b
Propriedade169 Sef:I→Rsatisfaz|f(y) −f(x)|6c|y−x|αcomα >1,c >0,x,y∈Rarbitrários entãofé constante.
êDemonstração. De|f(y) −f(x)|6c|y−x|αtomamosx=a∈Rfixo porém arbitrário
06f(y) −f(a) y−a
6c|y−a|α−1
comα−1 > 0, aplicamos o limite de ambos os lados e pelo teorema do sanduíche segue quef0(a) =0, logofé constante.
Questão 15
b
Propriedade170 Sefé derivável emIef0é contínua emaentão∀ xn6=yncom limxn=limyn =aentãolimf(yn) −f(xn) yn−xn
=f0(a).
êDemonstração. PeloT VM, para cadayn,xnexisteznentre eles tal que f(yn) −f(xn)
yn−xn =f0(zn)
daí limzn =apor sanduiche e limf0(zn) =f0(a)por continuidade, logo limf(yn) −f(xn)
yn−xn =limf0(zn) =f0(a).
1.8 Capítulo 8-Sequências e séries de funções
Questão 1
Z
Exemplo51 Sejamfn(x) = x2n,gn(x) = x2n+1,hn(x) = (1−x2)n deter-mine o limite dessas funções em[−1,1], examine a convergência uniforme.Se|x| < 1, fixo, temoslimx2n = limx2n+1 = 0,fn(1) = 1 = gn(1) = fn(−1) = 1egn(−1) = −1, logo para essas sequências de funções a convergência não é uniforme, pois temos sequências de funções contínuas convergindo para funções descon-tínuas, se a convergência fosse uniforme a continudade de funções seria preservada pelo li-mite. Parah, temoshn(1) =0,hn(−1) = 0,hn(0) = 1, se|x| < 1ex6= 0então 0< x2 <|x|< 1o que implica0 <1−x2 < 1logolimhn(x) =0.A convergência não é uniforme pelo mesmo motivo das outras sequências.
Questão 2
Z
Exemplo52 A sequência de funçõesfn : [0,1]→R,fn(x) =nx(1−x)n con-verge, porém não uniformemente. Apesar disso valeZ1
0limfn(x)dx=limZ1
0fn(x)dx.
Temos quefn → 0pois emx = 0ou1a sequência se anula emx ∈ (0,1)temos 0<1−x <1logo por sequência geométrica ela tende a zero. Agora a convergência não é uniforme pois paraksuficientemente grande temosxk= k1 ∈(0,1), tomandonk=k
|fnk(xk)|> 1 3 pois isso equivale à
n1 n(1− 1
n)n = (1− 1 n)n→ 1
e
comoe < 3temos31 < e1 parangrande suficientemente grande, conseguimos colocar
31 < (1− n1)n < e1, por isso não temos a convergência uniforme . Agora calculamos a integralR1
0fn(x)dx, fazendo a mudançay=1−x, ficamos com a integral Z1
0nx(1−x)ndx= Z1
0n(1−y)yndy= n
n+1− n n+2→0 a outra integral também é nula, logo temos a igualdade de troca de limite com integral . Questão 6
Z
Exemplo53 Sabemos que sefn →pfegn →p gentãofn+gn →p f+ge gnfn →fg(convergência pontual ou simples) e sef(x)6=0∀xno domínio efn(x)6= 0, tais propriedades valem, pois se fixamosxtemos sequências de números reais das quais sabemos que valem tais propriedades.b
Propriedade171 (Adição de uniformemente convergentes) Sefn →u fegn→u gemAentão(fn+gn)→u(f+g)emA.Questão 7
b
Propriedade172 (Produto de uniformemente convergentes) Sefn→uf,gn→u g, comfeglimitadas emAentãofn.gn →uf.gêDemonstração. Sabemos que sefegsão limitadas então para valores den suficientemente grandes cadafnegnsão limitadas, valendo|fn(x)| 6Ke|g(x)| 6 K1.
Podemos escrever
fn(x).gn(x) −f(x).g(x) =fn(x).gn(x) + −fn(x)g(x) +fn(x)g(x)
| {z }
0
−f(x).g(x) =
=fn(x).[gn(x) −g(x)] +g(x)[fn(x) −f(x)]
1.8. CAPÍTULO 8-SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 89 parangrande podemos tomar|gn(x) −g(x)|< 2Kε e|fn(x) −f(x)|< 2Kε
1, tomando a desigualdade triangular aplicada na expressão acima
|fn(x).gn(x) −f(x).g(x)|=
=|fn(x).[gn(x)−g(x)]+g(x)[fn(x)−f(x)]|6|fn(x)|.|gn(x)−g(x)|+|g(x)||fn(x)−f(x)|6 K ε
2K+K1 ε 2K1 = ε
2+ ε 2=ε.
b
Propriedade173 (Quociente de uniformemente convergente) Segn →u g, com|g(x)|>cemAentãog1n →u g1.êDemonstração.
