3.4 Energia potencial elétrica
3.4.2 Distribuição contínua de cargas
Uma distribuição contínua de cargas pode ser dividida em um número N muito grande de pequenos elementos de cargas, para as quais 3.12 nos permite escrever
U ≈1 2 N X i =1 V (ri)∆qi.
No limite em que N → ∞ teremos
U =1
2 Z
V (r0) d q. Para uma distribuição volumétrica de cargas, fica
U =1
2 Z
v0ρ(r
0)V (r0) d v0. (3.13)
É mais conveniente escrever a energia potencial em termos do campo elétrico. Para isso, usando a lei de Gauss na forma diferencial,
∇·E = ρ
²0
,
eliminamos a densidade volumétrica de cargas da relação anterior:
U =1
2²0 Z
v0V ∇·Ed v 0.
Por outro lado, fazendoψ = V e A = E na identidade vetorial ∇·(ψA) = ∇ψ·A + ψ∇·A,
obtemos
∇·(V E) = V ∇·E + ∇V ·E =⇒ V ∇·E = ∇·(V E) + E2, pois −∇V = E. Substituindo acima, resulta
U =1 2²0 µZ v0∇·(V E) d v 0+Z v0E 2d v0 ¶ .
O teorema do divergente de Gauss nos habilita a escrever a primeira integral de volume como o fluxo através da superfície que delimita o volume v0. Antes, observemos que o volume de integração acima pode ser qualquer volume v que pelo menos contenha o da distribuição, pois fora dela,ρ = 0 e a contribuição do volume externo a v0é nula. Vamos escolher o volume v00delimitado por uma superfície esférica S00, com centro em algum lugar dentro da distribuição de cargas, e de raio R suficientemente grande para abranger toda ela:
U =1 2²0 µI S00V E· ˆndS 0+Z v00E 2d v0 ¶ .
74 Capítulo 3 Potencial eletrostático
Para valores de R muito maiores que a maior dimensão da distribuição, o poten- cial e o campo dessa distribuição se aproximam assintoticamente dos de uma carga pontual igual à carga total da primeira, ou seja
|E| ∼ 1 R2, V ∼ 1 R =⇒ |V E| ∼ 1 R3.
Por outro lado, o elemento de superfície da integral de fluxo varia proporcional- mente a R2. O conjunto varia com R−1, de modo que, no limite em que R → ∞:
lim
R→∞
I
S00V E· ˆndS 0→ 0.
A energia total, nesse limite, se torna
U =1 2²0 Z Todo o espaço E2d v0. (3.14)
Essa relação mostra que a energia potencial pode ser considerada como arma- zenada no campo elétrico. Podemos definir a densidade de energia potencial elétrica como uE= dU d v = 1 2²0E 2, (3.15)
que é uma função de ponto relacionada à quantidade de energia potencial armazenada num elemento de volume ao redor de cada ponto no espaço.
Exemplo 3.3 Determine a energia armazenada no campo de uma esfera
de raio R e carga Q distribuída uniformemente sobre seu volume.
Solução:
Podemos calcular essa energia usando a expressão 3.13 ou através de 3.14. De uma forma ou de outra vamos precisar dos campos elétricos dentro e fora da esfera, facilmente obtidos através da lei de Gauss, haja vista que este goza de simetria esférica, E = E(r ) ˆr. Utilizando uma superfície gaussiana de raio r < R, lembrando que a densidade volumétrica de cargas é uniforme,
ρ = Q/(4πR3/3), 4πr2E (r ) = 1 ²0ρ 4 3πr 3 = 1 ²0 Qr 3 R3 =⇒ Eint= Qr 4π²0R3 ˆr, r < R.
Para r > R, a carga elétrica envolvida pela gaussiana é a carga total da esfera, de modo que
Eext= Q
4π²0r2
ˆr, r > R.
O potencial eletrostático num ponto interno à esfera, adotando o referen- cial nulo no infinito, é dado por 3.6:
V (r ) = −
Z r
∞
E(r0)·dr0.
3.4 Energia potencial elétrica 75
Em coordenadas esféricas,
d r = dr ˆr + r dθ ˆθ + r senθ dϕ ˆϕ =⇒ E·dr = E dr.
