C ´alculo de limites por meio de subsequˆencias

1.6.1 lim a

ⁿ¹

= 1

b

Propriedade 63. Seja a >0 ent ˜ao limaⁿ¹ =1.

ê Demonstra ¸c ão. A sequência é decrescente se a > 1, pois de 1 < a mul-tiplicando por aⁿ ambos lados segue aⁿ < aⁿ⁺¹, aⁿ⁺¹¹ < aⁿ¹ e também é limitada inferiormente, por 1 por exemplo, pois de 1 < a elevando a 1

n+1 de ambos lados temos 1< aⁿ¹.

Se 0< a < 1 a sequência é crescente pois a < 1 multiplicando por aⁿ em ambos lados aⁿ⁺¹ < aⁿ, aⁿ¹ < aⁿ⁺¹¹ além disso é limitada superiormente pois de a < 1 elevando a 1

n temos aⁿ¹ <1.

Em qualquer dos casos temos que a sequência é convergente por ser mon ótona e limitada. Logo existe o limite l =limaⁿ¹. Qualquer subsequência deve convergir ao mesmo limite, consideramos ent ão o limite da subsequência

l=lima^(n)(n+1)¹ =lim a⁽ⁿ⁾¹ aⁿ⁺¹¹

= l l =1 logo l=1.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Considere a > 1 escrevemos aⁿ¹ =1+h da´ı h >0 e a= (1+h)ⁿ≥1+nh

que implica a−1

n ≥h e 1+a−1

n ≥1| {z }+h

aⁿ¹

≥1, ent ˜ao tem-se a desigualdade

1+ a−1

n ≥aⁿ¹ ≥1 por teorema do sandu´ıche segue que limaⁿ¹ =1.

1.6.2 lim n

ⁿ¹

= 1

b

Propriedade 64.

limnⁿ¹ =1.

ê Demonstra ¸c ão. Vamos provar que a sequência (xn) com termo dado por xn = nⁿ¹ é decrescente a partir do seu terceiro termo. Tomamos a fun¸c ão f(x) = x^x¹ = e^x¹^lnx, derivando f^′(x) = 1

x²(1 −lnx)x^x¹ , 1 −lnx < 0, 1 < lnx para x > e, pois segue lnx > lne = 1, lnx é fun¸c ão crescente cont´ınua. Ent ão a sequência é decrescente a partir do terceiro termo 3 > e. Outra maneira de demonstrar que a sequência é decrescente a partir do primeiro termo segue de (1+ 1

n)ⁿ < n para n≥3 da´ı (n+1)ⁿ< nⁿ⁺¹ que implica (n+1)ⁿ⁺¹¹ < nⁿ¹.

Ela também é limitada inferiormente por 1, pois n ≥ 1⇒ nⁿ¹ ≥1ⁿ¹ =1. Portanto ela converge para o ´ınfimo do conjunto dos termos da sequência e todas suas sub-sequências devem convergir para o mesmo limite, digamos l, tem-se que l ≥ 1 pela propriedade da sequência, ent ão l̸= 0. Tomamos a subsequência de termos (2n)²ⁿ¹ , segue

l²= (lim(2n)²ⁿ¹ )² =lim(2n)ⁿ¹ =lim 2ⁿ¹ limnⁿ¹ =l logo l² =l que implica l=1, pois n ˜ao pode ser l=0.

Z

Êxemplo ^23. ^{Se 0} < a <1 ent ão limaⁿ =0, pois aⁿ é decrescente limitada inferiormente logo é convergente. limaⁿ⁺¹ = L = a.limaⁿ = aL, se L ̸= 0 ent ão a=1, absurdo, logo L=0.

1.7 Limites infinitos

m

Defini ¸c ão 26 (Limite +infinito). Seja uma sequência (xn). Ent ão limxn =∞ se acontece

∀A >0∃n0 ∈N|n > n0⇒xn > A nesse caso dizemos que xn tende a infinito.

