Anota¸c˜oes sobre sequˆencias

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uﬀ.math@gmail.com

‡

(2)

(3)

1 Sequˆencias 5

1.1 Defini¸c ˜ao e propriedades b ´asicas . . . . 5

1.2 Opera¸c ˜oes com sequˆencias . . . . 6

1.2.1 Defini¸c ˜ao de subsequˆencia . . . . 11

1.3 Limites de sequˆencias . . . . 16

1.3.1 Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos . . . . 16

1.3.2 Defini¸c ão de sequência peri ódica . . . . 19

1.3.3 Valores de aderˆencia . . . . 22

1.4 Sequˆencias mon ´otonas. . . . 24

1.4.1 Toda sequência mon ótona limitada é convergente . . . . 24

1.4.2 √ a+ √ a+√ a+· · · Ra´ızes encaixadas . . . . 26

1.4.3 lim bn =0, |an|< c⇒ limanbn =0. . . . . 28

1.4.4 A sequˆencia ( 1+ 1 n )n . . . . . 29

1.4.5 √ x √ x √ x√ x· · · . . . . 34

1.4.6 Limite do m ´odulo de uma sequˆencia. . . . . 37

1.4.7 Estudo da sequˆencia (aⁿ). . . . . 37

1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . . 38

1.5.1 Limite da soma . . . . 38

1.5.2 Limite do produto . . . . 39

1.5.3 Limite do quociente . . . . 41

1.5.4 lim√^p (xn). . . . . 43

1.5.5 Se N= ∪p k=1 Nk e lim n∈Nk xn =a ent ˜ao limxn =a. . . . . 47

1.6 C ´alculo de limites por meio de subsequˆencias . . . . 48 3

(4)

1.6.1 limaⁿ¹ =1 . . . . 48 1.6.2 limnⁿ¹ =1 . . . . 49 1.7 Limites infinitos . . . . 49

1.7.1 lim√

n=∞. . . . . 51 1.7.2 lim

∑n

k=1

√ 1

n+k =∞. . . . . 52 1.8 Opera¸c ˜oes com limites infinitos . . . . 52

1.8.1 lim (

1+ 1

√n )n

=∞ . . . . 53 1.8.2 Se lim|xn+1|

|xn| =L ent ˜ao lim√ⁿ

|xn|=L. . . . . 54 1.8.3 lim ⁿ

√(2n)!

n!nⁿ = 4

e. . . . . 55 1.8.4 lim

n→∞

(m+n n

)_n¹

=1 . . . . 56 1.8.5 lim√ⁿ

n! =∞ . . . . 56

1.8.6 lim 1

√n+1+√

n =lim√

n+1−√

n=0 . . . . 57 1.8.7 limln(n+1) −ln(n) = 0 . . . . 60 1.8.8 limln(n+1)

ln(n) =1. . . . . 61 1.9 Limites e desigualdades . . . . 63 1.9.1 O limite preserva desigualdades. . . . 66

(5)

Sequˆencias

1.1 Defini ¸c ˜ ao e propriedades b ´asicas

m

Defini ¸c ão 1 (Sequência finita ou n-upla). Uma sequência finita é uma fun¸c ão x : In → B, onde In = {1, . . . n} e B é um conjunto qualquer, podemos denotar a sequência como (xk)ⁿ₁.

m

Defini ¸c ão 2 (Sequência vazia). E uma sequência sem elementos denotada´ por () que consideraremos também como uma sequência finita.

m

Defini ¸c ão 3 (Sequência). Come¸caremos com uma sequência em um corpo qualquer e depois trataremos de sequências onde o corpo é o corpo dos n úmeros reais. Uma sequência com elementos em um corpo K é uma fun¸c ão X : N → K. xn é chamado n-ésimo termo da sequência e podemos denotar a sequência das seguintes maneiras

(x1, . . . , xn, . . .) = (xn)_n_∈N= (xn) = {xn}.

Tal defini¸c ˜ao pode ser feita tomando um conjunto qualquer B no lugar do corpo

5

(6)

K, nesse caso podemos ter sequˆencia de elementos arbitr ´arios.

Em nossa apresenta¸c ˜ao escolhemos come¸car a sequˆencia do termo x1 pois associamos a ele normalmente o primeiro termo.

Usaremos a nota¸c ão x(N) = {x1, . . . , xn, . . .} = {xn|n ∈ N} para simbolizar o conjunto dos termos da sequência. é preciso tomar cuidado para n ão confundir o conjunto de termos da sequência com a representa¸c ão da sequências através da upla. Se a sequência for injetiva, isto é, xm =xn implicar n =m, diremos que é uma sequência de termos dois a dois distintos. Em (xn), n é chamado de ´ındice da sequência. Dizemos também que em (xn), xn é o termo de ordem n ou é o n-ésimo termo da sequência.

m

Defini ¸c ão 4 (Sucessores e antecessores). Dado o termo xs em uma sequência (xn), os termos xp tais que p > s s ão ditos sucessores de xs na sequência (xn) se s > 1 ent ão os termos xp tal que p < s s ão ditos antecessores de xs na sequência (xn).

1.2 Opera ¸c ˜ oes com sequˆencias

m

Defini ¸c ão 5 (Igualdade de sequências). Duas sequências (ak) e (bk) s ão iguais, quando ak=bk para todo k∈N

(ak) = (bk)

, isto é duas sequências s ão iguais quando seus termos de ´ındices iguais, s ão iguais.

m

Defini ¸c ão 6 (Adi¸c ão de sequências). Sejam sequências(an) e (bn), definimos

(7)

a adi¸c ˜ao como uma outra sequˆencia (cn)

(an) + (bn) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pela adi¸c ˜ao de an e bn, cn=an+bn.

m

Defini ¸c ão 7 (Produto de sequências). Sejam sequências(an)e(bn), definimos o produto, como

(an)(bn) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pelo produto dos termos bn e an, cn =anbn.

