Análise da distribuição α-estável de Lévy
5.1 Estrutura analítica
Sobre a classificação analítica da distribuição α-estável de Lévy simétrica, vamos re- formular o seguinte resultado já conhecido da literatura [32], para o qual damos uma prova mais direta.
Teorema 1 (Classificação analítica da distribuição α-estável de Lévy simétrica). Se pα(z)
I. pα(z) é holomórfica em C para 1 < α ≤ 2;
II. pα(z) é meromórfica em C para α = 1;
III. pα(z) tem uma singularidade essencial na origem z = 0, portanto não é meromórfica
em C para α < 1.
Demonstração. Como dissemos no capítulo anterior, uma função é holomórfica dentro de um disco aberto centrado em z0 se suas séries de Taylor em z0 convergem dentro do disco.
Para verificar se a função (1.6) é holomórfica, é necessário calcular o raio de convergência da série de Taylor para pα(z) na origem. Substituindo x por z e calculando a n-ésima
derivada da Equação (1.6) e encontrando o resultado para z = 0 obtemos,
dpα dz z=0= − 1 π R∞ 0 te −tα sen(tz)dt z=0= 0 d2pα dz2 z=0 = −1πR∞ 0 t 2e−tα cos(tz)dt z=0 = π1 R∞ 0 −t 2e−tα dt d3pα dz3 z=0 = 1πR∞ 0 t 3e−tα sen(tz)dt z=0 = 0 .. . , (5.1)
de forma abreviada ficamos com,
dnpα dzn z=0 = 0 n ímpar 1 π Z ∞ 0
exp[−tα] (it)n dt n par , (5.2) para o qual a expansão de Taylor na origem é
pα(z) = 1 απ ∞ X n=0 (−1)n (2n)!Γ 1 + 2n α z2n. (5.3)
A série na equação (5.3) é a generalização complexa de um resultado clássico obtido em [80,81]. Para encontrar o raio de convergência aplicamos o teste da raiz. Da aproximação de Stirling n! ≈√2πn nen para n grande, obtemos, a menos de algumas constantes,
n s z2n (2n)!Γ 1 + 2n α ∼ z2n−2+1/n+2α . (5.4)
A condição para um raio de convergência infinito é portanto, α > 1. Para o caso α > 1, pα(z) é uma função inteira (isto é, ela é holomórfica em todo o plano complexo),
obedecendo a reivindicação I do teorema.
Seção 5.1 Capítulo 5
há uma singularidade na origem em z = 0. Uma vez que somente existem três tipos de singularidades isoladas, a reivindicação III é obedecida ao mostrar que quando α < 1, a singularidade em z = 0 não é nem removível nem um polo de ordem finita. Notando que pα(x) é contínua na linha real (ver figura (1.5)), portanto, descartamos uma singularidade
removível. Além disso, também não pode ser um polo de ordem arbitrária k porque, da série (5.4) vemos que zkpα(z) também tem raio de convergência nulo para α < 1.
Por último, a reivindicação II é assegurada dado que p1(z) = π−1/(1+z2) é a continua-
ção analítica usual da bem conhecida distribuição de Cauchy. Então, p1(z) é meromórfica
em C, com um único par de polos de ordem 1 no eixo imaginário do plano complexo (z = ±i).
A análise por meio do domain coloring de pα(z) para α < 1 arbitrário diretamente
da equação (1.6) demonstrou ser impraticável. Todos os métodos de integração que o programa mathematica possui apresentam falhas ao tentar encontrar o resultado numérico da integração. Esta dificuldade pode ser superada da seguinte maneira:
Teorema 2 (Expressão equivalente da equação (1.6) quando α ≤ 1). Para α ≤ 1, façamos
p(±)α (x) = 1 π
Z ∞
0
dt exp[∓xt] exp[− cos[απ 2] t
α] sen[sen[απ
2] t
α], (5.5)
onde p(+) (p(−)) é uma integral convergente se x ≥ 0 (x ≤ 0) e p(+)(x) = p(−)(−x), então
I. pα(x) = p (+)
α (x) [p(−)α (x)] para x > 0 [x < 0];
II. p(±)α (0) = Γ[1/α]/(απ) = pα(0).
Demonstração. A demonstração de I é dada no apêndice B (veja também [79] para uma prova alternativa). II segue diretamente do resultado exatoR0∞dt exp[−c tα] = c−αΓ[1 + 1/α], valido para Re[c] > 0.
