Para descrevermos como é a característica de Euler de variedades ag maximais precisamos conhecer a multiplicidade das raízes restritas. Para tal, primeiramente realizaremos um breve estudo sobre a complexi cação da álgebra de Lie g.
Seja g um álgebra de Lie semissimples real. A complexi cação gC de g pode ser descrita como
gC= {X + iY | X, Y ∈ g} cujo colchete de Lie é de nido por
[X1+ iY1, X2+ iY2] = [X1, X2] − [Y1, Y2] + i([X1, Y2] + [Y1, X2]).
Proposição 4.2.1. A álgebra de Lie g é semissimples se, e somente se, sua complexi cação gC
também é semissimples.
Esta proposição de dá pelo fato da forma de Cartan-Killing de g ser a restrição da forma de Cartan-Killing de gC, e assim, uma delas é não-degenerada se, e somente se, a outra também é
não-degenerada.
Uma subálgebra h de g (assumindo que a álgebra de Lie atua em um corpo K qualquer) é dita uma subálgebra de Cartan se satisfaz:
1. h é nilpotente;
2. O normalizador de h em g coincide com h. Esta condição é equivalente a: se [X, h] ⊂ h então X ∈ h.
Dada um subálgebra de Cartan h de g, quando complexi camos h obtemos que hC é uma
subálgebra de Cartan do complexi cado gC, uma vez que a extensão de uma álgebra nilpotente é
nilpotente e também porque a propriedade do normalizador não depende de quais escalares que se tome.
Proposição 4.2.2. Seja a uma subálgebra abeliana maximal em s. Então, existe uma subálgebra abeliana maximal h de g que contém a. A subálgebra h é de Cartan e se decompõe em soma direta como
h = a ⊕ (h ∩ k) = a ⊕ t.
Demonstração. Esta demonstração pode ser encontrada em [12].
De nição 4.2.3. Uma álgebra de Lie g é dita uma forma real normal de gC se a subálgebra
abeliana a ⊂ s também é subálgebra de Cartan, ou seja, t = 0, implicando que h = a.
Se h = a ⊕ t é uma subálgebra de Cartan, é útil de nir o conjunto ∆ = ∆(gC, hC)das raízes de
gC com respeito a subálgebra de Cartan hC. Podemos decompor o espaço gC em relação as raízes de ∆, isto é,
gC= hC⊕X
γ∈∆
(gC)γ.
Temos que o espaço associado à uma raiz restrita α ∈ Π de g é dado por gα = g ∩
X
γ∈∆ γ|a=α
(gC)γ (4.2.1)
ou seja, as raízes restritas são restrições por a das raízes de gC.
Lembremos que na construção do sistema simples de raízes (com respeito a subálgebra de Cartan), queremos que as raízes de uma subálgebra de Cartan hC sejam escritas com coordenadas
inteiras. Neste caso, onde atuamos no corpo dos complexos, podemos relacionar a subálgebra hC
com o seu reali cado (hC)R. Denotaremos (hC)Rpor hR. Deste modo, é conveniente trabalhar com
as raízes em hR ao invés hC, ou seja, pode-se escrever uma raiz α ∈ ∆ como α : hR→ C.
A decomposição da subálgebra de Cartan h = a ⊕ t permite escrever o complexi cado hC de h
como
hC= a ⊕ it ⊕ ia ⊕ t.
Assim, os dois primeiros termos da decomposição de hC formam o subespaço real na qual as
raízes de hC são reais. De fato, tem-se a seguinte proposição:
Proposição 4.2.4. Dada a subálgebra de Cartan h = a ⊕ t, o subespaço real hR de hC é dado
por hR = a ⊕ it. Deste modo, as raízes α ∈ ∆ aplicadas em hR resultam em valores reais, isto é,
Demonstração. O subconjunto de hC em que as raízes de hC assumem valores reais é exatamente
hR. De fato, as raízes de hC assumem valores reais em hR. Além disso, hC = hR⊕ ihR e para H ∈ hR existe uma raiz α tal que α(H) 6= 0. Desta forma, se H0 = H1+ iH2 ∈ hC não pertence a
hR, então α(H0) não é real para alguma raiz α.
