KINGSTON (1957) interessa-se pela visualização em três espelhos planos articulados perpendiculares a um mesmo plano e apresenta, especialmente, um estudo sobre a obtenção de tesselações planas por polígonos.
Figura 12: E s t r u t u r a d o c a l e i d o s c ó p i o i n d i v i d u a l c o m t r ê s e s p e l h o s
Existem onze diferentes tesselações planas uniformes, constituídas por polígonos regulares, os quais estão identicamente distribuídos ao redor de cada vértice em cada tipo de tesselação. Dessas, oito podem ser reproduzidas através de bases específicas, colocadas sob um simples arranjo de espelhos, pois são o que se denomina aresta-reflexiva. Isso significa que são simétricas, com respeito à linha que passa pelo ponto médio de qualquer aresta dos polígonos que as formam.
Prosseguindo, o autor apresenta um breve estudo sobre a visualização em um espelho e em dois espelhos (articulados), como uma preparação para a visualização de tesselações em três espelhos, apresentando a dedução dos ângulos formados pelos três espelhos e propondo a construção dos três conjuntos abaixo deduzidos, bem como explorando a obtenção das oito tesselações planas uniformes que podem ser obtidas por meio dos mesmos.
l π , m π e n π radianos, então l π + m π + n π = π e há só três soluções inteiras para a equação l 1 + m 1 + n 1
= 1, que são (3,3,3) (2,4,4) e (2,3,6). Para a construção dos caleidoscópios com essas configurações, KINGSTON (1957) afirma que não são necessários nove espelhos, mas apenas quatro pedaços retangulares de espelhos planos com altura conveniente, sugerida de 12 polegadas e com base de tamanho, respectivamente, de 3, 6, 6 e
2
6 centímetros (que equivale aproxima damente a 8,5 cm). Esses pedaços
de espelho podem ser articulados três a três, unidos por pedaços de fita adesiva (que devem agir como três anéis), ao longo de suas 12 polegadas de medidas. Ainda sugere que sejam aplicados pedaços estreitos de fita adesiva ao longo das arestas expostas, para evitar inevitáveis cortes nos dedos, para providenciar um efeito amortecedor e prevenir quebraduras. Veja ilustração abaixo, encontrada nessa mesma obra, na página 282.
Figura 13: C a l e i d o s c ó p i o s c o m t r ê s e s p e l h o s
Após a construção dos três conjuntos articulados de três espelhos, KINGSTON (1957) apresenta um estudo sobre pontos vértices colocados dentro do triângulo formado pelos três espelhos e a obtenção de padrões de polígonos pela variação da posição de pontos. Sugere que, para obtenção de tesselações desenhem-se, em papel branco, linhas de um triângulo particular, com as mesmas medidas do triângulo formado pelos
espelhos. Os traçados são feitos sobre este papel, e a tesselação desejada pode ser obtida pela reflexão destes traçados nos três espelhos.
DAFFER & CLEMENS (1977), no capítulo intitulado “Padrões de polígonos no plano”, iniciam uma seqüência exploratória do tema tesselações por polígonos, com atividades de investigação utilizando polígonos recortados em cartolina, com a proposta de tesselar o plano com estes. Em seguida, mostram padrões de polígonos no plano, iniciando um estudo sobre o número de lados do polígono, o ângulo no vértice deste e a quantidade de polígonos dispostos ao redor de um ponto. Encorajam, com isso, o estudo e a procura por padr ões que tesselam o plano, para exploração de tesselações semi-regulares, compostas por polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes, arranjados identicamente ao redor de cada vértice da tesselação. Então apresentam os caleidoscópios com três espelhos juntos, formando as faces verticais de um prisma triangular. No lugar da base caleidoscópica recomendam o uso de padrões coloridos para visualização de tesselações.
Observe a figura encontrada nessa referência, na página 102. A visualização é pelos vãos das arestas ou por cima dos caleidoscópios.