Propriedades da adi ¸c ˜ao

Sejam (an),(bn),(cn) sequências quaisquer no corpo K, a adi¸c ão e o produto de sequências gozam das seguintes propriedades

b

Propriedade 1(Elemento neutro). O elemento neutro da adi¸c ˜ao de sequˆencias

é a sequência onde todos termos s ão nulos (cn) = (0)

onde cn =0 ∀n∈N1. E temos a propriedade, sendo (an)uma sequˆencia qualquer, temos a propriedade

(an) + (0) = (an+0) = (an).

Pois o corpo k possui elemento neutro da adi¸c ão. Temos um elemento neutro do produto que é (1) a sequência constante formada pelo n úmero 1, e temos a propriedade

(an)(1) = (an.1) = (an).

Pois 1 ´e o elemento neutro do produto no corpo K

(8)

b

Propriedade 2 (Comutatividade). Temos as propriedades

(cn) + (bn) = (cn+bn) = (bn+cn) = (bn) + (cn) (cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn)

pela propriedade da adi¸c ˜ao e o produto serem comutativos no corpo k.

b

Propriedade 3 (Associatividade).

[(cn) + (bn)] + (an) = (cn+bn) + (an) = (cn+bn+an) = (cn) + [(bn+an)]

[(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)]

pela associatividade no corpo K.

b

Propriedade 4 (Existência de inverso). Para a sequência (an) existe a sequência (−an), tal que

(an) + (−an) = (an−an) = (0)

a soma das sequências é a sequência nula. Se an ̸= 0 para todo n, existe a⁻¹_n e temos a sequência dos inversos (a⁻¹_n ) onde temos a propriedade

(an).(a⁻¹_n ) = (an.a⁻¹_n ) = (1).

b

Propriedade 5 (Existência de divisores de zero). Dadas duas sequências n ão nulas (xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequência nula.

ê Demonstra ¸c ão. Considere (xn) dada por xn =0 se n par e xn =1 se n ´ımpar, (yn) tal que yn = 0 se n ´ımpar yn = 1 se n par, ent ão (xn)(yn) = (0) e nenhuma delas é a sequência nula.

(9)

$

Corol ário 1. Com isso conclu´ımos que o conjunto das sequências munido da adi¸c ão e multiplica¸c ão que definimos , n ão é um corpo, pois em corpos n ão existem divisores de zero.

b

Propriedade 6 (Distributividade).

(an)[(cn)+(bn)] = (an)(cn+bn) = (ancn+anbn) = (ancn)+(anbn) = (an)(cn)+(an)(bn) pela distributividade no corpo K.

m

Defini ¸c ão 8 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequência (an) e um elemento r do corpo K, definimos o produto da sequência por r como uma outra sequência (cn)

r(an) = (cn)

onde o termo cn ´e dado pelo produto do termo an e r, cn =an.r.

b

Propriedade 7 (Distributividade). Sendo r e p∈k, temos

(r+p)(an) = (ran+pan) = (ran) + (pan) = r(an) +p(an).

r[(an) + (bn)] = r(an+bn) = (ran+rbn) = r(an) +r(bn).

b

Propriedade 8 (Multiplica¸c ˜ao por 1).

1.(an) = (1.an) = (an).

(10)

b

Propriedade 9. c e d no corpo K temos

c[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an)

Com as propriedades de adi¸c ão e produto por escalar (que no caso s ão elementos do corpo K), as sequências em um corpo k, formam um espa¸c o vetorial. Este espa¸c o vetorial de sequências ser á simbolizado por K^∞, em especial se o corpo for o corpo dos n úmeros reais R, teremos o espa¸c o vetorial R^∞ que s ão sequências de n úmeros reais.

b

Propriedade 10. Seja, s um n ´umero natural maior que 1 , as sequˆencias (xn) com xn = 0 para n ≥ s e outros termos livres em K formam um subespa¸c o vetorial de K^∞. Em termos de upla escrevemos

(

xk|^s−1₁ , xk|^∞s

)

= (

xk|^s−1₁ ,0|^∞s

)

= (x1, . . . , xs−1,0, . . .).

ê Demonstra ¸c ão. A sequência (0) pertence a sequência (xn), pois basta tomar xn = 0 para n < s, pela defini¸c ão da sequência (xn) vamos ter xn = 0 para n ≥ s.

Escrevendo com nota¸c ˜ao de upla (

xk

^∞

1

)

abrindo, temos (

xk

^∞

1

)

= (

xk

^s−1

1

, xk

^∞

s

)

para que seja a sequência zera basta tomar xk=0 para k de 1 até s−1, pois a partir de s, todos s ão zero.

Sejam agora duas sequˆencias (an) e (bn) com as propriedades da hip ´otese, vamos demonstrar a soma continua tendo as propriedades que queremos. Escrevendo como upla, temos

(an) + (bn) = (

ak

^s−1

1

,0 ^∞

s

) +

( bk

^s−1

1

,0 ^∞

s

)

= (

ak+bk

^s−1

1

,0 ^∞

s

) . logo a adi¸c ˜ao ´e fechada.

Agora seja a um elemento do corpo K e uma sequência (xn) com as propriedades da hip ótese, vamos mostrar que o produto continua sendo uma sequência com a propriedade que queremos

a (

ak

^s−1

1

,0 ^∞

s

)

= (

a.ak

^s−1

1

,0 ^∞

s

) .

que é do tipo que desejamos. Assim demonstrada essas três propriedades temos que tais sequências s ão subespa¸c o de K^∞.

