Jason Alfredo Carlson Gallas

(1)

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas

Professor Titular de F´ısica Te´orica

Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Instituto de F´ısica

Matéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro

“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

26 Potencial El´etrico 2

26.1 Quest˜oes . . . 2

26.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 3

26.2.1 O potencial el´etrico . . . 3

26.2.2 C´alculo do potencial a partir do campo . . . 3

26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme . . . 6

26.2.4 Potencial criado por um dipolo el´etrico . . . 7

26.2.5 Potencial criado por distribui- c¸˜ao cont´ınua de cargas . . . 8

26.2.6 C´alculo do campo a partir do potencial . . . 8

26.2.7 Energia potencial el´etrica de um sistema de cargas puntiformes . 10 26.2.8 Um condutor isolado . . . 12

26.2.9 O acelerador de van de Graaff . 13 26.2.10 Problemas da terceira edic¸˜ao do livro-texto . . . 13

27 Capacitˆancia 14 27.1 Quest˜oes . . . 15

27.2.1 Capacitˆancia . . . 16

27.2.2 C´alculo da capacitˆancia . . . 17

27.2.3 Capacitores em paralelo e em s´erie 18 27.2.4 Armazenamento de energia num campo el´etrico . . . 21

27.2.5 Capacitor com um diel´etrico . . 23

27.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss . 24 28 Corrente e Resistência 25 28.1 Questões . . . 25

28.2.1 Corrente el´etrica . . . 25

28.2.2 Densidade de corrente . . . 26

28.2.3 Resistˆencia e resistividade . . . 27

28.2.4 Energia e potˆencia em circuitos el´etricos . . . 29

29 Circuitos El´etricos 31 29.1 Quest˜oes . . . 31

29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 31

29.2.2 Diferenc¸as de potencial . . . 32

29.2.3 Circuitos de malhas m´ultiplas . 34 29.2.4 Instrumentos de medidas el´etricas 37 29.2.5 Circuitos RC . . . 38

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(2)

26 Potencial El´etrico

26.1 Quest˜oes

Q 26-1.

Podemos considerar o potencial da Terra igual a Volts em vez de igual a zero? Que efeito ter´a esta es- colha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b) diferenc¸as de potencial?

Sim. O potencial elétrico num ponto pode assumir qualquer valor. Somente a diferença de potencial é que possui sentido f´ısico determinado. Por razões de como- didade, podemos admitir que o potencial da Terra (ou de qualquer outro referencial eqüipotencial ) seja igual a zero. Qualquer outro valor escolhido também serve, pois o que será fisicamente relevante é a diferença de potencial.

Q 26-2.

O que aconteceria a uma pessoa, de p´e sobre uma plataforma isolada, se o seu potencial fosse aumentado

Volts em relac¸˜ao a Terra?

N˜ao aconteceria nada de grave: como a pessoa est´a isolada, ela apenas teria seu potencial aumentado em

Volts. Mas caso a pessoa resolvesse descer da tal plataforma deveria faze-lo com muito cuidado...

Q 26-3.

Por que o elétron-volt é freq üentemente uma unidade mais convencional para energia do que o joule?

Espac¸o reservado para a SUA resposta...

Q 26-13.

O fato de s´o conhecermos

, num dado ponto torna poss´ıvel o cálculo de neste mesmo ponto? Se não, que informações adicionais são necessárias?

Não. De acordo com a Eq. 26-8, para se calcular uma diferença de potencial, torna-se necessário o conheci- mento de E ao longo de um dado percurso ligando os dois pontos tomados para o cálculo desta diferença de potencial.

Q 26-14.

Na Fig. 26-2 do Halliday, o campo el´etrico

´e maior do lado esquerdo ou do lado direito?

O módulo do campo elétrico pode ser estimado da a razão , onde é a distância entre duas superf´ıcies eqüipotenciais. Note que do lado esquerdo da figura 26-2 a distância entre duas superf´ıcies eqüipoten- ciais é menor do que a distância entre duas superf´ıcies eqüipotenciais do lado direito. Sendo assim, conclu´ımos que o valor de na extremidade esquerda da figura 26-2

´e maior do que na extremidade direita da figura 26-2.

Lembre que é proporcional à densidade de linhas de força (as quais são ortogonais às superf´ıcies eqüipoten- ciais em cada um dos pontos destas superf´ıcies eqüipo- tenciais).

Q 26-24.

