Rodrigo Carlos Silva de Lima
‡rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1 Sequˆencias 5
1.1 Defini¸c ˜ao e propriedades b ´asicas . . . . 5
1.2 Opera¸c ˜oes com sequˆencias . . . . 6
1.2.1 Defini¸c ˜ao de subsequˆencia . . . . 11
1.3 Limites de sequˆencias . . . . 16
1.3.1 Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos . . . . 16
1.3.2 Defini¸c ˜ao de sequˆencia peri ´odica . . . . 19
1.3.3 Valores de aderˆencia . . . . 22
1.4 Sequˆencias mon ´otonas. . . . 24
1.4.1 Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente . . . . 24
1.4.2 √ a+ √ a+√ a+· · · Ra´ızes encaixadas . . . . 26
1.4.3 lim bn =0, |an|< c⇒ limanbn =0. . . . . 28
1.4.4 A sequˆencia ( 1+ 1 n )n . . . . . 29
1.4.5 √ x √ x √ x√ x· · · . . . . 34
1.4.6 Limite do m ´odulo de uma sequˆencia. . . . . 37
1.4.7 Estudo da sequˆencia (an). . . . . 37
1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . . 38
1.5.1 Limite da soma . . . . 38
1.5.2 Limite do produto . . . . 39
1.5.3 Limite do quociente . . . . 41
1.5.4 lim√p (xn). . . . . 43
1.5.5 Se N= ∪p k=1 Nk e lim n∈Nk xn =a ent ˜ao limxn =a. . . . . 47
1.6 C ´alculo de limites por meio de subsequˆencias . . . . 48 3
1.6.1 liman1 =1 . . . . 48 1.6.2 limnn1 =1 . . . . 49 1.7 Limites infinitos . . . . 49
1.7.1 lim√
n=∞. . . . . 51 1.7.2 lim
∑n
k=1
√ 1
n+k =∞. . . . . 52 1.8 Opera¸c ˜oes com limites infinitos . . . . 52
1.8.1 lim (
1+ 1
√n )n
=∞ . . . . 53 1.8.2 Se lim|xn+1|
|xn| =L ent ˜ao lim√n
|xn|=L. . . . . 54 1.8.3 lim n
√(2n)!
n!nn = 4
e. . . . . 55 1.8.4 lim
n→∞
(m+n n
)n1
=1 . . . . 56 1.8.5 lim√n
n! =∞ . . . . 56
1.8.6 lim 1
√n+1+√
n =lim√
n+1−√
n=0 . . . . 57 1.8.7 limln(n+1) −ln(n) = 0 . . . . 60 1.8.8 limln(n+1)
ln(n) =1. . . . . 61 1.9 Limites e desigualdades . . . . 63 1.9.1 O limite preserva desigualdades. . . . 66
Sequˆencias
1.1 Defini ¸c ˜ ao e propriedades b ´asicas
m
Defini ¸c ˜ao 1 (Sequˆencia finita ou n-upla). Uma sequˆencia finita ´e uma fun¸c ˜ao x : In → B, onde In = {1, . . . n} e B ´e um conjunto qualquer, podemos denotar a sequˆencia como (xk)n1.m
Defini ¸c ˜ao 2 (Sequˆencia vazia). E uma sequˆencia sem elementos denotada´ por () que consideraremos tamb´em como uma sequˆencia finita.m
Defini ¸c ˜ao 3 (Sequˆencia). Come¸caremos com uma sequˆencia em um corpo qualquer e depois trataremos de sequˆencias onde o corpo ´e o corpo dos n ´umeros reais. Uma sequˆencia com elementos em um corpo K ´e uma fun¸c ˜ao X : N → K. xn ´e chamado n-´esimo termo da sequˆencia e podemos denotar a sequˆencia das seguintes maneiras(x1, . . . , xn, . . .) = (xn)n∈N= (xn) = {xn}.
Tal defini¸c ˜ao pode ser feita tomando um conjunto qualquer B no lugar do corpo
5
K, nesse caso podemos ter sequˆencia de elementos arbitr ´arios.
Em nossa apresenta¸c ˜ao escolhemos come¸car a sequˆencia do termo x1 pois associamos a ele normalmente o primeiro termo.
Usaremos a nota¸c ˜ao x(N) = {x1, . . . , xn, . . .} = {xn|n ∈ N} para simbolizar o conjunto dos termos da sequˆencia. ´e preciso tomar cuidado para n ˜ao confundir o conjunto de termos da sequˆencia com a representa¸c ˜ao da sequˆencias atrav´es da upla. Se a sequˆencia for injetiva, isto ´e, xm =xn implicar n =m, diremos que ´e uma sequˆencia de termos dois a dois distintos. Em (xn), n ´e chamado de ´ındice da sequˆencia. Dizemos tamb´em que em (xn), xn ´e o termo de ordem n ou ´e o n-´esimo termo da sequˆencia.
m
Defini ¸c ˜ao 4 (Sucessores e antecessores). Dado o termo xs em uma sequˆencia (xn), os termos xp tais que p > s s ˜ao ditos sucessores de xs na sequˆencia (xn) se s > 1 ent ˜ao os termos xp tal que p < s s ˜ao ditos antecessores de xs na sequˆencia (xn).1.2 Opera ¸c ˜ oes com sequˆencias
m
Defini ¸c ˜ao 5 (Igualdade de sequˆencias). Duas sequˆencias (ak) e (bk) s ˜ao iguais, quando ak=bk para todo k∈N(ak) = (bk)
, isto ´e duas sequˆencias s ˜ao iguais quando seus termos de ´ındices iguais, s ˜ao iguais.
m
Defini ¸c ˜ao 6 (Adi¸c ˜ao de sequˆencias). Sejam sequˆencias(an) e (bn), definimosa adi¸c ˜ao como uma outra sequˆencia (cn)
(an) + (bn) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pela adi¸c ˜ao de an e bn, cn=an+bn.
m
Defini ¸c ˜ao 7 (Produto de sequˆencias). Sejam sequˆencias(an)e(bn), definimos o produto, como(an)(bn) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pelo produto dos termos bn e an, cn =anbn.