Uma raiz de ∆ aplicada em elemento H ∈ h será sempre autovalor de ad(H), uma vez que h pode ser visto como subconjunto de hC. Pela Proposição 1.1.2, se H ∈ a ⊂ s, então ad(H) é uma
matriz simétrica e assim todos seus autovalores são reais, implicando que a ⊂ hR. Caso contrário,
se H ∈ t ⊂ k, então matriz ad(H) é antissimétrica, implicando que seus autovalores são todos puramente imaginários, logo it ⊂ hR. Assim, a ⊕ it ⊂ hR. Pelo fato da dimensão real de a ⊕ it
coincidir com a dimensão de h = a ⊕ t, que por sua vez coincide com a dimensão de hR, ou seja,
dim(a ⊕ it) = dim(h) = dim(hR)
segue que hR= a ⊕ it.
As raízes restritas são restrições a a das raízes de hC. Para ver tais restrições, consideraremos
a inclusão do dual de a no dual h tomando a extensão de a∗ tal que restrita a t vale 0.
Um funcional linear γ de hC se associa ao funcional linear de conjugação γ de nido por
γ(H) = γ(H)
onde H é a conjugação em gC (isto é, se H = H1 + iH2, então H = H1 − iH2) e a outra é a
conjugação usual dos complexos.
Dada uma raiz γ ∈ ∆, pela proposição anterior, podemos escrever γ como a soma de funcionais γ = γR+ γI, onde γR é o funcional que se anula em it e γI o funcional que se anula em a (sempre
lembrando que podemos escrever γ : hR→ R).
Dizemos que γ é real quando γI = 0, imaginário quando γR = 0, e complexo quando não é
nenhum dos anteriores. Deste modo, a raiz conjugada γ pode ser denotada por γ = γR − γI.
Observe que o funcional linear
1
2(γ + γ) = γR (4.2.2)
é a restrição de γ em a.
Uma maneira alternativa de se descrever as restrições das raízes a a é através da involução de Cartan θ associada à decomposição de Cartan g = k ⊕ s. Esta involução é um automor smo de g e se estende a um automor smo de gC, que também será denotado por θ. Como θ|k= 1 e θ|s = −1
temos que sua restrição a hR e dada por
θ(H) = −H.
Considerando o fato da raiz γ ser real em hR, tem-se que nesse espaço,
γ(H) = γ(H) = −γ(θ(H)) = −γ(θ−1(H)) = (−θ∗γ)(H) (4.2.3) onde θ∗ é o dual da involução θ, isto é, θ∗γ = γ ◦ θ−1.
Como θ é automor smo, isso mostra que γ é uma raiz. Utilizando a equação (4.2.2), temos que a restrição de γ a a também pode ser descrita como
γR=
1 2(1 − θ
∗
)γ.
Lema 4.2.5. Seja θ a involução de Cartan de uma forma real não-compacta que deixa invariante a subálgebra de Cartan. Se γ é uma raiz tal que θ∗γ = γ, então o espaço de raízes g
γ está contido
em k + ik. Mais ainda, se β é uma raiz arbitrária, então β + θ∗β não é raiz. Portanto, β − β não
é raiz.
Demonstração. Para automor smos em geral, θgγ = gθ∗γ. Pela hipótese θ∗γ = γ, temos que tal
relação se reduz à θgγ = gγ. Daí, se X ∈ gγ então θ(X) = cX e como θ é involução, c2 = 1, ou
seja, c = ±1. Veja que podemos descrever gC como
gC= k ⊕ s ⊕ ik ⊕ is.
Se c = 1, então devemos ter que X ∈ k ⊕ ik. Agora, supondo que c = −1 então X ∈ s ⊕ is. Porém, a condição de que θ∗γ = γ e a equação (4.2.3) implicam que γ + γ = 0. Logo, para H ∈ a,
γ(H) = 0 e assim, [H, X] = 0, o que viola a maximalidade de a. Portando c = 1 e X ∈ k ⊕ ik. Para a segunda a rmação, seja γ = β + θ∗β. Então θ∗γ = γ e assim, g
γ está contido em k ⊕ ik.