Negar que lim(xn) = ∞ significa que

∃A >0∀n0∈N|∃n > n0 tal quexn< A

isto é, sempre haver á uma infinidade de termos menores que um certo n úmero A.

m

Defini ¸c ˜ao 27 (Limite −infinito). Dizemos que limxn = −∞ ⇔lim−xn =∞.

$

Corol ário 27. Se limxn =∞ ent ão por defini¸c ão(xn) n ão é limitada superior-mente, da mesma maneira se limxn = −∞ ent ão xn n ão é limitada inferiormente .

m

Defini ¸c ão 28 (Sequência Oscilante). Uma sequência (xn) é dita oscilante se ela n ão é convergente, nem vale limxn =∞ ou limxn= −∞.

b

Propriedade 65. Seja (xn) tal que limxn = a ent ˜ao lim(−1)ⁿxn existe sse a=0.

ê Demonstra ¸c ão. Seja ent ão limxn = a considere a sequência (zn) de termo dado por zn = (−1)ⁿxn temos a subsequência de termos pares (z2n) = (x2n) com limite limz2n = limx2n = a e a subsequência de termos ´ımpares (z2n−1) = (−x2n−1) com limite limz2n−1 =lim−x2n−1 = −a para que o limite exista é necess ário e suficiente que a= −a logo 2a=0, a=0.

b

Propriedade 66. Se limxn =a̸=0 ent ˜ao ((−1)ⁿxn) ´e oscilante.

ê Demonstra ¸c ão. (xn) é limitada logo n ão pode valer lim(−1)ⁿxn infinito ou menos infinito, como (xn) converge para um valor n ão nulo, ent ão a sequência é oscilante.

b

Propriedade 67. Se limxn =±∞ ent ˜ao ((−1)ⁿxn) ´e oscilante .

ê Demonstra ¸c ão. Para n > n0 vale xn > A > 0 logo para n par (−1)ⁿxn é positivo e para n ´ımpar tal termo é negativo ent ão a sequência n ão pode tender a infinito, também n ão pode ser convergente pois n ão é limitada.

b

Propriedade 68. limn=∞.

ê Demonstra ¸c ão. Temos que mostrar que para todo A >0 podemos encontrar n0 ∈ N tal que n > n0 implica n > A, isso vale pois os naturais n ão s ão limitados superiormente nos reais.

b

Propriedade 69. Se a >1 ent ˜ao limaⁿ =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Podemos escrever aⁿ = (1+h)ⁿ com 1+h > 1 logo h > 0 e vale a desigualdade de Bernoulli aⁿ = (1+h)ⁿ > 1+nh podemos conseguir assim que 1+nh > A, tomando n0 > A

h −1 e como a > 1 implica aⁿ⁺¹ > aⁿ temos uma sequˆencia crescente logo n > n0 implica aⁿ> A logo limaⁿ =∞.

b

Propriedade 70. Dada uma sequˆencia (xn) n ˜ao-decrescente ilimitada temos que limxn =∞.

ê Demonstra ¸c ão. Se(xn) é uma sequência ilimitada n ão-decrescente ela é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo ent ão ela deve ser ilimitada superiormente, logo podemos tomar A > 0 e vai existir n0 ∈ N tal que xn0 > A e como ela é n ão-decrescente temos que n > n0 implica xn ≥xn0 > A logo temos limxn=∞.

1.7.1 lim √

n = ∞ .