Aqui, embora estejamos realizando o percurso de integração a partir do infinito em direção a um ponto próximo à origem do sistema, não escre- vemos d r = −dr ˆr + ···, pois preferimos expressar esse fato nos limites de integração. Assim V (r ) = − Z R ∞ Eext(r0) d r0− Z r R Eint(r 0) d r0= Q 4π²0 µZ ∞ R d r r2 + Z R r r0 R3d r ¶ , resultando em V (r ) =Q(3R 2 − r2) 4π²0R3 . Com isso, o cálculo da energia como em 3.13 é direto:
U =1 2 Z 2π 0 Z π 0 Z R 0 3Q 4πR3 Q(3R2− r2) 4π²0R3 r2senθ dr dθ dϕ, ou U = 3Q 2 20π²0R
A alternativa através de 3.14 também é trivial:
U =1 2²0 · Z 2π 0 Z π 0 Z R 0 µ Qr 4π²0R3 ¶2 r2senθ dr dθ dϕ + Z 2π 0 Z π 0 Z ∞ R µ Q 4π²0r2 ¶2 r2senθ dr dθ dϕ ¸ , que obviamente também conduz a
U = 3Q
2
20π²0R
Questões sobre o Capítulo 3: Potencial eletrostático
Q3.1 Explique a diferença entre potencial elétrico e energia potencial ele- trostática.
Q3.2 Uma carga positiva é liberada, em repouso, num campo elétrico. A carga se desloca para a região de potencial elétrico mais alto ou mais baixo?
Q3.3 Se o potencial elétrico for constante numa região do espaço, o que se pode dizer sobre o campo elétrico nessa região?
76 Capítulo 3 Potencial eletrostático
Q3.4 Se E for conhecido num único ponto, é possível determinar V nesse ponto? E o oposto: se conhecermos V num único ponto, podemos determinar E?
Q3.5 Defina superfície equipotencial.
Q3.6 O vetor campo eletrostático é sempre normal à superfície equipoten- cial, isto é, linhas de campo e superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares, e, portanto duas superfícies equipotenciais nunca podem se cruzar. Além disso, E aponta no sentido de potenciais de- crescentes. Explique por que.
Q3.7 Considerando um condutor maciço e de formato irregular, qual deve ser a relação entre o valor do potencial elétrico em pontos do seu inte- rior e em pontos da sua superfície? Responda novamente considerando condutores com cavidades em seu interior, e também condutores for- mados por uma casca metálica muito fina, todos de formato arbitrário.
Q3.8 Considere duas esferas condutoras de raios R1e R2com cargas Q1e Q2respectivamente que se encontram muito distantes uma da outra.
Conecte-as agora por fio condutor e encontre a relação entre suas densidades superficiais de cargas, analise o resultado obtido e dê a sua explicação para o fenômeno do poder das pontas em condutores.
Q3.9 Os conselhos que se dão a alpinistas surpreendidos por tempestades acompanhadas de descargas elétricas são: a) abandonar rapidamente os picos; b) juntar ambos os pés e agachar-se num descampado, com apenas os pés tocando o solo; c) evitar permanecer nas proximidades de árvores, principalmente se forem altas. Discuta quais são as bases para esses conselhos.
Problemas do Capítulo 3: Potencial eletrostático
P3.1 Determine o potencial e o campo eletrostáticos num ponto qualquer do eixo de simetria de:
a) um anel de raio a uniformemente carregado com densidade linear
de cargaλ;
b) um disco de raio a uniformemente carregado com densidade super-
ficial de cargaσ;
Resp: a) V (z) =2²0(z2λa+a2)1/2, ~E(z) =2²0(zλaz2+a2)3/2zˆ b) z > 0: V (z) =2σ²0[
p
z2+ a2− |z|],
~E(z) = σ
2²0[1 −pz2z+a2] ˆz.
P3.2 Um disco de raio R tem uma densidade de carga +σ0para r < a e uma
densidade de carga igual e oposta −σ0para a < r < R. A carga total do
disco é nula.
a) Determinar o potencial à distância x sobre o eixo do disco.