Propriedades da adi ¸c ˜ao
Sejam (an),(bn),(cn) sequˆencias quaisquer no corpo K, a adi¸c ˜ao e o produto de sequˆencias gozam das seguintes propriedades
b
Propriedade 1(Elemento neutro). O elemento neutro da adi¸c ˜ao de sequˆencias´e a sequˆencia onde todos termos s ˜ao nulos (cn) = (0)
onde cn =0 ∀n∈N1. E temos a propriedade, sendo (an)uma sequˆencia qualquer, temos a propriedade
(an) + (0) = (an+0) = (an).
Pois o corpo k possui elemento neutro da adi¸c ˜ao. Temos um elemento neutro do produto que ´e (1) a sequˆencia constante formada pelo n ´umero 1, e temos a propriedade
(an)(1) = (an.1) = (an).
Pois 1 ´e o elemento neutro do produto no corpo K
b
Propriedade 2 (Comutatividade). Temos as propriedades(cn) + (bn) = (cn+bn) = (bn+cn) = (bn) + (cn) (cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn)
pela propriedade da adi¸c ˜ao e o produto serem comutativos no corpo k.
b
Propriedade 3 (Associatividade).[(cn) + (bn)] + (an) = (cn+bn) + (an) = (cn+bn+an) = (cn) + [(bn+an)]
[(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)]
pela associatividade no corpo K.
b
Propriedade 4 (Existˆencia de inverso). Para a sequˆencia (an) existe a sequˆencia (−an), tal que(an) + (−an) = (an−an) = (0)
a soma das sequˆencias ´e a sequˆencia nula. Se an ̸= 0 para todo n, existe a−1n e temos a sequˆencia dos inversos (a−1n ) onde temos a propriedade
(an).(a−1n ) = (an.a−1n ) = (1).
b
Propriedade 5 (Existˆencia de divisores de zero). Dadas duas sequˆencias n ˜ao nulas (xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequˆencia nula.ê Demonstra ¸c ˜ao. Considere (xn) dada por xn =0 se n par e xn =1 se n ´ımpar, (yn) tal que yn = 0 se n ´ımpar yn = 1 se n par, ent ˜ao (xn)(yn) = (0) e nenhuma delas ´e a sequˆencia nula.
$
Corol ´ario 1. Com isso conclu´ımos que o conjunto das sequˆencias munido da adi¸c ˜ao e multiplica¸c ˜ao que definimos , n ˜ao ´e um corpo, pois em corpos n ˜ao existem divisores de zero.b
Propriedade 6 (Distributividade).(an)[(cn)+(bn)] = (an)(cn+bn) = (ancn+anbn) = (ancn)+(anbn) = (an)(cn)+(an)(bn) pela distributividade no corpo K.
m
Defini ¸c ˜ao 8 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequˆencia (an) e um elemento r do corpo K, definimos o produto da sequˆencia por r como uma outra sequˆencia (cn)r(an) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pelo produto do termo an e r, cn =an.r.
b
Propriedade 7 (Distributividade). Sendo r e p∈k, temos(r+p)(an) = (ran+pan) = (ran) + (pan) = r(an) +p(an).
r[(an) + (bn)] = r(an+bn) = (ran+rbn) = r(an) +r(bn).
b
Propriedade 8 (Multiplica¸c ˜ao por 1).1.(an) = (1.an) = (an).
b
Propriedade 9. c e d no corpo K temosc[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an)
Com as propriedades de adi¸c ˜ao e produto por escalar (que no caso s ˜ao elementos do corpo K), as sequˆencias em um corpo k, formam um espa¸c o vetorial. Este espa¸c o vetorial de sequˆencias ser ´a simbolizado por K∞, em especial se o corpo for o corpo dos n ´umeros reais R, teremos o espa¸c o vetorial R∞ que s ˜ao sequˆencias de n ´umeros reais.
b
Propriedade 10. Seja, s um n ´umero natural maior que 1 , as sequˆencias (xn) com xn = 0 para n ≥ s e outros termos livres em K formam um subespa¸c o vetorial de K∞. Em termos de upla escrevemos(
xk|s−11 , xk|∞s
)
= (
xk|s−11 ,0|∞s
)
= (x1, . . . , xs−1,0, . . .).
ê Demonstra ¸c ˜ao. A sequˆencia (0) pertence a sequˆencia (xn), pois basta tomar xn = 0 para n < s, pela defini¸c ˜ao da sequˆencia (xn) vamos ter xn = 0 para n ≥ s.
Escrevendo com nota¸c ˜ao de upla (
xk
∞
1
)
abrindo, temos (
xk
∞
1
)
= (
xk
s−1
1
, xk
∞
s
)
para que seja a sequˆencia zera basta tomar xk=0 para k de 1 at´e s−1, pois a partir de s, todos s ˜ao zero.
Sejam agora duas sequˆencias (an) e (bn) com as propriedades da hip ´otese, vamos demonstrar a soma continua tendo as propriedades que queremos. Escrevendo como upla, temos
(an) + (bn) = (
ak
s−1
1
,0 ∞
s
) +
( bk
s−1
1
,0 ∞
s
)
= (
ak+bk
s−1
1
,0 ∞
s
) . logo a adi¸c ˜ao ´e fechada.
Agora seja a um elemento do corpo K e uma sequˆencia (xn) com as propriedades da hip ´otese, vamos mostrar que o produto continua sendo uma sequˆencia com a propriedade que queremos
a (
ak
s−1
1
,0 ∞
s
)
= (
a.ak
s−1
1
,0 ∞
s
) .
que ´e do tipo que desejamos. Assim demonstrada essas trˆes propriedades temos que tais sequˆencias s ˜ao subespa¸c o de K∞.
