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Anota¸c˜oes sobre sequˆencias

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Academic year: 2022

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(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uff.math@gmail.com

(2)
(3)

1 Sequˆencias 5

1.1 Defini¸c ˜ao e propriedades b ´asicas . . . . 5

1.2 Opera¸c ˜oes com sequˆencias . . . . 6

1.2.1 Defini¸c ˜ao de subsequˆencia . . . . 11

1.3 Limites de sequˆencias . . . . 16

1.3.1 Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos . . . . 16

1.3.2 Defini¸c ˜ao de sequˆencia peri ´odica . . . . 19

1.3.3 Valores de aderˆencia . . . . 22

1.4 Sequˆencias mon ´otonas. . . . 24

1.4.1 Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente . . . . 24

1.4.2 √ a+ √ a+ a+· · · Ra´ızes encaixadas . . . . 26

1.4.3 lim bn =0, |an|< c⇒ limanbn =0. . . . . 28

1.4.4 A sequˆencia ( 1+ 1 n )n . . . . . 29

1.4.5 √ x √ x √ x x· · · . . . . 34

1.4.6 Limite do m ´odulo de uma sequˆencia. . . . . 37

1.4.7 Estudo da sequˆencia (an). . . . . 37

1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . . 38

1.5.1 Limite da soma . . . . 38

1.5.2 Limite do produto . . . . 39

1.5.3 Limite do quociente . . . . 41

1.5.4 limp (xn). . . . . 43

1.5.5 Se N= ∪p k=1 Nk e lim n∈Nk xn =a ent ˜ao limxn =a. . . . . 47

1.6 C ´alculo de limites por meio de subsequˆencias . . . . 48 3

(4)

1.6.1 liman1 =1 . . . . 48 1.6.2 limnn1 =1 . . . . 49 1.7 Limites infinitos . . . . 49

1.7.1 lim

n=∞. . . . . 51 1.7.2 lim

n

k=1

1

n+k =∞. . . . . 52 1.8 Opera¸c ˜oes com limites infinitos . . . . 52

1.8.1 lim (

1+ 1

n )n

=∞ . . . . 53 1.8.2 Se lim|xn+1|

|xn| =L ent ˜ao limn

|xn|=L. . . . . 54 1.8.3 lim n

√(2n)!

n!nn = 4

e. . . . . 55 1.8.4 lim

n→∞

(m+n n

)n1

=1 . . . . 56 1.8.5 limn

n! =∞ . . . . 56

1.8.6 lim 1

n+1+

n =lim

n+1

n=0 . . . . 57 1.8.7 limln(n+1) −ln(n) = 0 . . . . 60 1.8.8 limln(n+1)

ln(n) =1. . . . . 61 1.9 Limites e desigualdades . . . . 63 1.9.1 O limite preserva desigualdades. . . . 66

(5)

Sequˆencias

1.1 Defini ¸c ˜ ao e propriedades b ´asicas

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Sequˆencia finita ou n-upla). Uma sequˆencia finita ´e uma fun¸c ˜ao x : In → B, onde In = {1, . . . n} e B ´e um conjunto qualquer, podemos denotar a sequˆencia como (xk)n1.

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Sequˆencia vazia). E uma sequˆencia sem elementos denotada´ por () que consideraremos tamb´em como uma sequˆencia finita.

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Sequˆencia). Come¸caremos com uma sequˆencia em um corpo qualquer e depois trataremos de sequˆencias onde o corpo ´e o corpo dos n ´umeros reais. Uma sequˆencia com elementos em um corpo K ´e uma fun¸c ˜ao X : N → K. xn ´e chamado n-´esimo termo da sequˆencia e podemos denotar a sequˆencia das seguintes maneiras

(x1, . . . , xn, . . .) = (xn)n∈N= (xn) = {xn}.

Tal defini¸c ˜ao pode ser feita tomando um conjunto qualquer B no lugar do corpo

5

(6)

K, nesse caso podemos ter sequˆencia de elementos arbitr ´arios.

Em nossa apresenta¸c ˜ao escolhemos come¸car a sequˆencia do termo x1 pois associamos a ele normalmente o primeiro termo.

Usaremos a nota¸c ˜ao x(N) = {x1, . . . , xn, . . .} = {xn|n N} para simbolizar o conjunto dos termos da sequˆencia. ´e preciso tomar cuidado para n ˜ao confundir o conjunto de termos da sequˆencia com a representa¸c ˜ao da sequˆencias atrav´es da upla. Se a sequˆencia for injetiva, isto ´e, xm =xn implicar n =m, diremos que ´e uma sequˆencia de termos dois a dois distintos. Em (xn), n ´e chamado de ´ındice da sequˆencia. Dizemos tamb´em que em (xn), xn ´e o termo de ordem n ou ´e o n-´esimo termo da sequˆencia.

m

Defini ¸c ˜ao 4 (Sucessores e antecessores). Dado o termo xs em uma sequˆencia (xn), os termos xp tais que p > s s ˜ao ditos sucessores de xs na sequˆencia (xn) se s > 1 ent ˜ao os termos xp tal que p < s s ˜ao ditos antecessores de xs na sequˆencia (xn).

1.2 Opera ¸c ˜ oes com sequˆencias

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Igualdade de sequˆencias). Duas sequˆencias (ak) e (bk) s ˜ao iguais, quando ak=bk para todo kN

(ak) = (bk)

, isto ´e duas sequˆencias s ˜ao iguais quando seus termos de ´ındices iguais, s ˜ao iguais.

m

Defini ¸c ˜ao 6 (Adi¸c ˜ao de sequˆencias). Sejam sequˆencias(an) e (bn), definimos

(7)

a adi¸c ˜ao como uma outra sequˆencia (cn)

(an) + (bn) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pela adi¸c ˜ao de an e bn, cn=an+bn.

m

Defini ¸c ˜ao 7 (Produto de sequˆencias). Sejam sequˆencias(an)e(bn), definimos o produto, como

(an)(bn) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pelo produto dos termos bn e an, cn =anbn.