3.4 Energia potencial elétrica 77
b) Dar a expressão aproximada de V (x) quando x for muito maior do
que R. Resp: a) V (x) = (σ0/2²0)(2 p x2+ R2/2 − x −p x2+ R2), b)σ 0R4/32²0x3
P3.3 Um bastão de vidro de comprimento L uniformemente carregado com densidade linear de cargaλ jaz sobre a parte positiva do eixo
x de um sistema de coordenadas, sendo que uma das extremidades
está na origem. Determine num ponto P (x, 0, 0), x > L, o potencial eletrostático V (escolhido como sendo igual a zero no infinito) e o campo eletrostático. Resp: V (x) = λ 4π²0 ln x x − L, E(x) = λ 4π²0 L x(x − L)x, para z > Lˆ
P3.4 Sejam dois planos carregados, infinitos e paralelos, um deles no plano yz e o outro à distância x = a. a) Determinar o potencial eletrostático no espaço entre eles, com V = 0 em x = 0 e cada plano com densidades de carga iguais e positivas +σ. b) Repetir o problema se as densidades de carga forem iguais porém de sinais contrários e a carga positiva estiver no plano yz. c) Faça um gráfico do potencial V em função de
x e do campo elétrico E em função de x, abrangendo regiões entre as
placas e fora delas.
Resp: a) V = 0 para 0 < x < a, −(σ/²0)(x − a) para x > a e σx/²0para x < 0; b) −σx/²0para
0 < x < a, −σa/²0para x > a e 0 para x < a
P3.5 Uma casca hemisférica de raio a encontra-se uniformemente carre- gada com carga Q/2.
a) Integrando sobre a configuração de cargas, determine o poten-
cial eletrostático no ponto central (centro de curvatura). Resp: a)
V (0) = Q
8π²0a
b) Uma partícula de massa m e carga Q é lançada do infinito e viaja
sobre a reta suporte do campo eletrostático no ponto central. Deter- mine a velocidade inicial mínima da partícula, para que esta alcance o ponto central. Resp: v0=
Q
2pπ²0ma
P3.6 a)Determine o potencial eletrostático produzido por uma casca es- férica de raio a, uniformemente carregada com carga Q e esboce seu gráfico em função de r . b) Usando o resultado do item a), integre sobre a configuração de cargas para determinar a energia potencial eletrostática associada. Obtenha este mesmo resultado usando agora o conhecimento do campo E. c) Considerando a resposta no item
c) , diga se seria possível formar a casca carregada usando a energia
potencial eletrostática de uma configuração de duas pontuais, com carga Q cada, sendo a a distância entre as cargas pontuais (justifique). Resp: a) V (r ) = Q 4π²0r, para r > a, V (r ) = Q 4π²0a, para r < a; b) U = Q2 8π²0a c) Sim, pois U0= Q 2 4π²0a
78 Capítulo 3 Potencial eletrostático
Figura 3.7 Problema 3.7
P3.7 Três cargas idênticas de 0,005 C são colocadas nos vértices de um triân- gulo equilátero de 1,0 m de lado.
a) Qual o trabalho necessário para se deslocar uma das cargas para o
ponto situado no meio do segmento de reta que une as outras duas cargas? Resp: W = 4,5.105J
b)Determine o fluxo elétrico através de uma esfera de raio 0,75 m, cen- trada na carga inferior esquerda da figura, nas configurações inicial e final. Resp:ΦEi= 5,6.10 8V.m,Φ Ef= 1,12.10 9V.m
y
x
a
a
a
a
Figura 3.8 Problema 3.8P3.8 Considere 3 partículas idênticas, cada uma com carga Q e massa m, inicialmente distribuídas na forma de um triângulo equilátero como mostrado na figura ao lado. a) Calcule o trabalho realizado ao se mover a carga localizada no ponto P1para o ponto P2. b) Se a mesma carga
for abandonada em repouso no ponto P1, qual será sua velocidade
final quando estiver muito afastada da distribuição de cargas?
P3.9 Em uma certa região do espaço o potencial é dado por V = ax y +by2+
c y.
a) Determinar E. Em que pontos ele se anula?
b) Determinar, na origem, a densidade volumétrica de cargas que
produz este potencial e campo.
Resp: a) E = −a y ˆx − (ax + 2by + c) ˆy. O campo se anula em y = 0 e x = −c/a b)ρ = −2b²0
P3.10 Em uma certa região do espaço existe uma distribuição esférica de cargas cujo potencial é dado por:
V (r ) = ρ0a2 18²0(1 − 3 r2 a2+ 2 r3 a3), para r ≤ a 0, para r > a a) Calcular ~E para r ≤ a e r > a;
b) determine a densidade de cargaρ dessa distribuição; c) determine a carga total dessa distribuição.