1.2.1 Defini ¸c ˜ ao de subsequˆencia
m
Defini ¸c ˜ao 9 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia (xn)n∈N′ de uma sequˆencia (xn) ´e a restri¸c ˜ao da sequˆencia xn : N → R a um subconjunto infinito N′ de N, isto ´e, (xn)n∈N′ ´e a fun¸c ˜ao xn:N′ →R, onde N′ ⊂N ´e um conjunto infinito .Vamos analisar agora o caso onde o corpo K ´e o corpo dos n ´umeros reais.
m
Defini ¸c ˜ao 10 (Sequˆencia limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existem a e b reais tais que xn ∈ [a, b] ∀ n ∈ N, isto ´e, sempre vale a ≤ xn ≤ b . Todo intervalo [a, b] est ´a contido num intervalo do tipo [−c, c], com c > 0 (intervalo sim´etrico). Para ver isto, basta tomar c = max{|a|,|b|}, pois c ≥ b e c≥−a da´ı a≥−c e portanto,−c≤xn ≤c⇔|xn|≤c,
assim podemos ver que uma sequˆencia (xn) ´e limitada ⇔ existe c >0 real, tal que |xn|≤c para todo n∈N, Da´ı resulta que (xn) ´e limitada ⇔ (|xn|) ´e limitada.
b
Propriedade 11. A soma finita de sequˆencias limitada ´e uma sequˆencia limitada.ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos nota¸c ˜ao xp(k) para simbolizar o k-´esimo termo da p-´esima sequˆencia, como cada uma das n sequˆencias ´e limitada ent ˜ao para cada p existe uma constante Mp >0, tal que |xp(k)|≤Mp para todo k∈N. Somando sobre p tem-se
|
∑n
p=1
xp(k)|≤
∑n
p=1
|xp(k)|≤
∑n
p=1
Mp
logo a sequˆencia dada pela soma ´e limitada.
b
Propriedade 12. O produto de sequˆencias limitadas ´e uma sequˆencia limi- tada.ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos a mesma nota¸c ˜ao da propriedade anterior. Vale
|xp(k)|≤Mp da´ı podemos tomar o produto com p variando
∏n
p=1
|xp(k)|=|
∏n
p=1
xp(k)|≤
∏n
p=1
Mp
de onde segue o resultado.
m
Defini ¸c ˜ao 11 (Sequˆencia ilimitada). Quando uma sequˆencia n ˜ao ´e limitada, diz-se que ela ´e ilimitada.m
Defini ¸c ˜ao 12 (Sequˆencia limitada superiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada superiormente, quando existe b ∈ R, tal que xn ≤ b para todo n ∈ N1, isto ´e, todos elementos pertencem ao intervalo (−∞, b].m
Defini ¸c ˜ao 13 (Sequˆencia limitada inferiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada inferiormente, quando existe b ∈ R , tal que b ≤ xn para todo n ∈ N1, isto ´e, todos termos da sequˆencia pertencem ao intervalo [b,∞).$
Corol ´ario 2. Uma sequˆencia ´e limitada sse ´e limitada superiormente e infe- riormente. Se a sequˆencia for limitada ent ˜ao todos seus termos pertencem a um intervalo fechado [a, b], logo temos sempre a≤xn≤b, de onde segue que xn ≤b logo ´e limitada superiormente e a≤xn logo limitada inferiormente. Agora se ela´e limitada inferiormente e superiormente temosa, b tais que a≤xn e xn ≤b logo xn∈[a, b] para todo n.
$
Corol ´ario 3. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada. Se a sequˆencia ´e limitada ent ˜ao temos que xn ∈ [a, b]∀n ∈ N1 em especial temostamb´em que xn ∈[a, b]∀n∈N′ pois N′ ´e um subconjunto de N.
m
Defini ¸c ˜ao 14 (Sequˆencias crescentes e n ˜ao-decrescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e crescente, quando temos xn+1 > xn, para todo n ∈ N1. Podemos escrever da seguinte forma xn+1−xn > 0, usando o operador delta, ∆xn > 0, logo uma sequˆencia ´e crescente, quando ∆xn>0 para todo n.Uma sequˆencia (xn) ´e n ˜ao-decrescente, quando temos xn+1 ≥ xn para todo n ∈N1, que podemos escrever ∆xn ≥ 0. As sequˆencias crescentes s ˜ao sequˆencias n ˜ao-decrescentes, pois satisfazem xn ≥ 0 mas as n ˜ao-decrescentes em geral n ˜ao s ˜ao crescentes.
m
Defini ¸c ˜ao 15 (Sequˆencias decrescentes e n ˜ao-crescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e decrescente quando temos xn > xn+1 para todo n∈N1, que pode ser escrito como 0> xn+1−xn e usando novamente o operador delta, 0> ∆xn ou ∆xn<0.Uma sequˆencia (xn) ´e n ˜ao-crescente, quando temosxn+1≤xn para todo n∈N1, e usando o operador, escrevemos ∆xn ≤0.Da mesma maneira que nas sequˆencias crescentes, as sequˆencias decrescentes s ˜ao sequˆencias n ˜ao-crescentes pois satis- fazem ∆xn ≤ 0, por´em as sequˆencias n ˜ao-crescentes n ˜ao s ˜ao necessariamente decrescentes.
b
Propriedade 13. Toda sequˆencia n ˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente e toda n ˜ao-crescente ´e limitada inferiormente.ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que vale ∆xk ≥0 para todo k∈N1 vamos mostrar que a sequˆencia n ˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo x1, para isso temos que mostrar que xn ≥ x1 para qualquer n ∈ N1, como temos que vale
∆xk≥0 para todo k∈N1, tomamos o somat ´orio com k em [1, n−1]
∑n−1
k=1
∆xk=xk
n
1
=xn−x1≥0
pois ´e uma soma de n ´umeros n ˜ao negativos, logo vale xn ≥x1. O mesmo argumento para uma sequˆencia crescente, nela vale∆xk>0 aplicando a soma em[0.n−1]temos
∑n−1
k=1
∆xk=xn−x1>0
pois ´e soma de termos maiores que zero, implicando xn > x1 para n > 1. Agora toda sequˆencia n ˜ao-crescente ´e limitada superiormente pelo seu primeiro termo, pois temos ∆xk≤0 e aplicando a soma em [1, n−1] temos
∑n−1
k=1
∆xk=xn−x1≤0
logo xn ≤x1 sendo o mesmo v ´alido para sequˆencias decrescentes ∆xk <0
∑n−1
k=1
∆xk=xn−x1<0 logo xn < x1.