Z

Êxemplo ^24. ^lim^√ⁿ ⁼ ^∞. ^{Temos que} ^√ⁿ é crescente e n ão é limitada superiormente, pois √

A²=A. (√

n) n ão é limitada porém lim

√n

n =lim 1

√n =0.

b

Propriedade 71. Se limxn+p =∞ para algum p natural ent ˜ao limxn =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ n tal que n > n0 implica xn+p > A, a partir de xn0+1+p vale essa desigualdade, ent ˜ao existe n1 =n0+p tal que para n > n1 vale xn > A o que implica limxn =∞.

b

Propriedade 72. Se limxn =∞ ent ˜ao xn ´e limitada inferiormente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se limxn =∞, ent ˜ao ∀A > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0

vale xn > A, tomando A = 1 tem-se que para n > n0 , xn > 1, como existe um n úmero finito de termos possivelmente menores que 1 ent ão a sequência é limitada inferiormente.

1.7.2 lim

∑

k=1

√ 1

n + k = ∞ .

Z

^Exemplo ^25.

lim

∑n

k=1

√ 1

n+k =∞.

Vale

k≤n⇒k+n≤2n⇒√

k+n≤√

2n⇒ 1

√2n ≤ 1

√k+n somando de 1 at´e n segue

√n

2 ≤lim

∑n

k=1

√ 1 n+k

logo por compara¸c ˜ao lim

∑n

k=1

√ 1

n+k =∞.

1.8 Opera ¸c ˜ oes com limites infinitos

b

Propriedade 73 (Crit´erio do inverso). Seja xn > 0 para todo n ∈ N ent ˜ao limxn=0⇔lim 1

=∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se limxn =0 temos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica |xn| < ε, xn < ε, 1

ε < 1 xn

tomando A = 1

ε segue 1 xn

> A logo lim 1

=∞.

Considerando agora lim 1 xn

=∞ temos que para todo A > 0 existe n0∈N tal que para n > n0 vale 1

> A logo 1

A > xn tomando ε = A temos xn < ε, |xn| < ε logo limxn=0.

b

Propriedade 74. Seja z :N→ N com limzn =∞ e limxn =a. Ent ˜ao dada yn :=xzn, vale que limyn=a.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. De limxn = a segue que ∀ ε > 0 existe n0 ∈ N tal que se n > n0 implica

|xn−a|< ε.

2. Como limzn = ∞ ent ˜ao existe n1 tal que se n > n1 implica que zn > n0, da´ı pelo ponto 1, tem-se |xzn −a|< ε para n > n1 e da´ı limxzn =a =limyn, como quer´ıamos demonstrar.

Z

Êxemplo ^26. A sequência dada por z2n+1=n e z2n =1 é sobrejetiva, sendo uma sequência de N em N. Considere xn = 1

n. Vale que yn =xφn n ão converge pois possui subsequência dos ´ımpares convergindo para 0 e subsequência dos pares convergindo para 1.

1.8.1 lim (

1 + 1

√ n )

= ∞

Z

Êxemplo ^27. ^Seja ⁽^xⁿ⁾ uma sequência positiva tal que limnxn =∞, ent ão lim(1+xn)ⁿ =∞.

Pois, pela desigualdade de Bernoulli, temos que (1+xn)ⁿ ≥1+nxn→ ∞. Por

exemplo, tomando xn= 1

em ambos lados e usando produto telesc ´opico tem-se

|xn0+1|(t1)ⁿ⁻ⁿ⁰ <|xn+1|<|xn0+1|(t2)ⁿ⁻ⁿ⁰ tomando a raiz n-´esima

|xn0+1|ⁿ¹(t1)¹⁻

em ambos lados e usando produto telesc ´opico tem-se 0<|xn+1|<|xn0+1|(t2)ⁿ⁻ⁿ⁰

tomando a raiz n-´esima

0<|xn+1|ⁿ¹ <|xn0+1|ⁿ¹(t2)¹⁻

n0 n

para n grande tem-se

0<|xn+1|ⁿ¹ < ε da´ı segue que lim|xn+1|ⁿ¹ =0.

$

Corol ´ario 28. Usando o crit´erio do inverso, temos que se lim|xn+1|

|xn| =∞ ent ˜ao lim√ⁿ

|xn|=∞.

Z

^Exemplo ^28. Provar que lim ⁿ

√(2n)!