Por outro lado,
gγ = [gβ, gθ∗β]
e como gθ∗β = θgβ, se Y ∈ gβ\{0}, então
X = [Y, θY ] gera gγ (pois gγ tem dimensão 1). Mas
θX = θ[Y, θY ] = −X
implicando que X ∈ s ⊕ is. Portanto, gγ = {0} e γ não é raiz.
Observemos que se γ é uma raiz em ∆ então hγR, γIi = 0. De fato, podemos escrever γR =
hHR, ·i com HR ∈ a. Assim,
hγR, γIi = γI(HR) = 0
pois γI|a ≡ 0. Logo, |γ| = |γ|, onde denotamos |γ|2 = hγ, γi.
Lema 4.2.6. Suponha que γ seja uma raiz complexa. Então o seguinte número de Killing 2hγ, γi |γ|2
admite apenas os valores 0 e −1. Além disso, Se 2hγ, γi |γ|2 = 0 então |γ| 2 = 1 2|2γR| 2; Se 2hγ, γi|γ|2 = −1 então |γ|2 = |2γ R|2.
Demonstração. Sendo γ complexo, então γI 6= 0. Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz no número de Killing 2hγ, γi |γ|2 < 2|γ||γ| |γ|2 = 2
uma vez que a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorreria apenas se γ = γ. Como todo número de Killing admite apenas números inteiros, segue que as únicas possibilidades nesse caso serão 0, −1 e 1.
Suponha que 2hγ, γi|γ|2 = 1. Então teríamos que γ − γ é raiz, pois faz parte da γ-sequência iniciada em γ (este fato corresponde ao Teorema 6.10 de [12]). Por outro lado, h é invariante pela involução de Cartan θ pois se X ∈ a então θ(X) = −X ∈ a e, analogamente, θ(t) ⊂ t. Daí, utilizando o Lema 4.2.5, γ − γ não pode ser raiz, o que é um absurdo.
Agora, sabendo que γ + γ = 2γR e que |γ|2 = |γ|2, se
2hγ, γi
|γ|2 = 0 então hγ, γi = 0. Daí,
|2γR|2 = hγ + γ, γ + γi = |γ|2+ 2hγ, γi + |γ|2 = 2|γ|2.
Se 2hγ, γi|γ|2 = −1 então hγ, γi = −12|γ|2. Assim,
|2γR|2 = |γ|2+ 2hγ, γi + |γ|2 = |γ|2− |γ|2+ |γ|2 = |γ|2.
Lema 4.2.7. Se mα = dim(gα) e m2α = dim(g2α) são ambos não nulos, então a raiz restrita 2α
pode ser estendida à uma única raiz de ∆ tal que assume valor 0 quando restrita a t. Além disso, mα é par e m2α é ímpar.
Demonstração. Sejam γ, δ ∈ ∆ raízes tais que γR= α e δR= 2α.
Primeiramente, suponha que γ é real, ou seja, γI = 0. Então,
4|γ|2 = h2γ, 2γi = h2α, 2αi 6 hδ, δi = |δ|2. Ou seja, o comprimento relativo |δ|2
|γ|2 das duas raízes é maior ou igual à 4. Além disso,
hγ, δi = 2|α|2+ hα, δIi = 2|α|2 > 0.
Como γ e δ são raízes de um sistema irredutível de raízes que não são perpendiculares, então o comprimento relativo entre esta duas raízes deve ser no máximo 3, resultando em uma contradição. Portanto, γ é complexo.
Se 2hγ, γi
|γ|2 = −1, então γ + γ = 2α é raiz de ∆ pois é uma γ-sequência iniciada em γ. Assim,
γ + γ é a única extensão de 2α tal que restrita à t é 0 (observe que nesse caso 2α também pode possuir extensões complexas). Esta unicidade se deve ao fato de que toda raiz de ∆ pode ser visto como um funcional de hR.