Vimos na seção 26-10 que o potencial no interior de um condutor é o mesmo que o da sua superf´ıcie. (a) E no ca- so de um condutor com uma cavidade irregular no seu interior? (b) E no caso da cavidade ter uma pequena

“brecha” ligando-a com o lado de fora? (c) E no caso da cavidade estar fechada mas possuir uma carga puntiforme suspensa no seu interior? Discuta o potencial no interior do material condutor e em diferentes pontos dentro das cavidades.

(a) Teria o mesmo valor .

(b) Se o condutor está isolado e carregado, ter´ıamos igualmente e constante no interior e na superf´ıcie, mas não poder´ıamos determinar o valor numérico da constante.

(c) Idem ao item (b), inclusive dentro da cavidade irre- gular.

A carga puntiforme irá induzir cargas de sinal contrário e de mesmo valor absoluto na superf´ıcie da cavidade e, conseq üentemente, de mesmo valor na superf´ıcie externa do sólido irregular. No sólido, neste caso, devido a presença da carga ^! , o potencial mudará de valor mas ainda será constante e o campo elétrico nulo, pois trata- se de um condutor carregado e isolado.

(3)

26.2 Problemas e Exerc´ıcios

26.2.1 O potencial el´etrico E 26-1.

A diferença de potencial elétrico entre pontos de descarga durante uma determinada tempestade é de #"%$& '

V. Qual é o módulo da variação na energia potencial elétrica de um elétron que se move entre estes pontos?

Use o conceito de potencial e, subseqüentemente, uma conversão de unidades, de Joules para eV, confor- me o Apêndice F, para obter a resposta do livro:

)( *+

,

-$&/.

'

C^01,"%$& '

V⁰

23"4$&/.

65 J

,

2"$78 .

95 J^0:,-/#"<;="4$&

6> eV/J⁰

2 ?$78

> eV^@ ^#" GeV

E 26-2.

Uma bateria de carro de ^8" Volts é capaz de fornecer uma carga de^?A; Ampères^Bhora. (a) Quantos Coulombs de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for des- carregada a^8" Volts, quanta energia estará dispon´ıvel?

(a) Como A C/s, encontramos:

!CDFEG,

?A;

0:,IH -

0GH

3"<;$& J

C

(b) Usando a Eq. 4, encontramos para a energia solici- tada o seguinte valor:

K

!ALH

"A;$&J$7M"

@NH -3"

M J

P 26-3.

Em um relâmpago t´ıpico, a diferença de potencial entre pontos de descarga é cerca de^' V e a quantidade de carga transferida é cerca de^H C. (a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda a carga que foi liberada pudes- se ser usada para acelerar um carro de kg a partir do repouso, qual seria a sua velocidade final? (c) Que quantidade de gelo a ⁵ C seria poss´ıvel derreter se toda a energia liberada pudesse ser usada para este fim? O calor de fusão do gelo éÔPLH ^H ^$78 ^J J/kg.

(a) Usando a Eq. 4, encontramos o seguinte valor para a energia:

(QN!ALH

%$&

'

J

(b) Igualando a energia solicitada no item (a) com a energia cin´etica do carro, encontramos: ^(RTS

UWV=X

"

e, portanto,

V Y " S

U

LZ

ZA[

$&\

m/s

(c) A energia⁽ fornece o calor^] necess´ario para fundir uma certa massa^{^} de gelo. Fazendo^]_QO e usando a Eq. 5 do Cap. 20, encontramos o seguinte valor para a massa^{^} :

^T

(O H

$&

' J

H H

$&

J J/kg

2`8$&

kg

P 26-5.

Quando um elétron se move deâ até^b ao longo da linha de campo elétrico mostrado na Fig. 26-24 (pg. 82), o campo elétrico realiza um trabalho de^H ^{2 ;%$c8} ^. ^' J sobre ele. Quais são as diferenças de potencial elétrico

(a)^dPecgf , (b)^ghceif e (c)^ghceid ?

(a)

d ei

f

e

K

fjd

! 5 ke

H 2A;$78 . '

-%$78

. ' e

"l;-

V Nota: ^!

5

é uma carga-teste positiva e^K ^fjd o trabalho feito pelo campo elétrico. Observe das linhas de cam- po na figura que o pontoâ está mais pr óximo de cargas negativas do que o ponto^b . (O vetor campo E aponta para as cargas negativas.)