Z

^Exemplo ^29. Mostrar que lim ⁿ

√(2n)!

Z

^Exemplo ^30. Mostrar que lim n

√n

da´ı tomando o inverso, temos

Z

^Exemplo ^31. ^{Vale que}

lim

Vamos usar o crit´erio que acabamos de provar, vamos tomar xn =

(m+n tomando o limite tem-se que m

n+1 → 0 com m fixo logo limxn+1

Z

^Exemplo ^32. Mostrar que lim √ⁿ

n! =∞ .

ent ão pelo teorema anterior o limite da raiz n -ésima de tal sequência também

tende a zero, isto ´e

lim 1

√n

n! →0, pelo crit´erio do inverso segue que lim√ⁿ

n! =∞.

Z

^Exemplo ^35. Mostrar que lim

b

Propriedade 76 (Critério de compara¸c ão). Sejam duas sequências (xn) e (yn) e um n úmero natural n0 tal que se para n > n0 vale xn ≥ yn e limyn =∞

b

Propriedade 77. Se limxn = ∞ e (yn) ´e limitada inferiormente ent ˜ao limxn+yn=∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Com (yn) limitada inferiormente tem-se B ∈ R tal que yn > B e como temos limxn =∞ vale para todo A > 0 existe n0∈N tal que n > n0

⇒xn > A logo de yn > B somando xn tem-se xn+yn> B+xn e de xn> A somando B segue xn +B > A+B logo xn +yn > A +B para todo C > 0 podemos tomar A+B=C assim limxn+yn=∞.

$

Corol ário 29. Se limyn =∞ e limxn = ∞ ent ão limxn+yn = ∞, pois yn é limitada inferiormente.

$

Corol ´ario 30.

lim 1

n+n=∞ pois 1

n ´e limitada inferiormente e n→ ∞.

$

Corol ário 31. Se (yn) é uma sequência convergente e limxn = ∞ ent ão limxn+yn =∞, pois (yn) sendo convergente, ela é limitada logo limitada inferi-ormente.

b

Propriedade 78. Se limxn = ∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n∈N ent ˜ao limxnyn=∞.

ê Demonstra ¸c ão. Se limxn = ∞ ent ão ∀A > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A e se existe c > 0 tal que yn > c para todo n natural ent ão para n > n0 , xn > 0 logo yn.xn > c.xn e de xn > A segue xn.c > Ac assim xnyn > Ac podemos tomar ent ão A= B

c com B >0 arbitr ´ario donde segue xnyn> B logo limxnyn =∞.

$

Corol ´ario 32. Se limxn =∞ e limyn =∞ ent ˜ao limxn.yn=∞.

$

Corol ´ario 33. Se limxn = ∞ e b > 0 uma constante ent ˜ao limbxn = ∞. Podemos tomar yn =b para todo n na propriedade anterior e como b > 0 existe 0< c < b da´ı a propriedade segue.

b

Propriedade 79. Seja b >0 real, se limxn=∞ ent ˜ao lim(xn)^b =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se limxn=∞ ent ˜ao

∀B >0∃n0 ∈N|n > n0⇒xn > B

tomando B =A^b¹, ent ão xn > A^b¹ da´ı (xn)^b > A com A arbitr ário, logo a sequência tende a infinito.

b

Propriedade 80. Se liman =∞ e an >0∀ n∈N ent ˜ao lim

∑n

k=1

n =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

∀ A >0 ∃n0 ∈N tal que para n > n0 tem-se an >2A ent ˜ao para n >2n0 ( que implica n−n0

n > 1 2) vale

∑n k=1

n ≥

∑n k=n0+1

n =2An−n0

n ≥ 2A

2 =A logo

lim

∑n k=1

n =∞.