Da equação (5.5), a continuação analítica é feita pela substituição x → z. No entanto, é necessário considerar duas situações separadas, uma vez que p(s)α (z) diverge para s Re(z) <
0 (a expectativa é α = 1, uma vez que p(+)(z) e p(−)(z) combinam perfeitamente em Re[z] = 0, ver apêndice B). Para α < 1 todo o eixo imaginário z é um branch cut, separando o plano complexo em duas metades (para uma continuação analítica alternativa em termos de superfícies de Riemann distintas — dependendo do explícito 0 < α < 1 — veja [78]). De nossa prescrição, é fácil mostrar que a parte real de pα(z) sobre x = 0 é
contínua, mas com derivadas descontínuas (figuras ilustrativas no apêndice B). Por sua vez, a parte imaginaria de pα(z) é descontínua sobre x = 0. A magnitude de todos os
saltos depende do valor de y.
Baseado nos teoremas 1 e 2 e no protocolo da continuação analítica acima para α < 1, temos o seguinte teorema:
Teorema 3 (Somente p1(z) tem polos no plano complexo). Assumindo a prescrição da
continuação analítica acima para o caso de α < 1. Então, não há polos para pα(z) em C
se α 6= 1.
Demonstração. Diretamente do teorema 2 é fácil mostrar que para Re[z] ≥ 0 [Re[z] ≤ 0], p(+)α<1(z) [p(−)α<1(z)] é sempre finito, uma vez que a aplicação do teorema de Cauchy indica não haver polos dentro do contorno escolhido. Isto, juntamente com as reivindicações (I) e (II) do teorema 1 finalizam a prova.
Os teoremas 1–3 dão uma descrição completa de pα(z). Para α > 1, a equação (1.6)
define pα(z) em todo o plano complexo, resultando em uma função completa. Ambas as
equações. (1.6) e (5.5) quando α = 1 reproduz a distribuição de Cauchy (ver apêndice B), assim meromórfica em C. Neste caso, singularidades sobre o eixo imaginário são da- das somente por um número finito de polos simples isolados. Finalmente, para α < 1 a singularidade essencial na origem z = 0 transforma todo o eixo Im[z] = 0 em um branch cut, com duas continuações analíticas distintas de cada lado.
Para ilustrar e exemplificar a completa caracterização de pα(z) pelos teoremas acima,
considere o recente resultado [43] para β = 0 e α = 2/M , M = 1, 2, . . .. Primeiramente, para M = 1 e M = 2 temos as duas únicas soluções simétricas conhecidas expressas através de funções elementares. Para M = 3, 4, 5, . . . (ou seja, α < 1) a forma exata de pα(x) é dada em termo de uma soma finita de funções hipergeométricas. Ao tomar essas
fórmulas e fazer a substituição x → z, nós temos,
p2/M(z) = Γ M 2 M 2π 1 C M −1 X j=1 Γ dj − 1 2 Cj (MMz2/4)12+ j M 1FM −2 " (dj − 1/2) c(j) ; 4(−1)M −1 MMz2 # , (5.6) onde C =Qi=M −1 i=1 Γ [di− 1/2], Cj = Qi=M −1 i=1,i6=jΓ [di− dj], dj = 1 + j/M e1FM −2é a função hypergeométrica generalizada (GHF)pFq, e
Seção 5.2 Capítulo 5 c(j) = dj− 1 M, dj− 2 M, . . . , dj − j − 1 M , dj − j + 1 M , dj − j + 2 M , . . . , dj − M − 1 M . (5.7) Notamos que pFq(–; w) com w em C e p ≤ q, tem uma singularidade irregular em w =
∞, caso contrário, será holomórfica (veja, por exemplo, [82]). Uma vez que na equação (5.6) temos para 1FM −1 que w ∝ 1/z2, da equação (5.6) identificamos diretamente uma
singularidade essencial em z = 0 e não há polos para esta família de pα=2/M <1(z) (M =
3, 4, . . .). Os gráficos da equação (5.6) no plano complexo (exatamente idênticos aos da figura (5.1)) exibem descontinuidades nos eixos imaginários. Esses fatos estão de acordo com alguns dos resultados gerais anteriormente apresentados.
