Capacitores com dielétricos

Usualmente os capacitores são construídos com materiais isolantes preenchendo a região entre suas placas condutoras. Isso serve ao propósito não apenas de con- seguir uma maior eficiência na armazenagem de carga e energia, como também ao de otimizar o projeto no quesito de sustentação mecânica das placas condu- toras. A desvantagem é que devemos nos atentar para o limite de tensão a que ele pode ser submetido. Cada material tem um valor máximo de campo elétrico que ele suporta sem comprometer a integridade de suas moléculas, conhecido como rigidez dielétrica do material. Campos de intensidades acima desse valor podem causar a ruptura de algumas moléculas, provocando ionização deste e sua descaracterização como isolante, fato semelhante ao que ocorre com o ar em tempestades, quando um raio é deflagrado. Como as distâncias entre as placas condutoras são geralmente muito pequenas, o campo elétrico entre elas pode facilmente atingir valores elevados, às vezes próximos ao de ruptura. A tabela mostra valores de rigidez dielétrica para alguns materiais tipicamente utilizados como isolantes em capacitores.

O que ocorre quando inserimos um material dielétrico no interior de um ca- pacitor? Tomemos com exemplo o capacitor de placas planas paralelas estudado

5.6 Capacitores com dielétricos 103

na seção 5.5.1. Inicialmente a vácuo, ele adquire uma carga de módulo Q em cada placa quando conectado a uma bateria de tensão V , sendo sua capacitância

C =Q

V = ²0 A d.

Introduzindo um dielétrico, todas as suas moléculas serão submetidas a um campo uniforme. Na ausência de um campo externo, as moléculas em geral se comportam de maneira neutra do ponto de vista elétrico. Sua carga elétrica total é nula e, com poucas exceções, seu momento de dipolo elétrico total é nulo, pois o centro geométrico das cargas negativas coincide com o centro geométrico das cargas positivas. Na presença de um campo externo, entretanto, existirá uma força elétrica adicional sobre os elétrons na mesma direção, mas oposta ao campo aplicado. Essa força fará com que os orbitais dos elétrons sejam ligeiramente deslocados nessa direção, passando o centro de cargas negativas a não mais coincidir com o das cargas positivas, formando um pequeno dipolo elétrico. O centro das cargas negativas desloca-se no sentido oposto do campo externo, de modo que o vetor momento de dipolo elétrico da molécula, nesse novo estado, será paralelo (mesma direção e sentido) ao campo.

No caso do nosso capacitor, todas as moléculas irão sofrer a mesma distorção, dado que o campo externo é uniforme. O efeito global disso é que nas superfícies do dielétrico normais ao campo, surgirão cargas de polarização, negativas onde o campo penetra no dielétrico e positivas onde ele sai do dielétrico. Não fosse o campo uniforme, surgiriam também cargas de polarização ao longo do volume do dielétrico, pois as moléculas distorcidas pelo campo poderiam dar origem a den- sidades médias não nulas. Nesse nosso exemplo, em qualquer pequeno elemento de volume considerado, a soma das cargas positivas e negativas (aqui considera- das como as cargas +q e −q dos centros geométricos de cargas das moléculas) se anula, devido à uniformidade da distribuição dos dipolos moleculares.

Se o capacitor for carregado à vácuo, desligado da fonte de tensão e então preenchido com um material isolante, essas cargas superficiais de polarização criarão um campo oposto ao das placas do capacitor, fazendo com que o campo total seja de intensidade menor que na situação à vácuo. Como a d.d.p. entre as placas é a integral de linha do campo elétrico entre elas, essa quantidade sofrerá um decréscimo em relação ao valor original. Isso se traduz numa capacitância maior que aquela à vácuo, pois com a mesma quantidade de cargas armazenada (a bateria foi desligada, portanto a carga nas placas não se altera), a diferença de potencial é menor:

C0= Q

V0, com V

0_{< V =⇒ C}0_{> C .}

Se, por outro lado, mantivermos a bateria conectada ao introduzirmos o dielétrico, ela forçará o campo resultante dentro do capacitor a ter o mesmo valor. Como sabemos que os dipolos moleculares criam um campo em sentido oposto a este, o campo criado pelas placas condutoras deve sofre um acréscimo igual em módulo ao valor do campo criado pelos dipolos. Isso só é possível com um

104 Capítulo 5 Capacitores

aumento da quantidade de cargas nas placas condutoras, que são supridas pela bateria. Da mesma forma, isso revela um aumento da capacitancia do dispositivo, haja vista que

C0=Q

0

V , com Q

0

> Q =⇒ C0> C .