$

Corol ário 34. Se limxn =∞ e n ão vale xn >0∀ n∈N ent ão a propriedade

tamb´em vale pois existe n0 ∈N tal que para n > n0 tem-se xn >0 , da´ı

assim se define uma nova sequˆencia(xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior .

com yn>0 dividimos por esse valor t1

tomando o limite em ambos lados tem-se por sandu´ıche 1≤ limxn

1.8.8 lim ln(n + 1) ln(n) = 1.

$

Corol ´ario 35. limln(n+1)

ln(n) =1 pois limln(n+1) −ln(n) = 0 e limln(n) =∞.

Poder´ıamos argumentar apenas que (limln(n +1) − ln(n)) ´e limitada sem mostrar que converge da seguinte maneira:(ln(n+1) −ln(n)) ´e limitada pois vale 0<ln(1+ 1

n)<1+ 1

n com 1+ 1

n limitada.

Outra maneira ´e considerar ln(n+1)

ln(n) −1= ln(n+1) −ln(n)

ln(n) = ln(1+ _n¹) ln(n)

como o numerador ´e limitado e o denominador tende ao infinito o limite ´e nulo limln(n+1)

ln(n) −1=0⇒limln(n+1) ln(n) =1.

Z

Êxemplo ^36. O limite lim(xn−yn) pode existir, porém n ão vale lim xn

=1, tome por exemplo xn = 2

n, yn= 1

n, vale lim(xn−yn) =lim 1

n =0 e limxn

=lim 2

nn=2.

Z

Êxemplo ^37. ^Se ^(xⁿ⁾ é limitada e limyn =∞ n ão podemos concluir nada sobre limxn.yn , pode ser infinito xn = 1, pode ser − infinito, com xn = −1, o limite pode existir como xn = 1

n e yn =n, ou pode n ˜ao existir com xn = (−1)ⁿ.

Z

Êxemplo ^38. ^Se ^(x^k⁾ é limitada ent ão (xk) (C,1) é convergente?

b

Propriedade 83. Se limxn =∞ e a >0 ent ˜ao lim√

ln(xn+a−√

ln(xn=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

√ln(xn+a−√

ln(xn = ln(xn+a) −ln(xn)

√ln(xn+a+√ ln(xn

o denominador ln(1+ a xn

)<1+ a

xn →1 logo o numerador é limitado e o numerador tende ao infinito, ent ão o limite é nulo.

b

Propriedade 84. Seja f:N→N injetora ent ˜ao limf(n) = ∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos mostrar que

∀n0∈N∃n1∈N|n > n1⇒f(n)> n0.

Seja An0 ={n∈N|f(n)≤n0} tal conjunto tem no m áximo n0 elementos, pois se tivesse mais de n0 ent ão f n ão seria injetiva , pois ter´ıamos n1,· · · , nn0 tais que

f(n1) =1, f(n2) = 2, · · · , f(nn0) =n0

se houvesse mais algum nt com f(nt) igual a algum desses valores acima, ter´ıamos f(nt) =f(ns) com nt ̸=ns e da´ı a fun¸c ão n ão seria injetora, observe que os valores de An0 s ó podem ser 1, 2, · · · , n0. Se An0 é vazio tomamos n1 = 1, da´ı para n > 1 vale f(n)> n0, se n ão for vazio, tomamos n1=max{An0}, que pode ser tomado, pois todo conjunto finito tem um m áximo, da´ı para n > n1 tem-se f(n) > n0, pois se existisse n2 > n1 tal que f(n2)≤ n0 entraria em contradi¸c ão com o fato de n1 ser o m áximo desses valores, da´ı segue que limf(n) =∞.

Z

Êxemplo ^39. ^Se ^f^:^N^→^N é sobrejetora ent ão pode n ão valer limf(n) = ∞, como por exemplo a sequência

(1,2,1,3,1,4,· · ·)

em que se tem subsequˆencia de termo yn =n e xn =1 alternadas.

b

Propriedade 85. Se limxn =a ent ˜ao limxf(n)=a onde f:N→N ´e injetora.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como limxn =a ent ˜ao para todo ε >0 existe n1 ∈Ntal que n > n1 implica |xn−a|< ε. Pelo fato de f(n)→ ∞, existe n2 ∈N tal que n > n2+n1

implica f(n)> n1 da´ı |xf(n)−a|< ε.

