Decomposições celulares de espaços homogêneos

Decomposições Celulares de Espaços Homogêneos

CAMPINAS 2013

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Silva, Jordan Lambert,

Si38d SilDecomposições celulares de espaços homogêneos / Jordan Lambert Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.

SilOrientador: Luiz Antonio Barrera San Martin. SilCoorientador: Lonardo Rabelo.

SilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Sil1. Variedades flag. 2. Topologia algébrica. I. San Martin, Luiz Antonio

Barrera,1955-. II. Rabelo, Lonardo,1983-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em inglês: Cellular decompositions of homogeneous spaces Palavras-chave em inglês:

Flag manifolds Algebraic topology

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:

Luiz Antonio Barrera San Martin [Orientador] Elizabeth Terezinha Gasparim

Daniel Victor Tausk

Data de defesa: 02-05-2013

Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Colossenses 2,7. Tema da Jornada Mundial da Juventude de 2011 em Madrid. vi

Agradecimentos

Durante os últimos anos, muitas pessoas participaram de minha vida e este é um breve espaço a qual posso agradecê-las.

ˆ Primeiramente, agradeço a Deus por todas graças que Ele me concede a cada momento de minha vida, à Ele eterna gratidão;

ˆ Agradeço à FAPESP pela oportunidade e apoio no nanciamento deste projeto de mestrado; ˆ Ao meu orientado prof. San Martin por toda a ajuda necessária neste projeto e por aceitar continuar a me orientar durante o doutorado. Ao meu coorientador Lonardo, pelas conversas, apoio e sugestões ao projeto. Aos professores da banca: Elizabeth e Daniel Tausk;

ˆ Aos meus pais Celso e Ana Lúcia, por toda a dedicação e incentivo que recebi, base funda-mental de toda minha vida. Aos meus irmãos Johann, Johnny e Jonathan;

ˆ Aos meus avós Delna e Geraldo, Dita e Vavá. Aos meus tios, primos e à toda a família; ˆ À minha amada esposa Juliana, que me fez perceber que a vida não é feita apenas de estudo

e trabalho, mas também de amor, amizade, companheirismo, aventuras e orações. E também por toda sua família que me acolhe;

ˆ Aos amigos da UNICAMP, em especial, ao Lucas (vulgo Ceará), à Déborah, à Ana Cláudia e ao Rodrigo, presentes desde o início da graduação;

ˆ Aos vários amigos da igreja, em especial, àqueles que convivi rumo à peregrinação para a Jornada Mundial da Juventude de 2011: Rafão, Igor, Natália, Guilherme, Jéssica, Fernando Albratoz, Fernando Madrid e às Irmãs Missionárias de Cristo. Também agradeço aos sacer-dotes amigos Pe. Milton, Pe. Anderson e Pe. Paulo Eduardo pelas orações e pelo exemplo de humildade;

ˆ Aos professores do IMECC que me forneceram os fundamentos matemáticos necessários para minha formação. Aos funcionários da UNICAMP: Tânia, Lívia e Edivaldo da secretaria de pós-graduação, além da D. Zefa pelos cafezinhos;

ˆ À Enir, minha professora dos tempos de escola, à qual me despertou um profundo interesse no estudo da matemática, além do desejo de ensinar esta bela ciência.

Resumo

Nesta dissertação, realizamos um estudo topológico das variedades ag reais. Encontrada a decomposição em células de Schubert de uma variedade ag, apresentamos dois invariantes topológicos sobre estas variedades: a homologia, obtida a partir do cálculo do operador fronteira da homologia celular, e a característica de Euler, cujo cálculo foi realizado para as variedades ag maximais e para as variedades grassmanianas simpléticas Lp(R2l).

Palavras-chave: Variedades ag, Topologia Algébrica.

Abstract

In this dissertation, we conduct a topological study of real ag manifolds. Found the Schubert cell decomposition of a ag manifold, we present two topological invariants for these manifolds: the homology, obtained from the calculation of the boundary operator of cellular homology, and the Euler characteristic, which was determinated for maximal ag manifolds and for symplectic grassmannians manifolds Lp(R2l).

Keywords: Flag manifolds, Algebraic topology.

Sumário

Resumo viii

Abstract ix

Introdução 1

1 Variedades ag reais 3

1.1 Teoria semissimples real . . . 3

1.1.1 Decomposição de Cartan e de Iwasawa . . . 5

1.1.2 Sistema de raízes e o Grupo de Weyl . . . 10

1.1.3 Subgrupo e subálgebra parabólica . . . 13

1.2 Variedades ag reais . . . 15

1.2.1 Órbitas em s . . . 15 1.2.2 Fibração . . . 16 1.2.3 Decomposição de Bruhat . . . 17 1.2.4 Células de Schubert . . . 22 1.3 Exemplo: O grupo Sl(3, R) . . . 23 1.3.1 Grupo de Weyl . . . 25 1.3.2 Subálgebras parabólicas . . . 29

1.3.3 Variedade ag maximal . . . 31

1.3.4 Variedade ag parcial do tipo Θ = {α1} . . . 33

1.3.5 Variedade ag parcial do tipo Θ = {α2} . . . 34

2 Estrutura CW-complexo em variedades ag 36 2.1 Variedades ag . . . 36

2.1.1 Descrevendo a célula de Bruhat na célula de Schubert . . . 38

2.1.2 Parametrização de subconjuntos de subgrupos compactos . . . 39

2.1.3 Estrutura CW-complexo para variedades ag maximais . . . 42

2.1.4 Variedades ag parciais . . . 43

2.2 Variedades Grassmanianas Simpléticas . . . 44

2.2.1 Decomposição de Cartan . . . 44

2.2.2 Grupo de Weyl . . . 45

2.2.3 Subálgebras parabólicas maximais . . . 46 x

2.2.4 As variedades ag minimais . . . 47

3 Homologia das variedades ag 52 3.1 Noções básicas sobre homologia celular . . . 52

3.2 Homologia celular de variedades ag maximais . . . 53

3.2.1 Expressões algébricas para os graus . . . 56

3.3 Continuação do exemplo Sl(3, R) . . . 57

4 Característica de Euler das variedades ag 64 4.1 Fibrações de variedades ag . . . 64

4.2 Característica de Euler de variedades ag maximais . . . 66

4.3 Característica de Euler das grassmanianas simpléticas Lp(R2l) . . . 72

4.3.1 Paridade . . . 74

Introdução

A presente dissertação tem como objetivo central estudar conceitos topológicos em variedades ag reais. No âmbito da Topologia Algébrica, quando desejamos entender algumas característi-cas topológicaracterísti-cas de determinados espaços, recorremos a alguns invariantes topológicos. Podemos citar como principais invariantes topológicos: a Característica de Euler, o Grupo Fundamental, os Grupos Homologia e, por m, os Grupos de Cohomologia.

Uma abordagem sobre o grupo fundamental das variedades ag reais foi apresentado no artigo de Wiggerman [15], denindo explicitamente o grupo fundamental das variedades ag, cujos gera-dores são indexados por raízes de multiplicidade 1 e condicionada a algumas relações especícas.

Neste texto, apresentaremos o estudo de dois invariantes topológicos aplicados nas variedades ag reais. Em um primeiro momento analisaremos como caracterizar a homologia (celular) destes espaços e, em seguida, calcularemos a característica de Euler de certas variedades ag. A busca de algum resultado sobre a característica de Euler destas variedades foi motivada pela simplicidade da denição deste invariante topológico em termo de uma decomposição celular da variedade ag, quando conhecida a dimensão das células. Quanto ao estudo da cohomologia das variedades ag, há alguns resultados presentes na tese de Rabelo [8], mas não cabe a esta dissertação apresentá-los. A estrutura de uma variedade ag é denida da seguinte maneira: Dados um grupo de Lie G semissimples, real e não-compacto e um subgrupo parabólico PΘ, dene-se uma variedade ag real

de tipo Θ como o espaço homogêneo FΘ = G/PΘ. Um importante fato sobre variedades ag reais

é que podemos realizar uma decomposição de FΘ como a união disjunta de N-órbitas

FΘ =

a

w∈W/WΘ

N · wbΘ

onde N é a componente nilpotente da decomposição de Iwasawa G = KAN, W é o grupo de Weyl e bΘ é a origem do ag FΘ. A esta decomposição damos o nome de decomposição de Bruhat. O

fecho de uma célula de Bruhat é dito uma célula de Schubert e denotada por SΘ

w, com w ∈ W/WΘ.

Deste modo, no Capítulo 1 procuramos iniciar com a construção da Teoria semissimples real e toda parte elementar da teoria de variedades ag reais, com o intuito de deixar o leitor confortável com todo o texto que se segue. Além disso, adotamos como exemplo prático o grupo de Lie Sl(3, R), o qual será de grande auxílio na compreensão tanto para o desenvolvimento básico da teoria, quanto para entender como se dará o cálculo da homologia da variedade ag maximal Sl(3, R)/P .

No Capítulo 2, vemos que o conjunto das células de Schubert fornece uma estrutura CW-complexo, ou seja, uma decomposição celular à variedade ag e que será de importante valor para o desenvolvimento do cálculo da homologia e da característica de Euler das variedades ags.