(11)

1.2.1 Defini ¸c ˜ ao de subsequˆencia

m

Defini ¸c ão 9 (Subsequência). Uma subsequência (xn)_n_∈N′ de uma sequência (xn) é a restri¸c ão da sequência xn : N → R a um subconjunto infinito N^′ de N, isto é, (xn)_n∈N′ é a fun¸c ão xn:N^′ →R, onde N^′ ⊂N é um conjunto infinito .

Vamos analisar agora o caso onde o corpo K ´e o corpo dos n ´umeros reais.

m

Defini ¸c ão 10 (Sequência limitada). Uma sequência (xn) é limitada quando existem a e b reais tais que xn ∈ [a, b] ∀ n ∈ N, isto é, sempre vale a ≤ xn ≤ b . Todo intervalo [a, b] est á contido num intervalo do tipo [−c, c], com c > 0 (intervalo simétrico). Para ver isto, basta tomar c = max{|a|,|b|}, pois c ≥ b e c≥−a da´ı a≥−c e portanto,

−c≤xn ≤c⇔|xn|≤c,

assim podemos ver que uma sequência (xn) é limitada ⇔ existe c >0 real, tal que |xn|≤c para todo n∈N, Da´ı resulta que (xn) é limitada ⇔ (|xn|) é limitada.

b

Propriedade 11. A soma finita de sequências limitada é uma sequência limitada.

ê Demonstra ¸c ão. Usaremos nota¸c ão xp(k) para simbolizar o k-ésimo termo da p-ésima sequência, como cada uma das n sequências é limitada ent ão para cada p existe uma constante Mp >0, tal que |xp(k)|≤Mp para todo k∈N. Somando sobre p tem-se

|

∑n

p=1

xp(k)|≤

∑n

p=1

|xp(k)|≤

∑n

p=1

Mp

logo a sequˆencia dada pela soma ´e limitada.

b

Propriedade 12. O produto de sequências limitadas é uma sequência limi- tada.

(12)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos a mesma nota¸c ˜ao da propriedade anterior. Vale

|xp(k)|≤Mp da´ı podemos tomar o produto com p variando

∏n

p=1

|xp(k)|=|

∏n

p=1

xp(k)|≤

∏n

p=1

Mp

de onde segue o resultado.

m

Defini ¸c ão 11 (Sequência ilimitada). Quando uma sequência n ão é limitada, diz-se que ela é ilimitada.

m

Defini ¸c ão 12 (Sequência limitada superiormente). Uma sequência (xn) é limitada superiormente, quando existe b ∈ R, tal que xn ≤ b para todo n ∈ N1, isto é, todos elementos pertencem ao intervalo (−∞, b].

m

Defini ¸c ão 13 (Sequência limitada inferiormente). Uma sequência (xn) é limitada inferiormente, quando existe b ∈ R , tal que b ≤ xn para todo n ∈ N1, isto é, todos termos da sequência pertencem ao intervalo [b,∞).

$

Corol ário 2. Uma sequência é limitada sse é limitada superiormente e infe- riormente. Se a sequência for limitada ent ão todos seus termos pertencem a um intervalo fechado [a, b], logo temos sempre a≤xn≤b, de onde segue que xn ≤b logo é limitada superiormente e a≤xn logo limitada inferiormente. Agora se ela

´e limitada inferiormente e superiormente temosa, b tais que a≤xn e xn ≤b logo xn∈[a, b] para todo n.

$

Corol ário 3. Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada. Se a sequência é limitada ent ão temos que xn ∈ [a, b]∀n ∈ N1 em especial temos

(13)

tamb´em que xn ∈[a, b]∀n∈N^′ pois N^′ ´e um subconjunto de N.

m

Defini ¸c ão 14 (Sequências crescentes e n ão-decrescentes). Uma sequência (xn) é crescente, quando temos xn+1 > xn, para todo n ∈ N1. Podemos escrever da seguinte forma xn+1−xn > 0, usando o operador delta, ∆xn > 0, logo uma sequência é crescente, quando ∆xn>0 para todo n.

Uma sequência (xn) é n ão-decrescente, quando temos xn+1 ≥ xn para todo n ∈N1, que podemos escrever ∆xn ≥ 0. As sequências crescentes s ão sequências n ão-decrescentes, pois satisfazem xn ≥ 0 mas as n ão-decrescentes em geral n ão s ão crescentes.

m

Defini ¸c ão 15 (Sequências decrescentes e n ão-crescentes). Uma sequência (xn) é decrescente quando temos xn > xn+1 para todo n∈N1, que pode ser escrito como 0> xn+1−xn e usando novamente o operador delta, 0> ∆xn ou ∆xn<0.

Uma sequência (xn) é n ão-crescente, quando temosxn+1≤xn para todo n∈N1, e usando o operador, escrevemos ∆xn ≤0.Da mesma maneira que nas sequências crescentes, as sequências decrescentes s ão sequências n ão-crescentes pois satis- fazem ∆xn ≤ 0, porém as sequências n ão-crescentes n ão s ão necessariamente decrescentes.

b

Propriedade 13. Toda sequência n ão-decrescente é limitada inferiormente e toda n ão-crescente é limitada inferiormente.