1.9 Limites e desigualdades

b

Propriedade 86 (Permanência de sinal I). Se limxn=bcom b >0 ent ão no m áximo uma quantidade finita de termos dessa sequência pode n ão ser positiva, isto é, existe n0∈N tal que para n > n0 vale xn >0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como limxn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos |xn−b|< ε, xn ∈(b−ε, b+ε) tomando ε= b

2 temos b−ε=b−b 2 = 2b−b

2 = b

2 e b+ ε = b+ b

2 = 3b

2 logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈(b

2,3b

2 ) logo xn ´e positivo.

b

Propriedade 87 (Permanência de sinal II). Se limxn=bcomb <0 ent ão no m áximo uma quantidade finita de termos dessa sequência pode n ão ser negativa, isto é, existe n0∈N tal que para n > n0 vale xn <0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como limxn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos |xn−b|< ε, xn ∈(b−ε, b+ε) tomando ε= b

2 existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈(b

2,3b

2 ) logo xn ´e negativo.

$

Corol ário 36. Seja (xn) uma sequência com limxn =a e b∈R tal que a > b ent ão existe n0∈N tal que xn > b para qualquer n > n0.

Consideramos a sequˆencia (xn−b) ela tem limite lim(xn−b) = limxn−b =

a−b >0 pela permanˆencia de sinal existe n0 tal que para n > n0 vale xn−b >0 logo xn > b.

$

Corol ´ario 37. Se limxn < b ent ˜ao xn < b para n suficientemente grande.

Sendo limxn =a < b ent ˜ao limxn−b=a−b <0, da´ı por permanˆencia de sinal segue que para n suficientemente grande tem-se xn−b <0, xn < b.

Outra demonstra¸c ˜ao pode ser feita assim:

Se limxn=a < b, ent ˜ao 0< b−a, tomando ε < b−a segue que

∃n0 ∈N|n > n0 ⇒ xn ∈(a−ε, a+ε) por´em a+ε < b, da´ı xn < a+ε < b.

$

Corol ´ario 38. Sejam (xn),(yn) duas sequˆencias com limxn =a e limyn = b.

Se b > a ent ão existe n0 ∈Ntal que yn > xn para qualquer n > n0.Considerando a sequência (xn−yn) ela tem limite limxn−yn=b−a >0 logo pela permanência de sinal existe n0 ∈N tal que para n > n0 vale xn−yn >0, xn > yn .

b

Propriedade 88. Se limxn = 0 e existe t ∈ N tal que xt > 0 , ent ˜ao {xn} possui m ´aximo.

ê Demonstra ¸c ão. Vale xt > 0, da´ı tomamos ε > 0 tal que ε < xt, ent ão para n > n0 > t vale xn ∈ (−ε, ε), o conjunto A = {xn, n ≤ n0}, possui m áximo por ser finito e o m áximo xs dele satisfaz xs ≥xn para n≤n0 por constru¸c ão e xs ≥xn para n > n0, pois xs ≥xt > ε > xn nessas condi¸c ões.

Generalizando a propriedade anterior

b

Propriedade 89. Se limxn = a e existe t ∈ N tal que xt > a , ent ˜ao {xn} possui m ´aximo.

