema, temos:

8 ; 1 5

1 8 \ w u \5

\ w u \ 8 u \5

u \ 8

O campo el´etrico da distribuic¸˜ao de cargas esfericamen-te sim´etrica exisesfericamen-tenesfericamen-te na superf´ıcie da bolha ´e dado por

de onde se tira facilmente que o valor pedido ´e

! X

27.2.5 Capacitor com um diel´etrico

E 27-53.

Dado um capacitor de ^{Z ;} pF, cheio de ar, pedimos convertˆe-lo num capacitor que armazene ^{Z ;7p} J com uma diferenc¸a de potencial m´axima de^{- [ "} V. Qual dos diel´etricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado pa-ra preencher a lacuna de ar do capacitor?

Com o diel´etrico dentro, a capacitˆancia ´e dada por

m =gm

5

, onde^m

5

representa a capacitˆancia antes do diel´etrico ser inserido. A energia armazenada ´e dada por

(¡

Da Tabela 27-2 vemos que poder´ıamos usar pirex para preencher a lacuna do capacitor.

E 27-56.

Um cabo coaxial usado numa linha de transmiss˜ao tem um raio interno de ^` mm e um raio externo de ^/ -mm. Calcular a capacitˆancia por metro de cabo. Supo-nha que o espac¸o entre os condutores seja preenchido compoliestireno.

Usando as Eqs. 27-14 e 27-30 encontramos que a ca-pacitˆancia do cabo ´e

m¡>Ám ar^>

Portanto, por unidade de comprimento temos

?

onde usamos^{s "l-} (que corresponde ao poliestireno, veja Tabela 27-2, p´ag. 101).

P 27-57.

Uma certa substˆancia tem uma constante diel´etrica de

"l?

e uma rigidez diel´etrica de^? MV/m. Se a usarmos como material diel´etrico num capacitor de placas para-lelas, qual dever´a ser a ´area m´ınima das placas para que a capacitˆancia seja de^{Z $ 8 . X p} F e para que o capa-citor seja capaz de resistir a uma diferenc¸a de potencial de^; kV?

A capacitˆancia ´e^m»A†m

5 capacitˆancia sem o diel´etrico, ´e a constante diel´etrica do meio,^a a ´area de uma placa e a separac¸˜ao das pla-cas. O campo el´etrico entre as placas ´e

QŸ< , onde

´e a diferenc¸a de potencial entre as placas.

Portanto,^LŸ e^{mQ# t}

5 a

A , donde tiramos

aL mC

t 5

Para que esta ´area seja m´ınima, o campo el´etrico deve ser o maior poss´ıvel sem que rompa o diel´etrico:

a

Um capacitor de placas paralelas, de ´area^a , ´e preen-chido com dois diel´etricos como mostra a Fig. 27-35 na p´ag. 111. Mostre que neste caso a capacitˆancia ´e dada por

O valor pedido corresponde `a capacitˆancia^m do ca-pacitor equivalente da ligac¸˜ao em s´erie de

m

cuja ´unica diferenc¸a ´e o diel´etrico:

O campo el´etrico uniforme para cada uma das cama-das diel´etricas entre as placas do capacitor ´e dada por

Note que, no caso de um capacitor no ar (sem os diel´etricos), temos

C

X

e a relac¸˜ao acima se reduz a ^{mµ t}

5

aÅA , conforme esperado. Quando os dois diel´etricos forem iguais, isto ´e, para

@

X

@ ,

a relac¸˜ao anterior tamb´em fornece o resultado esperado:

mQ>

t 5

a< .

27.2.6 Os diel´etricos e a lei de Gauss E 27-66

Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitˆancia de pF, placas de ´area igual a cm^X e usa mica co-mo diel´etrico (^{{L[ ;} ). Pra uma diferenc¸a de potencial de^[ V, calcule: (a) na mica; (b) o m´odulo da carga livre sobre as placas, e (c) o m´odulo da carga superficial induzida.

(a) O campo el´etrico na regi˜ao entre as placas ´e

™A , onde ´e a diferenc¸a de potencial entre as placas e a separac¸˜ao das placas. Como^{m¯@ t}

5

a< , onde^a ´e a ´area de uma placa e a constante diel´etrica, temos que ^t (b) A carga livre nas placas ´e

!DŸ¨4mQÎ, (c) O campo el´etrico ´e produzido por ambas cargas, livre e induzida. Como campo devido a uma camada grande e uniforme de carga ´e^{! l,"At}

5

aÅ0 , o campo entre as placas

´e

O primeiro termo deve-se `carga livre positiva em uma das placas, o segundo deve-se `a carga livre negativa na outra placa, o terceiro deve-se `a carga induzida positiva em uma das superf´ıcies do diel´etrico o quarto deve-se `a carga induzida negativa na outra superf´ıcie do diel´etrico.