(b) A ddp ´e a mesma que a do item anterior.

(c) Zero, pois os pontos^b e^m est˜ao sobre uma equipotencial.

26.2.2 C´alculo do potencial a partir do campo E 26-9.

A densidade de carga de um plano infinito, carregado ´e

n

/oqp C/m^X . Qual é a distância entre as superf´ıcies eqüipotenciais cuja diferença de potencial é de^[ Volts?

De acordo com a Tabela 1, para um plano infinito uniformemente carregado, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao:

L

5 e nsr

" t

5

(4)

Donde se conclui que para duas superf´ıcies eqüipoten- ciais separadas por uma distância ^r , a diferença de energia potencial é dada por:

ke

n

" t

5 r

Portanto considerando apenas o m´odulo de ^r , encontramos a resposta:

r

"At

5

n

?/? [ mm

P 26-11.

O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raioû , com carga espalhada com uniformidade por todo seu volume, está radialmente direcionado e tem módulo dado por

!Mv

;wyx

5 u \

Nesta expressão,^! (positiva ou negativa) é a carga total da esfera eû é a distância ao centro da esfera. (a) To- mando no centro da esfera, determine o potencial

z,vA0 dentro da esfera. (b) Qual ´e a diferenc¸a de poten-

cial el´etrico entre um ponto da superf´ıcie e o centro da esfera? (c) Sendo^! positiva, qual destes dois pontos tem maior potencial?

(a) Como a express˜ao do campo ´e dada, para determinar-se o potencial basta calcular a integral

{,|vA0+eiz,

0}ke~P

5

v e !

;wyx

5 u \

~P

5

vv

e !

? wyx

5 v X

u \

Como^z, ^0} , temos

z,vA0Qe

!

? wyx

5 v X u \

(b) Na superf´ıcie (^vu ) a diferenc¸a de potencial ´e

Lz,uC0+eiz,

0}e

!

?Awyx

5

u

(c) Como a diferenc¸a acima ´e negativa, o centro tem potencial maior.

P 26-12.

Um contador Geiger possui um cilindro met´alico com

"l

cm de diˆametro, tendo estendido ao longo do seu eixo um fio de ^H ^$s8 ^.

cm de diˆametro. Se aplicarmos

? [

V entre eles, calcule o campo el´etrico na superf´ıcie:

(a) do fio e (b) do cilindro. (Sugest˜ao: Use o resultado do Problema 24, Cap. 25.)

Usando o resultado do problema 25-24, pag. 58, encontramos para o campo el´etrico entre o fio e o cilindro a express˜ao ^yl,"<wt

5

vA0 . Usando a Eq. 26-11, pag. 68, encontramos para a diferenc¸a de potencial entre o fio e o cilindro a seguinte express˜ao:

LCeie~

v ~

"<wt

5 v v

"<wt

5|

v8

v

onde ^v8 e ^v8 representam os raios do fio e do cilin- dro, respectivamente. Desta equac¸˜ao obtemos facilmen- te que

s

"<wt

5

}

vM<v8A8

e, portanto, que

,|vA0

"<wt

5 v

%

v

|}

v8MvM<

??/o-A;

Volts

v

Portanto: (a) Na superf´ıcie do fio, temos:

? ?`8-A;

Volts

-/

[

$&

. m

H -

M V/m (b) Na superf´ıcie do cilindro:

??/o- ;

Volts

m

?/?"

kV/m

P 26-13*.

Uma carga^! está uniformemente distribu´ıda através de um volume esférico de raioû . (a) Fazendo no infinito, mostre que o potencial a uma distância ^v do centro, onde^vu , é dado por

!l,Hu

X

e7v X 0

?Awyx

5 u \

(Sugestão: Ver o exemplo 25-7.) (b) Por que este resul- tado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c) Qual a diferença de potencial entre um ponto da su- perf´ıcie e o centro da esfera? (d) Por que este resultado não difere daquele do item (b) do Problema 11?

(a) Forada distribuição de cargas a magnitude do campo elétrico é ^{! l,}^;wyx

5 v X 0 e o potencial ´e

! /,

;wyx

5

vA0 , onde ^v é a distância a partir do centro da distribuição de cargas.

(5)

Dentro da distribuição, usamos uma superf´ıcie Gaussia- na esférica de raio^v concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é normal à superf´ıcie e sua magnitude é uniforme sobre ela, de modo que o fluxo através da superf´ıcie é^{; w} ^v ^X . A carga dentro da Gaussiana é

!Mv

\

Au

\ .