O modo que se desenvolve o estudo da homologia apresentado no Capítulo 3 não é uma novi-dade, ele está presente na tese [8] e no artigo de Rabelo e San Martin [9]. Basicamente, obteve-se uma maneira de denir parametrizações explícitas para as funções de colagem entre as células de Schubert SΘ

w, estabelecendo-se uma estrutura celular na variedade ag. Assim, é possível calcular

o operador fronteira ∂ da homologia celular. Um fato a respeito deste operador fronteira é que os coecientes que relacionam duas células de Schubert são 0 ou ±2. A partir desta caracterização, denem-se os grupos de homologia com coecientes inteiros associados à variedade ag FΘ.

Por m, o Capítulo 4 contempla o estudo da característica de Euler de variedades ag reais, contendo duas contribuições originais para a teoria. A característica de Euler χ(FΘ) de uma

variedade ag é denida pela soma

χ(FΘ) =

X

w∈W/WΘ

(−1)dim SwΘ

que é vista como generalização da clássica fórmula de Euler χ = V − A + F

para poliedros da geometria clássica. Tomando a bração canônica πΘ1

Θ2 : FΘ1 → FΘ2, cuja bra é

fΘ1,Θ2, apresenta-se em [9] a seguinte relação entre a característica de Euler destas duas variedades

ag:

χ(FΘ1) = χ(fΘ1,Θ2)χ(FΘ2).

Com base neste resultado, a Proposição 4.2.8 nos diz que para uma dada variedade ag maximal, sua característica de Euler é sempre zero quando existe ao menos uma raiz simples α tal que ou gα ou g2α tem multiplicidade ímpar e, caso todas as raízes tenham multiplicidade par, então χ(F)

assume como resultado a cardinalidade do grupo de Weyl W. Ou seja, conhecendo-se as raízes de uma variedade ag maximal, podemos dizer se sua característica de Euler é 0 ou |W|.

Neste mesmo capítulo, também efetuamos o cálculo da característica de Euler para uma classe especíca de variedades ag. Diz-se que um subespaço vetorial V ⊂ R2l _{é isotrópico em relação à}

uma forma bilinear antissimétrica não-degenerada ω se para todo u, v ∈ V , obtemos ω(u, v) = 0. Chamaremos de variedade Grassmaniana Simplética a grassmaniana dos subespaços isotrópicos de dimensão p em R2l_{, para 0 < p 6 l. Este espaço, que será denotado por L}

p(R2l), é uma variedade

ag minimal do grupo simplético Sp(l, R). É importante salientar que, no caso de p = l, o espaço Ln(R2n) é mais conhecido como Grassmaniana Lagrangeana. Utilizando conceitos combinatórios,

apresentamos no Corolário 4.3.14 que a característica de Euler de toda grassmaniana simplética Lp(R2l) é igual à zero.

Para a leitura desta dissertação, pressupomos que o leitor tenha familiaridade com conceitos e fundamentos de Teoria de Lie. Para tal, as notas de aula de Grupos de Lie [10] e o livro de Álgebras de Lie [12] de San Martin, e também o livro de Knapp [6] podem servir de referência básica para o estudo desta estruturas. Além disso, faz-se necessário conhecer o básico da construção dos grupos de homologia singular e celular, a qual o livro de Hatcher [2] é uma boa referência de consulta.

Capítulo 1

Variedades ag reais

Neste capítulo faremos uma introdução no estudo de grupos e álgebras de Lie semissimples reais, desenvolvendo as decomposições de Cartan e Iwasawa, essenciais para a construção das variedades ag reais. Para auxiliar na compreensão deste processo construtivo apresentamos, no m do capítulo, o exemplo de todo este processo no grupo Sl(3, R).

Este estudo introdutório pode ser encontrado nos livros de Knapp [6] e de Helgason [3], além da tese de Patrão [7], que é uma excelente referência redigida em língua portuguesa.

1.1 Teoria semissimples real

Uma álgebra de Lie real é um espaço vetorial real g munido de um produto [, ] : g × g → g que satisfaz

1. é bilinear;

2. é antissimétrico, ou seja, [X, X] = 0 para todo X ∈ g;

3. respeita a identidade de Jacobi, isto é, para todo X, Y, Z ∈ g [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]].

Este produto é chamado de comutador ou colchete de Lie. Dizemos que um subespaço h de g é uma subálgebra de Lie se ele é fechado pelo colchete.

Uma aplicação linear D : g → g é uma derivação da álgebra de Lie g se satisfaz D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ] ,para todo X, Y ∈ g.

Denimos a representação adjunta como uma aplicação ad : g → gl(g) tal que dados X, Y ∈ g, ad(X)Y = [X, Y ]. Através da identidade de Jacobi, ad(X) é um tipo particular de derivação e é chamada de derivação interna. O conjunto destas derivações internas é a imagem da aplicação adjunta da álgebra de Lie.

Um ideal h de uma álgebra de Lie g é uma subálgebra de Lie que satisfaz [X, Y ] ∈ h para todo X ∈ g e Y ∈ h. Daí, dado um ideal h podemos obter a álgebra quociente g/h das classes laterais de h.

Queremos denir a álgebra de Lie semissimples, objeto de estudo a partir de então. Primeira-mente, dados duas subálgebras de Lie h1 e h2 de g, denotamos [h1, h2] como a subálgebra gerada

pelo conjunto

{[X, Y ] | X ∈ h1, Y ∈ h2}.

Dene-se a série derivada de uma álgebra de Lie g como o conjunto de subespaços encaixados g= g0 ⊃ g(1) _{⊃ · · · ⊃ g}(k)_{⊃ · · ·}

denidos indutivamente como

g(k)= [g(k−1), g(k−1)].

A cada um destes elementos da série derivada damos o nome de álgebra derivada. Dizemos que g é solúvel se alguma de suas álgebras derivadas é nula, ou seja, existe k0 > 0 inteiro tal que

h(k0) _{= 0}.

Denição 1.1.1. Uma álgebra de Lie g é semissimples se g não contém ideais solúveis além do 0. A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie é uma aplicação h, i : g × g → R denida por:

hX, Y i = tr(ad(X)ad(Y )).

Um resultado básico da teoria de álgebras de Lie diz que uma álgebra de Lie é semissimples se, e somente se, sua forma de Cartan-Killing é não-degenerada.

Um homomorsmo entre álgebras de Lie é uma aplicação φ : g → h que satisfaz φ[X, Y ] = [φ(X), φ(Y )] para todo X, Y ∈ g. Quando φ é um homomorsmo inversível que opera em g, dizemos que φ é um automorsmo. O conjunto dos automorsmos Aut(g) da álgebra de Lie é um subgrupo fechado do grupo Gl(g) das transformações inversíveis. Sabendo que a exponencial de uma derivação é um automorsmo, então o conjunto Int(g) das exponenciais das representações ad(X) é denominado automorsmo interno da álgebra. Quando a álgebra é semissimples, então todo automorsmo é automorsmo interno [12, Proposição 3.14], ou seja, Int(g) é a componente da identidade de Aut(g).

Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie semissimples real g. Tomando g ∈ G, a conjugação Cg é um automorsmo de G dado por Cg(x) = gxg−1, para todo x ∈ G. Denimos a

representação adjunta no grupo G como Ad : G → Gl(g) tal que Ad(g) = d(Cg)1. Sabendo que

exp : g → Gé a aplicação exponencial de g e e : gl(g) → Gl(g) é a exponencial de transformações lineares, seguem as seguintes equações:

g exp(X)g−1 = exp(Ad(g)X) (1.1.1)

1.1.1 Decomposição de Cartan e de Iwasawa

A partir de agora, nosso estudo se restringirá às álgebras de Lie g semissimples reais e não-compactas. Uma álgebra de Lie é dita não-compacta se sua forma de Cartan-Killing não é negativa semi-denida (nesse caso, quando a álgebra é não-compacta, seu grupo de Lie conexo G também é não-compacto).

Um automorsmo θ : g → g é dita uma involução quando θ2 _{= 1}. Podemos associá-la a uma

forma bilinear não-degenerada

hX, Y iθ = −hX, θY i

denida para todo X, Y ∈ g.

Observe que toda involução admite apenas autovalores 1 e −1. Denote por k e s os autoespaços associados aos autovalores 1 e −1, respectivamente. Estes conjuntos possuem as seguintes relações:

[k, k] ⊂ k, [k, s] ⊂ s, [s, s] ⊂ k.

A álgebra g pode ser escrita como a soma direta g = k ⊕ s, porém note que s não é subálgebra de g, pois caso contrário, deveríamos ter que [s, s] ⊂ k ∩ s = 0 e s seria um ideal abeliano (solúvel), contradizendo o fato de g ser semissimples. Temos também que k não é ideal de g, pois [k, s] ⊂ s. A subálgebra de Lie k é chamada de componente compacta da decomposição de Cartan, uma vez que k é compacta em diversos casos.

Uma involução θ é chamada de involução de Cartan se sua forma bilinear associada é um produto interno em g. Neste caso, a decomposição de g como soma direta de k e s é dita uma decomposição de Cartan para g.

Proposição 1.1.2. Se X ∈ k e Y ∈ s, então ad(X) é antissimétrica e ad(Y ) é simétrica em relação à h·, ·iθ. Deste modo, k e s são ortogonais em relação à h·, ·iθ e em relação à forma de

Cartan-Killing.

