Em MURARI (1999) encontramos a proposta e a construção de um caleidoscópio que é denominado “caleidoscópio modificado para trabalho em grupo”. Neste, um terceiro espelho é encostado verticalmente ao caleidoscópio ordinário formando ângulos não fixos. A variação no ângulo do conjunto original é que determina os outros dois ângulos. O funcionamento desse caleidoscópio é semelhante ao caleidoscópio com três espelhos, conforme deduzidos anteriormente. Da mesma forma, os ângulos entre os espelhos devem ser bem determinados para que se obtenha repetição perfeita de imagens e através deles, podem-se obter pavimentações do plano.
Esse caleidoscópio proposto é uma fusão entre o caleidoscópio com dois espelhos e o com três espelhos. O terceiro espelho, encostado ao conjunto articulado, é mais baixo, possibilitando uma vantajosa visão superior e permitindo, dessa forma, uma boa visualização por parte dos alunos, constituindo-se num instrumento bastante adequado para trabalho em grupo. A construção abaixo sugerida é, consoante MURARI (1999, p. 104-105): a ) T r ê s e s p e l h o s p l a n o s r e t a n g u l a r e s , s e n d o 2 c o m a s m e d i d a s a p r o x i m a d a s d e 2 5 c m x 2 2 c m , e u m d e 3 5 c m x 1 5 c m . b ) M e i a f o l h a d e c a r t o l i n a o u p a p e l c a r t ã o . c ) T r ê s t á b u a s c o m a s m e s m a s d i m e n s õ e s d o s e s p e l h o s , m a s d e e s p e s s u r a r a z o á v e l p a r a n ã o e n v e r g a r , e q u e p o s s a m f i c a r n a p o s i ç ã o v e r t i c a l , o u d ) D o i s p e d a ç o s d e p a p e l ã o d u r o , d e s t e s d e c a i x a d e e m b a l a g e n s d i v e r s a s p a r a e n v o l v e r o s e s p e l h o s . S e a o p ç ã o f o r p e l a s t á b u a s d e m a d e i r a , o s e s p e l h o s d e v e r ã o s e r f i x a d o s c o m c o l a n a s r e s p e c t i v a s t á b u a s . A a r t i c u l a ç ã o d e v e r á s e r f e i t a a t r a v é s d e d o b r a d i ç a s d e m e t a l , d e m a n e i r a q u e p o s s i b i l i t e f a c i l m e n t e a o b t e n ç ã o d e v á r i o s â n g u l o s . S e o m a t e r i a l e s c o l h i d o f o r o p a p e l ã o , s u a c o n s t r u ç ã o s e r á b e m m e n o s d i s p e n d i o s a e r á p i d a . B a s t a r á c o r t a r u m p a p e l ã o d e m a n e i r a q u e e n v o l v a ( n a f o r m a d a c a p a d e u m l i v r o ) o s d o i s e s p e l h o s d e m e s m o
t a m a n h o . O s e s p e l h o s d e v e r ã o s e r f i x a d o s c o m c o l a e m s e u s r e s p e c t i v o s p a p e l õ e s , n ã o s e e s q u e c e n d o , n a c o l a g em d o s d o i s e s p e l h o s , d e d e i x a r u m e s p a ç o q u e p e r m i t a a a r t i c u l a ç ã o e n t r e e l e s . E s s e t i p o d e c a l e i d o s c ó p i o p o d e r á t e r s u a p a r t e e s t é t i c a m e l h o r a d a s e e n c a p a r m o s o s p a p e l õ e s c o m p a p é i s c o l o r i d o s ( c a m u r ç a , c o l l o r s e t , o u m e s m o a q u e l e s d e p r e s e n t e ) , o s q u a i s d ã o u m a b e l e z a s i n g u l a r a o i n s t r u m e n t o .
A seguir, figura do caleidoscópio isósceles retângulo encontrada em MURARI (1999, p.252), refletindo nos espelhos a pavimentação plana (4,4,4,4), e uma base em seu interior para visualização dessa pavimentação.