Propriedades da adi ¸c ˜ao

Sejam (an),(bn),(cn) sequˆencias quaisquer no corpo K, a adi¸c ˜ao e o produto de sequˆencias gozam das seguintes propriedades

b

Propriedade 1(Elemento neutro). O elemento neutro da adi¸c ˜ao de sequˆencias

´e a sequˆencia onde todos termos s ˜ao nulos (cn) = (0)

onde cn =0 nN1. E temos a propriedade, sendo (an)uma sequˆencia qualquer, temos a propriedade

(an) + (0) = (an+0) = (an).

Pois o corpo k possui elemento neutro da adi¸c ˜ao. Temos um elemento neutro do produto que ´e (1) a sequˆencia constante formada pelo n ´umero 1, e temos a propriedade

(an)(1) = (an.1) = (an).

Pois 1 ´e o elemento neutro do produto no corpo K

(8)

b

Propriedade 2 (Comutatividade). Temos as propriedades

(cn) + (bn) = (cn+bn) = (bn+cn) = (bn) + (cn) (cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn)

pela propriedade da adi¸c ˜ao e o produto serem comutativos no corpo k.

b

Propriedade 3 (Associatividade).

[(cn) + (bn)] + (an) = (cn+bn) + (an) = (cn+bn+an) = (cn) + [(bn+an)]

[(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)]

pela associatividade no corpo K.

b

Propriedade 4 (Existˆencia de inverso). Para a sequˆencia (an) existe a sequˆencia (−an), tal que

(an) + (−an) = (an−an) = (0)

a soma das sequˆencias ´e a sequˆencia nula. Se an ̸= 0 para todo n, existe a−1n e temos a sequˆencia dos inversos (a−1n ) onde temos a propriedade

(an).(a−1n ) = (an.a−1n ) = (1).

b

Propriedade 5 (Existˆencia de divisores de zero). Dadas duas sequˆencias n ˜ao nulas (xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequˆencia nula.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Considere (xn) dada por xn =0 se n par e xn =1 se n ´ımpar, (yn) tal que yn = 0 se n ´ımpar yn = 1 se n par, ent ˜ao (xn)(yn) = (0) e nenhuma delas ´e a sequˆencia nula.

(9)

$

Corol ´ario 1. Com isso conclu´ımos que o conjunto das sequˆencias munido da adi¸c ˜ao e multiplica¸c ˜ao que definimos , n ˜ao ´e um corpo, pois em corpos n ˜ao existem divisores de zero.

b

Propriedade 6 (Distributividade).

(an)[(cn)+(bn)] = (an)(cn+bn) = (ancn+anbn) = (ancn)+(anbn) = (an)(cn)+(an)(bn) pela distributividade no corpo K.

m

Defini ¸c ˜ao 8 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequˆencia (an) e um elemento r do corpo K, definimos o produto da sequˆencia por r como uma outra sequˆencia (cn)

r(an) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pelo produto do termo an e r, cn =an.r.

b

Propriedade 7 (Distributividade). Sendo r e pk, temos

(r+p)(an) = (ran+pan) = (ran) + (pan) = r(an) +p(an).

r[(an) + (bn)] = r(an+bn) = (ran+rbn) = r(an) +r(bn).

b

Propriedade 8 (Multiplica¸c ˜ao por 1).

1.(an) = (1.an) = (an).

(10)

b

Propriedade 9. c e d no corpo K temos

c[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an)

Com as propriedades de adi¸c ˜ao e produto por escalar (que no caso s ˜ao elementos do corpo K), as sequˆencias em um corpo k, formam um espa¸c o vetorial. Este espa¸c o vetorial de sequˆencias ser ´a simbolizado por K, em especial se o corpo for o corpo dos n ´umeros reais R, teremos o espa¸c o vetorial R que s ˜ao sequˆencias de n ´umeros reais.

b

Propriedade 10. Seja, s um n ´umero natural maior que 1 , as sequˆencias (xn) com xn = 0 para n s e outros termos livres em K formam um subespa¸c o vetorial de K. Em termos de upla escrevemos

(

xk|s−11 , xk|s

)

= (

xk|s−11 ,0|s

)

= (x1, . . . , xs−1,0, . . .).

ê Demonstra ¸c ˜ao. A sequˆencia (0) pertence a sequˆencia (xn), pois basta tomar xn = 0 para n < s, pela defini¸c ˜ao da sequˆencia (xn) vamos ter xn = 0 para n s.

Escrevendo com nota¸c ˜ao de upla (

xk

1

)

abrindo, temos (

xk

1

)

= (

xk

s−1

1

, xk

s

)

para que seja a sequˆencia zera basta tomar xk=0 para k de 1 at´e s−1, pois a partir de s, todos s ˜ao zero.

Sejam agora duas sequˆencias (an) e (bn) com as propriedades da hip ´otese, vamos demonstrar a soma continua tendo as propriedades que queremos. Escrevendo como upla, temos

(an) + (bn) = (

ak

s−1

1

,0

s

) +

( bk

s−1

1

,0

s

)

= (

ak+bk

s−1

1

,0

s

) . logo a adi¸c ˜ao ´e fechada.

Agora seja a um elemento do corpo K e uma sequˆencia (xn) com as propriedades da hip ´otese, vamos mostrar que o produto continua sendo uma sequˆencia com a propriedade que queremos

a (

ak

s−1

1

,0

s

)

= (

a.ak

s−1

1

,0

s

) .

que ´e do tipo que desejamos. Assim demonstrada essas trˆes propriedades temos que tais sequˆencias s ˜ao subespa¸c o de K.