Como|g(x)| > c ∀ xentão |g(x)|1 6 c1, logo paran > n0vale|gn1(x)| 6 K ⇒
1
|g(x)||gn(x)| 6 Kc, por convergência uniforme, podemos tomar|gn(x) −g(x)|6 cεK
logo
| 1
gn(x)− 1
g(x)|=|g(x) −gn(x)
gn(x)g(x) |= |gn(x) −g(x)|
|gn(x)g(x)| 6 K c
cε K =ε logo temos g1n →u 1
g.
$
Corolário31 Sefn→u f,gn →ug, com|g(x)|>ceflimitada emAentãofn
gn →u fg, poisg1n →uge daí por produto de funções uniformemente convergentes que convergem para funções limitadas vale quegfnn →u gf.
Z
Exemplo54 Sexn → 0uma sequência não nula eg(x)é ilimitada emAentão fn(x) = [xn+g(x)]2não converge uniformemente emA.Vale que
fn(x) =x2n+2g(x)xn+g(x)2
temos quehn(x) = x2netn(x) = g(x)2convergem uniformemente, então para mostrar quefnnão converge uniformemente basta mostrar quesn(x) = g(x)xnnão converge uniformemente.
Dadoε = 1para qualquernfixado, comogé ilimitada emA, podemos tomarxtal que|g(x)|> |x1
n|daí|xn||g(x)|>1, isto é,
|xng(x) −0|>1 entãosn(x)não converge uniformemente.
Como um exemplo podemos tomarg(x)polinômio exn = n1. Essa exemplo mostrar como o produto de sequências uniformemente convergentes pode não ser uniformemente con-vergente.
Um exemplo simples é considerarx ∈ Ailimitado efn(x) = xn,hn(x) = xe tn(x) = n1 convergem uniformemente, porém seu produto não .
questões 9 e 10
m
Definição 17 SejaEum espaço métrico, entãoBC(E) ={f:E→R|f contnuaelimitada}.
Bna notação pode lembrar da palavra em inglês "Bound"para função limitada eCpara contínua,BC(E)é o conjunto das funçõesf :E →Rque são contínuas e limitadas. Po-deríamos trocarRno contradomínio por outro conjuntoWnesse caso poderíamos denotar BCW(E)desde que esteja definido o que continuidade e função limitada , por exemplo se Wé um espaço métrico.
m
Definição 18 (Norma infinito) Paraf∈BC(E)definimos||f||∞ =sup
x∈E
|f(x)|. Tal definição faz sentido poisfé limitada.
b
Propriedade174 fn→u f⇔limn→∞||f−fn||∞=0.êDemonstração.
⇒).
Sefn →u fentão∀ ε > 0 ∃n0 ∈ Ntal quen > n0tem-se|fn(x) −f(x)| <
ε2 ∀x∈Eisso implica que limn→∞||f(x)−fn(x)||∞=0pois deve valer supx∈E|fn(x)−
f(x)|< εparan > n0logo||f(x) −fn(x)||∞< εde onde segue o resultado.
⇐). Se limn→∞||f(x) −fn(x)||∞ =0, então para qualquerε >0existen0∈N tal que paran > n0||f(x) −fn(x)||∞ < εlogo supx∈E|fn(x) −f(x)| < εe daí
|fn(x) −f(x)|< ε∀x∈Eque significafn→uf.
b
Propriedade175 (BC(E),|| ||∞)é um espaço vetorial normado completoaaEspaços vetoriais normados completos são chamado de espaço de Banach.
êDemonstração.BC(E)é um espaço vetorial, pois espaço de funções é um es-paço vetorial e dadaf,gemBC(E)entãocf+gé limitada e contínua, comc ∈ R. Agora mostramos que a norma infinito define uma norma neste espaço .
• Vale que||f||∞>0pela definição de ser supremo do módulo . Agora, se||f||∞= 0então a função deve ser nula, pois se fosse não nula em um pontox, teríamos
|f(x)|>0o supremo não seria nulo.
• Sec∈R, por propriedade do supremo temos
||cf||∞=sup
x∈E
|cf(x)|=|c|sup
x∈E
|f(x)|=|c|||f||∞.
1.8. CAPÍTULO 8-SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 91
• Mais uma vez por propriedade de supremo temos
||f+g||∞=sup|f(x)+g(x)|6sup
x∈E
{|f(x)|+|g(x)|}6sup
x∈E
|f(x)|+sup
x∈E
|g(x)|=||f||∞+||g||∞. Perceba que não usamos continuidade defnessas três primeiras propriedades,
então valem mesmo comfnão contínua.