ê Demonstra ¸c ão. Temos que vale ∆xk ≥0 para todo k∈N1 vamos mostrar que a sequência n ão-decrescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo x1, para isso temos que mostrar que xn ≥ x1 para qualquer n ∈ N1, como temos que vale

∆xk≥0 para todo k∈N1, tomamos o somat ´orio com k em [1, n−1]

∑n−1

k=1

∆xk=xk

ⁿ

1

=xn−x1≥0

(14)

pois é uma soma de n úmeros n ão negativos, logo vale xn ≥x1. O mesmo argumento para uma sequência crescente, nela vale∆xk>0 aplicando a soma em[0.n−1]temos

∑n−1

k=1

∆xk=xn−x1>0

pois é soma de termos maiores que zero, implicando xn > x1 para n > 1. Agora toda sequência n ão-crescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo, pois temos ∆xk≤0 e aplicando a soma em [1, n−1] temos

∑n−1

k=1

∆xk=xn−x1≤0

logo xn ≤x1 sendo o mesmo v ´alido para sequˆencias decrescentes ∆xk <0

∑n−1

k=1

∆xk=xn−x1<0 logo xn < x1.

m

Defini ¸c ão 16 (Sequências mon ótonas). sequências mon ótonas s ão sequências que têm uma das propriedades: Crescentes, decrescentes, n ão-crescentes ou n ão- decrescentes. Como as sequências crescentes s ão também n ão-decrescentes e as decrescentes s ão n ão-crescentes podemos demonstrar algumas propriedades para n ão-crescentes e n ão-decrescentes sendo v álida para outras sequências mon ótonas também.

b

Propriedade 14. N ão existe sequência decrescente de n úmero naturais.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha que exista uma sequência (xn) decrescente, con- sidere o conjunto dos termos da sequência A = {xn | n ∈ N}, por ser um conjunto de n úmeros naturais o PBO garante que existe o menor elemento de A, da´ı existe m∈N tal que xm é m´ınimo, porém como a sequência é decrescente ent ão xm > xm+1, absurdo.

(15)

b

Propriedade 15. N ão existe sequência crescente limitada de n úmeros natu- rais.

ê Demonstra ¸c ão. Supondo que exista uma sequência (xn) crescente o conjunto de seus termos A tem um maior elemento, digamos xm, porém como ela é crescente temos xm+1 > xm o que é absurdo.

b

Propriedade 16. Toda sequência n ão-decrescente limitada de n úmeros na- turais é constante a partir de certo termo.

ê Demonstra ¸c ão. Dado o conjunto dos termos da sequência, existe um elemento m áximo, digamos xm, vale xm+1 ≥ xm, como n ão pode valer xm+1 > xm ent ão vale xm+1=xm, o mesmo deve valer para todo outro p > m, xp =xm, pois n ão pode valer xp > xm.

b

Propriedade 17. Se uma sequência (xk) de n úmeros naturais é crescente, ent ão vale xk≥k para todo k∈N.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre n, para n = 1, vale x1 ≥ 1, pois x1

sendo natural n ˜ao pode ser menor que 1. Suponha que xn ≥ n, vamos mostrar que xn+1 ≥ n+1, vale que xn+1 > xn =n, da´ı xn+1 > n, o que implica xn+1 ≥ n+1, pois xn+1 n ˜ao pode estar em (n, n+1) pelo fato de ser natural.

m

Defini ¸c ão 17. Uma sequência (xn) é dita estar eventualmente num conjunto A se existe n0 ∈N tal que n > n0 implica an∈A, isto é, todos termos de ´ındices suficientemente grandes pertencem ao conjunto A.

m

Defini ¸c ão 18. Uma sequência (xn) é dita estar frequentemente num conjunto A se para todo n0 ∈N existe n1 > n0 tal que an1 ∈A, isto é, para todo ´ındice n0

podemos achar outro ´ındice maior n1 tal que an1 ∈A. Nesse caso dizemos que a sequˆencia (xn) est ´a frequentemente no conjunto A.

(16)

1.3 Limites de sequˆencias

Usaremos a nota¸c ˜ao B(a, ε) para o conjunto

B(a, ε) = {x∈R| |x−a|< ε}.

Tal conjunto ´e chamado de bola de centro a ´e raio ε.

m

Defini ¸c ão 19 (Limite de sequência.). Dizemos que limxn = a ⇔ para qualquer ε > 0 dado, conseguimos encontrar um n úmero natural n0 tal que para n maior que n0 tem-se |xn−a| < ε, nesse caso dizemos que a sequência é convergente e seu limite é a, caso n ão exista a tal que a sequência satisfa¸ca essa propriedade dizemos que a sequência diverge. Em s´ımbolos tem-se a defini¸c ão

limxn=a⇔∀ε >0∃n0∈N|n > n0 ⇒ |xn−a|< ε.

Lê-se limxn=acomo : limite de xn é igual à a. De maneira equivalente podemos escrever que dada um sequência xn → a, ent ão existe n0 tal que uma vez que a sequência entra na bola B(a, ε) ela nunca mais sa´ı dela,

limxn =a⇔∀ε >0 ∃n0 ∈N|n > n0⇒ xn∈B(a, ε).

Tamb´em denotamos limxn =a por xn→a e limxn = lim

n→∞xn. .

Quando n ão vale limxn =a, negamos a defini¸c ão, ent ão fica

∃ε >0, ∀n0 ∈N,∃n > n0 tal que|xn−a|≥ε.

Nesse caso existem infinitos valores fora do intervalo (a−ε, a+ε).

1.3.1 Caracteriza ¸c ˜ ao de sequˆencias por meio de abertos

b

Propriedade 18 (Caracteriza¸c ˜ao de sequˆencias por meio de abertos). limxn=

(17)

a⇔∀ aberto A com a∈A existe n0 ∈N tal que n > n0 implica xn∈A.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒).

Seja A um aberto com a∈ A, ent ˜ao existe ε >0 tal que (a−ε, a+ε) ⊂A e por limxn=a existe n0∈N| n > n0 tem-se xn∈(a−ε, a+ε), logo xn ∈A.

⇐).