Resp: a) E =ρ0r 3²0(1 − r /a) ˆr, r < a b)ρ(r ) = ρ0 µ 1 −4 3 a r ¶ , r < a c) Q = 0. Para r > a as
respostas dos itens a) e b) se anulam.
P3.11 Um dipolo elétrico pontual de momento de dipolo p encontra-se a uma distância a de um fio retilíneo infinito de densidade linear de cargasλ uniforme. Inicialmente a orientação do dipolo é perpendicular ao fio no sentido radial positivo.
a) Quais são a força e o torque que atuam sobre ele?
b) Que trabalho será necessário para girá-lo até que sua orientação
fique paralela ao fio?Resp: a)τ = 0, F = − pλ
2π²0a2
ˆ
ρ b)W = pλ
2π²0a
3.4 Energia potencial elétrica 79
P3.12 Considere um plano infinito carregado com densidade superficial uni- forme de cargasσ localizado no plano x y (z = 0). Se um dipolo elétrico de módulo p está no plano y z e faz inicialmente um ângulo deπ3 com relação ao eixo z, calcule: a) A força resultante exercida sobre o dipolo;
b) O vetor torque sobre o dipolo e c) a energia necessária para girar o
dipolo até um ângulo de π2 em relação a z.
P3.13 Numa região do espaço onde o potencial é dado por V (x) =12ax2+
bx + c, onde a, b e c são constantes, é colocado um pequeno dipolo
elétrico de momento p = p0x. Determine a força e o torque atu-ˆ
antes sobre ele. Que energia foi dispendida para colocá-lo lá? Resp:
τ = 0, F = p0a, U = p0(ax + b) A B a 2a Figura 3.9 Problema 3.14
P3.14 A figura ao lado ilustra um sistema de duas cargas q1= −q2= q. Pede-
se
a) O potencial eletrostático em A e B ; Resp: VA= q
8π²0a VB= −
q
8π²0a
b) A energia eletrostática desse sistema. Resp: U = −p5 q
2
20π²0a
c) O trabalho que um agente externo deve realizar para levar uma carga q3= 2q desde A até B. Resp: Wext (A→B)= − q
2
2π²0a
P3.15 Quatro cargas −q, 3q, −3q e q são dispostas sequencial e linearmente ao longo do eixo z de um sistema de coordenadas, sendo a a distância entre cada carga e sua vizinha mais próxima. Considere a origem do sistema no ponto médio entre as cargas ±3q. Determine o potencial elétrico num ponto qualquer do espaço muito distante da distribuição,
r >> a.Resp: V =3q a
3(5 cos3θ − 3cosθ)
4π²0r4
P3.16 Uma carga puntiforme q é colocada numa caixa cúbica de aresta l .
Calcule o fluxo do campo elétrico sobre cada uma das faces a) se a carga ocupa o centro do cubo; b) se é colocada num dos vértices. Resp: a) q/6²0; b) 0 para as faces adjacentes e q/24²0para as faces opostas.
P3.17 Uma esfera metálica oca de raios interno e externo respectivamente iguais a a e b possui um excesso de carga igual a +q, sendo q > 0. Exatamente no centro da esfera é colocada uma carga puntiforme −2q. Determine:
a) As densidades de carga nas superfícies interna e externa da esfera. b) O trabalho necessário para se transportar uma carga 3q do ponto A
ao ponto B , através da trajetória mostrada na figura.
c) O vetor campo elétrico nos pontos r = a, r =a + b
2 , e r = 2b. Resp: a)σint= q 2πa2, σext= − q 4πb2 b) WA→B= 0 c) E(a) = − q 2π²0a2 ˆr, E(a + b 2 ) = 0, E(2b) = − q 16π²0b2 ˆr
A
B
−2q
Figura 3.10 Problema 3.1780 Capítulo 3 Potencial eletrostático
P3.18 No modelo clássico de J.J. Thomson para o átomo de hidrogênio, a
carga +e do núcleo era imaginada como estando uniformemente dis- tribuída no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10−8 cm (raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme −e movendo-se no interior dessa distribuição. a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto a uma distância r < a do centro da esfera; b) mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples; c) calcule a frequência de oscila- ção e compare-a com uma frequência típica da luz visível.