Demonstração. Sejam Z, Z0 _{∈ g. Daí, através da denição}

had(X)Z, Z0iθ = −had(X)Z, θZ0i = hZ, ad(X)θZ0i.

Como θ é involutivo e X ∈ k, então ad(X)θZ0 _{= [X, θZ}0_{] = θ[X, Z}0_{] = θad(X)Z}0_{. Logo,}

had(X)Z, Z0iθ = hZ, θad(X)Z0i = −hZ, ad(X)Z0iθ

mostrando que ad(X) é antissimétrico. Analogamente, ad(Y ) é simétrico. Como θ é automorsmo, dados X ∈ k e Y ∈ s

hX, Y i = hθX, θY i = hX, −Y i = −hX, Y i implicando que hX, Y i = 0. Do mesmo modo, em relação à h·, ·iθ temos

hX, Y iθ = −hX, θY i = hX, Y i = 0.

Esta proposição nos diz que, para uma a decomposição de Cartan g = k ⊕ s, então a forma de Cartan-Killing é negativa semi-denida em k e positiva semi-denida em s. De fato, se X, X0 _{∈ k}

então

hX, X0i = hX, θX0i = −hX, X0iθ 6 0

pois h·, ·iθ é produto interno, implicando que a forma de Cartan-Killing é negativa semi-denida

em k. Um cálculo análogo mostra que a forma de Cartan-Killing é positiva semi-denida em s. As decomposições de Cartan não são únicas. Veja que dado uma involução de Cartan θ e um automorsmo φ de g, a aplicação φθφ−1 _{também é uma involução de Cartan, pois (φθφ}−1₎2 _{= 1 e}

hX, Y iθ = −hX, θY i = −hφX, φθY i = −hφX, φθφ−1(φY )i = hφX, φY iφθφ−1

e, portanto, temos a decomposição de Cartan g = φk ⊕ φs.

Podemos tomar K como o subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie k e S como o conjunto obtido da exponencial de s, isto é, S = {exp X | X ∈ s}, lembrando que como s não é uma subálgebra de Lie, não podemos armar que S é subgrupo de Lie.

Proposição 1.1.3. O mapa K × s → G dado por (k, X) 7→ k exp(X) é um difeomorsmo. Assim, em nível de grupo, a decomposição de Cartan de G é G = KS.

Demonstração. Teorema 6.31(c) de [6]. 

Proposição 1.1.4. Dado k ∈ K, então k e s são invariantes por Ad(k). Além disso, Ad(k) é uma isometria em relação ao produto interno h·, ·iθ associada a uma involução de Cartan.

Demonstração. Primeiramente, como K é conexo, Ad(k) é um produto de exponenciais de adjuntas de elementos de k e podemos considerar, sem perda de generalidade, que k = exp(X) com X ∈ k. Assim, se Y ∈ g

Ad(exp X)Y = ead(X)Y =

∞

X

n=0

ad(X)n_Y

n! (1.1.3)

e como ad(X) é invariante por k e s, segue o Ad(k) também é invariante. Agora, sabemos que Ad(k) é um automorsmo interno. Assim, se X, Y ∈ g

hAd(k)X, Ad(k)Y iθ = −hAd(k)X, θAd(k)Y i = −hAd(k)X, Ad(k)θY i = −hX, θY i = hX, Y iθ

pois Ad(k), que é um automorsmo, é isometria em relação a forma de Cartan-Killing e, a partir da soma da equação (1.1.3), Ad(k)θY = θAd(k)Y , mostrando que Ad(k) é isometria em relação

ao produto interno associando a involução de Cartan. 

Proposição 1.1.5. Ad(K) é um subgrupo compacto de Gl(g) de transformações lineares ortogonais em relação à h·, ·iθ.

Demonstração. Observe que o subgrupo Ad(K) é gerado pelas exponenciais ead(k)_{. Dene-se}

o conjunto das transformações lineares h·, ·iθ-ortogonais, que é um subgrupo compacto de Gl(g).

A proposição 1.1.4 diz que Ad(K) ⊂ Oθ, assim, basta mostrar que Ad(K) é um subgrupo fechado

em Gl(g). Denindo-se a aplicação Θ : Gl(g) → Gl(g) por Θ(T ) = θT θ, então a diferencial dΘ1 : gl(g) → gl(g) dada por dΘ1(D) = θDθ é tal que dΘ1(ad(X)) = θad(X)θ = ad(θX). Pelo

fato de ad ser injetora, ad(k) é a interseção do conjunto de pontos xos da diferencial dΘ1 com

ad(g). O conjunto dos pontos xos de Θ é um subgrupo fechado cuja álgebra de Lie é o conjunto dos pontos xos de dΘ1. Portanto, Ad(K) é a componente conexa da interseção do subgrupo dos

pontos xos de Θ com Ad(G). Logo, Ad(K) é fechado. 

Corolário 1.1.6. O subgrupo K é compacto se, e somente se, o centro de G é nito. Além disso, K é sempre fechado.

Demonstração. Pelo Teorema 1.1 do Capítulo VI de [3], o centro de G está contido no subgrupo K. Assim, o isomorsmo G/Z(G) ∼= Ad(G), obtido a partir do Teorema do Isomorsmo para o homomorsmo Ad, induz um isomorsmo K/Z(G) ∼= Ad(K). Logo, K é compacto se o centro de G for nito, pois Ad(K) é compacto. Porém, como G é semissimples, Z(G) é discreto (pois sua álgebra de Lie tem dimensão zero) e, portanto, é nito quando K for compacto.

O subgrupo K é fechado a partir do fato de Ad(K) ser compacto. 

Este último corolário mostra porque geralmente chama-se o subgrupo K de subgrupo compacto de G.

Na teoria de álgebra de Lie complexa, podemos decompor um espaço através do espaços de pesos associados à uma subálgebra de Cartan, que resultará em elementos complexos. Aqui, queremos proceder de modo que obtenhamos uma decomposição análoga, porém com valores reais. Para tal, considere uma subálgebra abeliana maximal a ⊂ s, ou seja, que não está contida propriamente em nenhuma outra subálgebra abeliana de s. A existência de a está garantida pelo fato de s conter subálgebras de dimensão 1, que são abelianas, e pelo fato de s ter dimensão nita.

Seja α : a → R um funcional linear de a e considere o subespaço

gα = {X ∈ g | ad(H)X = α(H)X, para todo H ∈ a}.

Quando gα 6= 0 para α 6= 0 então dizemos que α é uma raiz (restrita) de g em relação à

a. Observe que a existência destes funcionais reais ocorre devido ao fato de que ad(H), para H ∈ a ⊂ s, é uma matriz simétrica em relação ao produto interno h·, ·iθ e, portanto, todos os seus

autovalores são reais. Denote por Π o conjunto de todas as raízes de g. Tomando g0 = {X ∈

g| ad(H)X = 0 para todo H ∈ a} como o subespaço de peso associado à raiz nula, então a álgebra g se decompõe como

g= g0⊕

X

α∈Π

gα. (1.1.4)

Veja que dada duas raízes α, β ∈ Π, então [gα, gβ] ⊂ gα+β. Isto segue da identidade de Jacobi,

pois se H ∈ a, X ∈ gα e Y ∈ gβ

ad(H)[X, Y ] = [ad(H)X, Y ] + [X, ad(H)Y ] = (α(H) + β(H))[X, Y ].

Demonstração. Veja que θ(z(a)) = z(a), pois se X ∈ z(a) e Y ∈ a [θX, Y ] = θ[X, θY ] = −θ[X, Y ] = 0.

Daí, como este centralizador é invariante por θ, então z(a) = (z(a) ∩ k) ⊕ (z(a) ∩ s). Assim, pela maximalidade de a e como a ⊂ z(a) ∩ s então a = z(a) ∩ s. Logo, pela denição, m = z(a) ∩ k.  Pela denição, o subespaço do peso nulo é g0 = z(a). Portanto, a partir da fórmula (1.1.4),

tem-se que

g= m ⊕ a ⊕X

α∈Π

gα. (1.1.5)

Proposição 1.1.8. Sejam a e a0 _{duas subálgebras abelianas maximais de s. Então, existe φ um}

automorsmo interno de k em g, ou seja, φ = ead(X1)· · · ead(Xl) com X

i ∈ k para todo i, tal que

φa0 = a.

Demonstração. Proposição 12.26 de [12]. 

A partir desta última proposição, denimos o posto real de uma álgebra de Lie como a dimensão comum das subálgebras abelianas maximais em s.

As câmaras de Weyl associadas ao par (θ, a) são as componentes conexas do conjunto a= {H ∈ a | α(H) 6= 0, para toda raiz α ∈ Π}

que é um conjunto aberto e denso. Os elementos de a são chamados elementos regulares. Es-colhendo uma das câmaras de Weyl como a câmara positiva a+_{, denimos o conjunto das raízes}

positivas como Π+ _{= {α ∈ Π | α(H) > 0 para todo H ∈ a}+_}.