Supondo que ∀ aberto A com a∈A existe n0∈N tal que n > n0 implica xn∈A, ent ˜ao em especial para todoε > 0 podemos tomar o aberto A= (a−ε, a+ε) e tem-se limxn=a pela defini¸c ˜ao de limite.

b

Propriedade 19 (Unicidade do limite de sequˆencias). Se lim xn = a e lim xn=b ent ˜ao a=b.

Dado uma qualquer quando limxn=adizemos que a sequência (xn) converge para a ou tende para a e tem limite. As sequências que têm limite chamamos de convergentes e as que n ão chamamos de divergentes.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja lim xn =ae b̸=avamos tomarε= |b−a|

2 ,ε >0 temos que os intervalos(a−ε, a+ε) e (b−ε, b+ε) s ˜ao disjuntos, pois se houvesse x tal que

|a−x|< ε e |x−b|< εsomando as desigualdades ter´ıamos|a−x|+|x−b|<2ε=|b−a|

e pela desigualdade triangular |b−a| ≤ |a−x|+|x−b| < |b−a| o que é absurdo, temos ent ão que os intervalos s ão disjuntos. Como limxn =a temos que existe n0

tal que para ∀n > n0 vale xn ∈ (a−ε, a+ε) e xn∈/ (b−ε, b+ε), logo lim xn̸=b.

b

Propriedade 20 (Limite de constante). Se f(n) = a ent ˜ao limf(n) = a.

Vamos usar a defini¸c ˜ao de limite. Temos que∀ε >0 e para todo nvale|f(n)−a|=

|a−a|=0< ε logo limf(n) = a.

b

Propriedade 21. Se f(n) = 1

n ent ˜ao limf(n) =0. Por propriedade arquime- diana dos naturais temos que para todo ε >0 existe n0 ∈ N tal que n0 > 1

ε logo ε > 1

n0, al´em disso f(n) ´e decrescente pois ∆f(n) = − 1

n(n+1) < 0 assim para

(18)

todo ε > 0 e n > n0 vale 1 n < 1

n0

< ε, isso implica pela defini¸c ˜ao de limite que lim 1

n =0.

b

Propriedade 22. Sejam limxn =a e ε >0, ent ão apenas um n úmero finito de termos n ão pertence ao intervalo (a−ε, a+ε).

Figura 1.1: Um n úmero finito de elementos n ão pertence ao intervalo (a−ε, a+ε) Como limxn =atem-se∀ε >0 ∃n0∈Ntal quen > n0(n∈N) implica|xn−a|< ε isso significa que para n > n0 tem-se xn ∈ (a−ε, a+ε) logo os únicos termos da sequência que poderiam estar fora do intervalo s ão os termo xk com k ∈ [1, n0]_N sendo no m áximo n0 elementos, tem-se ent ão um n úmero finito de termos fora do intervalo. O n úmero de elementos fora do intervalo (a−ε, a+ε) pode ser 0, por exemplo caso xn =0 o intervalo é (−ε, ε) que contém todos termos da sequência.

b

Propriedade 23. Se para qualquer ε > 0 fixado vale que fora do intervalo (a−ε, a+ε) h á apenas um n úmero finito de valores de xn ent ão limxn =a.

ê Demonstra ¸c ão. Seja ε > 0 árbitr ário fixado tem-se que fora do intervalo I = (a−ε, a+ε) h á apenas um n úmero finito de valores de xn ent ão teremos no m áximo os valores xk de k = 1 até um certo k = n0 tal que xk ∈/ I (pode ser que para alguns desses ´ındices k se tenha xk∈ I) assim para n > n0 teremos xn ∈I logo

|xn−a|< ε, isto ´e para todo ε >0 existe n0 tal que n > n0 implica |xn−a|< ε.

(19)

b

Propriedade 24. Se limxn = a ent ˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.

ê Demonstra ¸c ão.Para todo ε > 0 apenas um n úmero finito de termos de (xn) n ão pertence ao intervalo I= (a−ε, a+ε) assim apenas um n úmero finito de termos da subsequência podem estar fora do intervalo I o que implica que a subsequência converge para a, pois I ir á conter todos termos da subsequência (a menos de uma quantidade finita) para qualquer ε >0.

$

Corol ário 4. Se duas subsequências de (xn) possuem limites distintos ent ão (xn) diverge. Pois se limxn=a ent ão toda subsequência de (xn) converge para a.

b

Propriedade 25. Se lim(xn+p) =a para algum p natural ent ˜ao limxn=a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |xn+p −a| < ε, logo a partir de xn0+p+1 vale a desigualdade anterior, ent ˜ao para n > n0+p vale

|xn−a|< ε que significa que limxn =a.

limxn+p =a⇔limxn =a.

$

Corol ário 5. Uma sequência (xn)converge para a⇔ todas suas subsequências convergem para a. A ida j á mostramos . Agora se todas subsequências de (xn) convergem para a, ela pr ópria converge para a, pois ela é subsequência dela mesma. Se toda subsequência pr ópria de (xn) converge para a, ainda assim limxn =a, pois podemos tomar a subsequência (xn+1 e como vimos na propriedade anterior se limxn+1 =a ent ão limxa.

1.3.2 Defini ¸c ˜ ao de sequˆencia peri ´odica

m

Defini ¸c ão 20 (Sequência peri ódica). Uma sequência(xn) é dita peri ódica sse existe p∈N tal que xn+p =x para todo n∈N. O menor dos valores p é chamado

(20)

de per´ıodo da sequˆencia.

$

Corol ário 6. A sequência constante é peri ódica pois satisfaz xn = x(n+p) para qualquer p, sendo o menor desses valores 1, ent ão ela possui per´ıodo 1.

b

Propriedade 26. Uma sequência possui per´ıodo p=1 sse é uma sequência constante.