O teorema de Picard garante que nas vizinhanças de uma singularidade essencial a função assume todos os valores complexos exceto possivelmente um, infinitamente. Para cálculos numéricos da equação (1.6), o intervalo de integração infinito pode ser truncado baseado no decaimento do termo exponencial se x não for muito grande. A figura (5.2) mostra a análise do domain coloring de pα(z) (para alguns 1 ≤ α ≤ 2).
O limite de integração superior foi escolhido igual a 100 porém, testes foram feitos com 103 e 104, sem apresentar diferenças significativas nas figuras em domain coloring. Nas figuras (5.3) é exibido o comportamento da equação (1.6) em função do limite de integração para alguns valores de x constantes para α = 1.6 (5.3.a) e α = 0.6 (5.3.b), outros valores de α apresentam comportamentos semelhantes. Na figura (5.4) também foi feito uma análise do comportamento da equação (1.6), porém no espaço complexo, em função do limite de integração para alguns valores de x. Em ambas as figuras (5.3) e (5.4), observamos que para x próximo da unidade, o valor da integração numérica aparentemente não muda significativamente com o aumento do limite superior, e além disto a influência do limite superior é menos significativa para α > 1. Como teste adicional para saber se o truncamento tem alguma influência significativa no cálculo numérico da integral, fizemos a substituição da variável de integração t por (1 + l)/(1 − l) obtendo assim um intervalo de integração finito indo de −1 a 1. Dessa forma a distribuição de Lévy é dada por,
pα(x) = 1 π Z 1 −1 e−(1−l1+l) α cos 1 + l 1 − l x 2dl (1 − l)2. (5.8)
As figuras do domain coloring obtidas por meio da expressão (5.8) são idêntica às fi- guras (5.2) as quais falaremos a seguir (obviamente o truncamento afeta o resultado da integração, porém não tráz benefícios perceptíveis para o nosso objetivo).
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.1: Domain coloring de pα(z), calculados usando equação (5.5) para alguns valores
Seção 5.4 Capítulo 5
5.2
Região α ≥ 1
As figuras (5.5.a) e (5.5.b) mostram os casos especiais de Cauchy (α = 1) e da Gaus- siana (α = 2), para os quais expressões fechadas existem (cálculos numéricos usando a equação (1.6) levam a resultados idênticos). A função Gaussiana tem um ponto de sela no plano complexo na origem. Para a distribuição de Cauchy, o par de polos em z = ±i pode ser visto no eixo imaginário.
Para valores de α no intervalo 1 < α < 2, no qual pα(z) é holomórfica, expressões
fechadas em termos de funções especiais são conhecidas apenas para α racional. Nas figuras (5.2.a)-(5.2.d), fizemos a integração numérica de equação (1.6) para exibir pα(z)
para os casos representativos α = 1.2, 1.4, 1.6 e 1.8. Como α cresce de 1 até 2, a séries de zeros (com uma forma padrão de “folha de palmeira”) aproxima-se do eixo real e começa a se estender em direção ao infinito em ambas as direções positivas e negativas de x.
5.3
Zeros
Para analisar como os zeros que aparecem para α > 1 se comportam, fizemos o gráfico (5.6) mostrando como cada zero se comporta com a variação de α. Por exemplo, para o primeiro quadrante, a curva vermelha que mais se aproxima do eixo x representa a posição de um mesmo zero para diferentes valores de α desde o seu surgimento próximo de α = 1.09 até α = 1.999 (não há razões para crer que os zeros apenas passem a surgir por volta de α = 1.09, este é apenas o valor que é possível observar o primeiro zero por meio do cálculo numérico da figura). Assim, por diante todas as linhas representam a posição de um determinado zero para cada valor de α desde o seu surgimento até α = 1.999.