Figura 14: C a l e i d o s c ó p i o c o m t r ê s e s p e l h o s
Estes autores afirmam que estudantes de todas as idades ficam fascinados com os caleidoscópios formados com três espelhos. A criação de padrões para o caleidoscópio propicia uma situação experimental que encoraja a criatividade na descoberta de uma base. Ainda, segundo estes autores, essas atividades providenciam oportunidades de um olhar
profundo sobre as propriedades dos polígonos, incluindo ângulos, polígonos, linhas de simetria, etc. Enfatizam, principalmente, o uso destes caleidoscópios no estudo de tesselações através da construção de padrões coloridos, os quais postos na base entre os espelhos, refletem para o observador o visual de belas e interessantes tesselações.
Propõem atividades de investigação de pavimentações e de bases, através da verificação do visual de determinadas bases colocadas nos caleidoscópios e de observação de pavimentações sem bases determinadas. A proposta é despertar a curiosidade e a construção de bases, chegando, inclusive, a apresentar algumas tesselações de Escher com padrões curvados, cujas tesselações, muitas vezes, podem ser formadas pela modificação de uma tesselação por polígonos. Eles observam também que atividades como essas podem cativar o interesse de alunos que não têm tido sucesso em outros aspectos da Matemática. Observe uma tesselação do plano e o respectivo padrão que a produz, em DAFFER & CLEMENS (1977, p.103).
Figura 15: T e s s e l a ç ã o d o p l a n o e b a s e p a r a v i s u a l i z a ç ã o d e s t a t e s s e l a ç ã o
Na mesma página da figura acima encontramos, também, uma seqüência de bases, mostrada na fi gura 16, que os autores sugerem que sejam colocadas no interior de um caleidoscópio com três espelhos, para que sejam obtidas tesselações por diversos polígonos.
Figura 16: S e q ü ê n c i a d e b a s e s
BALL & COXETER (1987) apresentam os caleidoscópios com três espelhos, depois de terem apresentado aqueles formados por dois espelhos. Assim, afirmam que quando se introduz um terceiro espelho ao conjunto de dois espelhos articulados, colocados na forma vertical, tem-se o que denominamos “caleidoscópio plano com três espelhos”, no qual cada par dos três espelhos determina a formação de três ângulos:
l π , m π e n π
, sendo l, m e n divisores inteiros de 180o. E prosseguem, apresentando
a matemática necessária para a construção de um caleidoscópio, cujo triângulo de espelhos, com os ângulos genéricos acima, será considerado um caleidoscópio se l, m, e n forem soluções inteiras para a equação
1 1 1 1+ + = n m
l , concluindo que as soluções são (3,3,3), (2,4,4) e (2,3,6).
Para cada caleidoscópio formado por essas soluções, o número de imagens é infinito, e, com a variação da posição de um ponto-objeto dentro do triângulo, obtêm-se vértices de certas tesselações isogonais. No estudo da reflexão de pontos em espelhos afirmam que, em particular, se um ponto é tomado no vértice de um triângulo ou onde o ângulo bissetor encontra o lado oposto (ou no centro onde os três ângulos bissetores concorrem), então, teremos o ladrilho da tesselação por polígonos regulares. E, para ilustrar, BALL & COXETER (1987, p. 156) apresentam os seguintes diagramas:
Figura 17: D i a g r a m a s c o m o s â n g u l o s f o r m a d o s e n t r e o s e s p e l h o s Para BARBOSA (1993, p. 43), “U m c a l e i d o s c ó p i o , e m g e r a l , é u m c o n j u n t o d e t r ê s e s p e l h o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s a u m m e s m o p l a n o f o r m a n d o u m p r i s m a t r i a n g u l a r e c o m a s f a c e s e s p e l h a d a s p a r a o i n t e r i o r ; u m a d a s b a s e s é f e c h a d a c o m p a p e l c l a r o , c e l u l ó i d e o u v e g e t a l, p a r a e n t r a d a d a l u m i n o s i d a d e n o i n t e r i o r ; a o u t r a b a s e p o s s u i u m o r i f í c i o p a r a o b s e r v a ç ã o.”
Observe a figura encontrada em BARBOSA (1993, p. 44).