ê Demonstra ¸c ão. Se uma sequência possui per´ıodo 1, ent ão vale para todo k∈N, xk=xk+1 da´ı ∆xk=0, aplicando a soma

∑n−1

k=1

tem-se

xn−x1=0

da´ı xn = x1 para todo n, sendo assim ela é constante. No exemplo anterior vimos que a sequência constante possui per´ıodo 1, ent ão a propriedade est á demonstrada.

b

Propriedade 27. Se (xn) possui per´ıodo p, ent ˜ao para todo n, q∈N, tem-se x(n) =x(qp+n).

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸c ão sobre q, para q=1 vem da defini¸c ão. Supondo para q, xn = xqp+n, vamos provar que x(q+1)p+n = xn. Tem-se x(q+1)p+n = xqp+n+p =xqp+n =xn. Ent ão est á demonstrado.

b

Propriedade 28. Uma sequência peri ódica é convergente sse é constante.

ê Demonstra ¸c ão.[1] Considere as subsequências da sequência (xk) que possui per´ıodo p

(x1, x1+p, x1+2p,· · ·) = (x1+kp)_k_∈N (x2, x2+p, x2+2p,· · ·) = (x2+kp)_k∈N

...

(xp−1, xp−1+p, xp−1+2p,· · ·) = (xp−1+kp)_k_∈N

(21)

cada sequência dessas é constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo fato da sequência ser peri ódica de per´ıodo p, xn+p =xn. Se (xk) converge ent ão todas suas subsequências devem convergir para o mesmo valor, ent ão deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e cada termo da sequência (xk) deve pertencer a uma dessas subsequências, disso segue que (xk) é constante.

ê Demonstra ¸c ão.[2] Se a sequência xn é peri ódica ent ão existe um per´ıodo p, se esse per´ıodo é 1 ent ão ela é constante, considere ent ão que seja p > 1. Tome a divis ão euclidiana de n por p ent ão n = qp+s ou n = qp onde 0 < s < p, da´ı temos xn =xs no primeiro caso e no segundo xqp = xp, considere as subsequências definidas como zs(q) =x((q−1)p+s) =xs e z0(q) =x(qp) =x(p) com q∈N, cada uma dessas subsequências é constante e como a sequência é convergente ent ão todas essas subsequências devem assumir o mesmo valor t = xs = xp, ent ão no caso de n = qp +s tem-se xqp+s = xs = t e no caso n = qp tem-se xqp = xp = t, logo a sequência é constante.

Z

Êxemplo ^1. f(n) = (−1)ⁿ diverge pois a subsequência de ´ındices pares f(2n) = (−1)²ⁿ =1 e a de ´ındices ´ımpares f(2n+1) = (−1)²ⁿ⁺¹= −1 s ão constantes logo os limites das subsequências s ão 1 e −1, sendo diferentes a sequência diverge.

$

Corol ário 7. Se (xn) converge e o limite de uma subsequência for a ent ão limxn =a, pois a subsequência deve convergir para o mesmo limite da sequência.

$

Corol ário 8. Se limxn =a ent ão limxn+p =a para qualquer p natural. Segue da propriedade anterior pois (xn+p) é uma subsequência de (xn). Assim o limite de uma sequência n ão se altera quando omitimos um n úmero finito de termos dela.

b

Propriedade 29. Toda sequˆencia convergente ´e limitada.

ê Demonstra ¸c ão. Se limxn=a ent ão para todo ε > 0 temos que existe n0 tal que para n > n0 implica xn ∈ (a−ε, a+ε), ent ão tomando ε = 1 tomamos o conjunto

(22)

{x1, . . . , xn0, a−1, a+1} seu m áximo sendo c e m´ınimo d e temos todos elementos da sequência contidos no intervalo [d, c], logo a sequência é limitada.

$

Corol ário 9. Se uma sequência n ão é limitada ela n ão é convergente.

Z

^Exemplo ^2. Mostre que a sequˆencia (xn) dada por xn =

∑n

k=1

n

n+k diverge.

Vale k≤n, da´ı n+k≤2n, 1

2 ≤ n

n+k, aplicando a soma tem-se

∑n

k=1

1 2 ≤

∑n

k=1

n n+k n

2 ≤

∑n

k=1

n n+k logo a sequˆencia diverge.

1.3.3 Valores de aderˆencia

m

Defini ¸c ão 21 (Valor de aderência). Um n úmero real a é dito valor de aderência de uma sequência (xn), quando existe uma subsequência de (xn) que converge para a. Simbolizaremos o conjunto dos valores de aderência de uma sequência por A[xn].

$

Corol ário 10. Se uma sequência é convergente ent ão todas subsequências con- vergem para o mesmo limite que é o limite da sequência, ent ão se uma sequência

é convergente ela possui apenas um valor de aderência, isto é, se limxn=a ent ão A[xn] ={a}={limxn}.

Z

Êxemplo ^3. Os racionais s ão densos na reta e s ão enumer áveis, ent ão podemos tomar uma sequência (xn) que enumera os racionais, logo pra essa

(23)

sequência vale A[xn] = R. Em especial os racionais em [0,1] s ão enumer áveis e densos logo tomando uma enumera¸c ão (xn) dos racionais nesse conjunto temos A[xn] = [0,1].

Z

Êxemplo ^4. A sequência (1,2,3,1,2,3,1,2,3,· · ·) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3=3 sendo peri ódica de per´ıodo 3, xn+3=xn, tem A[xn] ={1,2,3}.