Considere os seguintes subespaços:

n = X α∈Π+ gα e n− = X α∈Π+ g−α. (1.1.6)

Observe que o subespaço n é uma subálgebra de Lie, pois se α, β ∈ Π+ _{então pode-se ocorrer}

duas possibilidades

ˆ Se α + β é raiz positiva então sabe-se que [gα, gβ] ⊂ gα+β ∈ n;

ˆ Se α + β não é raiz então gα+β = 0, implicando que [gα, gβ] = 0 ∈ n.

Do mesmo modo, vale que n− _{é álgebra de Lie. Estas subálgebras se relacionam pela equação}

θn = n−, pois se X ∈ gα e H ∈ a, então

ad(H)(θX) = [H, θX] = θ[θH, X] = −θ[H, X] = −θad(H)X = −α(H)(θX) logo, como θ é um automorsmo, θgα = g−α, implicando que θn = n−. Note que n ∩ n− = 0.

Proposição 1.1.9. Sejam κ(X) = X+θX

2 e σ(X) =

X−θX

2 as projeções de X ∈ g em k e s,

respectivamente. Então as restrições de κ|n e σ|n são injetoras sobre suas imagens. Mais ainda,

Demonstração. Veja que se X ∈ n então 2σ(X) = X − θX ∈ n ⊕ n−_{, ou seja, se σ(X) = 0 então}

X = 0, mostrando que σ|n é injetora.

Vamos mostrar que s = a ⊕ σ(n). Através da decomposição g = m ⊕ a ⊕ n ⊕ n− _{obtida pela}

equação (1.1.5), dado X ∈ s, existem L ∈ m, H ∈ a, Y ∈ n e Z ∈ n− _{tal que X = L + H + Y + Z.}

Daí

L + H + Y + Z = X = −θX = −L + H − θY − θZ isto é, como θn = n−_,

L = 0 e Z = −θY.

Assim, X = H + Y − θY ∈ a ⊕ σ(n), o que mostra que s ⊂ a ⊕ σ(n) ⊂ s, pois σ é uma projeção em s.

O resultado é análogo para a projeção κ e k = m ⊕ κ(n). 

Podemos então construir a decomposição de Iwasawa da álgebra de Lie g.

Teorema 1.1.10. Considere o terno (θ, a, a+_{) associado à g. Então, a decomposição de Iwasawa}

da álgebra de Lie g é dada por

g= k ⊕ a ⊕ n

onde n é uma subálgebra nilpotente e a ⊕ n é uma subálgebra solúvel.

Demonstração. A partir da equação (1.1.5) e como m = zk(a) ⊂ ktemos que

g= m ⊕ a ⊕X

α∈Π

gα = k + a + n + n−.

Para X ∈ n− _temos

X = X + θX − θX ∈ k + n

pois θX ∈ n e θ(X + θX) = θX + X, implicando que X + θX ∈ k. Assim, g = k + a + n. Pela proposição 1.1.9 segue que dim(s) = dim(a⊕σ(n)) = dim(a⊕n) = dim(a+n) e, pela decomposição de Cartan, g = k ⊕ a ⊕ n.

A subálgebra n é claramente nilpotente pois o conjunto das raízes positiva Π+ _{é um conjunto}

nito.

Agora, a subálgebra a ⊕ n é solúvel pois [n, a] = n e

[a ⊕ n, a ⊕ n] = [a, a] + [a, n] + [n, a] + [n, n] ⊂ n implicando que [a ⊕ n, a ⊕ n] = (a ⊕ n)0 _{é nilpotente. Logo, a ⊕ n é solúvel.}

 Ao contrário da decomposição de Cartan, a decomposição de Iwasawa se escreve como soma direta de subálgebras de g. Denindo K, A e N como os subgrupos conexos gerados por k, a e n, respectivamente, o seguinte teorema dá a decomposição de Iwasawa a nível do grupo de Lie. Teorema 1.1.11. O mapa K × A × N → G dado por (k, h, l) 7→ khl é um difeomorsmo. Logo, a decomposição de Iwasawa do grupo G é denido como G = KAN.

1.1.2 Sistema de raízes e o Grupo de Weyl

Seja Π o conjunto das raízes (restritas) de g. Então, o conjunto Π gera o dual a∗_{. De fato,}

observe que o aniquilador do gerado de Π é gerado pelo seguinte conjunto hΠi0 = h{H ∈ a | α(H) = 0, para toda raiz α ∈ Π}i.

Logo, pela decomposição (1.1.4), hΠi0 _{= 0, pois a única possibilidade de α(H) = 0 para todo}

α ∈ Π é tomando H = 0.

Lema 1.1.12. Sejam V um espaço vetorial de dimensão nita e W um subespaço vetorial de V . Então

dim W + dim W0 = dim V

onde W0 _{= {f ∈ V}∗_{| f (w) = 0para todo w ∈ W } é o aniquilador de W .}

Este lema é um resultado de álgebra linear presente em Homan [4]. A partir dele, tem-se que o subespaço gerado por Π é exatamente a∗_.

A forma de Cartan-Killing, quando restrita a a, é um produto interno. Assim, para cada raiz α ∈ Π, existe um elemento Hα ∈ a tal que

α(·) = hHα, ·i.

Como Π gera a∗_{, esta expressão dene um isomorsmo entre a e a}∗ _{que associa cada H ∈ a}

com hH, ·i = α ∈ a∗_{. Deniremos um produto interno no dual a}∗ _por

hα, βi = hHα, Hβi = α(Hβ) = β(Hα).

A reexão de um elemento α ∈ a∗ _{é uma aplicação r}

α : a∗ → a∗ tal que

rα(β) = β −

2hα, βi hα, αi α.

Denição 1.1.13. Seja E um espaço vetorial de dimensão nita sobre R. Um sistema de raízes do espaço vetorial E é um conjunto Π ⊂ E que satisfaz

1. Π é nito, gera E e não contém 0;

2. Para todo α ∈ Π existe uma reexão rα em relação a α tal que rα(Π) = Π;

3. Para todos α, β ∈ Π, rα(β) − β é um múltiplo inteiro de α.

Proposição 1.1.14. O conjunto Π ⊂ a∗ _{é um sistema de raízes.}

Demonstração. Apêndice B de [7]. 

Temos a seguinte propriedade sobre o conjunto Π das raízes:

Proposição 1.1.15. Se α ∈ Π, então tα também é raíz somente quando t é ±1, ±1

Demonstração. Como Π é um sistema de raízes, pelo terceiro item da denição de sistema de raízes, tem-se que

rα(tα) − tα = − 2hα, tαi hα, αi α = −2t α rtα(α) − α = − 2htα, αi htα, tαitα = −2 t (tα) são múltiplos inteiros, respectivamente, de α e tα. Ou seja, 2t e 2

t são inteiros, implicando que t é

±1, ±2 ou ±1

2. 

Dada uma escolha do par (θ, a), denimos o grupo de Weyl como o grupo W gerado pelas reexões rα para toda raiz α ∈ Π.

Proposição 1.1.16. O grupo de Weyl W obtido do par (θ, a) é nito.

Demonstração. Primeiro, veja que quando tomamos um elemento w ∈ W, ele é invariante por Π, isto é, w(Π) = Π. Isto decorre do fato de que a reexão rα(β) ∈ Π quanto α, β ∈ Π. Assim,

podemos associar cada elemento w ∈ W com uma permutação do conjunto Π: (w ∈ W) ←→ (w|Π: Π → Π).

Esta associação é injetora, pois para que w|Π seja a identidade, devemos ter w = e ∈ W. Deste

modo, temos um isomorsmo entre o grupo de Weyl e as permutações de Π. Este último é nito.

Portanto, W é nito. 

Dena os seguintes subgrupos de Lie:

M∗ = NormK(a) = {g ∈ K | Ad(g)a = a},

M = CentrK(a) = {g ∈ K | Ad(g)|a = Ida}.

A partir destes subgrupos, o seguinte teorema fornece uma maneira equivalente de se denir o grupo de Weyl.

Teorema 1.1.17. O grupo de Weyl W é isomorfo à M∗_/M.

A demonstração desse fato, que está em [6], vem do Teorema do Isomorsmo aplicado a repre-sentação

M∗ −→ Gl(a)

g 7−→ Ad(g)|a (1.1.7)

Ou seja, para todo w ∈ W existe g ∈ M∗ _{tal que w = Ad(g)|}

a e se w = Ad(g1)|a = Ad(g2)|a

então g1M = g2M.

Este teorema relaciona duas construções para o grupo de Weyl de origens diferentes. Quando denido através das reexões, ele depende de um sistema de raízes Π sem fazer nenhuma menção ao grupo, enquanto que quando denido pelo quociente M∗_{/M, é necessário conhecer o grupo G.}

Um subconjunto das raízes positivas Σ ⊂ Π+ _{é um dito sistema simples de raízes associado à}

1. Σ gera a∗_;

2. Toda raiz positiva é uma combinação linear de raízes de Σ, tal que os coecientes desta combinação são não-negativos.

Proposição 1.1.18. Seja (θ, a, a+_{) o terno associado à g. Então,}

1. Toda câmara de Weyl a+ _{admite uma escolha Σ de sistema de raízes simples;}

2. O grupo de Weyl W é transitivo no conjunto dos sistemas simples de raízes, isto é, se Σ e Σ0 são sistemas de raízes, então existe único w ∈ W tal que w(Σ) = Σ0;

3. O grupo de Weyl é gerado pelo conjunto {rα | α ∈ Σ} das reexões simples em torno das

raízes de Σ.