m
Defini ¸c ˜ao 16 (Sequˆencias mon ´otonas). sequˆencias mon ´otonas s ˜ao sequˆencias que tˆem uma das propriedades: Crescentes, decrescentes, n ˜ao-crescentes ou n ˜ao- decrescentes. Como as sequˆencias crescentes s ˜ao tamb´em n ˜ao-decrescentes e as decrescentes s ˜ao n ˜ao-crescentes podemos demonstrar algumas propriedades para n ˜ao-crescentes e n ˜ao-decrescentes sendo v ´alida para outras sequˆencias mon ´otonas tamb´em.b
Propriedade 14. N ˜ao existe sequˆencia decrescente de n ´umero naturais.ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que exista uma sequˆencia (xn) decrescente, con- sidere o conjunto dos termos da sequˆencia A = {xn | n ∈ N}, por ser um conjunto de n ´umeros naturais o PBO garante que existe o menor elemento de A, da´ı existe m∈N tal que xm ´e m´ınimo, por´em como a sequˆencia ´e decrescente ent ˜ao xm > xm+1, absurdo.
b
Propriedade 15. N ˜ao existe sequˆencia crescente limitada de n ´umeros natu- rais.ê Demonstra ¸c ˜ao. Supondo que exista uma sequˆencia (xn) crescente o conjunto de seus termos A tem um maior elemento, digamos xm, por´em como ela ´e crescente temos xm+1 > xm o que ´e absurdo.
b
Propriedade 16. Toda sequˆencia n ˜ao-decrescente limitada de n ´umeros na- turais ´e constante a partir de certo termo.ê Demonstra ¸c ˜ao. Dado o conjunto dos termos da sequˆencia, existe um elemento m ´aximo, digamos xm, vale xm+1 ≥ xm, como n ˜ao pode valer xm+1 > xm ent ˜ao vale xm+1=xm, o mesmo deve valer para todo outro p > m, xp =xm, pois n ˜ao pode valer xp > xm.
b
Propriedade 17. Se uma sequˆencia (xk) de n ´umeros naturais ´e crescente, ent ˜ao vale xk≥k para todo k∈N.ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre n, para n = 1, vale x1 ≥ 1, pois x1
sendo natural n ˜ao pode ser menor que 1. Suponha que xn ≥ n, vamos mostrar que xn+1 ≥ n+1, vale que xn+1 > xn =n, da´ı xn+1 > n, o que implica xn+1 ≥ n+1, pois xn+1 n ˜ao pode estar em (n, n+1) pelo fato de ser natural.
m
Defini ¸c ˜ao 17. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar eventualmente num conjunto A se existe n0 ∈N tal que n > n0 implica an∈A, isto ´e, todos termos de ´ındices suficientemente grandes pertencem ao conjunto A.m
Defini ¸c ˜ao 18. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar frequentemente num conjunto A se para todo n0 ∈N existe n1 > n0 tal que an1 ∈A, isto ´e, para todo ´ındice n0podemos achar outro ´ındice maior n1 tal que an1 ∈A. Nesse caso dizemos que a sequˆencia (xn) est ´a frequentemente no conjunto A.
1.3 Limites de sequˆencias
Usaremos a nota¸c ˜ao B(a, ε) para o conjunto
B(a, ε) = {x∈R| |x−a|< ε}.
Tal conjunto ´e chamado de bola de centro a ´e raio ε.
m
Defini ¸c ˜ao 19 (Limite de sequˆencia.). Dizemos que limxn = a ⇔ para qualquer ε > 0 dado, conseguimos encontrar um n ´umero natural n0 tal que para n maior que n0 tem-se |xn−a| < ε, nesse caso dizemos que a sequˆencia ´e convergente e seu limite ´e a, caso n ˜ao exista a tal que a sequˆencia satisfa¸ca essa propriedade dizemos que a sequˆencia diverge. Em s´ımbolos tem-se a defini¸c ˜aolimxn=a⇔∀ε >0∃n0∈N|n > n0 ⇒ |xn−a|< ε.
Lˆe-se limxn=acomo : limite de xn ´e igual `a a. De maneira equivalente podemos escrever que dada um sequˆencia xn → a, ent ˜ao existe n0 tal que uma vez que a sequˆencia entra na bola B(a, ε) ela nunca mais sa´ı dela,
limxn =a⇔∀ε >0 ∃n0 ∈N|n > n0⇒ xn∈B(a, ε).
Tamb´em denotamos limxn =a por xn→a e limxn = lim
n→∞xn. .
Quando n ˜ao vale limxn =a, negamos a defini¸c ˜ao, ent ˜ao fica
∃ε >0, ∀n0 ∈N,∃n > n0 tal que|xn−a|≥ε.
Nesse caso existem infinitos valores fora do intervalo (a−ε, a+ε).
1.3.1 Caracteriza ¸c ˜ ao de sequˆencias por meio de abertos
b
Propriedade 18 (Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos). limxn=a⇔∀ aberto A com a∈A existe n0 ∈N tal que n > n0 implica xn∈A.
ê Demonstra ¸c ˜ao.
⇒).
Seja A um aberto com a∈ A, ent ˜ao existe ε >0 tal que (a−ε, a+ε) ⊂A e por limxn=a existe n0∈N| n > n0 tem-se xn∈(a−ε, a+ε), logo xn ∈A.
⇐).