Como as características geométricas do capacitor não foram alteradas, concluí- mos que, algebricamente, o responsável pelo acréscimo no valor da capacitância deve estar relacionado com a constante²0. Devemos substituí-la por uma cons-

tante que seja característica do isolante, e ela será sempre maior que a do vácuo.

Capítulo 6

Dielétricos

Objetivos

Ao final desse capítulo, você deverá ser capaz de:

a) Explicar como uma molécula ou átomo submetido a um campo elétrico ex- terno adquire um momento de dipolo elétrico e traduzir isso matematica- mente definindo polarização.

b) Distinguir claramente entre polarização de cargas em um dielétrico e indução

de cargas em um condutor.

c) Determinar o efeito da polarização na distribuição efetiva de cargas de um dielétrico polarizado.

d) Caracterizar o que são eletretos e como eles diferem de materiais polarizados usuais.

e) Calcular as densidades de cargas volumétrica e superficiais de polarização,

bem como as respectivas cargas totais.

f ) Demonstrar que a carga total de polarização é sempre nula e explicar o signifi- cado físico disso.

g) Explicar a diferença entre cargas livres, de polarização e totais.

h) Mostrar que a lei de Gauss pode ser adaptada para a situação em que dielétri- cos estão presentes e explicar por que isso é necessário.

i) Definir o vetor deslocamento elétrico e calculá-lo utilizando a lei de Gauss. j) Definir permissividade e susceptibilidade do meio dielétrico.

k) Obter os vetores campo elétrico e de polarização a partir do vetor desloca-

mento.

l) Analisar como os vetores E, D e P se comportam ao redor de uma interface de

separação entre dois meios distintos.

m) Determinar a energia elétrica de distribuições de cargas em materiais dielétri-

cos.

n) Determinar a densidad de carga livre e a carga livre total conhecendo o vetor

deslocamento elétrico.

106 Capítulo 6 Dielétricos

6.1 Polarização

Algumas moléculas, como a da água, podem apresentar um momento de dipolo elétrico permanente não nulo. Isso acontece devido à configuração de seus áto- mos constituintes, resultando em centros de cargas intrinsecamente separados. Normalmente esses dipolos moleculares estão orientados aleatoriamente, pro- duzindo um momento de dipolo total nulo para uma amostra finita do material, mas eles podem ser alinhados pela ação de um campo externo, o que faz com que o campo produzido pelo conjunto de dipolos se torne razoavelmente intenso.

Mesmo moléculas que não possuam tal propriedade são afetadas pela pre- sença de um campo externo. Num material isolante um campo externo leva a uma separação dos centros de cargas positiva e negativa nas suas moléculas constituintes, produzindo pequenos dipolos que, em conjunto, irão também gerar uma contribuição não desprezível ao campo e potencial da região. Em

E

p

presença de campo externo

dp O r dv0 r0 P r −r 0

Figura 6.2 Elemento de dipolo

ambas as situações, podemos tratar a contribuição dos pequenos dipolos mo- leculares definido o vetor Polarização P; qualquer elemento de volume, mesmo que macroscopicamente muito pequeno, contem um número muito grande de moléculas polarizadas. O momento de dipolo total desse pequeno volume,∆p é a soma dos momentos de dipolos das moléculas constituintes

∆p = X

i pi.

O vetor P é o momento de dipolo total por unidade de volume:

P = lim ∆v0_→0 ∆p ∆v0 = d p d v0, d p = Pd v 0_.

Devemos lembrar que, apesar da natureza discreta da estrutura da matéria, do ponto de vista macroscópico pode-se assumir que os dipolos estejam distribuídos continuamente no interior do volume. Isso é uma aproximação, mas funciona bem desde que o elemento de volume seja grande comparado com distâncias interatômicas, e ainda assim pequeno comparado com a escala típica de variação das grandezas que definem o campo eletrostático.

Consideremos um dielétrico ocupando uma região V0do espaço, onde por uma razão ou outra, exista uma distribuição de dipolos elétricos. Um volume

d v0possuirá um momento de dipolo d p(r0) = P(r0) d v0, e sua contribuição para o potencial num ponto r pode ser dada por

dVd= 1 4π²0 d p·(r − r0) |r − r0_|3 = 1 4π²0 P(r0)·(r − r0) |r − r0_|3 d v 0_.

O potencial causado por toda a distribuição de dipolos será então

Vd= 1 4π²0 Z v0 P(r0)·(r − r0) |r − r0_|3 d v 0_{. (6.1)}

Vamos utilizar a identidade

∇0 1 |r − r0_|=

r − r0

|r − r0_|3