Com isto, a lei de Gauss fornece-nos

; wyx

5 v X

!Mv

\

u \

que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussia- na dado por

!Mv

;wyx

5 u \

Se chamarmos de^g o potencial sobre a superf´ıcie da distribuição de cargas, então o potencial num ponto in- terno localizado a uma distância^v do centro será

geP~P

v

ge

!

; wyx

5 u \

~

v v

e

!Mv

X

?Awyx

5 u \ !

?Awyx

5 u

O valor de^g pode ser encontrado colocando-se^v4¡u na expressão do potencial em pontos fora da distribuição de cargas, o que fornece-nos^{qN! l,} ^{; wyx}

5

uC0. Portanto

!

; wyx

5¢

u e v X

" u \

"

u{£

!

?Awyx

5 u

\¤

Hu

X

e&v X8¥

(b) No Problema 11 o potencial el´etrico foi tomado co- mo sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o zero est´a no infinito.

De acordo com a express˜ao derivada na parte (a), o potencial no centro da esfera ´e ^{{¦H ! l,}^?Awyx

5

uC0. Por- tanto, ^§e¨ ^©eª!Mv ^X ^/,^?Awyx

5 u \ 0, que ´e o resultado encontrado no Problema 11.

(c) A diferenc¸a de potencial ´e

L ec " !

?Awyx

5 u e

H !

?Awyx

5 u e

!

?Awyx

5 u

Este valor ó mesmo dado pela expressão obtida no Pro- blema 11, como não poderia deixar de ser.

(d) Moral da história toda: apenas as diferenças de po- tencial tem significado f´ısico, não importando qual o va- lor do potencial num só ponto. Analogamente ao caso gravitacional, mudar-se o ponto de referência de lugar não altera as diferenças de potencial.

P 26-14*.

Uma casca esférica espessa de carga^] e densidade vo- lumétrica de carga ^« , está limitada pelos raios^v

e^v ^X , onde ^v ^X¬ ^v

. Com no infinito, determine o potencial elétrico em função da distância^v ao centro da distribuição, considerando as regiões (a)^v ^¬ ^v ^X , (b)

v

®v)®v

X , (c)^v®v

. (d) Estas soluc¸˜oes concordam em^vCv ^X e^vNv

? (Sugest˜ao: Ver o exemplo 25-7.)

(a) Para^v ^¬ ^v ^X o campo ´e como o de uma carga puntiforme e o potencial ´e

;wyx

5 ]v

onde o zero do potencial foi tomado no infinito.

(b) Para determinar o potencial no intervalo^v

¯v

v X usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória radial, de^v ^X até^v . A melhor Gaussiana é uma superf´ıcie esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal à superf´ıcie, com magnitude uniforme sobre a superf´ıcie, de modo que o fluxo através da superf´ıcie é ^° ^{; w} ^v ^X

. O volume da casca ´e

;w

,|v

\X

e&v

\

0<H , de modo que a densidade de carga ´e

«

H3]

; w

,v

\X

e&v

\ 0

Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio^v ´e

!

; w

H

,|v

\

e7v

\

0+«%N]

v \ e&v

\

v \X e&v

\

A lei de Gauss fornece-nos

; wyx

5 v X

¨]

v \ e&v

\

v \X e&v

\

donde obtemos a magnitude do campo el´etrico:

]

; wyx

5 v \

e7v

\

v X ,|v

\X

e7v

\ 0

Sendo ^g o potencial elétrico na superf´ıcie externa da casca (^vs±v ^X ), então o potencial a uma distância^v do centro é dado por

geP~

6²

v

ge

]

; wyx

5

v \X e&v

\

~

³²

ve v \

v X v

ge

]

; wyx

5

v \X e&v

\

v X

" e v X

X

" v \

v e v \

v X

(6)

O valor da constante^g na superf´ıcie externa ´e encontrado substituindo-se^v´v ^X na express˜ao para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja,

cµ]4l,

; wyx

5 v X 0. Substituindo-se este valor na express˜ao acima e simplificando-a, obtemos

]

; wyx

5

v \X e&v

\ H v

XX

" e v X

" e v \

v%

Como^«¯H]4

;w

,|v

\

X

e v

\

0F, o potencial pode ser es- crito de uma maneira mais simples e elegante como

«

H x

5q

HAv

XX

" e v X

" e v \

v

(c) O campo el´etrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial ser´a sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superf´ıcie interna da casca.