Supondo que ∀ aberto A com a∈A existe n0∈N tal que n > n0 implica xn∈A, ent ˜ao em especial para todoε > 0 podemos tomar o aberto A= (a−ε, a+ε) e tem-se limxn=a pela defini¸c ˜ao de limite.
b
Propriedade 19 (Unicidade do limite de sequˆencias). Se lim xn = a e lim xn=b ent ˜ao a=b.Dado uma qualquer quando limxn=adizemos que a sequˆencia (xn) converge para a ou tende para a e tem limite. As sequˆencias que tˆem limite chamamos de convergentes e as que n ˜ao chamamos de divergentes.
ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja lim xn =ae b̸=avamos tomarε= |b−a|
2 ,ε >0 temos que os intervalos(a−ε, a+ε) e (b−ε, b+ε) s ˜ao disjuntos, pois se houvesse x tal que
|a−x|< ε e |x−b|< εsomando as desigualdades ter´ıamos|a−x|+|x−b|<2ε=|b−a|
e pela desigualdade triangular |b−a| ≤ |a−x|+|x−b| < |b−a| o que ´e absurdo, temos ent ˜ao que os intervalos s ˜ao disjuntos. Como limxn =a temos que existe n0
tal que para ∀n > n0 vale xn ∈ (a−ε, a+ε) e xn∈/ (b−ε, b+ε), logo lim xn̸=b.
b
Propriedade 20 (Limite de constante). Se f(n) = a ent ˜ao limf(n) = a.Vamos usar a defini¸c ˜ao de limite. Temos que∀ε >0 e para todo nvale|f(n)−a|=
|a−a|=0< ε logo limf(n) = a.
b
Propriedade 21. Se f(n) = 1n ent ˜ao limf(n) =0. Por propriedade arquime- diana dos naturais temos que para todo ε >0 existe n0 ∈ N tal que n0 > 1
ε logo ε > 1
n0, al´em disso f(n) ´e decrescente pois ∆f(n) = − 1
n(n+1) < 0 assim para
todo ε > 0 e n > n0 vale 1 n < 1
n0
< ε, isso implica pela defini¸c ˜ao de limite que lim 1
n =0.
b
Propriedade 22. Sejam limxn =a e ε >0, ent ˜ao apenas um n ´umero finito de termos n ˜ao pertence ao intervalo (a−ε, a+ε).ê Demonstra ¸c ˜ao.
Figura 1.1: Um n ´umero finito de elementos n ˜ao pertence ao intervalo (a−ε, a+ε) Como limxn =atem-se∀ε >0 ∃n0∈Ntal quen > n0(n∈N) implica|xn−a|< ε isso significa que para n > n0 tem-se xn ∈ (a−ε, a+ε) logo os ´unicos termos da sequˆencia que poderiam estar fora do intervalo s ˜ao os termo xk com k ∈ [1, n0]N sendo no m ´aximo n0 elementos, tem-se ent ˜ao um n ´umero finito de termos fora do intervalo. O n ´umero de elementos fora do intervalo (a−ε, a+ε) pode ser 0, por exemplo caso xn =0 o intervalo ´e (−ε, ε) que cont´em todos termos da sequˆencia.
b
Propriedade 23. Se para qualquer ε > 0 fixado vale que fora do intervalo (a−ε, a+ε) h ´a apenas um n ´umero finito de valores de xn ent ˜ao limxn =a.ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja ε > 0 ´arbitr ´ario fixado tem-se que fora do intervalo I = (a−ε, a+ε) h ´a apenas um n ´umero finito de valores de xn ent ˜ao teremos no m ´aximo os valores xk de k = 1 at´e um certo k = n0 tal que xk ∈/ I (pode ser que para alguns desses ´ındices k se tenha xk∈ I) assim para n > n0 teremos xn ∈I logo
|xn−a|< ε, isto ´e para todo ε >0 existe n0 tal que n > n0 implica |xn−a|< ε.
b
Propriedade 24. Se limxn = a ent ˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.ê Demonstra ¸c ˜ao.Para todo ε > 0 apenas um n ´umero finito de termos de (xn) n ˜ao pertence ao intervalo I= (a−ε, a+ε) assim apenas um n ´umero finito de termos da subsequˆencia podem estar fora do intervalo I o que implica que a subsequˆencia converge para a, pois I ir ´a conter todos termos da subsequˆencia (a menos de uma quantidade finita) para qualquer ε >0.
$
Corol ´ario 4. Se duas subsequˆencias de (xn) possuem limites distintos ent ˜ao (xn) diverge. Pois se limxn=a ent ˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.b
Propriedade 25. Se lim(xn+p) =a para algum p natural ent ˜ao limxn=a.ê Demonstra ¸c ˜ao. Existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |xn+p −a| < ε, logo a partir de xn0+p+1 vale a desigualdade anterior, ent ˜ao para n > n0+p vale
|xn−a|< ε que significa que limxn =a.
limxn+p =a⇔limxn =a.
$
Corol ´ario 5. Uma sequˆencia (xn)converge para a⇔ todas suas subsequˆencias convergem para a. A ida j ´a mostramos . Agora se todas subsequˆencias de (xn) convergem para a, ela pr ´opria converge para a, pois ela ´e subsequˆencia dela mesma. Se toda subsequˆencia pr ´opria de (xn) converge para a, ainda assim limxn =a, pois podemos tomar a subsequˆencia (xn+1 e como vimos na propriedade anterior se limxn+1 =a ent ˜ao limxa.1.3.2 Defini ¸c ˜ ao de sequˆencia peri ´odica
m
Defini ¸c ˜ao 20 (Sequˆencia peri ´odica). Uma sequˆencia(xn) ´e dita peri ´odica sse existe p∈N tal que xn+p =x para todo n∈N. O menor dos valores p ´e chamadode per´ıodo da sequˆencia.