Figura 20: C a l e i d o s c ó p i o e q ü i l á t e r o m o d i f i c a d o c o m t r ê s e s p e l h o s
Esse mesmo autor utilizou tal instrumento em experiências em sala de aula e obteve resultado comprobatório da eficiência deste, tanto para trabalho com alunos quanto com professores no ensino de geometria. São palavras, encontradas em MURARI (1999, p. 104-105):
“ E m 1 9 9 5 , c o n f o r m e j á c i t a m o s , a p r e s e n t a m o s n o s s a s u g e s t ã o d e p r o d u ç ã o d e u m c a l e i d o s c ó p i o e m q u e p r o p o m o s u m a f u s ã o d o c a l e i d o s c ó p i o d e d o i s e s p e l h o s c o m o d e t r ê s , p o s s i b i l i t a n d o u m a b o a v i s u a l i z a ç ã o p o r p a r t e d o s a l u n o s e c o n s t i t u i n d o - s e n u m i n s t r u m e n t o b a s t a n t e a d e q u a d o p a r a t r a b a l h o e m g r u p o . I s s o p u d e m o s c o m p r o v a r q u a n d o d a r e a l i z a ç ã o d e n o s s o t r a b a l h o d e c a m p o , p o i s t a n t o n a s
e x p e r i ê n c i a s c o m o s a l u n o s , q u a n t o c o m o s p r o f e s s o r e s , o c a l e i d o s c ó p i o m o d i f i c a d o c o m p r o v o u s u a e f i c i ê n c i a e f o i o p r i m e i r o i n s t r u m e n t o “ p o r e x c e l ê n c i a ” d o n o s s o t r a b a l h o . ”
MURARI (1999) ainda propõe a utilização deste caleidoscópio com os ângulos dispostos em várias configurações. Para tanto, ele utiliza uma folha-transferidor, ou seja, uma folha de papel onde está desenhado um transferidor. Para se obter o caleidoscópio eqüilátero, os dois espelhos articulados são abertos em um ângulo de 60º e o terceiro espelho é encostado aos dois anteriores formando, também, ângulos de 60º com cada um deles. Nesse caso, as bases substituíveis são triângulos eqüiláteros com 22 cm de lado, em conformidade com as medidas sugeridas na construção do caleidoscópio. O caleidoscópio isósceles é obtido quando o ângulo dos espelhos articulados mede 90º, e o terceiro espelho, quando encostado, formará com os outros espelhos dois ângulos de 45º. Finalmente, o caleidoscópio escaleno é obtido quando abrimos os dois espelhos articulados num ângulo de 60º e encostamos o terceiro espelhos perpendicularmente formando com o outro espelho um ângulo de 30º. Porém, conforme BARBOSA (1993b) o caleidoscópio escaleno é dispensável no estudo de pavimentações do plano, visto que, todas as pavimentações nele obtidas podem, também, ser obtidas no caleidoscópio eqüilátero.
Abaixo, apresentamos as vantagens dos caleidoscópios planos para trabalho em grupo em relação aos caleidoscópios planos individuais, conforme MURARI (1999, p. 107-108): 1 ) e m v i s t a d a s d i m e n s õ e s r a z o a v e l m e n t e g r a n d e s d e s s e c a l e i d o s c ó p i o m o d i f i c a d o , c a d a u m d e l e s p o d e s e r u t i l i z a d o p o r u m g r u p o d e a l u n o s , s i m u l t a n e a m e n t e , en q u a n t o o o u t r o , e m g e r a l , p o d e s e r u t i l i z a d o a p e n a s p o r u m a l u n o d e c a d a v e z ; 2 ) o s o b s e r v a d o r e s p o d e m v a r i a r o p o s i c i o n a m e n t o p a r a o b s e r v a ç ã o ; 3 ) a c o n f e c ç ã o d e c a d a b a s e s u b st i t u í v e l f i c a t a m b é m f a c i l i t a d a p e l o s e u t a m a n h o , p o d e n d o s e r d e t a l h a d a , i n c l u s i v e , n o c a s o d e c o l o r a ç õ e s m ú l t i p l a s , q u a n d o c o l o r i m o s u m g r a n d e n ú m e r o d e r e g i õ e s , c a d a u m a c o m u m a c o r ; 4 ) n ã o h á n e c e s s i d a d e d e l u m i n o s i d a d e p o r b a i x o d a b a s e s u b s t i t u í v e l , p o i s e l a p r o v é m n a t u r a l m e n t e d o p r ó p r i o a m b i e n t e , e m v i r t u d e d a g r a n d e a b e r t u r a s u p e r i o r ; 5 ) o a c o m p a n h a m e n t o d a s s i m e t r i a s é b a s t a n t e f a c i l i t a d o e m r a z ã o d o g r a n d e v i s u a l q u e e l e p r o p o r c i o n a .