Escolhendo-se^vNv

no resultado do item (b) e simplificando, encontramos

]

;wyx

5

H,v

XX

e7v X 0

"

,v

\X

e7v

\

0l

ou ainda, em termos da densidade de carga^« ,

«

"Mx

5

,|v

X

e7v X 0

(d) As soluc¸˜oes concordam para^vv

e^vCv ^X .

26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme E 26-19.

Grande parte do material compreendido pelos anéis de Saturno (Fig. 26-27 na terceira edição do Halliday, ou Fig. 26-28 na quarta) tem a forma de minúsculas part´ıculas de poeira cujos raios são da ordem de ⁸ ^.¶

m. Estes pequenos grãos estão numa região que contém um gás ionizado e dilu´ıdo, e adquirem elétrons em excesso. Se o potencial elétrico na superf´ıcie de um grão for de ê ^;3 V, quantos elétrons em excesso foram ad- quiridos?

Usando o resultado do Exemplo 26-3, encontramos para o potencial da esfera a seguinte express˜ao:

!

; wt

5 u

Sendo

o n´umero de el´etrons em excesso, temos^!·

* e, portanto,

; wt

5

Cu

*

"l

Z

?%$& J

el´etrons

P 26-24.

Um campo elétrico de aproximadamente V/m é freq üentemente observado pr óximo à superf´ıcie da Ter- ra. Se este campo fosse realmente constante sobre a superf´ıcie total, qual seria o valor do potencial elétrico num ponto sobre a superf´ıcie? (Veja Exemplo 26-5; suponha no infinito.)

Usando o resultado do Exemplo 26-5, encontramos para o potencial da esfera a seguinte express˜ao: ^µ

! /,

;wt

5

v<0. Usando a Eq. 25-16, verificamos que o cam-

po el´etrico de uma esfera ´e dado por

;wt

5 !

v X

Portanto, usando-se o valor para o raio m´edio da terra

vC -

H=Z

$78

¶ m, dado no Apˆendice C, temos

v

-

H3Z M V

P 26-26.

Uma gota esférica de água tem uma carga de ^H pC e o potencial na sua superf´ıcie é de ^[ V. (a) Calcule o raio da gota. (b) Se duas gotas iguais a esta, com mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para constituir uma

única gota esférica, qual será o potencial na superf´ıcie desta nova gota?

(a) Usando a Eq. 26-12, temos^{´¸! /,}^;wt

5

uC0

[ V, ou seja,

uQ

!

; wt

5

/

[AH

2 mm

(b) O raio^v da nova gota esférica pode ser obtido da ex- pressão^{; w} ^v ^\ ^" ^,^;w û ^\ ⁰

ou seja,^v% ^" ^¹ ^\ û A carga total sobre a nova gota é dada por^" ^! ^-%$c ^. C Supondo que haja uma distribuição uniforme, vemos que o potencial^º procurado é dado por

º " !

; wt

5 v " !

; wt

5 ,"

¹

\

uC0

¨Z 2A; V

(7)

26.2.4 Potencial criado por um dipolo el´etrico P 26-32.

Uma carga puntiforme^!

- * est´a fixa na origem de um sistema de coordenadas retangulares, e uma segunda carga puntiforme^! ^X ^»e ^* est´a fixa em^¼& ^?^- nm,

½

. O lugar geom´etrico de todos os pontos, no plano^¼ ^½ com^¸ , ´e um c´ırculo centrado sobre o eixo

¼ , como mostra a Fig. 26-31. Determine (a) a posic¸˜ao

¼ do centro do c´ırculo e (b) o raioû do c´ırculo. (c) A seção transversal no plano^¼ ^½ da superf´ıcie equipotencial de^[ V também é um c´ırculo?

(a) e (b) As equações que determinam^¼y eû são as seguintes, chamando deâ o ponto emû ^¼ e de^b o ponto emuë&¼, onde o c´ırculo intersecta o eixo^¼ :

;wt

5 f !

u ¼ ! X

¼ X

e®,u¨e7¼ 0

; wt

5 d !

u¨e7¼ ! X

¼ X e®,u

¼ 0

Resolvendo este sistema de equações paraû e ^¼y encontramos

¼¾

! X ¼ X

! X ec!