Agora, pelo lema anterior, a única outra possibilidade é que 2hγ, γi
|γ|2 = 0, implicando em
|γ|2 = 1 2|2α|
2. Nesse caso, suponha que δ não é real.
Veja que se 2hδ, δi
|δ|2 = −1 então δ + δ = 4α seria uma raiz real, o que é um absurdo pois 4α não
é raiz restrita. Logo, devemos ter 2hδ, δi
|δ|2 = 0, que pelo lema anterior, implica em
|δ|2 = 1
2|2δR|
2 = 1
2|4α|
2 = 2|2α|2 = 4|γ|2. (4.2.4)
Se hγ, δi 6= 0 então o tamanho relativo entre duas raízes não perpendiculares deve ser menor que 3, o que contradiz a equação (4.2.4).
Por outro lado, se hγ, δi = 0 então hγI, δIi = −2|α|2. Assim, sabendo que γ também é raiz,
tem-se que
hγ, δi = 2|α|2− hγ
I, δIi = 4|α|2 > 0.
A equação (4.2.4) implica que |δ|2 = 4|γ|2, que também resulta numa contradição. Logo, temos
que δ é real, isto é, 2α pode ser estendido de modo que vale 0 na restrição em t.
Dada uma raiz complexa em ∆, sua multiplicidade real é 2. Como toda extensão γ da raiz restrita α sempre é complexo, então mα é par pois é a soma das dimensões dos espaço da equação
(4.2.1).
Sabendo que existe apenas uma extensão real da raiz 2α, então m2α é ímpar pois qualquer
outra extensão de 2α é complexa (como dito anteriormente, só poderá existir extensões complexas quando 2hγ,γi
|γ|2 = −1).
Este lema diz que, para uma raiz α ∈ Σ, admite-se apenas as seguintes possibilidades para a dimensão dos subespaços de raízes gα e g2α:
dim(gα) é ímpar e dim(g2α) = 0;
dim(gα) é par e dim(g2α) = 0;
dim(gα) é par e dim(g2α)é ímpar.
Logo, a seguinte proposição determina como deve ser a característica de Euler para variedades ag maximais:
Proposição 4.2.8. A característica de Euler de todas as variedades ag maximais são dadas da seguinte maneira:
1. χ(F) = 0 quando existe uma raiz simples α ∈ Σ tal que ou dim(gα) é ímpar;
ou dim(g2α) 6= 0.
Demonstração. Dado α ∈ Σ, considere a bra f{α} da projeção canônica π{α} : F → F{α}, isto é, a
variedade ag de G(α) de posto 1. Então essa bra é uma esfera de dimensão m = dim(gα+ g2α).
Suponha primeiro que dim(gα) é ímpar e dim(g2α) = 0, para algum α ∈ Σ. Temos que a bra
f{α} é uma esfera de dimensão m = dim gα ímpar. Logo, a característica de Euler desta bra é
0 pois esferas de dimensão ímpar têm característica de Euler nulo. Assim, pela Proposição 4.1.4, χ(F) = χ(F{α})χ(f{α}) = 0.
Se dim(g2α) 6= 0 para alguma α ∈ Σ, utilizando o lema anterior, temos que dim(gα) é par e
dim(g2α) é ímpar, implicando que m é ímpar. Pelo mesmo argumento que o anterior, χ(F) = 0.
Agora, nos resta o caso onde dim(gα) é par e dim(g2α) = 0, para toda raiz α ∈ Σ. Seja
w ∈ W e w = r1· · · rluma decomposição simples. A célula de Bruhat associada a w tem dimensão
dim(N · wb0) =
Pl
n=1dim(gα+ g2α)que é par, pois todas as raízes são pares. Logo, todas as células
da variedade ag maximal são pares. Como o conjunto das células de Bruhat estão em bijeção
com o grupo de Weyl, segue que χ(F) = |W|.
Note que quando gα tem dimensão par e dim(g2α) = 0para toda raiz simples α ∈ Σ, também
temos que todas as células de uma variedade ag parcial FΘ são pares, com Θ ⊂ Σ. Nesse caso, a
ag parcial deve ter característica de Euler χ(FΘ) = |W/WΘ|.
Corolário 4.2.9. Se o grupo de Lie é normal, ou seja, sua álgebra de Lie é uma forma real normal, tem-se que χ(F) = 0.
Demonstração. Basta observar que todas as raízes têm multiplicidade 1.