Demonstração. Proposições 9.10, 9.11 e 9.12 e Teorema 9.14 de [12]. 

O terceiro item desta proposição diz que dado um elemento w ∈ W, podemos escrevê-lo como o produto w = rα1· · · rαk, onde cada um dos rαi são reexões em torno de raízes simples αi ∈ Σ.

Quando escrevemos w desta forma, dizemos que esta é uma decomposição em termo de reexões de raízes simples de w. As decomposição em raízes simples de w não são únicas, mas podemos escolher decomposições que contenham o menor número possível de reexões. Para tal, seja w ∈ W e considere o conjunto

Πw = w(Π−) ∩ Π+

das raízes positivas que são levadas em negativas pelo elemento w−1_{. Denote por l(w) o número}

de elementos do conjunto Πw. Uma decomposição em raízes simples de w é dita minimal se a

quantidade de reexões simples de w é a menor possível dentre todas decomposições existentes. Quando escrevemos w = r1· · · rk numa decomposição minimal, onde ri = rαi para αi ∈ Σ, tem-se

que k = l(w).

Explicitamente, dada a decomposição minimal w = r1· · · rl(w), o conjunto Πw é formado pelas

seguintes raízes

Πw = {α1, r1α2, . . . , r1· · · rl(w)−1αl(w)}.

Também temos que, se w ∈ W e α ∈ Σ então l(wrα) =

 l(w) + 1 _{, se wα > 0} l(w) − 1 , se wα < 0 .

Agora, seja Θ ⊂ Σ um subconjunto qualquer. Será a partir da escolha deste subconjunto que deniremos as subálgebras parabólicas e, consequentemente, as variedades ag. Denimos hΘi ⊂ Π como o conjunto gerado por Θ, ou seja, se α, β ∈ hΘi são raízes tais que kαα + kββ ∈ Π

para kα, kβ ∈ Z, então kαα + kββ ∈ hΘi. Seja também hΘi+ = hΘi ∩ Π+, o conjunto das raízes

positivas gerado por Θ.

Vamos denir alguns subgrupos que posteriormente serão úteis. Seja Θ ⊂ Σ, então denimos WΘ como o subgrupo de W gerado pelas reexões em torno de raízes α ∈ Θ, isto é,

e denimos WΘ como o subconjunto de W dado por

WΘ = {w ∈ W | l(wrα) = l(w) + 1, para todo α ∈ Θ} (1.1.8)

que também pode ser denida como

WΘ_{= {w ∈ W | w(Θ) ⊂ Π}+_}.

O conjunto WΘ _{é denominado de conjuntos dos representantes minimais das classes laterais}

W/WΘ, pois cada classe wWΘ possui apenas um único elemento de WΘ de comprimento minimal,

como pode ser observado a partir da denição.

É possível descrever uma relação de ordem parcial no grupo de Weyl W da seguinte maneira: Denição 1.1.19. Sejam w, w0 _{∈ W. Dizemos que w}0

6 w se, e somente se, dada decomposição minimal w = r1· · · rn, então w0 possui uma decomposição minimal w0 = ri1· · · ril, com 1 6 i1 <

· · · < il 6 n. Tal relação de ordem é chamada ordem de Bruhat-Chevalley. Em particular,

denota-se por w0 _{< w quando w}0

6 w e w0 6= w.

Seja Σ um sistema simples relacionado à câmara de Weyl a+_{. Assim, −Σ é um sistema simples}

de raízes relacionado à câmara negativa −a+_{. Pela Proposição 1.1.18, existe apenas um elemento}

w0 ∈ W tal que w0Σ = −Σ. Este elemento w0 é chamado de involução principal e satisfaz w02 = 1,

ou seja, é involutivo. É importante notar que a involução principal w0 é o elemento maximal de

W em relação a ordem de Bruhat-Chevalley.

1.1.3 Subgrupo e subálgebra parabólica

Considere a escolha (θ, a, a+_{, Θ) sobre a álgebra de Lie g. A subálgebra semissimples g(Θ) de}

tipo Θ associada à escolha de (θ, a, a+_{, Θ) é a subálgebra denida por}

g(Θ) = X

α∈hΘi

gα

e as subálgebras nilpotentes n(Θ) e n(Θ)− _{são dadas por}

n(Θ) = X α∈hΘi+ gα e n(Θ)−= X α∈hΘi+ g−α.

O fato de g(Θ) ser semissimples esta demonstrado em [14, Lema 1.2.3.14]. As subálgebras n(Θ) e n(Θ)− _{são nilpotentes, pois [g}

α, gβ] ⊂ gα+β.

Denota-se por a(Θ) a subálgebra de Lie de g(Θ) gerado por {Hα | α ∈ hΘi}, onde Hα ∈ a é o

elemento que se associa com a raiz α no dual a∗_{, isto é, α = hH}

α, ·i. O complemento ortogonal de

a(Θ)em a pelo produto interno h·, ·iθ será denotada como a subálgebra aΘ, ou seja, aΘ = a a(Θ).

Dene-se a subálgebra parabólica minimal como escrita pela seguinte soma direta p= m ⊕ a ⊕ n

e a subálgebra parabólica de tipo Θ como

pΘ= p ⊕ n−(Θ).

Observe que as subálgebras parabólicas são de fato subálgebras de g, decorrendo da propriedade [gα, gβ] ⊂ gα+β. A subálgebra parabólica minimal pode ser escrita como p = p∅, ou seja, é a

subálgebra parabólica do tipo Θ = ∅.

No nível de grupo, denimos o subgrupo parabólico PΘ do tipo Θ como o normalizador de pΘ

em G, isto é,

PΘ = {g ∈ G | Ad(g)pΘ = pΘ}.

Lema 1.1.20. A álgebra de Lie de PΘ é pΘ.

Demonstração. A subálgebra pΘ é auto-normalizadora, ou seja, se [X, pΘ] ⊂ pΘ então X ∈ pΘ. De

fato, pela decomposição (1.1.5) temos que g= pΘ⊕

X

α∈Π+_\hΘi+

g−α.

Basta ver o que ocorre quando X 6∈ pΘ. Nesse caso, existe α ∈ Π+\hΘi+tal que X ∈ g−α. Dado

algum H ∈ a ⊂ p então [H, X] = −α(H)X, implicando que [X, H] = −[H, X] = α(H)X 6∈ pΘ.

Agora, como pΘ = Normg(pΘ), ela deve ser a álgebra de Lie de PΘ, pois é a álgebra da

componente conexa da identidade de PΘ. 

Denimos como subgrupo parabólico minimal o subgrupo P = P∅, que é o normalizador de p

em G. A seguinte proposição dá um decomposição para este subgrupo.

Proposição 1.1.21. Dados (θ, a, a+_{) escolhidos sobre uma álgebra de Lie g, o subgrupo parabólico}

de tipo Θ é descrito pelo produto P = MAN, onde M = CentrK(a).

Demonstração. Primeiramente, vejamos que MAN ⊂ P . A álgebra de Lie de M é m. Assim, o gerado por m é o subgrupo conexo da identidade de M, isto é, M0 = hexp mi. O subgrupo

M0AN ⊂ P pois ele é conexo e tem álgebra de Lie p = m ⊕ a ⊕ n. Dado m ∈ M, se X ∈ gα para

alguma raiz α e H ∈ a, então

ad(H)Ad(m)X = [H, Ad(m)X] = [Ad(m)H, Ad(m)X] = Ad(m)[H, X] = α(H)Ad(m)X. Deste modo, Ad(m)X ∈ gα, implicando que Ad(m)n = n e assim, m ∈ P . Precisamos provar

a recíproca. Veriquemos que p ∩ s = a. Seja A + H + X ∈ m ⊕ a ⊕ n, θ(A + H + X) = A − H + θX

com θX ∈ n−_{. Se A + H + X ∈ s, então A − H + θX = −A − H − X, ou seja, 2A = −X − θX ∈}

m∩ a = 0. Logo p ∩ s ⊂ a.

Agora, seja g ∈ P tal que g = uhn ∈ KAN. Como AN ⊂ P , então u ∈ P , isto é, Ad(u)p = p. Em particular Ad(u)a ⊂ p e Ad(u)a ⊂ s, segue que Ad(u)a ⊂ a, mostrando u ∈ M∗_{. Daí,}

w = Ad(u)|a ∈ W pois u ∈ M∗. Através de alguns cálculos, temos que wα = α ◦ Ad(u−1|a) é raíz

com Ad(u)gα = gwα.

Como podemos escreve w 6= 0 através de reexões de raízes, por [12, Corolário 9.20], existe raiz α > 0 tal que wα < 0. Mas, Ad(u)p = p, então Ad(u)gα = gwα ⊂ p, com wα < 0. Isso só é

possível se w = Ad(u)|a = Id, o que signica que u ∈ M e, portanto, MAN ⊃ P . 

Podemos generalizar a proposição anterior para um subgrupo parabólico do tipo Θ.