$
Corol ´ario 6. A sequˆencia constante ´e peri ´odica pois satisfaz xn = x(n+p) para qualquer p, sendo o menor desses valores 1, ent ˜ao ela possui per´ıodo 1.b
Propriedade 26. Uma sequˆencia possui per´ıodo p=1 sse ´e uma sequˆencia constante.ê Demonstra ¸c ˜ao. Se uma sequˆencia possui per´ıodo 1, ent ˜ao vale para todo k∈N, xk=xk+1 da´ı ∆xk=0, aplicando a soma
∑n−1
k=1
tem-se
xn−x1=0
da´ı xn = x1 para todo n, sendo assim ela ´e constante. No exemplo anterior vimos que a sequˆencia constante possui per´ıodo 1, ent ˜ao a propriedade est ´a demonstrada.
b
Propriedade 27. Se (xn) possui per´ıodo p, ent ˜ao para todo n, q∈N, tem-se x(n) =x(qp+n).ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre q, para q=1 vem da defini¸c ˜ao. Supondo para q, xn = xqp+n, vamos provar que x(q+1)p+n = xn. Tem-se x(q+1)p+n = xqp+n+p =xqp+n =xn. Ent ˜ao est ´a demonstrado.
b
Propriedade 28. Uma sequˆencia peri ´odica ´e convergente sse ´e constante.ê Demonstra ¸c ˜ao.[1] Considere as subsequˆencias da sequˆencia (xk) que possui per´ıodo p
(x1, x1+p, x1+2p,· · ·) = (x1+kp)k∈N (x2, x2+p, x2+2p,· · ·) = (x2+kp)k∈N
...
(xp−1, xp−1+p, xp−1+2p,· · ·) = (xp−1+kp)k∈N
cada sequˆencia dessas ´e constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo fato da sequˆencia ser peri ´odica de per´ıodo p, xn+p =xn. Se (xk) converge ent ˜ao todas suas subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor, ent ˜ao deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e cada termo da sequˆencia (xk) deve pertencer a uma dessas subsequˆencias, disso segue que (xk) ´e constante.
ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Se a sequˆencia xn ´e peri ´odica ent ˜ao existe um per´ıodo p, se esse per´ıodo ´e 1 ent ˜ao ela ´e constante, considere ent ˜ao que seja p > 1. Tome a divis ˜ao euclidiana de n por p ent ˜ao n = qp+s ou n = qp onde 0 < s < p, da´ı temos xn =xs no primeiro caso e no segundo xqp = xp, considere as subsequˆencias definidas como zs(q) =x((q−1)p+s) =xs e z0(q) =x(qp) =x(p) com q∈N, cada uma dessas subsequˆencias ´e constante e como a sequˆencia ´e convergente ent ˜ao todas essas subsequˆencias devem assumir o mesmo valor t = xs = xp, ent ˜ao no caso de n = qp +s tem-se xqp+s = xs = t e no caso n = qp tem-se xqp = xp = t, logo a sequˆencia ´e constante.
Z
Exemplo 1. f(n) = (−1)n diverge pois a subsequˆencia de ´ındices pares f(2n) = (−1)2n =1 e a de ´ındices ´ımpares f(2n+1) = (−1)2n+1= −1 s ˜ao constantes logo os limites das subsequˆencias s ˜ao 1 e −1, sendo diferentes a sequˆencia diverge.$
Corol ´ario 7. Se (xn) converge e o limite de uma subsequˆencia for a ent ˜ao limxn =a, pois a subsequˆencia deve convergir para o mesmo limite da sequˆencia.$
Corol ´ario 8. Se limxn =a ent ˜ao limxn+p =a para qualquer p natural. Segue da propriedade anterior pois (xn+p) ´e uma subsequˆencia de (xn). Assim o limite de uma sequˆencia n ˜ao se altera quando omitimos um n ´umero finito de termos dela.b
Propriedade 29. Toda sequˆencia convergente ´e limitada.ê Demonstra ¸c ˜ao. Se limxn=a ent ˜ao para todo ε > 0 temos que existe n0 tal que para n > n0 implica xn ∈ (a−ε, a+ε), ent ˜ao tomando ε = 1 tomamos o conjunto
{x1, . . . , xn0, a−1, a+1} seu m ´aximo sendo c e m´ınimo d e temos todos elementos da sequˆencia contidos no intervalo [d, c], logo a sequˆencia ´e limitada.
$
Corol ´ario 9. Se uma sequˆencia n ˜ao ´e limitada ela n ˜ao ´e convergente.Z
Exemplo 2. Mostre que a sequˆencia (xn) dada por xn =∑n
k=1
n
n+k diverge.
Vale k≤n, da´ı n+k≤2n, 1
2 ≤ n
n+k, aplicando a soma tem-se
∑n
k=1
1 2 ≤
∑n
k=1
n n+k n
2 ≤
∑n
k=1
n n+k logo a sequˆencia diverge.
1.3.3 Valores de aderˆencia
m
Defini ¸c ˜ao 21 (Valor de aderˆencia). Um n ´umero real a ´e dito valor de aderˆencia de uma sequˆencia (xn), quando existe uma subsequˆencia de (xn) que converge para a. Simbolizaremos o conjunto dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia por A[xn].$
Corol ´ario 10. Se uma sequˆencia ´e convergente ent ˜ao todas subsequˆencias con- vergem para o mesmo limite que ´e o limite da sequˆencia, ent ˜ao se uma sequˆencia´e convergente ela possui apenas um valor de aderˆencia, isto ´e, se limxn=a ent ˜ao A[xn] ={a}={limxn}.
Z
Exemplo 3. Os racionais s ˜ao densos na reta e s ˜ao enumer ´aveis, ent ˜ao podemos tomar uma sequˆencia (xn) que enumera os racionais, logo pra essasequˆencia vale A[xn] = R. Em especial os racionais em [0,1] s ˜ao enumer ´aveis e densos logo tomando uma enumera¸c ˜ao (xn) dos racionais nesse conjunto temos A[xn] = [0,1].