A figura (5.7) exibe o comportamento da parte real da distribuição α-estável de Lévy para diferentes valores de y (a parte complexa do número complexo z = x + iy). A origem dos zeros observados na figura (5.6) se deve ao caráter fortemente oscilatório da parte complexa do conjunto domínio. Devido às limitações numéricas não conseguimos afirma-se o conjunto de zeros que aparecem são finitos ou infinitos.
5.4
Região α < 1
O comportamento muda drasticamente para α < 1. Como mencionado anteriormente, não podemos usar a equação (1.6) no plano complexo devido às complexidades envolvidas.
Em vez disso, usamos a equação (5.5) observando as distintas expressões para as duas metades, esquerda e direita, de C. Na figura (5.1) usamos a equação (5.5) para mostrar o “domain coloring plot” para alguns valores de α < 1. Dado que as cores representam o argumento de pα(z), torna-se claro a partir dos gráficos que pα(z) exibe descontinui-
dade sobre Re[z] = 0. (Os “branch cuts” são necessários porque a verdadeira continuação analítica para α < 1 é uma superfície de Riemann com múltiplos ramos [78]). Todos os resultados qualitativos observados nos gráficos das figuras (5.1) e (5.2) corroboram com os teoremas 1, 2 e 3.
5.5
Caso β 6= 0
Para analisarmos o caso β 6= 0 usamos uma representação encontrada na referência [83], pois nesta representação as expressões para as derivadas necessárias para o cálculo de convergência da série de Taylor, são expressas em termos mais simples. A distribuição α-estável de Levy é dada por,
f (x; α, β) = 1 π
Z ∞
0
cos (h(t; x, α, β)) e−tαdt, (5.9)
onde os termos h(t; x, α, β) são dados por,
α 6= 1 ( h(t; x, α, β) = (x − ζ)t + ζtα ζ(α, β) = −β tan πα2 , (5.10) se α 6= 1, e α = 1 ( h(t; x, α, β) = xt + 2βtπ log(t) ζ(α, β) = 0 , (5.11) se α = 1.
Calculando a expressão para a n-ésima derivada obtemos,
dnf dxn x=0 = ( (−i)n iπ R∞ 0 tsen [(t α− t)(−βtan(πα/2))] e−tα dt se n par (i)n π R∞ 0 t cos [(t α− t)(−β tan(πα/2))] e−tα dt se n impar . (5.12)
Seção 5.6 Capítulo 5
de Taylor são obtidos em termos de expressões não elementares, e portanto, também não poderia ter uma representação elementar (com exceção do caso β = 1 e α = 1/2 que tem representação elementar conhecida). A análise da convergência da série infelizmente não pode ser feita de forma exata.
A figura (5.8), exibe o Domain coloring da equação (5.9) para alguns valores de α e β, com α > 1. Todos os casos observados apresentam uma estrutura de zeros, tal como o caso β = 0, porém é possível observar uma assimetria na posição destes zeros.
5.6
Discussão
Finalmente, discutimos a relação entre os resultados e a extrema dificuldade de en- contrar uma expressão exata simples para pα(x). Uma boa visão geral sobre as soluções
fechadas das distribuição de Lévy é apresentada em [42]. Em particular, para β = 0 e α = 2r/k (com r, k inteiros positivos e 0 < 2r/k < 1 ou 1 < 2r/k < 2), a referência [42] mostra que pα(x) é dada como a soma de N = max(2r, k) GHF (note que equação (5.6)
corresponde ao caso particular r = 1 e k = M [43]). Certamente, ser capaz de escre- ver pα(x) em termos de uma função especial já é uma grande vantagem. Primeiro, porque
pα(x) vai naturalmente mostrar as propriedades gerais — como simetrias, assintóticos, etc
— de funções especiais associadas. Segundo, porque às vezes existem algoritmos eficientes para o cálculo numérico da série de funções especiais ou representações das integrais. No entanto, uma questão relevante é o porquê somente para α = 1, 2 existem soluções dadas por funções elementares e porque somente para α racionais temos expressões fechadas exatas baseadas nas relativamente receptivas GHF (ou as funções G [84]).