Teorema 1.1.22. Dados (θ, a, a+_{, Θ) escolhidos sobre uma álgebra de Lie g, então a subálgebra e}

o subgrupo parabólico de tipo Θ se decompõem como

pΘ = kΘ⊕ a ⊕ n e PΘ= KΘAN

onde, kΘ= zk(aΘ) é o centralizador de aΘ= a a(Θ) em k e

KΘ= CentrK(aΘ) = {k ∈ K | Ad(k)|aΘ = Id|aΘ}

é o centralizador de aΘ no subgrupo K.

Demonstração. Teoremas A.36 e A.45 de [7]. 

1.2 Variedades ag reais

Seja G um grupo de Lie conexo não-compacto e semissimples com álgebra de Lie g. Dado um escolha de (θ, a, a+_{, Θ), uma variedade ag do tipo Θ é o espaço homogêneo de G sobre um}

subgrupo parabólico do tipo Θ, ou seja, é FΘ = G/PΘ. A origem bΘ da variedade ag é a classe

lateral 1 · PΘ. No caso de Θ = ∅, denotamos por esta variedade por F e a chamamos de variedade

ag maximal, e sua origem será b0.

Proposição 1.2.1. O subgrupo K age transitivamente na variedade ag FΘ.

Demonstração. Pela decomposição de Iwasawa, temos que g = k + pΘ. Como a álgebra de Lie da

órbita K · bΘ é k + pΘ = g, então a órbita tem dimensão máxima, implicando que é aberta. Mas,

pelo Corolário 1.1.6, K é fechado e assim, K ·bΘ = KPΘé fechado. Logo, K ·bΘ é uma componente

conexa de FΘ. Porém, G é conexo, implicando que FΘ é conexo. Portanto, FΘ= K · bΘ. 

1.2.1 Órbitas em s

Podemos realizar a variedade ag dentro do subespaço (euclidiano) s. Seja Θ ⊂ Σ, então existe HΘ no fecho da câmara de Weyl a+ tal que

Θ = {α ∈ Σ | α(HΘ) = 0}.

A existência de HΘ, que não é única, se baseia no fato de Σ ser uma base para a∗. Então, tem-se

uma base dual {Hα ∈ a+ | α ∈ Σ}de a+ com α = hHα, ·iθ, bastando tomar HΘ=

P

Pela decomposição de Iwasawa e pelo Teorema 1.1.22, a variedade ag pode ser descrita como FΘ = G/PΘ= KAN/KΘAN ∼= K/KΘ.

Agora, lembrando que a adjunta de K é invariante por s, a órbita Ad(K)HΘ está contida em

s, uma vez que HΘ ∈ a ⊂ s. A isotropia desta ação é KHΘ e coincide com KΘ. Logo,

Ad(K)HΘ ∼= K/KΘ ∼= FΘ.

Portanto, a variedade ag pode ser imersa em s como uma órbita por Ad(K) de HΘ. A

va-riedade ag maximal F é órbita por Ad(K) de um elemento regular H ∈ a, pois todo elemento regular satisfaz {α ∈ Σ | α(H) = 0} = ∅ = Θ. A partir desta realização, uma variedade ag também pode ser denotada como FHΘ.

Observação: Para todo X ∈ s, X pertence a órbita por Ad(K) de algum H ∈ a. De fato, todo X ∈ s está contido numa subálgebra abeliana maximal a0 _{e, pela Proposição 1.1.8, existe}

k ∈ K e H ∈ a tal que Ad(k)H = X. Assim, toda órbita de Ad(K) que passa por X ∈ s se identica como a variedade ag FΘ, particionando o espaço s.

Proposição 1.2.2. Toda variedade ag é compacta.

Demonstração. Como K age transitivamente em FΘ, então FΘ é fechada. Pela discussão anterior,

para todo b ∈ FΘexiste k ∈ K tal que b ↔ Ad(k)HΘ ∈ s. Considerando a norma em s obtida pelo

produto interno h·, ·iθ, temos que ||Ad(k)HΘ|| = ||HΘ|| pois a adjunta é uma isometria sobre este

produto interno. Assim, a variedade ag FΘ está imersa dentro da esfera de raio ||HΘ|| no espaço

s. Como toda esfera é compacta e o ag é fechado, então a variedade ag é compacta.  Se um grupo de Lie G tem posto 1, então dim a = 1 e existe somente uma raiz simples α, com a possibilidade de 2α ser raiz positiva. Só existe uma possibilidade não trivial de variedade ag, justamente a ag maximal. Então, esta variedade ag é isomorfa a esfera Sn com n = dim s − 1 =

dim(gα+ g2α). De fato, as câmaras de Weyl a+ são semirretas iniciadas na origem. Sabendo que

o espaço s é particionado por Ad(K)-órbitas, dado X ∈ s, existe H ∈ a+ _{tal que Ad(K)H = X.}

Fixando H ∈ a+, seja Y ∈ s na esfera de raio ||H||. Então Y ∈ Ad(K)H, pois, caso contrário, pelo

fato que s ser particionado por Ad(K)-órbitas, deveria existir H0 _{∈ a}+_{\{H}tal que Y ∈ Ad(K)H}0

e ||H|| = ||H0_{||, mas como a}+ _{é uma semirreta, isto é impossível. Isto é, S}dim s−1 _{⊂ Ad(K)H e,}

portando, FΘ ∼= Sdim s−1.

1.2.2 Fibração

Dados Θ1 ⊂ Θ2 ⊂ Σ, tem-se que

pΘ1 = p ⊕ n

−

(Θ1) ⊂ p ⊕ n−(Θ2) = pΘ2

implicando que PΘ1 ⊂ PΘ2. Assim, podemos denir uma aplicação natural

πΘ1

Θ2 : FΘ1 −→ FΘ2

que será chamada de bração sobre as variedades ag parciais. Sua bra típica é denotada por fΘ1,Θ2 = PΘ2/PΘ1.

Sejam Θ ∈ Σ e LΘo centralizador de aΘ em G. Assim, o subgrupo KΘ, que é o centralizador de

aΘ em K, também se escreve como KΘ = LΘ∩ K. A álgebra de Lie lΘ de LΘ é redutível (ou seja,

a representação adjunta de lΘ em g é semissimples) e decompõe-se como lΘ = mΘ⊕ aΘ, com mΘ

semissimples. Tomando o subgrupo conexo M0

Θ = hexp mΘie o subgrupo MΘ = KΘMΘ0, segue que

M0

Θ é a componente da identidade de MΘ. Pela decomposição do Teorema 1.1.22, PΘ = KΘAN.

Logo,

PΘ/P ∼= KΘ/M ∼= MΘ/(MΘ∩ P )

é uma variedade ag maximal.

Deste modo, para uma bração partindo de uma variedade ag maximal πΘ : F → FΘ a bra

PΘ/P é uma variedade ag maximal do grupo de Lie MΘ, cujo posto é dado por |Θ|. O grupo de

Weyl de MΘ é WΘ.

Em particular, no caso de Θ = {α}, então MΘ tem posto 1. A bração π{α} : F → F{α}

tem bra P{α}/P que coincide com a única variedade ag do grupo G(α) cuja álgebra de Lie é

g(α) = g({α}) =P

β∈hαigβ. Isto é, esta bra é uma esfera de dimensão dim(gα+ g2α).

No caso geral, a bra fΘ1,Θ2 de π

Θ1

Θ2 é uma variedade ag.

A ação de G na variedade ag FΘ é a aplicação G × FΘ → FΘ tal que g · (hP ) = (gh)P , onde

g ∈ Ge hP ∈ FΘ. Note que esta ação é equivariante na bração πΘΘ21, ou seja, se g ∈ G e X ∈ FΘ1

então πΘ1 Θ2(g · X) = g · π Θ1 Θ2(X).

1.2.3 Decomposição de Bruhat

A decomposição de Bruhat de uma variedade ag parcial FΘ é uma decomposição em órbitas

do subgrupo nilpotente N agindo sobre ˜wbΘ, onde ˜w ∈ M∗ é um representante da classe lateral

wWΘ∈ W/WΘ e bΘ é a origem do ag FΘ. Isto é,

FΘ =

a

w∈W/WΘ

N · ˜wbΘ

com N · ˜w1bΘ= N · ˜w2bΘ se w1WΘ= w2WΘ. Em geral, suprimimos o til de ˜w ∈ M∗ e denotamos

apenas N · wbΘ.

Cada N-órbita é homeomorfa à um espaço euclidiano. Diremos então que N · wbΘ é uma célula

de Bruhat. A dimensão desta célula é dada por dim(N · wbΘ) =

X

α∈Πw\hΘi

mα

onde mα = dim(gα) é a multiplicidade da raiz α.

No caso da variedade ag maximal, sua decomposição de Bruhat se escreve como F =

a

w∈W

onde b0 é a origem de F.

Iremos apresentar a demonstração da decomposição de Bruhat apenas para o caso das varie-dades ag maximais.

Observação: Um resultado demonstrado por Lucas Seco [13] diz que podemos obter o caso geral da decomposição de Bruhat para variedades ag parciais a partir da decomposição das variedades ag maximais, feito via argumentos de dinâmica. Este método difere do que é usualmente apre-sentado nos textos tradicionais sobre teoria semissimples real, que utilizam ferramentas algébricas para demonstrá-lo.