Z
Exemplo 4. A sequˆencia (1,2,3,1,2,3,1,2,3,· · ·) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3=3 sendo peri ´odica de per´ıodo 3, xn+3=xn, tem A[xn] ={1,2,3}.Z
Exemplo 5. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) que possua A[xn] = N. Para que isso aconte¸ca ´e necess ´ario que cada n ´umero natural apare¸ca infinitas vezes na sequˆencia. Definimos a sequˆencia (xn) como xn=k se n ´e da forma pαkk, onde pk ´e o k-´esimo primo e αk ∈ N, da´ı existem infinitos valores de n tais que xn=k com isso geramos subsequˆencias que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´em xn =1 caso n n ˜ao seja da forma pαkk, apenas para completar a defini¸c ˜ao da sequˆencia.b
Propriedade 30. a∈A[xn]⇔ ∀ ε >0 e ∀k∈N existan com n > k tal que|xn−a|< ε. Um ponto a ´e de aderˆencia se existem infinito termos da sequˆencia arbitrariamente pr ´oximos de a.
ê Demonstra ¸c ˜ao.
⇒). Se a ´e valor de aderˆencia de (xn), ent ˜ao ela possui uma subsequˆencia que converge para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´ındice da subsequˆencia tal que n > k e |xn−a|< ε.
⇐). Supondo que ∀ ε > 0 e ∀k∈N exista n com n > k tal que |xn−a|< ε.
No primeiro passo tomamosε=1 ek=1 da´ı existen1 >1 tal que xn1 ∈(a−1, a+1).
Podemos tomar agoraε= 1
2 e k=n1 ent ˜ao existe n2 > n1 tal quexn2 ∈(a−1 2, a+1
2), na t + 1-´esima etapa tomamos ε = 1
t+1 e k = nt da´ı existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈(a− 1
t+1, a+ 1
t+1), logo constru´ımos uma subsequˆencia (xnt) de (xn) tal que
tlim→∞xnt =a.
$
Corol ´ario 11. Negamos a proposi¸c ˜ao anterior.a /∈A[xn]⇔ ∃ε >0 e ∃k∈N tal que para todo n > k temos |xn−a|≥ε.
Z
Exemplo 6. Quais s ˜ao os valores de aderˆencia da sequˆencia (xn) definida como x2n−1 = n e x2n = 1n? Para que um ponto seja de aderˆencia ´e necess ´ario que existam infinitos termos arbitrariamente pr ´oximos de tal ponto, no caso de tal sequˆencia o ´unico n ´umero que satisfaz tal propriedade ´e o 0, al´em disso tal sequˆencia n ˜ao ´e convergente pois n ˜ao ´e limitada.
b
Propriedade 31. O conjunto A dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia (xn) ´e fechado.ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que mostrar que A=A.J ´a sabemos que vale A ⊂A, falta mostrar que A ⊂ A . Queremos mostrar que , se a ∈ A ent ˜ao a ∈ A, vamos mostrar a contrapositiva que ´e : se a /∈A ent ˜ao a /∈A, que equivale logicamente.
Se a /∈ A ent ˜ao existe ε > 0 tal que (a−ε, a+ε) n ˜ao possui elementos de (xn) da´ı n ˜ao pode valer a∈A.
b
Propriedade 32. Se uma sequˆencia (xn) for limitada ent ˜ao seu conjunto de pontos de aderˆencia ´e compacto.ê Demonstra ¸c ˜ao. J ´a vimos que A ´e fechado, agora se (xn) for limitada ent ˜ao A ´e limitado, sendo limitado e fechado ´e compacto.
Nessas condi¸c ˜oes A possui elemento m´ınimo e elemento m ´aximo. o M´ınimo de A
´e denotado como lim infxn e o elemento m ´aximo de A ´e denotado como lim supxn.
1.4 Sequˆencias mon ´otonas
1.4.1 Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente
⋆ Teorema 1. Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente.
ê Demonstra ¸c ˜ao.
• Sejam (xn) uma sequˆencia crescente limitada, a = sup{xn | n ∈ N}, vamos mostrar que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a > a−ε como a ´e o supremo (menor das cotas superiores) temos que a−ε n ˜ao ´e cota superior, ent ˜ao ∃ n0 tal que xn0 > a−ε e como a sequˆencia ´e crescente temos para n > n0 que xn≥xn0 logo xn > a−ε e a−ε < xn < a+εimplicando limxn=a.
• Sejam (xn) uma sequˆencia decrescente limitada, a = inf{xn|n ∈ N}, vamos mostrar que limxn =a. Para qualquer ε >0 temos a+ε > a como a ´e ´ınfimo temos que a+ε n ˜ao ´e cota inferior, ent ˜ao existe n0 tal que xn0 < a+ε e como a sequˆencia ´e n ˜ao-crescente temos para n > n0, xn ≤xn0 e a−ε < xn < a+ε implicando limxn =a.
$
Corol ´ario 12. • Uma sequˆencia (xn) crescente limitada converge para o supremo a dos seus termos, ent ˜ao vale sempre xn ≤a.• Uma sequˆencia (xn) decrescente limitada converge para o ´ınfimo a dos seus termos, ent ˜ao vale sempre xn ≥a.
b
Propriedade 33. 1. Toda sequˆencia estritamente crescente limitada tem todos seus termos menores que seu limite .2. Toda sequˆencia estritamente decrescente limitada tem todos seus termos maiores que seu limite.
ê Demonstra ¸c ˜ao.
1. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente crescente e limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn < a. Se fosse xn ≥ a para n > n0 ent ˜ao xn+1 >
xn ≥ a, da´ı xn+1 > a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.
2. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente decrescente limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn > a. Se fosse xn ≤ a para n > n0 ent ˜ao xn+1 <
xn ≤ a, da´ı xn+1 < a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.
1.4.2
√ a +
√
a + √
a + · · · Ra´ızes encaixadas
Z
Exemplo 7. Seja a sequˆencia (xn) definida como x1 = a e xn+1 = √xn+b, onde x21 < x1+b, isto ´e , a2 < a+b, a e b positivos , calcular limxn.