Para analisar essa questão, vamos começar com α ≥ 1, observando que pα>1(z) é
obtido exclusivamente na integral C diretamente da equação (1.6) (α = 1 é um caso muito especial, discutido no apêndice B). Dos gráficos domain coloring, α = 1 (Cauchy) e α = 2 (Gaussiana) exibem um padrão significativamente distintos em todo o plano complexo, figuras (5.5.a) e (5.5.b). Não obstante, isto contrasta com as figuras para 1 < α < 2, figuras (5.2.a)-(5.2.d), em que estruturas distintas qualitativamente semelhantes (mas é claro, não quantitativamente, como foi testado numericamente) para qualquer uma das formas do tipo de Cauchy ou Gaussiana, são desenvolvidas nas diferentes regiões do C. Hipoteticamente, se p1<α<2(z) deveriam ser escritos como uma função elementar no plano
complexo inteiro, e, além disso, em certas regiões, teria a forma de 1/(A + zµ)γ (longe dos
pontos isolados zµ = −A) e em outras regiões como exp[−Bzν], isto exigiria uma série
única derivada da equação (1.6) para concordar com estas duas expressões, o que não pode ser o caso devido às distintas expansões em série (embora não tenha sido demonstrado aqui).
Demanet et al. estabelecerão declarações sobre a precisão da interpolação de uma função analítica conhecida de forma incompleta [85]. Para que a distribuição p1<α<2(z)
tenha uma expressão simples, precisaríamos de uma única função fα(z) interpolando entre
as expressões Gaussiana e Cauchy, além disto fortemente dependente da localização exata do z no plano complexo. Este seria um requisito matematicamente muito restritivo.
Por outro lado, já foi mencionado que para um racional 1 < α = 2r/k < 2 [42], pα(x)
(e portanto pα(z)) pode ser escrito como a soma de N = 2r GHF. Assim, essas N séries
de potências distintas, cada uma codificada em uma das GHF (e, em princípio, obtida a partir de expansões em série apropriadas do integrando na equação (1.6), veja, por exemplo, o método em [43]), contrário ao caso α = 1, 2 poderia lidar com os diferentes comportamentos qualitativos de pα(z) visto no plano complexo. Estendendo a análise
para α irracionais que são muito mais “abundantes” que os racionais em R, aproximações sucessivas de frações contínuas levariam a um N infinito, obviamente sem ganho sobre a série direta equivalente à equação (1.6), e então, não constituindo um solução fechada adequada. De fato, podemos entender os resultados para α > 1 pelo seguinte. Considere x → z = |z| exp[iθ] na equação (1.6) (por razões de convergência, abordamos o caso de 0 ≤ θ < π/4, suficiente para o nosso propósito de estudo aqui). Deformando adequadamente a integral equação (1.6) no plano complexo, encontramos pα(z) =
R
Cdτ exp[−τ
α] cos[|z τ |]
para C a linha {ρ exp[−iθ] 0 ≤ ρ < ∞}. Então, a partir da função multivalorada exp[−τα] em C, a menos que α seja racional, há ramificações infinitas e portanto, concebivelmente nenhuma solução, em termos de uma soma finita de GHF. Por outro lado, para racionais α = 2r/k > 1, cada um das N = 2r GHF resultando em uma distribuição pα=2r/k>1(z)
exata [42], podem ser atribuídos às superfícies de Riemann distintas do nosso integrando calculado no plano complexo.
Para α < 1, o fracasso na convergência da equação (1.6) é basicamente devido à exponencial stretched na equação (1.4), que neste caso tem uma forte singularidade (um ponto de ramificação logaritmo) na origem cujo comportamento exato depende do valor específico de α. Obviamente, isto deve ditar a possibilidade de soluções analíticas para pα<1(z). O raciocínio se torna mais explícito a partir do teorema 2 (e a continuação
analítica padrão da configuração x → z na equação (5.5)). Primeiro, pα<1(z) como uma
Seção 5.6 Capítulo 5
imaginário (por exemplo, arctan(z) tem um branch cut |y| ≥ 1 mas não todo eixo y). O integrando envolvendo α na equação (5.5) pode ser facilmente manipulado, produzindo termos da forma F = exp[−e±iαπ2 tα], onde 0 ≤ t < ∞, ou ainda F = exp[−(e±i
π 2 t)α].