(11)

1.2.1 Defini ¸c ˜ ao de subsequˆencia

m

Defini ¸c ˜ao 9 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia (xn)n∈N de uma sequˆencia (xn) ´e a restri¸c ˜ao da sequˆencia xn : N → R a um subconjunto infinito N de N, isto ´e, (xn)n∈N ´e a fun¸c ˜ao xn:N →R, onde N N ´e um conjunto infinito .

Vamos analisar agora o caso onde o corpo K ´e o corpo dos n ´umeros reais.

m

Defini ¸c ˜ao 10 (Sequˆencia limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existem a e b reais tais que xn [a, b] n N, isto ´e, sempre vale a xn b . Todo intervalo [a, b] est ´a contido num intervalo do tipo [−c, c], com c > 0 (intervalo sim´etrico). Para ver isto, basta tomar c = max{|a|,|b|}, pois c b e c−a da´ı a−c e portanto,

−cxn c⇔|xn|c,

assim podemos ver que uma sequˆencia (xn) ´e limitadaexiste c >0 real, tal que |xn|c para todo nN, Da´ı resulta que (xn) ´e limitada ⇔ (|xn|) ´e limitada.

b

Propriedade 11. A soma finita de sequˆencias limitada ´e uma sequˆencia limitada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos nota¸c ˜ao xp(k) para simbolizar o k-´esimo termo da p-´esima sequˆencia, como cada uma das n sequˆencias ´e limitada ent ˜ao para cada p existe uma constante Mp >0, tal que |xp(k)|Mp para todo kN. Somando sobre p tem-se

|

n

p=1

xp(k)|

n

p=1

|xp(k)|

n

p=1

Mp

logo a sequˆencia dada pela soma ´e limitada.

b

Propriedade 12. O produto de sequˆencias limitadas ´e uma sequˆencia limi- tada.

(12)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos a mesma nota¸c ˜ao da propriedade anterior. Vale

|xp(k)|Mp da´ı podemos tomar o produto com p variando

n

p=1

|xp(k)|=|

n

p=1

xp(k)|

n

p=1

Mp

de onde segue o resultado.

m

Defini ¸c ˜ao 11 (Sequˆencia ilimitada). Quando uma sequˆencia n ˜ao ´e limitada, diz-se que ela ´e ilimitada.

m

Defini ¸c ˜ao 12 (Sequˆencia limitada superiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada superiormente, quando existe b R, tal que xn b para todo n N1, isto ´e, todos elementos pertencem ao intervalo (−∞, b].

m

Defini ¸c ˜ao 13 (Sequˆencia limitada inferiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada inferiormente, quando existe b R , tal que b xn para todo n N1, isto ´e, todos termos da sequˆencia pertencem ao intervalo [b,∞).

$

Corol ´ario 2. Uma sequˆencia ´e limitada sse ´e limitada superiormente e infe- riormente. Se a sequˆencia for limitada ent ˜ao todos seus termos pertencem a um intervalo fechado [a, b], logo temos sempre axnb, de onde segue que xn b logo ´e limitada superiormente e axn logo limitada inferiormente. Agora se ela

´e limitada inferiormente e superiormente temosa, b tais que axn e xn b logo xn[a, b] para todo n.

$

Corol ´ario 3. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada. Se a sequˆencia ´e limitada ent ˜ao temos que xn [a, b]∀n N1 em especial temos

(13)

tamb´em que xn [a, b]∀n∈N pois N ´e um subconjunto de N.

m

Defini ¸c ˜ao 14 (Sequˆencias crescentes e n ˜ao-decrescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e crescente, quando temos xn+1 > xn, para todo n N1. Podemos escrever da seguinte forma xn+1−xn > 0, usando o operador delta, ∆xn > 0, logo uma sequˆencia ´e crescente, quando ∆xn>0 para todo n.

Uma sequˆencia (xn) ´e n ˜ao-decrescente, quando temos xn+1 xn para todo n N1, que podemos escrever ∆xn 0. As sequˆencias crescentes s ˜ao sequˆencias n ˜ao-decrescentes, pois satisfazem xn 0 mas as n ˜ao-decrescentes em geral n ˜ao s ˜ao crescentes.

m

Defini ¸c ˜ao 15 (Sequˆencias decrescentes e n ˜ao-crescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e decrescente quando temos xn > xn+1 para todo nN1, que pode ser escrito como 0> xn+1−xn e usando novamente o operador delta, 0> ∆xn ou ∆xn<0.

Uma sequˆencia (xn) ´e n ˜ao-crescente, quando temosxn+1xn para todo nN1, e usando o operador, escrevemos ∆xn 0.Da mesma maneira que nas sequˆencias crescentes, as sequˆencias decrescentes s ˜ao sequˆencias n ˜ao-crescentes pois satis- fazem ∆xn 0, por´em as sequˆencias n ˜ao-crescentes n ˜ao s ˜ao necessariamente decrescentes.

b

Propriedade 13. Toda sequˆencia n ˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente e toda n ˜ao-crescente ´e limitada inferiormente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que vale ∆xk 0 para todo kN1 vamos mostrar que a sequˆencia n ˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo x1, para isso temos que mostrar que xn x1 para qualquer n N1, como temos que vale

∆xk0 para todo kN1, tomamos o somat ´orio com k em [1, n−1]

n−1

k=1

∆xk=xk

n

1

=xn−x10

(14)

pois ´e uma soma de n ´umeros n ˜ao negativos, logo vale xn x1. O mesmo argumento para uma sequˆencia crescente, nela vale∆xk>0 aplicando a soma em[0.n−1]temos

n−1

k=1

∆xk=xn−x1>0

pois ´e soma de termos maiores que zero, implicando xn > x1 para n > 1. Agora toda sequˆencia n ˜ao-crescente ´e limitada superiormente pelo seu primeiro termo, pois temos ∆xk0 e aplicando a soma em [1, n−1] temos

n−1

k=1

∆xk=xn−x10

logo xn x1 sendo o mesmo v ´alido para sequˆencias decrescentes ∆xk <0

n−1

k=1

∆xk=xn−x1<0 logo xn < x1.