X

X ,-

*<0 X ,

?- 0

,-

*<0

X

e,³e

*<0

X

e

;?

nm

u ! ! X ¼ X

! X ec!

X

X ,-

*<0:,6e 8

*<0:,

?/- 0

,-

*<0

X

e,³e

*<0

X

?/o nm

(c) Não. A única equipotencial que é um c´ırculo é aque- la para .

P 26-33.

Para a configuração de cargas da Fig. 26-32 abaixo, mostre que^z,v<0 para os pontos sobre o eixo vertical, supondo que^vC¿ é dado por

; wt

5 !v

"

vW

(Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista co- mo a soma de uma carga isolada e um dipolo.)

L

X onde

potencial da carga do centro e ^X potencial do dipolo.

S7!

v¯

X S !

vec

S

eª!

v

S7!

v Ce&v

v X e&

X

NS

"

!<

v X ec

X

L

X

NS

!v "

!<

v X ec

X

Para^v¿À temos, finalmente,

S

!v "

!<

v X

E 26-34.

Temos que, uma cargaêÁ[A! está a uma distância^" de

Â

, uma carga^{eÁ[ !} está a uma distância de^Â , e duas cargas ^{[ !} estão cada uma a uma distância de^Â , de modo que o potencial elétrico em^Â é

!

; wyx

5¢

e [

" e [ [ [

Ã£

Qe [A!

?Awyx

5

O zero do potencial foi tomado como estando no infini- to.

E 26-39.

(a) Toda carga está a mesma distânciaû de ^m , de modo que o potencial elétrico em^m é

; wyx

5N¢

]u e - ]

u £

ke [ ]

;wyx

5 u

onde o zero do potencial foi tomado no infinito.

(b) Toda a carga está a mesma distância ^Ä û ^X ^r ^X de

Â

de modo que o potencial el´etrico ´e

; wyx

5Á¢

]

Ä u X r X e - ]

Ä u X r X £

e

[ ]

; wyx

5 Ä u X r X

(8)

26.2.5 Potencial criado por distribuic¸ ˜ao cont´ınua de cargas

E 26-40.

Um disco de plástico é carregado sobre um lado com uma densidade superficial de cargaⁿ e, a seguir, três quadrantes do disco são retirados. O quadrante que res- ta, é mostrado na Fig. 26-39, pg. 85. Com^´ no infinito, qual é o potencial criado por esse quadrante no ponto

Â

, que est´a sobre o eixo central do disco original, a uma distˆancia^r do centro original?

Como o disco foi uniformemente carregado, isto im- plica que quando o disco completo estava presente cada quadrante contribuia de modo igual para o potencial em

Â

, de modo que o potencial em ^Â devido a um ´unico quadrante ´e igual a um quarto do potencial devido ao disco todo.

Vamos, portanto, determinar o potencial devido ao disco completo.

Consideremos um anel de carga com raio ^v e largu- ra ^v . Sua área é ^"<w ^{v_ v} e ele contém uma carga

3!i

"<w

n

vcv . Toda esta carga est´a a uma distˆancia

Ä v X r X

de

Â

, de modo que o potencial devido a tal anel ´e

3

; wyx

5

"Aw

n

vÅv

Ä v X r X n

vÅv

"Mx

5 Ä v X r X

O potencial total em^Â ´e a soma dos potenciais de todos an´eis:

n

"Mx

5 ~

5

vv

Ä v X r X n

"Mx

5ÃÆ

v X r

X/Ç

ÇÇ

5

n

"Mx

5Á¢Æ u X r X e r £

O potencial^gÈ

, devido a meio quadrante, em^Â ´e

È ; n

?Ax

5Á¢ Æ u X r X e r £

26.2.6 C´alculo do campo a partir do potencial E 26-45.

Na sec¸˜ao 26-8, vimos que o potencial para um ponto sobre o eixo central de um disco carregado era

n

" t

5 Æ u X r X e r

Use a Eq. 26-34 e a simetria para mostrar que para um tal ponto ´e dado por

n

"At

5

e r

Ä u X r X

e

3{,|vA0

v

É

v É

e n

"At

5

v

,I!

X v X 0 ¹

X

e&v

e n

"At

5Á¢

"

,IÊ

X v X 0 .