• Além dissoBC(E)é completo, pois tomandofnuma sequência de funções em BC(E)que seja convergente a uma funçãofcom a norma infinito vamos mos-trar quefé contínua e limitada logo pertence aBC(E). Isto é verdade pois limn→∞||fn−f||∞ = 0significa quefn →u fcomo cadafné contínua en-tãofé contínua, além disso é limitada pois
||f||∞=||f−fn+fn||∞6||f−fn||∞+||fn||∞6M portantoBC(E)é completo.
$
Corolário32 Vale que|||f||∞−||g||∞|6||f−g||∞
pois temos||f||∞ 6 ||f−g||∞ +||g||∞ e||g||∞ 6 ||f− g||∞ +||f||∞ por desigualdade triangular.
b
Propriedade176 Sef,g∈BC(E)entãofg∈BC(E). Em especial vale que||f.g||∞6||f||∞||g||∞ êDemonstração. Temos que
||fg||∞ =sup
x∈E
|f(x)g(x)|6sup
x∈E
|f(x)|sup
x∈E
|g(x)|=||f||∞||g||∞.
Portanto temos a parte da limitação,fgtambém é contínua, pois o produto de funções contínuas é uma função contínua. Por issof.g ∈ BC(E). Perceba que não usamos continuidade para demonstrar a desigualdade.
Questão 15
b
Propriedade177 (Convergência uniforme e continuidade uniforme) Seja(fn) uma sequência de funções uniformemente contínuas deTemRconvergindo uniformemente para uma funçãof:T →R, entãofé uniformemente contínua emT.êDemonstração. Sejaε >0, pela convergência uniforme de(fn)paraf, existe m ∈ Ntal que|fm(x) −f(x)| < ε3 para todox ∈ T. Comofmé uniformemente
contínua , exister >0tal que se|x−y|< rimplica|fm(x) −fm(y)|< ε3e pela con-vergência pontual defmparaftemos|fm(y))−f(y)|< ε3, somando as desigualdades segue
|f(x)−f(y)|6 |fm(y) −f(y)|
| {z }
convergnciade fm(y)
+ |fm(x) −fm(y)|
| {z }
continuidadeuniformede fm
+ |fm(x) −f(x)|
| {z }
Convergnciauniforme
< ε
logo a função é uniforememente contínua . Questão 20
b
Propriedade178 Sejamg:Y →Runiformemente contínua,fn :X→R,fn →uf,f(X)⊂Yefn(X)⊂Y∀n, entãog◦fn →ug◦f. êDemonstração. Temos que mostrar que
∀ε >0∃n0∈N|n > n0⇒|g(fn(x)) −g(f(x))|< ε∀x.
Comogé uniformemente contínua dadoε > 0existeδ > 0tal que|x0−y0|<
δ ⇒ |g(x) −g(y)| < ε, comofn →u fentão existen0 ∈ N | n > n0implica
|fn(x)
| {z }
x0
−f(x)
|{z}
y0
|< δ∀xlogo porgser uniformemente contínua temos
|g(fn(x)) −g(f(x))|< ε∀x.
Vale também quefn ◦g →u f◦gquandog(Y) ⊂ X, caso contrário não faz sentido a composição, pois por convergência uniforme
∀ε >0∃δ >0|n > n0⇒|fn(y) −f(y)|< ε∀y∈X em especial parag(x) =y.
Questão 26
b
Propriedade179 SeP∞k=1fk→ufemAentãofn →u0emA. êDemonstração.
Aplicamos o critério de Cauchy,∀ ε > 0existen0 ∈ Ntal quen,n−1 > n0 implica
| Xn k=1
fk(x) −
n−1X
k=1
fk(x)|6ε, ∀x
|fn(x)|6ε, ∀x o que implica a convergência uniformefn →u0.
Questão 28
1.8. CAPÍTULO 8-SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 93
b
Propriedade180 SeP|gn|converge uniformemente emAe existeM >0tal que
|fn(x)|6Mpara todon∈N,x∈AentãoP
gnfnconverge absolutamente e unifor-memente.
êDemonstração. Vamos aplicar o critério de Cauchy
|
por convergência uniforme deP
|gn|podemos tomarPm
k=n|gk(x)|< Mε , ∀xpara εarbitrário en,msuficientemente grandes, pelo critério de Cauchy logo temos a con-vergência uniforme e absoluta como queríamos .
Questão 29
b
Propriedade181 (Critério de Dirichlet) Sejam(fn),(gn)definidas emEtais que ()seja uniformemente limitada,gn →u0,
g1(x)>g2(x)>g3(x)>∙ ∙ ∙ , isto é,(gn(x))é decrescente paraxfixo. Nessas condiçõesPn
k=1fk(x)gk(x)converge uniformemente.
êDemonstração. Vamos usar o critério de Cauchy para convergência uniforme, lembrando que|sn(x)| 6 M ∀ x ∈ E, n ∈ N,gn(x) →u 0logo param > então pelo critério de Cauchy temos convergência uniforme.