Vamos mostrar primeiro que a sequˆencia ´e crescente. Por indu¸c ˜ao sobre n, temos x2 =√
a+bea < √
a+bpoisa2< a+b.Supondo paran,xn < xn+1 vamos mostrar que vale para n+1, xn+1< xn+2 . Da hip ´otese tem-se que xn+b < xn+1+b da´ı √
xn+b < √
xn+1+b implicando xn+1 < xn+2. Vamos mostrar agora que a sequˆencia ´e limitada superiormente. Existe t > 0 ∈ R tal que t2 > a+b e t2−b > t. Da´ı a sequˆencia ´e limitada superiormente por t2−b pois, por indu¸c ˜ao x1 = a < t2 −b e supondo xn < t2−b segue xn+b < t2 tomando a raiz segue xn+1< t < t2−b. Ela ´e limitada superiormente e crescente logo ´e convergente.
Tomando limite em ambos lados de x2n+1 = xn+b resolvendo a equa¸c ˜ao do segundo grau encontramos L= 1+√
1+4b
2 .
Podemos tomar x1=0 e b=a da´ı 0< a, logo converge e temos o corol ´ario
√ a+
√ a+√
a+· · ·= 1+√ 1+4a
2 .
Z
Exemplo 8. √1+
√ 1+√
1+· · ·= 1+√ 5 2 converge para a raz ˜ao ´aurea.
Z
Exemplo 9. √2+
√ 2+√
2+· · ·=2. Seja f(0) =0 e f(n) =√
2+f(n) ent ˜ao vale 2−f(n+1)
2−f(n) > 1 4.
Como 2−f(n)>0 para todo n tem-se que essa desigualdade ´e equivalente `a 4f(n+1) −f(n)<6⇔4√
2+f(n) −f(n)<6
tomandof(n) = x, simplificando ap ´os elevar ao quadrado, chegamos numa inequa¸c ˜ao de segundo grau, satisfeita para qualquer x, logo se verifica a inequa¸c ˜ao .
b
Propriedade 34. Se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia limitada, ent ˜ao a sequˆencia ´e limitada.ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que (xn) seja crescente e possua uma subsequˆencia (xnk) limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M, para algum M. Como (xnk) ´e limitada , ent ˜ao para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 ´e ´ındice da subsequˆencia limitada (xnk) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆencia ´e limitada, existe M tal que xn0 < M, da´ı por transitividade xn < M, isso implica que (xn) ´e limitada superiormente e como a sequˆencia crescente ela tamb´em ´e limitada inferiormente, sendo limitada inferiormente e superiormente ela
´e limitada.
$
Corol ´ario13. Se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia limitada ent ˜ao ela ´e convergente, pois a sequˆencia mon ´otona ser ´a limitada e toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente.$
Corol ´ario 14. Em especial se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia convergente, ent ˜ao essa subsequˆencia ´e limitada e da´ı a sequˆencia mon ´otona ´e convergente.1.4.3 lim b
n= 0, | a
n| < c ⇒ lim a
nb
n= 0.
b
Propriedade 35. Se lim bn = 0 e (an) ´e uma sequˆencia limitada, ent ˜ao limanbn =0.ê Demonstra ¸c ˜ao. Como an ´e limitada existe c >0 tal que |an|< c para todo n natural, e como lim bn=0 temos ∀ε >0 ∃n0 tal que n > n0 implica |bn|< ε, temos que mostrar que ∀ ε1 > 0 ∃n0 tal que n > n0′ implica |anbn| = |an||bn| < ε1. Como lim bn = 0 podemos escolher ε = ε1
c para qualquer ε1 > 0 logo para n > n0 segue
|bn|< ε1
c e como |an|< c tem-se |an||bn|< cε1
c =ε1 como quer´ıamos demonstrar.
$
Corol ´ario15. Em especial se(xn) ´e convergente e limyn =0 ent ˜ao limxn.yn = 0, pois uma sequˆencia convergente ´e limitada.Z
Exemplo 10. Se (xn) ´e convergente e yn =n ent ˜ao limxnyn
=0, pois (xn) ´e limitada e
( 1 yn
)
tende a zero.
Z
Exemplo 11. Calcular o limite da sequˆencia cos(nπ4)n .
Temos que an = cos(nπ
4 ) ´e limitada e bn = 1
n tem limite 0, logo a sequˆencia de termo cos(nπ4 )
n converge para zero.
Z
Exemplo 12. A sequˆencia f(n) = (−1)nn tem limite 0 pois (−1)n ´e limitada e lim 1
n =0.
b
Propriedade 36. Sejam (an) e (bn) sequˆencias limitada tais que an+bn = 1∀n∈N, (zn) e (tn) com o mesmo limite a, ent ˜ao liman.zn+bn.tn =a.ê Demonstra ¸c ˜ao. Escrevemos an.zn+bn.tn =an.zn−a.an+a. a|{z}n
=1−bn
+bn.tn =an(zn−a) +a(1−bn) +bn.tn=
=an(zn−a) +a−a.bn+bn.tn =an(zn−a) +a+bn(tn−a) da´ı
liman(zn−a) +a+bn(tn−a) = a=liman.zn+bn.tn
pois an e bn s ˜ao limitadas e zn−a, tn−a tendem a zero.
b
Propriedade 37. Se limn→∞zk(n) = a ∀ k e cada (xk(n)) ´e limitada com
∑p
k=1
xk(n) = vn →b ent ˜ao limn→∞
∑p
k=1
xk(n)zk(n) = a.b.
ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale x1(n) =vn−
∑p
k=2
xk(n).
∑p
k=1
xk(n)zk(n) =x1(n)z1(n) +
∑p
k=2
xk(n)zk(n) =
=z1(n)vn−
∑p
k=2
xk(n)z1(n) +
∑p
k=2
xk(n)zk(n) =
=z| {z }1(n)vn
→a.b
+
∑p
k=2
xk(n) (z| k(n) −{zz1(n))}
→0
→a.b.
1.4.4 A sequˆencia (
1 + 1 n
)
n.
Vamos analisar a sequˆencia definida por f(n) =
( 1+ 1
n )n
.