m

Defini ¸c ˜ao 16 (Sequˆencias mon ´otonas). sequˆencias mon ´otonas s ˜ao sequˆencias que tˆem uma das propriedades: Crescentes, decrescentes, n ˜ao-crescentes ou n ˜ao- decrescentes. Como as sequˆencias crescentes s ˜ao tamb´em n ˜ao-decrescentes e as decrescentes s ˜ao n ˜ao-crescentes podemos demonstrar algumas propriedades para n ˜ao-crescentes e n ˜ao-decrescentes sendo v ´alida para outras sequˆencias mon ´otonas tamb´em.

b

Propriedade 14. N ˜ao existe sequˆencia decrescente de n ´umero naturais.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que exista uma sequˆencia (xn) decrescente, con- sidere o conjunto dos termos da sequˆencia A = {xn | n N}, por ser um conjunto de n ´umeros naturais o PBO garante que existe o menor elemento de A, da´ı existe mN tal que xm ´e m´ınimo, por´em como a sequˆencia ´e decrescente ent ˜ao xm > xm+1, absurdo.

(15)

b

Propriedade 15. N ˜ao existe sequˆencia crescente limitada de n ´umeros natu- rais.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Supondo que exista uma sequˆencia (xn) crescente o conjunto de seus termos A tem um maior elemento, digamos xm, por´em como ela ´e crescente temos xm+1 > xm o que ´e absurdo.

b

Propriedade 16. Toda sequˆencia n ˜ao-decrescente limitada de n ´umeros na- turais ´e constante a partir de certo termo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Dado o conjunto dos termos da sequˆencia, existe um elemento m ´aximo, digamos xm, vale xm+1 xm, como n ˜ao pode valer xm+1 > xm ent ˜ao vale xm+1=xm, o mesmo deve valer para todo outro p > m, xp =xm, pois n ˜ao pode valer xp > xm.

b

Propriedade 17. Se uma sequˆencia (xk) de n ´umeros naturais ´e crescente, ent ˜ao vale xkk para todo kN.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre n, para n = 1, vale x1 1, pois x1

sendo natural n ˜ao pode ser menor que 1. Suponha que xn n, vamos mostrar que xn+1 n+1, vale que xn+1 > xn =n, da´ı xn+1 > n, o que implica xn+1 n+1, pois xn+1 n ˜ao pode estar em (n, n+1) pelo fato de ser natural.

m

Defini ¸c ˜ao 17. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar eventualmente num conjunto A se existe n0 N tal que n > n0 implica anA, isto ´e, todos termos de ´ındices suficientemente grandes pertencem ao conjunto A.

m

Defini ¸c ˜ao 18. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar frequentemente num conjunto A se para todo n0 N existe n1 > n0 tal que an1 A, isto ´e, para todo ´ındice n0

podemos achar outro ´ındice maior n1 tal que an1 A. Nesse caso dizemos que a sequˆencia (xn) est ´a frequentemente no conjunto A.

(16)

1.3 Limites de sequˆencias

Usaremos a nota¸c ˜ao B(a, ε) para o conjunto

B(a, ε) = {xR| |x−a|< ε}.

Tal conjunto ´e chamado de bola de centro a ´e raio ε.

m

Defini ¸c ˜ao 19 (Limite de sequˆencia.). Dizemos que limxn = a ⇔ para qualquer ε > 0 dado, conseguimos encontrar um n ´umero natural n0 tal que para n maior que n0 tem-se |xn−a| < ε, nesse caso dizemos que a sequˆencia ´e convergente e seu limite ´e a, caso n ˜ao exista a tal que a sequˆencia satisfa¸ca essa propriedade dizemos que a sequˆencia diverge. Em s´ımbolos tem-se a defini¸c ˜ao

limxn=a⇔∀ε >0n0N|n > n0 ⇒ |xn−a|< ε.

Lˆe-se limxn=acomo : limite de xn ´e igual `a a. De maneira equivalente podemos escrever que dada um sequˆencia xn → a, ent ˜ao existe n0 tal que uma vez que a sequˆencia entra na bola B(a, ε) ela nunca mais sa´ı dela,

limxn =a⇔∀ε >0 n0 N|n > n0⇒ xnB(a, ε).

Tamb´em denotamos limxn =a por xn→a e limxn = lim

n→∞xn. .

Quando n ˜ao vale limxn =a, negamos a defini¸c ˜ao, ent ˜ao fica

∃ε >0, n0 N,∃n > n0 tal que|xn−a|ε.

Nesse caso existem infinitos valores fora do intervalo (a−ε, a+ε).

1.3.1 Caracteriza ¸c ˜ ao de sequˆencias por meio de abertos

b

Propriedade 18 (Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos). limxn=

(17)

a⇔ aberto A com aA existe n0 N tal que n > n0 implica xnA.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒).

Seja A um aberto com a A, ent ˜ao existe ε >0 tal que (a−ε, a+ε) A e por limxn=a existe n0N| n > n0 tem-se xn(a−ε, a+ε), logo xn A.

⇐).

Supondo que aberto A com aA existe n0N tal que n > n0 implica xnA, ent ˜ao em especial para todoε > 0 podemos tomar o aberto A= (a−ε, a+ε) e tem-se limxn=a pela defini¸c ˜ao de limite.

b

Propriedade 19 (Unicidade do limite de sequˆencias). Se lim xn = a e lim xn=b ent ˜ao a=b.

