como propagadores para uma caminhada aleatória não
D.2 Caminhada aleatória com memória
A seguir descrevemos um modelo de caminhada aleatória proposta por Kumar et al. [23]. No modelo a evolução temporal é dada por,
Seção D.2 Apêndice D
Figura D.2: Gráfico da função q-exponencial para alguns valores de q ≥ 1. Observamos que a calda da função decai mais lentamente a medida que q aumenta.
onde σt+1 representa a possibilidade de o caminhante dar uma passo para frente (+1),
para trás (-1) ou se manter imóvel (0) no tempo t + 1. Definiremos a memória do sistema como um vetor {σt} = (σ1, · · · σt) contendo toda a história da caminhada. A posição do
caminhante depois de n passos é dada por
xn= n
X
k=1
σk. (D.4)
O primeiro passo é dado por,
x1 = +1 com probabilidade s,
x1 = −1 com probabilidade 1 − s,
(D.5)
onde nós fizemos s = 1/2.
O modelo é não-Markoviano porque σt no tempo t depende do que aconteceu em
tempos anteriores t0 < t. O caminhante escolhe σt+1 como segue. Primeiro ele escolhe
aleatoriamente um passo anterior em um tempo 1 < k < t + 1 para uma distribuição
uniforme. Então ele determina estocasticamente σt+1 de acordo com, σt+1 = σk com probabilidade p, −σk com probabilidade q, 0 com probabilidade r. (D.6)
Obviamente, a normalização da probabilidade requer p + q + r = 1. Note que se o primeiro passo k = 1 for um passo de repouso então nos temos σk = 0 dessa forma teremos σt+1= 0
para qualquer t. Além disso, definimos o parâmetro de assimetria de memória γ = p − q. Do modelo, para uma dada memória, a probabilidade condicional para σt+1 = σ com
t ≥ 1, é dada por, P [σt+1 = σ|{σt}] = 1 − σ2+ 1 2t t X k=1 [σk2(3σ2− 2)(1 − r) + σσkγ], (D.7)
e para t = 0 pode ser escrita como,
P [σ1 = σ] =
1
2[1 + (2s − 1)σ]. (D.8)
Para encontrar o valor médio de x, vamos primeiramente calcular a média de σ]t+1
condicionada à memória. Usando a equação (D.7), o valor condicional médio de σt+1 para
t > 1 em uma dada realização é dada por,
hσt+1|σti = X σ=±1,0 σP [σt+1 = σ|σt] = γxt t , (D.9)
o que na média para todas as memórias possíveis, dará o seguinte valor médio,
hσt+1i =
γ
thxti. (D.10) Tirando o valor médio da equação (D.3) e substituindo a equação (D.10) no resultado, obtemos hxt+1i = hxti 1 + γ t , (D.11)
essa equação pode ser resolvida recursivamente para obtermos o primeiro momento da posição,
hxti = (2s − 1)Γ(1+γ)Γ(t)Γ(t+γ) ∼ tγ t 1. (D.12)
Seção D.3 Apêndice D por, hx2ti = 1 (2γ+r−1)Γ(t) Γ(t+2γ) Γ(2γ) − Γ(1−t−r) Γ(1−r) γ 6= 0 (D.13) ∼ 1 2γ+r−1 t2γ Γ(2γ) − t1−r Γ(1−r) t 1, para γ = 0 temos, hx2 ti ∼ 1 Γ(2−r)t 1−r, γ = 0. (D.14)
Kumar et al. mostraram que este modelo apresenta regimes de difusão normal, super- difusivo e subdifusivo. No que segue, nosso objetivo é estimar e descrever o propagador para esta caminhada aleatória não Markoviana.
Analisando o expoente de Hurst (3.13) da variância observamos que:
• Para γ ≤ 1/2, o processo será superdifusivo para r 6= 0 e normal para r = 0.
• Para γ = 1/2, o processo será marginalmente superdifusivo para r = 0 e normal para r 6= 0.
• Para γ > 1/2, o processo será superdifusivo.
D.3
Resultados
Foram geradas 107caminhadas aleatórias com t
max = 105passos cada. As figuras (D.3)
e (D.4) mostram o gráfico semi-log dos histogramas para a posição no tempo máximo. Os dados foram ajustados usando várias funções, incluindo a seguinte função q-exponencial modificada:
p1(x) = A1 · expq1(−β1|x|) · expq2(−(β2x)
2) , (D.15)
p2(x) = A2 · (1 + (Bx)2) · expq3(−β3|x|) , (D.16)
onde (q1; q2)=(1; q2) ou (q1; q2)=(q1; 1).
Encontramos que a equação (D.15) apresenta assintoticamente o mesmo comporta- mento das simulações numéricas para o regime subdifusivo (veja as figuras (D.3.a) a (D.3.f)).
Para o caso de uma subdifusão “forte” (digamos r ≥ 0.8) nós encontramos que o decaimento segue uma exponencial padrão p(x) = A · e−β|x| (veja a figura (D.4.a) e (D.4.b)
(D.15) para ajustar os dados (veja a figura (D.4.d)). Este caso é especial porque isto separa os regimes de subdifusão do de superdifusão. E finalmente, para o regime de superdifusão encontramos que a equação (D.16) é uma boa aproximação (veja a figura (D.4.e)).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
Figura D.3: Curva semi-log do histograma (quadrados pretos) de uma caminhada aleatória simulada numericamente, e o ajuste feito (curva vermelha) de alguns casos subdifusivos (γ < 0.5). O ajuste foi feito com a equação (D.15) para alguns valores dos parâmetros do modelo: r (a probabilidade de não se mover) e γ (o parâmetro de assimetria da memória). Todas as caminhadas subdifusivas foram bem ajustadas pela equação (D.15).
(c)
(d)
(e)
Figura D.4: Curva semi-log do histograma (quadrados pretos) de uma caminhada alea- tória simulada numericamente, e o ajuste feito (curva vermelha) para alguns valores dos parâmetros do modelo: r (a probabilidade de não se mover) e γ (o parâmetro de assi- metria da memória). Do modelo nós sabemos que os casos representados pelas figuras (a) e (b) são de um regime fortemente subdifusivo, o melhor ajuste mostrou-se ser uma exponencial; (c) é o caso de uma difusão normal, foi ajustado com uma Gaussiana; (d) é o caso marginalmente superdifusivo, foi ajustado com a equação (D.15); e (e) é o regime
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