Figura 18: C a l e i d o s c ó p i o i n d i v i d u a l
Esse mesmo autor ainda apresenta a prova da existência dos três tipos de caleidoscópio. Dessa forma, conforme BARBOSA (1993, p. 43- 45):
“ Q u a n d o d i s p o mo s d e t r ê s e s p e l h o s p l a n o s , c a d a u m d o s â n g u l o s d e v e s a t i s f a z e r a c o n d i ç ã o d e o d o b r o s e r o d i v i s o r d e 3 6 0 º ; p o r t a n t o , s e n d o a , b e c o s â n g u l o s d o s e s p e l h o s , d e v e mo s t e r 180° a=n1 2 180° b=n e 180° c=n3 , c o m n1, n2e n3 i n t e i r o s p o s i t i v o s . S e g u e q u e a + b + c = 1 8 0 º q u e a c o n d i ç ã o p a r a o s n1, n2e n3 é d a d a p o r 1 1 1 1 3 2 1 = + + n n n S u p o n d o q u e n1 ≤n2 ≤n3 c o m n1 ≥2, p a r a q u e e x i s t a t r i â n g u l o , e n c o n t r a mo s c o m a e q u a ç ã o a c i ma q u e n1 ≤3, p o r t a n t o n1 é 2 o u 3 . N o p r i me i r o c a s o e m q u e n1= 2 , c o l o c a mo s n1= 2 n o l u g a r d e n3 o b t e mo s 4 2 ≤ n , p o r t a n t o n2é 3 o u 4 , u ma v e z q u e 2 d a r i a u ma i mp o s s i b i l i d a d e , c o m o s q u a i s t e mo s r e s p e c t i v a me n t e o s v a l o r e s 6 e 4 p a r a n3. N o s e g u n d o c a s o o b t é m- s e n2 ≤3, ma s n1 ≤n2, e n t ã o n2é 3 q u e f o r n e c e 3 n = 3 . ”
Assim sendo, as três ternas possíveis para os n são (3,3,3), (2,4,4) i
e (2,3,6) que correspondem, respectivamente, às três formas triangulares (figura abaixo) para os caleidoscópios: (60º,60º,60º), ( 90º,45º,45º) e (90º,60º,30º), os quais tornam as imagens coincidentes, em repetição.
Figura 19: F i g u r a s d o s c a l e i d o s c ó p i o s i n d i v i d u a i s
Abaixo os materiais e o procedimento de construção desses caleidoscópios, conforme BARBOSA (1993, p. 44-45).
c o n f o r m e a s s u g e s t õ e s s e g u i n t e s : 5 l â m i n a s d e 3 0 c m x 6 c m 1 l â m i n a d e 3 0 c m x 8 , 4 8 c m ( 8 , 5 ) 1 l â m i n a d e 3 0 c m x 8 c m 1 l â m i n a d e 3 0 c m x 4 c m 1 l â m i n a d e 3 0 c m x 6 , 9 2 c m ( 7 ) M o n t e o s t r ê s c a l e i d o s c ó p i o s f i x a n d o a s l â m i n a s c o m f i t a g o m a d a , d u r e x o u e s p a r a d r a p o , e t c . , c o m o s e s p e l h o s v o l t a d o s p a r a o i n t e r i o r . M a s f a ç a o t r a b a l h o s o b r e o p l a n o d e u m a m e s a , d e i x a n d o e n t r e l â m i n a s e s p a ç o s c o r r e s p o n d e n t e s à s e s p e s s u r a s d o s e s p e l h o s e m a i s u m p o u c o , e m v i s t a d o s â n g u l o s . E n v o l v a - o s e x t e r n a m e n t e , p o r e x e m p l o , c o m p a p e l C o n t a c t , o q u e s e r v i r á p a r a e v i t a r a e n t r a d a d e l u m i n o si d a d e p o r v ã o s l a t e r a i s . C o n s t r u a 3 b a s e s s u p e r i o r e s , p o r e x e m p l o c o m c a r t o l i n a , c o n t e n d o u m p e q u e n o o r i f í c i o . A s b a s e s i n f e r i o r e s f i c a r ã o p r o v i s o r i a m e n t e a b e r t a s e s e r ã o s u b s t i t u í d a s c o n f o rm e f o r r e q u i s i t a d o p e l o d e s e n h o a s e r o b t i d o d u r a n t e o e s t u d o d o c a p í t u l o s e g u i n t e . E s s a b a s e s u b s t i t u í v e l , q u e d e v e s e r a d e q u a d a a c a d a c a l e i d o s c ó p i o , p a r a n ã o s a i r d a p o s i ç ã o c o r r e t a , p o d e s e r t r o c a d a p o r u m a p o i o ú n i c o c o n s t i t u í d o d e u m v i d r o p l a n o c o l o c a d o e m c i m a d e d o i s p e q u e n o s s u p o r t e s d e m a d e i r a , p o s s i b i l i t a n d o a e n t r a d a d e l u m i n o s i d a d e p o r b a i x o . N e s s e c a s o c o l o c a m - s e a s b a s e s t r i a n g u l a r e s c o m o s d e s e n h o s s o b r e o v i d r o , e o c a l e i d o s c ó p i o c o r r e s p o n d e n t e s e r á d i s p o s t o p e r p e n d i c u l a r m e n t e a o v i d r o d e m o d o q u e , d e p o i s , c o m a o b s e r v a ç ã o s u c e s s i v a f e i t a p o r v á r i a s p e s s o a s , o r e s u l t a d o o b t i d o n ã o s e j a a l t e r a d o .