Z

Êxemplo ^5. Dar o exemplo de uma sequência (xn) que possua A[xn] = N. Para que isso aconte¸ca é necess ário que cada n úmero natural apare¸ca infinitas vezes na sequência. Definimos a sequência (xn) como xn=k se n é da forma p^α_k^k, onde pk é o k-ésimo primo e αk ∈ N, da´ı existem infinitos valores de n tais que xn=k com isso geramos subsequências que convergem para um k qualquer dado, definimos também xn =1 caso n n ão seja da forma p^α_k^k, apenas para completar a defini¸c ão da sequência.

b

Propriedade 30. a∈A[xn]⇔ ∀ ε >0 e ∀k∈N existan com n > k tal que

|xn−a|< ε. Um ponto a é de aderência se existem infinito termos da sequência arbitrariamente pr óximos de a.

⇒). Se a é valor de aderência de (xn), ent ão ela possui uma subsequência que converge para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´ındice da subsequência tal que n > k e |xn−a|< ε.

⇐). Supondo que ∀ ε > 0 e ∀k∈N exista n com n > k tal que |xn−a|< ε.

No primeiro passo tomamosε=1 ek=1 da´ı existen1 >1 tal que xn1 ∈(a−1, a+1).

Podemos tomar agoraε= 1

2 e k=n1 ent ˜ao existe n2 > n1 tal quexn2 ∈(a−1 2, a+1

2), na t + 1-´esima etapa tomamos ε = 1

t+1 e k = nt da´ı existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈(a− 1

t+1, a+ 1

t+1), logo constru´ımos uma subsequˆencia (xnt) de (xn) tal que

tlim→∞xnt =a.

(24)

$

Corol ´ario 11. Negamos a proposi¸c ˜ao anterior.

a /∈A[xn]⇔ ∃ε >0 e ∃k∈N tal que para todo n > k temos |xn−a|≥ε.

Z

Êxemplo ^6. Quais s ão os valores de aderência da sequência (xn) definida como x2n−1 = n e x2n = 1

n? Para que um ponto seja de aderência é necess ário que existam infinitos termos arbitrariamente pr óximos de tal ponto, no caso de tal sequência o único n úmero que satisfaz tal propriedade é o 0, além disso tal sequência n ão é convergente pois n ão é limitada.

b

Propriedade 31. O conjunto A dos valores de aderência de uma sequência (xn) é fechado.

ê Demonstra ¸c ão. Temos que mostrar que A=A.J á sabemos que vale A ⊂A, falta mostrar que A ⊂ A . Queremos mostrar que , se a ∈ A ent ão a ∈ A, vamos mostrar a contrapositiva que é : se a /∈A ent ão a /∈A, que equivale logicamente.

Se a /∈ A ent ão existe ε > 0 tal que (a−ε, a+ε) n ão possui elementos de (xn) da´ı n ão pode valer a∈A.

b

Propriedade 32. Se uma sequência (xn) for limitada ent ão seu conjunto de pontos de aderência é compacto.

ê Demonstra ¸c ão. J á vimos que A é fechado, agora se (xn) for limitada ent ão A é limitado, sendo limitado e fechado é compacto.

Nessas condi¸c ˜oes A possui elemento m´ınimo e elemento m ´aximo. o M´ınimo de A

é denotado como lim infxn e o elemento m áximo de A é denotado como lim supxn.

1.4 Sequˆencias mon ´otonas

1.4.1 Toda sequência mon ótona limitada é convergente

(25)

⋆ Teorema 1. Toda sequência mon ótona limitada é convergente.

• Sejam (xn) uma sequência crescente limitada, a = sup{xn | n ∈ N}, vamos mostrar que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a > a−ε como a é o supremo (menor das cotas superiores) temos que a−ε n ão é cota superior, ent ão ∃ n0 tal que xn0 > a−ε e como a sequência é crescente temos para n > n0 que xn≥xn0 logo xn > a−ε e a−ε < xn < a+εimplicando limxn=a.

• Sejam (xn) uma sequência decrescente limitada, a = inf{xn|n ∈ N}, vamos mostrar que limxn =a. Para qualquer ε >0 temos a+ε > a como a é ´ınfimo temos que a+ε n ão é cota inferior, ent ão existe n0 tal que xn0 < a+ε e como a sequência é n ão-crescente temos para n > n0, xn ≤xn0 e a−ε < xn < a+ε implicando limxn =a.

$

Corol ário 12. • Uma sequência (xn) crescente limitada converge para o supremo a dos seus termos, ent ão vale sempre xn ≤a.

• Uma sequˆencia (xn) decrescente limitada converge para o ´ınfimo a dos seus termos, ent ˜ao vale sempre xn ≥a.

b

Propriedade 33. 1. Toda sequˆencia estritamente crescente limitada tem todos seus termos menores que seu limite .

2. Toda sequˆencia estritamente decrescente limitada tem todos seus termos maiores que seu limite.

1. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente crescente e limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn < a. Se fosse xn ≥ a para n > n0 ent ˜ao xn+1 >

xn ≥ a, da´ı xn+1 > a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.

(26)

2. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente decrescente limxn = a, vamos mostrar que sempre vale xn > a. Se fosse xn ≤ a para n > n0 ent ˜ao xn+1 <

xn ≤ a, da´ı xn+1 < a e a n ˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.

1.4.2 √ a +

√

a + √

a + · · · Ra´ızes encaixadas

Z

^Exemplo ^7. Seja a sequˆencia (xn) definida como x1 = a e xn+1 = √

xn+b, onde x²₁ < x1+b, isto ´e , a² < a+b, a e b positivos , calcular limxn.