Observe a foto a seguir encontrada em MURARI (1999, p. 209), ilustrando a primeira vantagem explicitada imediatamente acima.
Figura 22: C a l e i d o s c ó p i o m o d i f i c a d o
Utilizando esses caleidoscópios educacionais modificados de três espelhos, MURARI (1999) apresenta o processo simultâneo de geração de
imagens em três espelhos articulados. Conhecido o processo, inicia-se o estudo de posição de pontos e segmentos no caleidoscópio, para, finalmente, apresentar as bases existentes para pavimentações do plano e o estudo e obtenção de novas bases substituíveis.
Neste estudo, MURARI (1999) chama a atenção para o trabalho de descoberta e determinação de bases de pavimentações constituídas por polígonos regulares, e apresenta três métodos. No método I onde o indivíduo, sabendo de antemão o visual a ser gerado por segmentos em relação aos ângulos dos espelhos, constrói a base traçando segmentos apropriados para que, nas simetrias reflexionais dos espelhos, possa obter, através de regiões delimitadas por estes segmentos, os polígonos regulares que formam a pavimentação.
No método II, conhecido também por “Tentativa e Erro”, o indivíduo tem à sua frente o desenho de uma pavimentação, e deve estar ciente de que os segmentos desenhados numa determinada base serão reproduzidos pelos espelhos nas reflexões e recobrirão todo o plano. Então, com o auxílio de três réguas ou três esquadros, sobre o desenho da pavimentação, tenta formar triângulos, geralmente eqüilátero ou isóscele retângulo (podendo ser usados os lados ou o centro dos polígonos), os quais conterão segmentos que, nas reflexões, gerarão a pavimentação em estudo. Assim passa a descobrir bases que geram essa pavimentação, pois as réplicas triangulares da figura serão reproduzidas por todo o plano, contendo os mesmos segmentos da base encontrada e formarão a pavimentação.
O método III (um algoritmo proposto pelo autor) baseia-se no fato de que as pavimentações apresentam linhas de simetria reflexionais em relação às mediatrizes dos lados dos polígonos. Então, propõe que se devem observar quais linhas de simetria da pavimentação que são, também, linha(s) de simetria de um ou mais polígonos distintos que formam essa pavimentação. Essas linhas de simetria comuns aos polígonos e à pavimentação formam redes de triângulos congruentes com o mesmo padrão de segmentos de reta formados no interior de cada um desses triângulos. Assim, observam-se na pavimentação várias redes de triângulos congruentes, de mesma configuração, os quais são “bases” para
visualização da pavimentação. A próxima figura mostra uma aplicação desse método na busca de bases para a pavimentação de configuração (3,4,6,4).
Figura 23: A p l i c a ç ã o d o m é t o d o I I I
Nota: Observe que as bases estão contidas nos triângulos com traços reforçados. Considere o triângulo maior nomeado como figura A. O primeiro triângulo da escala (dentro dessa figura) representa a base geradora. O segundo conterá a base geradora mais três réplicas dela, gerando a primeira base transformada. O terceiro triângulo, por sua vez, conterá a base geradora mais oito réplicas dela, formando a segunda base transformada. Note que o traço cheio que representa a base do triângulo menor deve ser sempre desconsiderado ao passar de uma base transformada para outra.
Apesar de o triângulo nomeado como figura B apresentar somente a primeira base transformada, o processo de obtenção de bases transformadas também é o mesmo.
Encontramos vários tipos de bases, as “geradoras” e as “transformadas”. As bases geradoras são as bases que não contêm propriamente nenhuma outra base; e as bases transformadas são obtidas pelas redes de linhas de simetria da pavimentação e contêm em si bases geradoras.
O autor chama a atenção para as diferentes denominações atribuídas à região construída, através da qual observamos, nos caleidoscópios, as
pavimentações. São elas: base substituível, base geradora, base transformada, padrão-básico, triângulo-básico e figura-base.