³¹ X B "

ve £

n

"At

5 e v

,Ê

X v X 0

¹ X

Portanto,

Se ^v¿Ê ^Ë

NS

!

v X

onde ^!C ⁿ ^w ^Ê ^X

Se ^vÌÊ ^Ë

n

"At

5

P 26-48.

(a) Mostre, calculando diretamente a partir da Eq. 26- 25, que o potencial elétrico, num ponto do eixo de um anel carregado, de raioû , é dado por

; wt

5 !

Ä r X u X

(b) Partindo deste resultado, obtenha uma expressão correspondente para , nos pontos axiais, e compare com o resultado do cálculo direto de apresentado na seção 24-6 do Cap. 24.

(a) Seja^Í um elemento de linha do anel. A densidade de carga linear do anel ´e^{7Q! l,}^"<w ^uC0. O potencial

= produzido por um elemento infinitesimal de carga

3!CLgAÍ ´e dado por

=

;wt

5

3!

v

;wt

5

,!

"Aw

uC06 Í

,Iu

X r X 0

³¹ X

O potencial no ponto

Â

considerado ´e dado pela integral

~ 3¯ ~

;wt

5 !

"<w

u

AÍ

,u

X r X 0

³¹ X

Note que ^u e ^r permanecem constantes ao longo do anel, fazendo com que a integral se reduza a

; wt

5

,!

"<w

uC0

,u

X r X 0

¹

X

~ Í

(9)

Como a integral de^Í ´e igual a^ÍÁ ^"Aw ^u , o comprimen- to do anel, obtemos

k

; wt

5 !

,u

X r X 0

¹ X

(b) Analisando a simetria do problema, conclu´ımos que o campo elétrico não possui nenhuma componente or- togonal ao eixo do anel. Portanto, o campo elétrico é orientado ao longo do eixo do anel (para fora do anel), sendo dado por

ke

=

r

;wt

5 ! r

,u

X r X 0\ ¹X

P 26-49.

A barra fina com carga positiva da Fig. 26-42 tem uma densidade linear de carga uniforme e se encontra ao longo de um eixo^¼ como é mostrado. (a) Com^» no infinito, determine o potencial devido à barra no pon- to^Â sobre o eixo^¼ . (b) Use o resultado do item anterior para calcular a componente do campo elétrico em^Â ao longo do eixo^¼ . (c) Use a simetria para determinar a componente do campo elétrico em^Â numa direção perpendicular ao eixo^¼ .

(a) Suponha a origem dos^¼ como sendo a extremidade direita da barra e considere um elemento infinitesimal da barra localizado numa coordenada negativa

¼¨¼gº, com um comprimento^¼gº e contendo uma car-

ga^!CLg¼gº. Sua distˆancia de^Â ´e^¼4eW¼º e o potencial

que tal elemento cria em^Â ´e

=Î

;wyx

5

!

,|¼ze&¼

º0

; wyx

5

g¼gº

,¼{e&¼

º0

Para encontrar o potencial total em

Â

, integramos sobre toda a barra:

; wyx

5 ~ 5

.yÏ

¼ º

¼ze&¼

º e

; wyx

5

ln^,|¼{e7¼ ^º⁰ ^ÇÇÇ5 .yÏ

; wyx

5

ln^¼

O

¼

(b) Encontramos a componente ^¼ do campo elétrico através da derivada do potencial elétrico com respeito a^¼ :

ªÐ

ezÑ

Ñ ¼ ke

; wjwyx

5 Ñ

Ñ ¼

ln^¼

O

¼

e

; wyx

5 ¼

¼ O

¼ e ¼ O

¼ X

; wyx

5 O

¼,|¼

O0

(c) Considere dois pontos a iguais distâncias de ambos lados de ^Â , ao longo da linha que é perpendicular ao eixo^¼ . A diferença no potencial elétrico dividida pela separação dos dois pontos dá a componente transversal do campo elétrico. Como os dois pontos estão situa- dos simetricamente em relação à barra, seus potenciais coincidem sendo, portanto, zero a diferença de potencial. Consequentemente, a componente transversal do campo elétrico também é zero.

P 26-50.

Na Fig. 26-43, uma barra fina de comprimento Ô carregada positivamente, colocada ao longo do eixo ^¼ com uma extremidade na origem ^,|¼Ò ⁰, tem uma distribuição de carga linear dada por ^¨ÔÓ=¼ , onde^Ó

é constante. (a) Considerando o potencial no infinito igual a zero, calcule o valor de no ponto^Â sobre o eixo dos^½ . (b) Determine a componente vertical^ªÕ , da intensidade do campo elétrico em^Â , a partir do resulta- do do item(a), bem como através de um cálculo direto.