Resp: a)~E =3ρr²0r ; b)ˆ ω = e/(4π²0mea3)1/2; c)ν ≈ 7,2 × 1015Hz
P3.19 Um cilindro oco de raios interno e externo respectivamente iguais a a e b está carregado com uma densidade volumétrica de cargas
ρv= A/ρ. Determine o campo elétrico em todas as regiões do espaço
e a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa do cilindro.Resp: E = 0, para 0 < ρ < a; E = A
²0ρ(ρ − a) ˆρ, para a < ρ < b; E =
A
²0ρ(b − a) ˆρ, para
ρ > b. V (a) −V (b) = A
²0(b − a − a ln(b/a)).
Capítulo 4
Soluções de problemas em
eletrostática
Objetivos
Ao final desse capítulo, você deverá ser capaz de:
a) Identificar que tipo de situação não pode ser resolvida através do cáclculo direto dos campos ou potenciais.
b) Enumerar e explorar as propriedades da equação de Laplace, explicando como
elas podem ser utilizadas para construir a solução final de um problema de valores no contorno.
c) Identificar os tipos de condições de contorno e como utilizá-las para resolver
a equação de Laplace.
d) Utilizar o método das imagens para resolver problemas envolvendo consuto-
res.
e) Escrever a solução geral da equação de Laplace em duas e três dimensões em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas
f ) Resolver completamente a equação de Laplace nas situações acima, aplicando as condições de contorno à solução geral.
g) Utilizar o método da função de Green para resolver problemas de contorno. h) Determinar a função de Green que se aplica a uma dada situação por vários
métodos.
4.1 Equações de Poisson e Laplace
É muito simples obter as equações de Poisson e Laplace. Como E = −∇V , da Lei de Gauss temos
∇2V = −ρ ²0
, (4.1)
que é a equação de Poisson. Nas regiões onde não há cargas, temos e equação de Laplace,
∇2V = 0, (4.2)
82 Capítulo 4 Soluções de problemas em eletrostática
Estas equações aparecem em várias outras áreas da Física, e existe um grande nú- mero de técnicas de solução diferentes, cada qual mais adequada a certa situação específica. No estudo destas técnicas, dois teoremas se fazem importantes, um deles óbvio mas necessário, e o outro não tão trivial. Antes de os enunciarmos, en- tretanto, vejamos uma definição acerca das condições de contorno normalmente encontradas nos problemas tipicamente endereçados via equação de Poisson ou Laplace.
Definição 1 (Condições de Contorno de Dirichlet). Quando o valor da função
(ou seja, do potencial) é especificado em uma ou mais superfícies fechadas no espaço.
Definição 2 (Condições de Contorno de Neumann). Quando o valor da derivada
normal da função (ou seja, do gradiente, o que essencialmente equivale ao campo elétrico ou à densidade superficial de cargas) é especificado em uma ou mais superfícies fechadas no espaço.
Teorema 1 (Linearidade). Se V1, V2, . . . , Vnsão soluções da equação de Laplace, então
V = α1V1+ α2V2+ · · · + αnVn, onde osα são constantes, também o será.
A prova é trivial e será deixada como exercício.
Exercício proposto 2. Demonstre a proposição acima!
Teorema 2 (Unicidade). Duas soluções da equação de Poisson que satisfaçam às mesmas condições de contorno (tipo Dirichlet ou Neumann), diferem no máximo por uma constante.
Suponha que uma determinada região do espaço de volume v0seja delimi-
tada por uma superície S0(que pode ser infinita). Dentro desta região existem n
corpos condutores de superfícies S1, S2, . . . , Sn, eletricamente carregados e man-
tidos a determinados potenciais. Admitamos que, em v0, existam duas soluções
para a equação de Poisson, V1e V2:
∇2V1= −ρ ²0
, ∇2V2= −ρ ²0
,
ambas satisfazendo às mesmas condições de contorno em S1, S2, . . . , Sn. Seja V = V1− V2. É claro que
∇2V = 0,
além do que, nas superfícies especificadas, V = 0. Apliquemos o teorema da divergência ao vetor V ∇V : Z v0 ∇·(V ∇V ) d v = I SV ∇V · ˆndS.