BARBOSA (1993) ainda apresenta um estudo sobre a ação reflexional dos espelhos, a obtenção de padrões de pavimentações do plano nesses caleidoscópios, e mostra que todas as pavimentações obtidas no caleidoscópio escaleno são, também, obtidas no eqüilátero. Ainda sugere que atividades de descoberta de padrões de pavimentação sejam realizadas com alunos.
MURARI (1999) apresenta um estudo para verificar que a coincidência das imagens nos caleidoscópios com três espelhos está
relacionada aos ângulos de dois espelhos originais e dos espelhos virtuais, cujos ângulos devem ser frações racionais de 180º. Dessa verificação, prossegue a prova que só existem três caleidoscópios triangulares que promovem a repetição perfeita de imagens. Daí mostra a construção desses caleidoscópios consoante BARBOSA (1993), e segue com a apresentação do caleidoscópio educacional modificado para trabalho em grupo, o qual tem as mesmas ternas de ângulos dos caleidoscópios individuais.
ALMEIDA (2003) introduz o assunto caleidoscópios com uma apresentação histórica destes. Para esta autora, um caleidoscópio nada mais é do que um conjunto de dois ou mais espelhos planos perpendiculares a um mesmo plano que, quando algum objeto é colocado entre os espelhos, múltiplas imagens se formam. Podem-se obter, pela variação do ângulo formado entre os espelhos, imagens que se espalham por todo o plano. Mas, para que estas sejam perfeitas, só existem três caleidoscópios com bases triangulares: o eqüilátero, o isóscele retângulo e o escaleno.
A seguir, menciona a existência do caleidoscópio popular, do tipo eqüilátero, com tampas nas bases, sendo uma delas um orifício para observação e, na outra, que é provida de movimento rotatório, há pequenos fragmentos coloridos que produzem imagens imprevisíveis. Apresenta os caleidoscópios educacionais individuais triangulares, nos quais uma base é aberta para observação e na outra colocam-se bases substituíveis que produzirão, através das reflexões nos espelhos, o visual previsto.
Nessa mesma obra, a autora apresenta a resolução matemática da
equação 1+ 1 +1 =1
n m
l , a qual determina, através das ternas de soluções, os
ângulos necessários que devem ser formados entre os espelhos para a obtenção de repetição perfeita em caleidoscópios com três espelhos.Então chega, finalmente, a apresentar as três formas triangulares para caleidoscópios e a construção destes, segundo MURARI (1999), mas não utilizando-os em sua pesquisa de campo. Essa autora utiliza o caleidoscópio educacional modificado para produzir pavimentações do
tipo 1-uniforme, a partir de bases geradoras e transformadas.
MARTINS (2003) também apresenta uma introdução histórica do caleidoscópio, a dedução dos três tipos de caleidoscópios triangulares individuais, e a construção destes, consoante BARBOSA (1993). Sobre o uso desses caleidoscópios, afirma que entre os temas matemáticos que podem ser estudados estão as pavimentações do plano por polígonos regulares e irregulares, que envolvem o estudo de linhas de simetria e construções gráficas de bases que geram pavimentações. E segue para a apresentação e construção dos caleidoscópios educacionais modificados com três espelhos para trabalho em grupo, como já dissemos produzidos por MURARI (1995), com os quais, efetivamente, trabalha em sua pesquisa de campo.