ê Demonstra ¸c ão. Valext> a, da´ı tomamos ε >0 tal queε < xt−a, ent ão para n > n0 > t vale xn ∈(a−ε, a+ε), o conjunto A ={xn, n ≤n0}, possui m áximo por

ser finito e o m ´aximo xs dele satisfaz xs ≥xn para n ≤n0 por constru¸c ˜ao e xs ≥ xn

para n > n0, pois xs ≥xt> a+ε > xn nessas condi¸c ˜oes.

b

Propriedade 90. Se limxn = a e existe t ∈ N tal que xt < a , ent ˜ao {xn} possui m´ınimo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos ε >0 tal que ε < a−xt da´ı existe n0 ∈N tal que para n > n0 > t vale xn ∈ (a−ε, a+ε) dai tomamos xs = min{xn | n ≤ n0}, vale xn ≥ xs para todo n, pois para n≤ n0 isso vale por defini¸c ˜ao e para n > n0 tem-se xs ≥xt≥xn.

$

Corol ário 39. Se uma sequência é convergente e possui um ponto à direita do seu limite ent ão ela possui m áximo, se ela possui um ponto a esquerda do seu limite ent ão ela possui um m´ınimo. Se ela for constante ela possui m áximo e m´ınimo. Ent ão em qualquer caso uma sequência convergente possui m áximo ou m´ınimo.

$

Corol ário 40. Se uma sequência n ão possui m áximo ou m´ınimo ela é diver-gente.

b

Propriedade 91. Se existe n0 ∈ N tal que para n > n0 temos xn ≥ 0 e limxn =a ent ão a≥ 0. Esta propriedade diz que se a sequência tem no m áximo um n úmero finito de termos negativos (esse n úmero podendo ser zero) ent ão seu limite quando existe n ão pode ser negativo.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha quea < 0 ent ão existir ão n1∈N e ε= −a

2 >0 tal que para n > n1 temos xn ∈ (a−ε, a+ε) , nesse caso temos xn < 0 mas por hip ótese temos que para n > n0 , xn ≥ 0 o que contradiz a hip ótese, pois podemos tomar n2 > n1, n0 e ter´ıamos xn2 ≥0 (pela hip ótese ) e xn2 <0 (pela condi¸c ão de a < 0) o que é um absurdo logo temos que a≥0.

$

Corol ário 41. Um sequência de n úmeros n ão-negativos n ão pode ter limite negativo. No caso de uma sequência de n úmeros n ão-negativos temos xn ≥ 0 para todo n.

1.9.1 O limite preserva desigualdades

b

Propriedade 92 (Limite preserva desigualdade). Se (xn) e (yn) s ˜ao conver-gentes e satisfazem yn≥xn para todo n > n0 ent ˜ao limyn≥limxn.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos zn = yn−zn, vale para n > n0 que zn ≥ 0, (zn)

é convergente por ser subtra¸c ão de sequências convergentes logo limzn = limyn− limxn≥0 e da´ı limyn ≥limxn.

b

Propriedade 93. Se limxn =a,limyn =b e |xn−yn|≥ε para todo n, ent ˜ao

|a−b|≥ε.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha por absurdo que |a| {z }−b|

=ε1

< ε e |yn−xn|≥ε.Podemos tomar n > n0 tal que |yn−b|< ε2 e |xn−a|< ε3 onde ε1+ε2+ε3< ε, que pode ser feito, pois basta tomar ε2+ε3< ε| {z }−ε1

logo

|yn−xn|≤|yn−b|+|b−a|+|xn−a|< ε1+ε2+ε3 =ε que contradiz |yn−xn|≥ε.

b

Propriedade 94. Se g:A→R é limitada numa vizinhan¸ca de ae limxn=a (com xn ∈A ) ent ão a sequência (g(xn)) é limitada.

ê Demonstra ¸c ão. Como g é limitada numa vizinhan¸ca de a ent ão existe ε > 0 tal que para x∈(a−ε, a+ε)∩A vale |g(x)|≤M.Por termos limxn =a, ent ão existe n0 ∈N tal que n > n0 implica xn ∈(a−ε, a+ε), logo vale |g(xn)|≤M.

No documento Anota¸c˜oes sobre sequˆencias (páginas 48-66)