Dado uma qualquer quando limxn=adizemos que a sequˆencia (xn) converge para a ou tende para a e tem limite. As sequˆencias que tˆem limite chamamos de convergentes e as que n ˜ao chamamos de divergentes.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja lim xn =ae b̸=avamos tomarε= |b−a|

2 ,ε >0 temos que os intervalos(a−ε, a+ε) e (b−ε, b+ε) s ˜ao disjuntos, pois se houvesse x tal que

|a−x|< ε e |x−b|< εsomando as desigualdades ter´ıamos|a−x|+|x−b|<2ε=|b−a|

e pela desigualdade triangular |b−a| |a−x|+|x−b| < |b−a| o que ´e absurdo, temos ent ˜ao que os intervalos s ˜ao disjuntos. Como limxn =a temos que existe n0

tal que para n > n0 vale xn (a−ε, a+ε) e xn/ (b−ε, b+ε), logo lim xn̸=b.

b

Propriedade 20 (Limite de constante). Se f(n) = a ent ˜ao limf(n) = a.

Vamos usar a defini¸c ˜ao de limite. Temos que∀ε >0 e para todo nvale|f(n)−a|=

|a−a|=0< ε logo limf(n) = a.

b

Propriedade 21. Se f(n) = 1

n ent ˜ao limf(n) =0. Por propriedade arquime- diana dos naturais temos que para todo ε >0 existe n0 N tal que n0 > 1

ε logo ε > 1

n0, al´em disso f(n) ´e decrescente pois ∆f(n) = − 1

n(n+1) < 0 assim para

(18)

todo ε > 0 e n > n0 vale 1 n < 1

n0

< ε, isso implica pela defini¸c ˜ao de limite que lim 1

n =0.

b

Propriedade 22. Sejam limxn =a e ε >0, ent ˜ao apenas um n ´umero finito de termos n ˜ao pertence ao intervalo (a−ε, a+ε).

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Figura 1.1: Um n ´umero finito de elementos n ˜ao pertence ao intervalo (a−ε, a+ε) Como limxn =atem-se∀ε >0 ∃n0Ntal quen > n0(nN) implica|xn−a|< ε isso significa que para n > n0 tem-se xn (a−ε, a+ε) logo os ´unicos termos da sequˆencia que poderiam estar fora do intervalo s ˜ao os termo xk com k [1, n0]N sendo no m ´aximo n0 elementos, tem-se ent ˜ao um n ´umero finito de termos fora do intervalo. O n ´umero de elementos fora do intervalo (a−ε, a+ε) pode ser 0, por exemplo caso xn =0 o intervalo ´e (−ε, ε) que cont´em todos termos da sequˆencia.

b

Propriedade 23. Se para qualquer ε > 0 fixado vale que fora do intervalo (a−ε, a+ε) h ´a apenas um n ´umero finito de valores de xn ent ˜ao limxn =a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja ε > 0 ´arbitr ´ario fixado tem-se que fora do intervalo I = (a−ε, a+ε) h ´a apenas um n ´umero finito de valores de xn ent ˜ao teremos no m ´aximo os valores xk de k = 1 at´e um certo k = n0 tal que xk / I (pode ser que para alguns desses ´ındices k se tenha xk I) assim para n > n0 teremos xn I logo

|xn−a|< ε, isto ´e para todo ε >0 existe n0 tal que n > n0 implica |xn−a|< ε.

(19)

b

Propriedade 24. Se limxn = a ent ˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.

ê Demonstra ¸c ˜ao.Para todo ε > 0 apenas um n ´umero finito de termos de (xn) n ˜ao pertence ao intervalo I= (a−ε, a+ε) assim apenas um n ´umero finito de termos da subsequˆencia podem estar fora do intervalo I o que implica que a subsequˆencia converge para a, pois I ir ´a conter todos termos da subsequˆencia (a menos de uma quantidade finita) para qualquer ε >0.

$

Corol ´ario 4. Se duas subsequˆencias de (xn) possuem limites distintos ent ˜ao (xn) diverge. Pois se limxn=a ent ˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.

b

Propriedade 25. Se lim(xn+p) =a para algum p natural ent ˜ao limxn=a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Existe n0 N tal que para n > n0 tem-se |xn+p −a| < ε, logo a partir de xn0+p+1 vale a desigualdade anterior, ent ˜ao para n > n0+p vale

|xn−a|< ε que significa que limxn =a.

limxn+p =a⇔limxn =a.

$

Corol ´ario 5. Uma sequˆencia (xn)converge para a⇔ todas suas subsequˆencias convergem para a. A ida j ´a mostramos . Agora se todas subsequˆencias de (xn) convergem para a, ela pr ´opria converge para a, pois ela ´e subsequˆencia dela mesma. Se toda subsequˆencia pr ´opria de (xn) converge para a, ainda assim limxn =a, pois podemos tomar a subsequˆencia (xn+1 e como vimos na propriedade anterior se limxn+1 =a ent ˜ao limxa.

1.3.2 Defini ¸c ˜ ao de sequˆencia peri ´odica

m

Defini ¸c ˜ao 20 (Sequˆencia peri ´odica). Uma sequˆencia(xn) ´e dita peri ´odica sse existe pN tal que xn+p =x para todo nN. O menor dos valores p ´e chamado

(20)

de per´ıodo da sequˆencia.