Ao deformar o caminho de integração no plano complexo através da mudança de variável τ = e±iπ2 t, temos F = exp[−α log[τ ]]. O restante da análise é bastante semelhante ao
que já foi feito para o caso de α > 1. A única diferença é que agora, para α = 2r/k < 1 racional, a soma dos N = k GHF dados pα=2r/k<1(z) [42] é associada com as superfícies
de Riemann do k-ésimo integrando no C.
Como sabemos, a FC da distribuição α-estável de Lévy é uma função elementar. Porém, a questão sobre quando uma transformada de Fourier de uma função elementar é ela mesma elementar, não é um problema trivial (na referência [86], os autores estabelecem algumas condições para que a transformada de Fourier seja elementar). Intuitivamente, é esperado que uma função elementar tenha os coeficientes de uma série de potência que sejam eles próprios elementares para o n-ésimo grau do monômio zn. Por exemplo, a função gamma Γ(x) assume valores simples somente para alguns valores de x sendo um inteiro positivo ou semi-inteiro. Observe que os coeficientes de uma série de potências znna
equação (5.3) são funções gama de quantidades que tem o fator (1 + 2n)/α. Então, exceto para α = 2 e para os casos α = 1/m para m sendo um inteiro positivo, os coeficientes de Taylor de pα(z) não são funções elementares para o n-ésimo grau do monônimo zn.
Além disto, na equação (5.6), para os casos α = 1/m onde m = 2, 3, . . ., fazendo M = 2m e z = x, temos que p1/m(x) é representado por GHF, e portanto, é não-elementar.
Note que, embora na série de potências da equação (5.3) convirja para z 6= 0 somente quando α ≥ 1, a quantidade Γ(1/α) também aparece na equação (5.6), que tem um raio de convergência positivo. De fato, com a percepção obtida por todas estas observações, chegamos ao seguinte:
Conjectura 1 (A não existência de uma expressão fechada geral para a distribuição estável de Lévy simétrica). A distribuição estável simétrica de Lévy pα(x) não pode ser
dada por uma expressão fechada geral em termos de funções elementares, exceto os casos α = 1 e α = 2.
Um possível contraexemplo para um dos argumentos que usamos para sustentar a conjectura, seria considerar os polinômios de Bernoulli e os polinômios de Euler que são funções elementares embora sejam dadas em termos dos números de Bernoulli e Euler que tem representações não elementares; e considerar também os polinômios de Neumann que, para alguns autores, também são funções elementares. Porém, pelas razões que ex-
plicaremos logo em seguida, estes casos não contradizem nosso argumento. A razão que faz parecer que estes polinômios seriam contraexemplos se baseia no fato que os citados números poderiam ser obtidos por meio de funções especiais embora pudessem ser consi- derados funções elementares. A respeito disto, começamos apresentando as definições dos polinômios de Bernoulli dados por,
ext et− 1 = ∞ X n=0 Bn(x) tn−1 n! para |t| < 2π, (5.13) e dos polinômios de Euler dados por,
2ext et+ 1 = ∞ X n=0 En(x) tn n! para |t| < π. (5.14)
Os números de Bernoulli são definidos em termos dos polinômios de Bernoulli por Bn = Bn(0) para n = 0, 1, · · · . Embora, os números de Bernoulli possam ser associados
com funções matemáticas mais complexas, como por exemplo,
B2N = (−1)n−1π−2n
Z ∞
0
x2n
senh2(x)dx, (5.15) a questão relevante é que eles podem ser gerados de uma forma simples. Os polinômios de Bernoulli podem ser definidos por fórmulas recursivas baseadas em operações elementares (por exemplo, BN(x + 1) − BN(x) = N xN −1 ou Bm+1(n) = Bm+1 + (m + 1)PN −1k=1 km).
Portanto, todos os B1(z), B2(z), etc, são polinômios elementares finitos de coeficientes
também elementares. Uma vez que Bn(z) são elementares, os números de Bernoulli são
também elementares.