MARTINS (2003) utiliza o caleidoscópio educacional modificado, especialmente no trabalho com o tema “pavimentação do plano”, onde propõe que os alunos obtenham bases com determinadas configurações, em cujo trabalho, os conceitos e propriedades de ângulos, polígonos, bissetrizes, foram sendo verificados e estudados. A autora reapresenta o conceito de base geradora e base transformada, conforme MURARI (1999), e utiliza esses conceitos no estudo sobre a obtenção de bases para pavimentações uniformes do plano, fazendo as construções com o auxílio dos softwares Cabri-géomètre II e Geometricks. A parte artística, característica da harmonia entre espelhos e matemática, fica por conta do estudo dos padrões tipo Escher, que desemboca no estudo dos padrões ornamentais em caleidoscópios.
Para construção desses padrões, utiliza o software Corel Draw. Em seguida, a autora apresenta tesselações do espaço obtidas com as bases construídas, isto é, constrói porções de mosaicos nas faces de poliedros (cubo e pirâmide), através de bases caleidoscópicas. Para tanto, foi elaborado um jogo educacional, para que de maneira lúdica, fossem aplicados os conhecimentos adquiridos sobre pavimentações e, ainda, desenvolvido o estudo de poliedros.
A autora conseguiu reunir em sua proposta de ensino: os caleidoscópios, os softwares e os jogos, quando então os alunos tiveram a oportunidade de contemplar o visual de uma pavimentação, ao mesmo tempo nos espelhos (nos caleidoscópios), no computador e no poliedro (formado no jogo). Abaixo, uma foto dos jogos propostos pela autora. Observe que nas faces dos poliedros encontram-se porções de pavimentações.
Figura 24: P o l i e d r o s c o m f a c e s p a v i m e n t a d a s
ALMEIDA (2003) utilizou em seu trabalho de campo o caleidoscópio modificado, conjuntamente a outros instrumentos. A proposta se iniciou com a montagem e construção dos caleidoscópios, posteriormente, usou canudinhos ou faixas de papel, com o objetivo de visualizar determinadas pavimentações do plano. Para isso, os alunos deveriam movimentar tais objetos no triângulo base, a fim de encontrar uma pavimentação. Também propôs o trabalho de construção de bases caleidoscópicas e verificação do visual obtido através das mesmas.
Devido à análise sobre o número de cores obtidas nas bases geradoras e nas transformadas, a autora pôde perceber que, em determinadas pavimentações, essas bases têm o número de regiões (ou de cores) aumentado conforme uma Progressão Aritmética de segundo grau, ou seja, uma seqüência cuja diferença entre dois quaisquer acréscimos
consecutivos é uma Progressão Aritmética. Assim, depois de um acurado
estudo, chegou a um algoritmo segundo o qual é possível saber quantas regiões coloridas terá a n-ésima base transformada de uma dada pavimentação.
Em SIMIONATO; MURARI; BARBOSA (2004) são apresentados três procedimentos para se obter uma fórmula que determina o número de regiões em bases transformadas.
Figura 25: B a s e s p a r a a c o n f i g u r a ç ã o ( 3 , 4 , 6 , 4 )
A figura acima mostra algumas bases da pavimentação (3,4,6,4) com indicativo do número de regiões dessas bases. Fazendo a diferença entre o número de regiões de duas bases consecutivas obtêm-se os números 5,7,9,11..., que são termos de uma P.A. de primeiro grau. A autora prova e utiliza-se do fato de que essa seqüência numérica é uma
P.A., e descobre que a fórmula an = n( +2)2, n≥0, fornece o número de
regiões da n-ésima base para a pavimentação de configuração (3,4,6,4). Essa inferência foi possível pela característica da presença de diferenças finitas constantes entre o número de regiões das bases transformadas. Assim, a autora apresenta nessa obra a fórmula para o número de regiões da n-ésima base para as pavimentações (3,6,3,6) e (4,8,8) e menciona que aproveitou a oportunidade para reforçar conhecimentos de P.A., já que numa seqüência de bases geradoras e suas transformadas (de algumas pavimentações), as diferenças entre os números de regiões de uma base e sua sucessora representam uma progressão aritmética.