$

Corol ´ario 6. A sequˆencia constante ´e peri ´odica pois satisfaz xn = x(n+p) para qualquer p, sendo o menor desses valores 1, ent ˜ao ela possui per´ıodo 1.

b

Propriedade 26. Uma sequˆencia possui per´ıodo p=1 sse ´e uma sequˆencia constante.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se uma sequˆencia possui per´ıodo 1, ent ˜ao vale para todo kN, xk=xk+1 da´ı ∆xk=0, aplicando a soma

n−1

k=1

tem-se

xn−x1=0

da´ı xn = x1 para todo n, sendo assim ela ´e constante. No exemplo anterior vimos que a sequˆencia constante possui per´ıodo 1, ent ˜ao a propriedade est ´a demonstrada.

b

Propriedade 27. Se (xn) possui per´ıodo p, ent ˜ao para todo n, qN, tem-se x(n) =x(qp+n).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre q, para q=1 vem da defini¸c ˜ao. Supondo para q, xn = xqp+n, vamos provar que x(q+1)p+n = xn. Tem-se x(q+1)p+n = xqp+n+p =xqp+n =xn. Ent ˜ao est ´a demonstrado.

b

Propriedade 28. Uma sequˆencia peri ´odica ´e convergente sse ´e constante.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[1] Considere as subsequˆencias da sequˆencia (xk) que possui per´ıodo p

(x1, x1+p, x1+2p,· · ·) = (x1+kp)k∈N (x2, x2+p, x2+2p,· · ·) = (x2+kp)k∈N

...

(xp−1, xp−1+p, xp−1+2p,· · ·) = (xp−1+kp)k∈N

(21)

cada sequˆencia dessas ´e constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo fato da sequˆencia ser peri ´odica de per´ıodo p, xn+p =xn. Se (xk) converge ent ˜ao todas suas subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor, ent ˜ao deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e cada termo da sequˆencia (xk) deve pertencer a uma dessas subsequˆencias, disso segue que (xk) ´e constante.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Se a sequˆencia xn ´e peri ´odica ent ˜ao existe um per´ıodo p, se esse per´ıodo ´e 1 ent ˜ao ela ´e constante, considere ent ˜ao que seja p > 1. Tome a divis ˜ao euclidiana de n por p ent ˜ao n = qp+s ou n = qp onde 0 < s < p, da´ı temos xn =xs no primeiro caso e no segundo xqp = xp, considere as subsequˆencias definidas como zs(q) =x((q−1)p+s) =xs e z0(q) =x(qp) =x(p) com qN, cada uma dessas subsequˆencias ´e constante e como a sequˆencia ´e convergente ent ˜ao todas essas subsequˆencias devem assumir o mesmo valor t = xs = xp, ent ˜ao no caso de n = qp +s tem-se xqp+s = xs = t e no caso n = qp tem-se xqp = xp = t, logo a sequˆencia ´e constante.

Z

Exemplo 1. f(n) = (−1)n diverge pois a subsequˆencia de ´ındices pares f(2n) = (−1)2n =1 e a de ´ındices ´ımpares f(2n+1) = (−1)2n+1= −1 s ˜ao constantes logo os limites das subsequˆencias s ˜ao 1 e1, sendo diferentes a sequˆencia diverge.

$

Corol ´ario 7. Se (xn) converge e o limite de uma subsequˆencia for a ent ˜ao limxn =a, pois a subsequˆencia deve convergir para o mesmo limite da sequˆencia.

$

Corol ´ario 8. Se limxn =a ent ˜ao limxn+p =a para qualquer p natural. Segue da propriedade anterior pois (xn+p) ´e uma subsequˆencia de (xn). Assim o limite de uma sequˆencia n ˜ao se altera quando omitimos um n ´umero finito de termos dela.

b

Propriedade 29. Toda sequˆencia convergente ´e limitada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se limxn=a ent ˜ao para todo ε > 0 temos que existe n0 tal que para n > n0 implica xn (a−ε, a+ε), ent ˜ao tomando ε = 1 tomamos o conjunto

(22)

{x1, . . . , xn0, a−1, a+1} seu m ´aximo sendo c e m´ınimo d e temos todos elementos da sequˆencia contidos no intervalo [d, c], logo a sequˆencia ´e limitada.

$

Corol ´ario 9. Se uma sequˆencia n ˜ao ´e limitada ela n ˜ao ´e convergente.

Z

Exemplo 2. Mostre que a sequˆencia (xn) dada por xn =

n

k=1

n

n+k diverge.

Vale kn, da´ı n+k2n, 1

2 n

n+k, aplicando a soma tem-se

n

k=1

1 2

n

k=1

n n+k n

2

n

k=1

n n+k logo a sequˆencia diverge.

1.3.3 Valores de aderˆencia

m

Defini ¸c ˜ao 21 (Valor de aderˆencia). Um n ´umero real a ´e dito valor de aderˆencia de uma sequˆencia (xn), quando existe uma subsequˆencia de (xn) que converge para a. Simbolizaremos o conjunto dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia por A[xn].

$

Corol ´ario 10. Se uma sequˆencia ´e convergente ent ˜ao todas subsequˆencias con- vergem para o mesmo limite que ´e o limite da sequˆencia, ent ˜ao se uma sequˆencia

´e convergente ela possui apenas um valor de aderˆencia, isto ´e, se limxn=a ent ˜ao A[xn] ={a}={limxn}.

Z

Exemplo 3. Os racionais s ˜ao densos na reta e s ˜ao enumer ´aveis, ent ˜ao podemos tomar uma sequˆencia (xn) que enumera os racionais, logo pra essa

(23)

sequˆencia vale A[xn] = R. Em especial os racionais em [0,1] s ˜ao enumer ´aveis e densos logo tomando uma enumera¸c ˜ao (xn) dos racionais nesse conjunto temos A[xn] = [0,1].

Z

Exemplo 4. A sequˆencia (1,2,3,1,2,3,1,2,3,· · ·) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3=3 sendo peri ´odica de per´ıodo 3, xn+3=xn, tem A[xn] ={1,2,3}.