Vamos mostrar primeiro que a sequência é crescente. Por indu¸c ão sobre n, temos x2 =√

a+bea < √

a+bpoisa²< a+b.Supondo paran,xn < xn+1 vamos mostrar que vale para n+1, xn+1< xn+2 . Da hip ´otese tem-se que xn+b < xn+1+b da´ı √

xn+b < √

xn+1+b implicando xn+1 < xn+2. Vamos mostrar agora que a sequência é limitada superiormente. Existe t > 0 ∈ R tal que t² > a+b e t²−b > t. Da´ı a sequência é limitada superiormente por t²−b pois, por indu¸c ão x1 = a < t² −b e supondo xn < t²−b segue xn+b < t² tomando a raiz segue xn+1< t < t²−b. Ela é limitada superiormente e crescente logo é convergente.

Tomando limite em ambos lados de x²_n+1 = xn+b resolvendo a equa¸c ˜ao do segundo grau encontramos L= 1+√

1+4b

2 .

Podemos tomar x1=0 e b=a da´ı 0< a, logo converge e temos o corol ´ario

√ a+

√ a+√

a+· · ·= 1+√ 1+4a

2 .

Z

^Exemplo ^8. _√

1+

√ 1+√

1+· · ·= 1+√ 5 2 converge para a raz ˜ao ´aurea.

(27)

Z

^Exemplo ^9. _√

2+

√ 2+√

2+· · ·=2. Seja f(0) =0 e f(n) =√

2+f(n) ent ˜ao vale 2−f(n+1)

2−f(n) > 1 4.

Como 2−f(n)>0 para todo n tem-se que essa desigualdade ´e equivalente `a 4f(n+1) −f(n)<6⇔4√

2+f(n) −f(n)<6

tomandof(n) = x, simplificando ap ós elevar ao quadrado, chegamos numa inequa¸c ão de segundo grau, satisfeita para qualquer x, logo se verifica a inequa¸c ão .

b

Propriedade 34. Se uma sequência mon ótona possui subsequência limitada, ent ão a sequência é limitada.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha que (xn) seja crescente e possua uma subsequência (xn_k) limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M, para algum M. Como (xnk) é limitada , ent ão para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 é ´ındice da subsequência limitada (xnk) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequência é limitada, existe M tal que xn0 < M, da´ı por transitividade xn < M, isso implica que (xn) é limitada superiormente e como a sequência crescente ela também é limitada inferiormente, sendo limitada inferiormente e superiormente ela

´e limitada.

$

Corol ário13. Se uma sequência mon ótona possui subsequência limitada ent ão ela é convergente, pois a sequência mon ótona ser á limitada e toda sequência mon ótona limitada é convergente.

(28)

$

Corol ário 14. Em especial se uma sequência mon ótona possui subsequência convergente, ent ão essa subsequência é limitada e da´ı a sequência mon ótona é convergente.

1.4.3 lim b

_n

= 0, | a

_n

| < c ⇒ lim a

_n

b

_n

= 0.

b

Propriedade 35. Se lim bn = 0 e (an) é uma sequência limitada, ent ão limanbn =0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como an ´e limitada existe c >0 tal que |an|< c para todo n natural, e como lim bn=0 temos ∀ε >0 ∃n0 tal que n > n0 implica |bn|< ε, temos que mostrar que ∀ ε1 > 0 ∃n0 tal que n > n₀^′ implica |anbn| = |an||bn| < ε1. Como lim bn = 0 podemos escolher ε = ε1

c para qualquer ε1 > 0 logo para n > n0 segue

|bn|< ε1

c e como |an|< c tem-se |an||bn|< cε1

c =ε1 como quer´ıamos demonstrar.

$

Corol ário15. Em especial se(xn) é convergente e limyn =0 ent ão limxn.yn = 0, pois uma sequência convergente é limitada.

Z

Êxemplo ^10. ^Se ^(xⁿ⁾ é convergente e yn =n ent ão limxn

yn

=0, pois (xn) ´e limitada e

( 1 yn

)

tende a zero.

Z

^Exemplo ^11. Calcular o limite da sequˆencia cos(^nπ₄)

n .

Temos que an = cos(nπ

4 ) ´e limitada e bn = 1

n tem limite 0, logo a sequˆencia de termo cos(^nπ₄ )

n converge para zero.

(29)

Z

^Exemplo ^12. A sequˆencia f(n) = (−1)ⁿ

n tem limite 0 pois (−1)ⁿ ´e limitada e lim 1

n =0.

b

Propriedade 36. Sejam (an) e (bn) sequˆencias limitada tais que an+bn = 1∀n∈N, (zn) e (tn) com o mesmo limite a, ent ˜ao liman.zn+bn.tn =a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Escrevemos an.zn+bn.tn =an.zn−a.an+a. a|{z}n

=1−bn

+bn.tn =an(zn−a) +a(1−bn) +bn.tn=

=an(zn−a) +a−a.bn+bn.tn =an(zn−a) +a+bn(tn−a) da´ı

liman(zn−a) +a+bn(tn−a) = a=liman.zn+bn.tn

pois an e bn s ˜ao limitadas e zn−a, tn−a tendem a zero.

b

Propriedade 37. Se lim

n→∞zk(n) = a ∀ k e cada (xk(n)) ´e limitada com

∑p

k=1

xk(n) = vn →b ent ˜ao lim_n_→∞

∑p

k=1

xk(n)zk(n) = a.b.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale x1(n) =vn−

∑p

k=2

xk(n).

∑p

k=1

xk(n)zk(n) =x1(n)z1(n) +

∑p

k=2

xk(n)zk(n) =

=z1(n)vn−

∑p

k=2

xk(n)z1(n) +

∑p

k=2

xk(n)zk(n) =

=z| {z }1(n)vn

→a.b

+

∑p

k=2

xk(n) (z| k(n) −{zz1(n))}

→0

→a.b.

1.4.4 A sequˆencia (

1 + 1 n

)

n

.

Vamos analisar a sequˆencia definida por f(n) =

( 1+ 1

n )n

.