Demonstração da decomposição de Bruhat para variedades ag maximais

Lema 1.2.3. Dados g ∈ G e X ∈ g então z(Ad(g)X) = Ad(g)z(X). Em particular, Ad(g)(m⊕a) = m⊕ a

Demonstração. A primeira parte é imediata da denição.

Seja H ∈ a um elemento regular, ou seja, α(H) 6= 0 para toda raiz α ∈ Π. Assim z(a) ⊂ z(H). Reciprocamente, se X ∈ z(H) então X 6∈ gα para toda raiz, pois α(H) 6= 0 e [H, X] = 0. Pela

decomposição (1.1.5), temos que X ∈ m ⊕ a = z(a). Logo, z(H) = z(a) = m ⊕ a. Agora, temos a seguinte fórmula

ad(Ad(g)H) = Ad(g) ◦ ad(H) ◦ Ad(g)−1

isto é, todos autovalores α(H) de ad(H) também são autovalores de ad(Ad(g)H) e, pelo fato de H ser regular, então todos estes autovalores são não nulos, implicando que Ad(g)H é regular.

Portanto, z(X) = m ⊕ a e z(Ad(g)X) = m ⊕ a. 

Lema 1.2.4. Seja H ∈ a, isto é, H ∈ a é um elemento regular. Então, a aplicação φH : N → n

denida por φH(n) = Ad(n)H − H é um difeomorsmo.

Demonstração. Primeiramente, veriquemos a bijetividade de φ.

ˆ φ é injetora: Suponha que φH(n1) = φH(n2), ou seja, Ad(n1)H = Ad(n2)H, ou então,

Ad(n)H = H, com n = n−1₂ n1. Daí,

exp H = exp(Ad(n)H) = n exp Hn−1.

Assim, tomando exp H = h, temos que hnh−1 _{= n. O Corolário 4.4 do Capítulo IV de}

Helgason [3] diz que temos um difeomorsmo entre exp(n) e N, ou seja, é possível escolher X ∈ n tal que n = exp X. Isto implica que Ad(h)X = X. Pela denição, H é regular, ou seja, ad(H) não tem autovalores nulos, implicando que Ad(h) = exp(ad(H)) não tem autovalores 1. Portanto X = 0, pois Ad(h)X = X, e assim n−1

2 n1 = exp 0 = e.

ˆ φ é sobrejetora: sabendo que exp : n → N é um difeomorsmo, então dado X ∈ n, precisamos resolver a seguinte equação

que pode ser reescrita como

(exp(ad(Y )) − 1)H = X com Y ∈ n dependendo de X. A série logaritmo

log(1 + x) = X

k>=1

(−1)k

k x

k

inverte a exponencial desde que tenha convergência. Tomando x = ad(Y ) obtemos log(1 + (ead(Y )_{− 1)) = ad(Y )}. Como ad(Y ) é nilpotente, então ead(Y )_{− 1} é nilpotente, garantindo a

convergência da série. Escrevendo T = ead(Y )_{− 1temos}

ad(Y )H = log(1 + T )H = −T H +1₂T2H − 1₃T3H + · · ·

= −X + 1₂T X −1₃T2_{X + · · · = F (X).}

Veja que T é invariante por n, logo, F (X) ∈ n. Daí,

F (X) = ad(Y )H = −ad(H)Y. Portanto,

Y = ad(H)−1F (X) pois, ad(H) é inversível já que H é regular.

Vejamos agora a diferenciabilidade de φH: Seja X ∈ n e considere como campo invariante a

esquerda de N. Então, d(φH)n(X) = d dt(Ad(ne tX_{)H − H)|} t=0 = d dt(Ad(n)Ad(e tX_{)H − H)|} t=0 = Ad(n)d dt(e tad(X)_H)|

t=0 = Ad(n) ◦ ad(X)H = −Ad(n) ◦ ad(H)X.

Assim, d(φH)n = −Ad(n) ◦ ad(H) é composto por funções invertíveis, portanto é um

isomor-smo. 

Proposição 1.2.5. O normalizador de a em G é M∗_A.

Demonstração. Temos que M∗_{A ⊂ N}

G(a), pois se xh ∈ M∗A então, Ad(xh)a = Ad(x)Ad(h)a =

Ad(x)a ⊂ a.

Agora, considere g ∈ NG(a). A princípio, quero provar que existe ˜w ∈ M∗ tal que ˜wg ∈

M AN = P. Considere u = Ad(g)|a, então uα := α ◦ u é raiz, para todo α ∈ Σ, já que Ad(g) toma

autovalores de ad(H), com H ∈ a, e leva em autovalores de ad(uH). Assim, uΣ ⊂ Π é um sistema simples de raízes e, portanto, existe w ∈ W tal que w(uΣ) = Σ, implicando que w(uΠ+_{) = Π}+_.

Tome ˜w ∈ M∗ um representante de w. Daí, teremos Ad( ˜wg)n = n.

Pelo lema anterior, Ad( ˜wg)(m ⊕ a) = m ⊕ a. Logo, Ad( ˜wg)p = p, ou seja, ˜wg ∈ P = M AN. Escreva ˜wg = mhn, então n = m−1h−1wg˜ e, portanto, n ∈ NG(a).

Veremos que n = e. Tomando H ∈ a um elemento regular, a função φH(n) = Ad(n)H − H ∈ n

é um difeomorsmo. Como n ∈ NG(a), então Ad(n)H − H pertence à a. Sabendo que a ∩ n = {0}

então Ad(n)H = H, ou seja, n = e.

Lema 1.2.6. São válidos os seguintes resultados

ˆ Dado Y ∈ m ⊕ a, então Y ∈ a se, e somente se, os autovalores de ad(Y ) são reais. ˆ Dado X ∈ p, então X ∈ a ⊕ n se, e somente se, os autovalores de ad(X) são reais.

Demonstração. Primeiramente, considere o elemento X +H ∈ m⊕a. Como ad(X) é antissimétrica e ad(H) é simétrica, então elas comutam entre si e suas complexicações são diagonalizáveis. Portanto, as complexicadas são simultaneamente diagonalizáveis, e os autovalores de ad(X + H) são as somas dos autovalores de ad(X) e ad(H). Como os autovalores de ad(X) são imaginários e os de ad(H) são reais, logo, os autovalores de ad(X + H) são reais se, e somente se, X = 0. Observe que os autovalores de ad(X + H) serão imaginários se, e só se, H = 0.

Agora, no caso geral, se X +H +Y ∈ m⊕a⊕n, a componente Y ∈ n não inui nos autovalores, uma vez que é possível encontrar uma base de g tal que X +H é diagonal em blocos e Y é triangular superior. Como os autovalores dependem apenas da diagonal da matriz, teremos que eles são reais se, e somente se, X = 0. Veja que ad(X + H + Y ) é nilpotente apenas quando X + H = 0.  Lema 1.2.7. Sejam g ∈ G e H1, H2 ∈ a elementos regulares. Se Ad(g)H1 = H2 então g ∈

NG(a) = M∗A.

Demonstração. Se Ad(g)H1 = H2 então Ad(g) leva o centralizador de H1 no centralizador de H2,

que são ambos iguais a m ⊕ a, pois são elementos regulares. Logo, Ad(g)(m ⊕ a) = m ⊕ a. Se H ∈ a então,

ad(Ad(g)H) = Ad(g) ◦ ad(H) ◦ Ad(g)−1

e, portanto, ad(H) e ad(Ad(g)H) têm autovalores iguais. Pelo lema anterior, como os autovalores de ad(H) ∈ a são reais e Ad(g)H ∈ m ⊕ a então Ad(g)H ∈ a. Assim, g pertence ao normalizador de a em G, isto é, g ∈ M∗_A.

 Qualquer subálgebra parabólica minimal q pode ser obtida por aplicação de um automorsmo interno em p, isto é, q = Ad(g)p, para algum g ∈ G. É possível ver que basta tomar k ∈ K para ter q = Ad(k)p. De fato, dado g ∈ G, pela decomposição de Iwasawa tem-se que g = kan ∈ KAN e também que Ad(an)p = p. Assim,

Ad(g)p = Ad(k)Ad(an)p = Ad(k)p.

Lema 1.2.8. Seja p = m ⊕ a ⊕ n uma subálgebra parabólica minimal e q = Ad(g)p uma outra subálgebra parabólica minimal. Então, p ∩ q complementa n em p, ou seja,

p= (p ∩ q) + n com a soma não necessariamente direta.

Demonstração. Primeiramente, tem-se que p ⊃ (p ∩ q) + n, uma vez que p ∩ q ⊂ p e n ⊂ p. Seja h·, ·iθ o produto interno associado a involução de Cartan θ, que era denida por hX, Y iθ =

−hX, θY i. O ortogonal de p em relação a este produto interno é a união dos espaços associados as raízes negativas, p⊥ _{= n}−₌P

Veja que (p + q)⊥ _{= p}⊥ _{∩ q}⊥_{, que é um resultado básico de álgebra linear. Porém, q}⊥ ₌

(Ad(k)p)⊥ = Ad(k)p⊥= Ad(k)n−, pois Ad(k) é isometria. Denimos p− = m ⊕ a ⊕ n−= θp. Daí, (p + q)⊥ = p⊥∩ Ad(k)n−_{= n}−_{∩ Ad(k)n}−_{= n}−_{∩ (m ⊕ a ⊕ Ad(k)n}−₎

= n−∩ Ad(k)(m ⊕ a ⊕ n−_{) = n}−_{∩ Ad(k)p}−_{= θ(n ∩ Ad(k)p)}

= θ(n ∩ q) = θ(n ∩ (p ∩ q)) onde a última igualdade se estabelece pelo fato de n ⊂ p.