Z

Exemplo 5. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) que possua A[xn] = N. Para que isso aconte¸ca ´e necess ´ario que cada n ´umero natural apare¸ca infinitas vezes na sequˆencia. Definimos a sequˆencia (xn) como xn=k se n ´e da forma pαkk, onde pk ´e o k-´esimo primo e αk N, da´ı existem infinitos valores de n tais que xn=k com isso geramos subsequˆencias que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´em xn =1 caso n n ˜ao seja da forma pαkk, apenas para completar a defini¸c ˜ao da sequˆencia.

b

Propriedade 30. aA[xn]⇔ ε >0 e kN existan com n > k tal que

|xn−a|< ε. Um ponto a ´e de aderˆencia se existem infinito termos da sequˆencia arbitrariamente pr ´oximos de a.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒). Se a ´e valor de aderˆencia de (xn), ent ˜ao ela possui uma subsequˆencia que converge para a, logo para qualquer ε > 0 e k N fixo, existe n ´ındice da subsequˆencia tal que n > k e |xn−a|< ε.

⇐). Supondo que ε > 0 e kN exista n com n > k tal que |xn−a|< ε.

No primeiro passo tomamosε=1 ek=1 da´ı existen1 >1 tal que xn1 (a−1, a+1).

Podemos tomar agoraε= 1

2 e k=n1 ent ˜ao existe n2 > n1 tal quexn2 (a−1 2, a+1

2), na t + 1-´esima etapa tomamos ε = 1

t+1 e k = nt da´ı existe nt+1 > nt tal que xnt+1 (a− 1

t+1, a+ 1

t+1), logo constru´ımos uma subsequˆencia (xnt) de (xn) tal que

tlim→∞xnt =a.

(24)

$

Corol ´ario 11. Negamos a proposi¸c ˜ao anterior.

a /A[xn]⇔ ε >0 e ∃k∈N tal que para todo n > k temos |xn−a|ε.

Z

Exemplo 6. Quais s ˜ao os valores de aderˆencia da sequˆencia (xn) definida como x2n−1 = n e x2n = 1

n? Para que um ponto seja de aderˆencia ´e necess ´ario que existam infinitos termos arbitrariamente pr ´oximos de tal ponto, no caso de tal sequˆencia o ´unico n ´umero que satisfaz tal propriedade ´e o 0, al´em disso tal sequˆencia n ˜ao ´e convergente pois n ˜ao ´e limitada.

b

Propriedade 31. O conjunto A dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia (xn) ´e fechado.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que mostrar que A=A.J ´a sabemos que vale A A, falta mostrar que A A . Queremos mostrar que , se a A ent ˜ao a A, vamos mostrar a contrapositiva que ´e : se a /A ent ˜ao a /A, que equivale logicamente.

Se a / A ent ˜ao existe ε > 0 tal que (a−ε, a+ε) n ˜ao possui elementos de (xn) da´ı n ˜ao pode valer aA.

b

Propriedade 32. Se uma sequˆencia (xn) for limitada ent ˜ao seu conjunto de pontos de aderˆencia ´e compacto.

ê Demonstra ¸c ˜ao. J ´a vimos que A ´e fechado, agora se (xn) for limitada ent ˜ao A ´e limitado, sendo limitado e fechado ´e compacto.

Nessas condi¸c ˜oes A possui elemento m´ınimo e elemento m ´aximo. o M´ınimo de A

´e denotado como lim infxn e o elemento m ´aximo de A ´e denotado como lim supxn.

1.4 Sequˆencias mon ´otonas

1.4.1 Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente

(25)

Teorema 1. Toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Sejam (xn) uma sequˆencia crescente limitada, a = sup{xn | n N}, vamos mostrar que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a > a−ε como a ´e o supremo (menor das cotas superiores) temos que a−ε n ˜ao ´e cota superior, ent ˜ao n0 tal que xn0 > a−ε e como a sequˆencia ´e crescente temos para n > n0 que xnxn0 logo xn > a−ε e a−ε < xn < a+εimplicando limxn=a.

Sejam (xn) uma sequˆencia decrescente limitada, a = inf{xn|n N}, vamos mostrar que limxn =a. Para qualquer ε >0 temos a+ε > a como a ´e ´ınfimo temos que a+ε n ˜ao ´e cota inferior, ent ˜ao existe n0 tal que xn0 < a+ε e como a sequˆencia ´e n ˜ao-crescente temos para n > n0, xn xn0 e a−ε < xn < a+ε implicando limxn =a.

$

Corol ´ario 12. Uma sequˆencia (xn) crescente limitada converge para o supremo a dos seus termos, ent ˜ao vale sempre xn a.

Uma sequˆencia (xn) decrescente limitada converge para o ´ınfimo a dos seus termos, ent ˜ao vale sempre xn a.

b

Propriedade 33. 1. Toda sequˆencia estritamente crescente limitada tem todos seus termos menores que seu limite .

2. Toda sequˆencia estritamente decrescente limitada tem todos seus termos maiores que seu limite.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente crescente e limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn < a. Se fosse xn a para n > n0 ent ˜ao xn+1 >

xn a, da´ı xn+1 > a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.

(26)

2. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente decrescente limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn > a. Se fosse xn a para n > n0 ent ˜ao xn+1 <

xn a, da´ı xn+1 < a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.

1.4.2

√ a +

a +

a + · · · Ra´ızes encaixadas

Z

Exemplo 7. Seja a sequˆencia (xn) definida como x1 = a e xn+1 = √

xn+b, onde x21 < x1+b, isto ´e , a2 < a+b, a e b positivos , calcular limxn.