Observe que o campo devido a carga induzida ´e oposto ao campo devido `a carga livre, de modo que eles tendem a cancelar-se. A carga induzida ´e, portanto,

!1ë !D}e

t 5 a

[

$78 . '

C

e,

?/? [

$& . X

0:,

$&

0:,

$&

0 C

;oC$78l. '

C

;o nC

P 27-71

Uma lˆamina diel´etrica de espessura ´e introduzida en-tre as placas de um capacitor de placas paralelas de separac¸˜ao . Mostre que a capacitˆancia ´e dada por

mQ

t 5 a

4e›,e

09

(Sugest˜ao: Deduza a f´ormula seguindo o modelo do Exemplo 27-10.) Esta f´ormula prevˆe o resultado num´erico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a f´ormula est´a de acordo com os casos especiais quando

,^{ e^qN .

Seja um campo el´etrico na regi˜ao vazia e o cam-po el´etrico no interior do diel´etrico. Da Eq. 27-32 sabe-mos que . Portanto, observando a Fig. 27-17 que corresponde `a situac¸˜ao deste problema, vemos que a diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor ´e dada por

¼

,4e)e&¼†0

’

ou seja

Î,e*

0

Como sabemos que ^{N! /,a t}

5 0 (veja Eq. 27-7), segue que

!

a t 5 ¢

gCe®,+ze

09

£=’

donde tiramos sem dificuldades que, realmente,

m@"

!

t 5 a

4e›,e

09

Note que este resultado n˜ao depende da posic¸˜ao exata da lˆamina dentro do diel´etrico. A lˆamina tanto poder´a estar tocando qualquer uma das placas como estar no meio delas, sem que se altere o valor acima.

Tanto para⁴ quanto paraⁱ a relac¸˜ao anterior fornece corretamente a capacitˆancia no v´acuo, ou seja,

mQ t 5

aÅA .

Quando ^s™ , situac¸˜ao em que o diel´etrico preenche totalmente o espac¸o entre as placas do capacitor, a ex-press˜ao acima tamb´em fornece o resultado correto, a

sa-ber,^{mQ#ga t}

5

< .

28 Corrente e Resistˆencia

28.1 Quest˜oes

Q 28-1.

No estado estacion´ario n˜ao pode existir nenhuma car-ga livre no interior da superf´ıcie fechada. Portanto, a taxa de variac¸˜ao da carga que entra (corrente que entra) deve ser exatamente igual `a corrente que sai. Ou se-ja, a integral de^EcBF ao longo da superf´ıcie externa do corpo ´e igual a zero. Isto ser´a sempre verdade, in-dependentemente do n´umero de condutores que entram ou que saem da superf´ıcie considerada. Como a Lei de Gauss tamb´em pode ser aplicada no estado estacion´ario, conclu´ımos que o fluxo el´etrico tamb´em n˜ao pode variar atrav´es da superf´ıcie externa do corpo.

Q 28-19.

Este aparente paradoxo possui soluc¸˜ao trivial. Vocˆe n˜ao pode comparar situac¸˜oes diferentes, ou seja, vocˆe deve especificar a(s) grandeza(s) que permanece(m) constante(s) em cada situac¸˜ao concreta. Mantendo-se

fixo, a potˆencia ^ varia de acordo com a relac¸˜ao

 X

<u . Mantendo-se^D fixo, a potˆencia ^Â varia

de acordo com a relac¸˜ao ^{ ™uÅD X} . Caso ocorra uma variac¸˜ao simultˆanea de ^D e de , a potˆencia^ s´o pode ser determinada mediante o c´alculo integral; neste caso, vocˆe n˜ao poder´a usar nenhuma das duas relac¸˜oes ante-riores.

28.2 Problemas e Exerc´ıcios

28.2.1 Corrente el´etrica

E 28-1.

Uma corrente de^[ A percorre um resistor de ^HG du-rante^; minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos el´etrons passam atrav´es da secc¸˜ao transversal do resis-tor neste intervalo de tempo?

(a) A carga que passa atrav´es de qualquer secc¸˜ao transversal ´e o produto da corrente e o tempo. Como

; minutos correspondem a^{;{$ˆ- "A;} segundos,

te-mos^!C®DFEG¨[ $ˆ"<;

8"A

C.

(b) O n´umero de el´etrons ´e dado por ^{!Î ò *} , on-de ^* ´e a magnitude da carga de um el´etron. Portanto

ò

Uma esfera condutora isolada tem um raio de ⁸ cm.

Uma esfera condutora isolada tem um raio de ⁸ cm.

No documento Jason Alfredo Carlson Gallas (páginas 17-0)