Os números de Euler En são definidos em termos dos polinômios de Euler por meio
da relação En= 2nEn(1/2) para n = 0, 1, · · · . Os polinômios de Euler também são dadas
por expressões recursivas, levando a polinômios elementares exatamente como no caso de Bernoulli. Tais expressões recursivas envolvem os números de Euler En. Além disto, existe
uma fórmula baseada na combinação elementar de inteiros, tal que (para n = 1, 2, · · · e Ck
j sendo o símbolo combinatório usual).
E2n = i 2n+1 X k=1 k X j=0 Ckj(−1) j(k − 2j)2n+1 2kikk . (5.16)
Seção 5.6 Capítulo 5
Por último, os polinômios de Neumann On(z) são dados por,
On(z) = 1 4 bN/2c X k=0 n(n − k − 1)! k! (z/2) 2k−N −1, (5.17)
onde o símbolo bxc significa a parte inteira de x. Uma soma finita de potências cujos termos z são multiplicados por números racionais. Então, eles são funções elementares.
Com base nisto, concluímos que mesmo que uma dada função possa ter alguma repre- sentação com coeficientes dados por expressões não elementares, isso não é uma condição suficiente para dizer que esta função não possa ter representação elementar. Ou seja, se houver pelo menos uma representação na qual os coeficientes da série de Taylor sejam dados por expressões elementares ela poderia em teoria ter uma representação elementar. Porém, a elementaridade das expressões que nos dão os coeficientes da série de Taylor, parece não ser uma condição suficiente para determinar a elementaridade ou não de uma função. Por exemplo, a representação em séries de potência da distribuição Gaussiana é,
g0(x) = ∞ X n=0 (−1)nx2n n! , (5.18)
integrando termo a termo obtemos,
g(x) = ∞ X n=0 (−1)nx2n+1 (2n + 1)n!. (5.19)
Nas duas expressões acima os coeficientes são considerados elementares, porém, a segunda expressão não possui representação elementar (de acordo com o teorema de Li- ouville, ver apêndice C). Portanto, a condição de possuir coeficientes elementares não é suficiente para determinar se uma série de potência tem ou não representação elementar (conforme discutido no apêndice C). A não elementaridade dos coeficientes pode ser um fator proibitivo para a não existência de expressão elementar para uma dada função mas não é uma condição suficiente. Por este motivo preferimos não formular um novo teorema e deixá-la como uma conjectura.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.2: Domain coloring da função pα(z), calculada pela equação (1.6) para vários α:
(a) 1.2, (b) 1.4, (c) 1.6 e (d) 1.8. Portanto, não há a necessidade de integração numérica. O limite superior de integração foi escolhido 100 na equação (1.6), mas foi verificado que o resultado não muda significativamente se aumentarmos o limite superior para 1000 ou valores maiores. Note como α aumenta sua estrutura de “folha de palmeira” dos zeros até o valor α = 2, onde estas “folhas” se estendem para o infinito.
Seção 5.6 Capítulo 5 (a)
x=0.01
x=1.5
x=5.0
x=8.0
0
2000
4000
6000
8000
10 000
10
-40.001
0.010
0.100
t
p
1.6(x)
(b)x=0.01
x=1.5
x=5.0
x=8.0
0
2000
4000
6000
8000
10 000
10
-40.001
0.010
0.100
1
limite
p
0.6(x)
Figura 5.3: Variando o limite de integração de equação (1.6) para alguns valores de x constantes e para (a) α = 1.6 e (b) α = 1.6. Vemos que o cálculo numérico da integral é praticamente invariante com o valor do limite superior de interação quando o valor de x for pequeno e α > 1.
x=0.01
x=1.5
x=5.0
x=8.0
0
2000
4000
6000
8000
10 000
10
-40.001
0.010
0.100
1
t
p
1.2(x)
y=1.0, α=1.2
Figura 5.4: Variando o limite de integração de pα(z) para alguns valores de x constantes
e y = 1.0 com α = 1.2. Vemos que o cálculo numérico da integral praticamente não muda com o valor do limite superior de integração.