Vamos mostrar primeiro que a sequˆencia ´e crescente. Por indu¸c ˜ao sobre n, temos x2 =

a+bea <

a+bpoisa2< a+b.Supondo paran,xn < xn+1 vamos mostrar que vale para n+1, xn+1< xn+2 . Da hip ´otese tem-se que xn+b < xn+1+b da´ı

xn+b < √

xn+1+b implicando xn+1 < xn+2. Vamos mostrar agora que a sequˆencia ´e limitada superiormente. Existe t > 0 R tal que t2 > a+b e t2−b > t. Da´ı a sequˆencia ´e limitada superiormente por t2−b pois, por indu¸c ˜ao x1 = a < t2 −b e supondo xn < t2−b segue xn+b < t2 tomando a raiz segue xn+1< t < t2−b. Ela ´e limitada superiormente e crescente logo ´e convergente.

Tomando limite em ambos lados de x2n+1 = xn+b resolvendo a equa¸c ˜ao do segundo grau encontramos L= 1+

1+4b

2 .

Podemos tomar x1=0 e b=a da´ı 0< a, logo converge e temos o corol ´ario

√ a+

√ a+

a+· · ·= 1+ 1+4a

2 .

Z

Exemplo 8.

1+

1+

1+· · ·= 1+ 5 2 converge para a raz ˜ao ´aurea.

(27)

Z

Exemplo 9.

2+

2+

2+· · ·=2. Seja f(0) =0 e f(n) =√

2+f(n) ent ˜ao vale 2−f(n+1)

2−f(n) > 1 4.

Como 2−f(n)>0 para todo n tem-se que essa desigualdade ´e equivalente `a 4f(n+1) −f(n)<64

2+f(n) −f(n)<6

tomandof(n) = x, simplificando ap ´os elevar ao quadrado, chegamos numa inequa¸c ˜ao de segundo grau, satisfeita para qualquer x, logo se verifica a inequa¸c ˜ao .

b

Propriedade 34. Se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia limitada, ent ˜ao a sequˆencia ´e limitada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que (xn) seja crescente e possua uma subsequˆencia (xnk) limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M, para algum M. Como (xnk) ´e limitada , ent ˜ao para todo n N existe n0 N tal que n0 > n e n0 ´e ´ındice da subsequˆencia limitada (xnk) com isso tem-se xn xn0 e como a subsequˆencia ´e limitada, existe M tal que xn0 < M, da´ı por transitividade xn < M, isso implica que (xn) ´e limitada superiormente e como a sequˆencia crescente ela tamb´em ´e limitada inferiormente, sendo limitada inferiormente e superiormente ela

´e limitada.

$

Corol ´ario13. Se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia limitada ent ˜ao ela ´e convergente, pois a sequˆencia mon ´otona ser ´a limitada e toda sequˆencia mon ´otona limitada ´e convergente.

(28)

$

Corol ´ario 14. Em especial se uma sequˆencia mon ´otona possui subsequˆencia convergente, ent ˜ao essa subsequˆencia ´e limitada e da´ı a sequˆencia mon ´otona ´e convergente.

1.4.3 lim b

n

= 0, | a

n

| < c ⇒ lim a

n

b

n

= 0.

b

Propriedade 35. Se lim bn = 0 e (an) ´e uma sequˆencia limitada, ent ˜ao limanbn =0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como an ´e limitada existe c >0 tal que |an|< c para todo n natural, e como lim bn=0 temos ε >0 n0 tal que n > n0 implica |bn|< ε, temos que mostrar que ε1 > 0 ∃n0 tal que n > n0 implica |anbn| = |an||bn| < ε1. Como lim bn = 0 podemos escolher ε = ε1

c para qualquer ε1 > 0 logo para n > n0 segue

|bn|< ε1

c e como |an|< c tem-se |an||bn|< cε1

c =ε1 como quer´ıamos demonstrar.

$

Corol ´ario15. Em especial se(xn) ´e convergente e limyn =0 ent ˜ao limxn.yn = 0, pois uma sequˆencia convergente ´e limitada.

Z

Exemplo 10. Se (xn) ´e convergente e yn =n ent ˜ao limxn

yn

=0, pois (xn) ´e limitada e

( 1 yn

)

tende a zero.

Z

Exemplo 11. Calcular o limite da sequˆencia cos(4)

n .

Temos que an = cos(

4 ) ´e limitada e bn = 1

n tem limite 0, logo a sequˆencia de termo cos(4 )

n converge para zero.

(29)

Z

Exemplo 12. A sequˆencia f(n) = (−1)n

n tem limite 0 pois (−1)n ´e limitada e lim 1

n =0.

b

Propriedade 36. Sejam (an) e (bn) sequˆencias limitada tais que an+bn = 1nN, (zn) e (tn) com o mesmo limite a, ent ˜ao liman.zn+bn.tn =a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Escrevemos an.zn+bn.tn =an.zn−a.an+a. a|{z}n

=1−bn

+bn.tn =an(zn−a) +a(1−bn) +bn.tn=

=an(zn−a) +a−a.bn+bn.tn =an(zn−a) +a+bn(tn−a) da´ı

liman(zn−a) +a+bn(tn−a) = a=liman.zn+bn.tn

pois an e bn s ˜ao limitadas e zn−a, tn−a tendem a zero.

b

Propriedade 37. Se lim

n→∞zk(n) = a k e cada (xk(n)) ´e limitada com

p

k=1

xk(n) = vn →b ent ˜ao limn→∞

p

k=1

xk(n)zk(n) = a.b.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale x1(n) =vn

p

k=2

xk(n).

p

k=1

xk(n)zk(n) =x1(n)z1(n) +

p

k=2

xk(n)zk(n) =

=z1(n)vn

p

k=2

xk(n)z1(n) +

p

k=2

xk(n)zk(n) =

=z| {z }1(n)vn

a.b

+

p

k=2

xk(n) (z| k(n) −{zz1(n))}

0

→a.b.

1.4.4 A sequˆencia (

1 + 1 n

)

n

.

Vamos analisar a sequˆencia definida por f(n) =

( 1+ 1

n )n

.

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