(c) Por que n˜ao podemos calcular o componente hori- zontal ( ^Ð ) do campo el´etrico em^Â usando o resultado do item (a)?

(a) Temos que^{3!¨g ¼} e, portanto, que

~ = S ~

!

v

S ~ Ï

5

g¼

,|¼

X ½ X 0

¹

X

SÓ ~ Ï

5

¼g¼

,|¼

X ½ X 0

¹

X

Sabendo que^ÖW®¼ ^X ^½ ^X ,^ÖW ^" ^¼g¼ e que^×ÖØlÖs

ÙMÚ8Û3Ü

ØAÝ

, temos

SÓ

" ~ Ï

5 "

¼g¼

,|¼

X ½ X 0

¹

X

S&Ó

"ßÞ ,¼

X

½lX

0 . Ü² Ý

es

X

N à Ï5

SÓ

,|¼

X ½ X 0 ¹

X Ï

5

SÓ

¢

,O

X ½ X 0

¹

X e ½ £

(10)

(b)

Õ e

½ ),

½ 0

á

eªSÓ7â

"

,O

X ½ X 0 Ü² . B " ½ e :ã

á

SÓ

¢ e ½

,O

X ½ X 0 .

¹ X £

á

O c´alculo direto do m´odulo da componente ^Õ pode ser feito da seguinte maneira:

ÁÕ

LS7Ó ~ Ï

5

¼Áä1åælç

½ X ¼ X

¼

(c) Quando calculamos o potencial ^{,^½ ⁰ no item (a), a variável^¼ foi integrada. Assim, não podemos usar a relação dada por ^*

Ð

èeé

é Ð D para calcular

Ð

. Is- to seria poss´ıvel somente se soub´essemos o potencial

z,¼

½ 0.

26.2.7 Energia potencial el´etrica de um sistema de cargas puntiformes

E 26-52.

Duas cargas^!4 ^"l^$c ^.¶ C estão fixas no espaço, separadas pela distância^{ ^"l cm, como está indica- do na figura abaixo. (a) Qual é o potencial elétrico no ponto^m ? (b) Uma terceira carga^!· ^"/^s$P ^.¶ C

´e trazida lentamente do infinito at´e o ponto^m . Quan- to trabalho foi realizado? (c) Qual a energia potencial

( da configuração quando a terceira carga está no lugar desejado?

(a) A distˆancia^v entre o ponto^m e qualquer uma das duas cargas ´e dada por

v

Y " X " X

Ä "

Como as cargas estão a mesma distância, de acordo com o Princ´ıpio de Superposição, basta calcular o potencial

devido a qualquer uma delas e multiplicar por dois. Por- tanto, o potencial em^m ´e

"%$

¢

;wt

5 ! vy£

"/

[ ;

M Volts

(b) Sabendo-se o potencial no ponto^m fica f´acil calcular o trabalho para deslocar a carga^! ^\ ^,êL!A0 at´e tal ponto:

K

¡(

\

N!

\

gk,

"$78 .y¶

0:,

"l

[

;)$& ¶

0}L[

?

J Alternativamente, usando a técnica indicada no Exem- plo 26-10, encontramos para a energia potencial do conjunto das três cargas a seguinte relação:

(

; wt

5N¢

! X

l Ä " ! X

= Ä " £

! X

; wt

5¢

Ä "

N£

! X

; wt

5 ,

ß"

Ä "

0}@

-/? ? ;

J

Antes de trazer do infinito a terceira carga, a energia potencial inicial do conjunto das duas cargas ´e dado por:

(GëÃ

; wt

5 ! X

v

Substituindo os dados num´ericos, obtemos para a energia potencial inicial ⁽

Z

2? J O trabalho que o agente externo deve realizar para deslocar a terceira carga do infinito até o ponto ^m é numéricamente igual à variação da energia potencial do sistema, ou seja,

K

¡(}eP(GëÃ -/? ? ;

e Z

2?

N[

?-

J (c) A energia potencial do conjunto das trˆes cargas j´a foi calculada no item (b), ou seja,

(4 -??A;

J

E 26-56.

Determine uma expressão para o trabalho necessário para colocarmos as quatro cargas reunidas como está indi- cado na figura abaixo.