Assim, dim(p + q) = dim(n ∩ (p ∩ q)). Sabendo que dim p = dim q, então

dim(p + q) = dim p + dim q − dim(p ∩ q) = 2 dim p − dim(p ∩ q). Por outro lado,

dim(p + q) = dim g − dim(p + q)⊥= dim g − dim(n ∩ (p ∩ q)). Porém, dim(n + (p ∩ q)) = dim n + dim(p ∩ q) − dim(n ∩ (p ∩ q)), então

dim(p + q) = dim g + dim(n + (p ∩ q)) − dim n − dim(p ∩ q) ou seja,

2 dim p − dim(p ∩ q) = dim g + dim(n + (p ∩ q)) − dim n − dim(p ∩ q) implicando que

2 dim p = dim g + dim(n + (p ∩ q)) − dim n. Sabendo que dim g − dim n−

= dim p e dim n = dim n− então dim p = dim(n + (p ∩ q))

demonstrando que os espaços são iguais. 

Teorema 1.2.9. Dado uma variedade ag maximal F, ela se decompõe como F =

a

w∈W

N · wb0.

Demonstração. Dado g ∈ G, queremos mostrar que existe n ∈ N e w ∈ W tal que n ˜wP = gP, ou seja, existem n ∈ N, w ∈ W e x ∈ P tal que g = n ˜wx.

Tome a subálgebra parabólica minimal q = Ad(g)p e seja H um elemento regular de a ⊂ p. Como p = (p ∩ q) + n então existe X ∈ n tal que H + X ∈ p ∩ q. Usando o Lema 1.2.4, a função φH(y) = Ad(y)H − H é um difeomorsmo. Segue que existe n ∈ N tal que Ad(n)H − H = X, ou

seja, Ad(n)H = H + X ∈ p ∩ q. Assim,

Ad(g−1n)H = Ad(g−1)(Ad(n)H) = Ad(g−1)(H + X) ∈ p = m ⊕ a ⊕ n pois H + X ∈ q = Ad(g)p.

Veja que os autovalores da adjunta de Ad(g−1_{n)H são iguais aos autovalores de ad(H). Então,}

os autovalores são todos reais. Assim, pelo Lema 1.2.6 teremos Ad(g−1_{n)H ∈ a ⊕ n, ou seja,}

Ad(g−1n)H = H0 + Y (1.2.1)

com H0 _{∈ a e Y ∈ n. Como H é regular e ad(Ad(g}−1_{n)H) tem os mesmos autovalores de ad(H}0_),

uma vez que os autovalores de ad(Y ) são todos nulos, então H0 _regular.

Usando o difeomorsmo φH0(z) = Ad(z)H0−H0, temos que existe z ∈ N tal que Ad(zg−1n)H =

H0. De fato, existe ˜z ∈ N tal que

Ad(˜z)H0− H0 = Y ∈ n isto é,

H0 − Ad(˜z−1)H0 = Ad(˜z−1)Y tomando z = ˜z−1 _{e usando a equação (1.2.1),}

H0− Ad(z)(Ad(g−1n)H − Y ) = Ad(z)Y logo,

Ad(zg−1n)H = H0.

Deste modo, como o normalizador de a em G é M∗_{A, então zg}−1_{n ∈ M}∗_{A, isto é, zg}−1_{n = ˜w}−1_h.

Assim, g = nh−1_{wz = n ˜˜ w¯hz, com ¯h = ˜w}−1_h−1_{w ∈ A˜ . Portanto, para x = ¯hz ∈ AN ⊂ P , tem-se}

que g = n ˜wx, provando a decomposição de Bruhat. _

1.2.4 Células de Schubert

Dada uma decomposição de Bruhat de uma variedade ag FΘ, uma célula de Schubert associada

à classe w ∈ W/WΘ é o fecho da célula de Bruhat, isto é, SwΘ= fe(N · wbΘ). A partir da célula de

Schubert, será possível construir a uma decomposição celular para a variedade ag.

Para a variedade ag maximal F, denotamos uma célula de Schubert como Sw, com w ∈ W,

omitindo Θ = ∅.

Proposição 1.2.10. São propriedades da célula de Schubert: ˆ SΘ

w1 ⊂ S

Θ

w2 se, e somente se, w1 6 w2 pela ordem de Bruhat-Chevalley;

ˆ SΘ w =

[

u6w

N · ubΘ.

Note que, pelo segundo item desta proposição e pelo fato de todas as células de Bruhat serem disjuntas, para todo v < w, uma célula de Bruhat N · vbΘ deve pertencer à fronteira da célula de

Schubert SΘ w.

A partir da denição, notemos que SΘ

w = SwΘ0 se, e somente se, wWΘ= w0WΘ. Logo, qualquer

célula Sw0 de F, com w0 ∈ wW_Θ, se projeta na célula SΘ

w através da projeção canônica πΘ, ou seja,

a pré-imagem de SΘ

Lema 1.2.11. Existe um elemento w0 _{= wu da classe lateral wW}

Θ tal que

dim S_wΘ = dim Sw0.

Este elemento é único e minimal com respeito à ordem de Bruhat-Chevalley.

Demonstração. Lema 2.2.1 da tese de Rabelo [8]. 

Para cada classe lateral wWΘ, com w ∈ W, este lema diz que existe um único representante

minimal w0 _{∈ W}Θ _{com relação a ordem de Bruhat-Chevalley tal que a célula de Schubert S} w0 se

projeta em SΘ

w. Se este elemento possui decomposição minimal w 0 _{= r}

1· · · rn, com ri = rαi para

αi ∈ Σ, então a dimensão da célula de Schubert será

dim(S_wΘ) = dim(N · w0bΘ) = n

X

i=1

mαi + m2αi (1.2.2)

onde mα = dim(gα) é a multiplicidade da raiz α.

1.3 Exemplo: O grupo Sl(3, R)

Considere o grupo Sl(3, R) formado pelas matrizes 3 × 3 reais e inversíveis com determinante 1. Sua álgebra de Lie sl(3, R) é o espaço vetorial das matrizes 3 × 3 reais de traço zero, cujo comutador é dado por

[X, Y ] = XY − Y X. Uma involução associada a esta álgebra é dada por

θ(X) = −Xt , para todo X ∈ sl(3, R). Sua forma bilinear associada

hX, Y iθ = −hX, θ(Y )i = hX, Yti = tr(ad(X)ad(Y )t)

é um produto interno em sl(3, R), ou seja, θ é uma involução de Cartan. Os autoespaços associados aos autovalores 1 e −1 fornecem uma decomposição de Cartan da álgebra de Lie e são dados por

k _{= {X ∈ sl(3, R) | X = θ(X) = −X}t_{} = so(3, R)} s _{= {X ∈ sl(3, R) | X = −θ(X) = X}t}

isto é, k é o subconjunto das matrizes antissiméticas e s é o subconjunto das matrizes simétricas. Lembremos que toda matriz X ∈ sl(3, R) pode escrita como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica, à saber

ˆ Parte simétrica: 1 2(X + X t₎; ˆ Parte antissimétrica: 1 2(X − X t_).

Logo, a decomposição de Cartan de sl(3, R) é a soma direta so(3, R) ⊕ s. Em nível de grupo, o grupo de Lie conexo gerado por so(3, R) é

SO(3, R) = {g ∈ Sl(3, R) | gtg = ggt= Id e det(g) = 1}. Por sua vez, se X ∈ s temos dois fatos à observar:

1. eX _{é simétrico. De fato,} (eX)t= ∞ X n=0  Xn n! t = ∞ X n=0 (Xt)n n! = e (Xt)_{= e}X_.

2. Todos os autovalores de eX _{são positivos. Para tal, suponha que λ é autovalor de X com}

autovetor v 6= 0, isto é, Xv = λv. Daí, eXv = ∞ X n=0 Xn_v n! = ∞ X n=0 λn n!v = e λ_v

ou seja, eλ _{é autovalor de e}X_{. Pelo fato de X e e}X _{serem simétricos, então ambos possuem}

3 autovalores reais. Logo, todos os autovalores de eX _{são positivos.}

Deste modo, o conjunto S = exp s é o conjunto das matrizes simétricas positivas denidas de determinante 1. É importante salientar que S não é um grupo de Lie. Portanto, a decomposição de Cartan do grupo é dada por Sl(3, R) = SO(3, R)S.

O conjunto das matrizes diagonais em s formam uma subálgebra abeliana maximal, e assim, deniremos a como tal conjunto. Para i, j ∈ {1, 2, 3} seja Eij a matriz 3 × 3 cuja única entrada

não nula é aij = 1, e considere a base de sl(3, R) formada pelas matrizes Eij e Eii− Ejj com i 6= j.

Dado H ∈ a, podemos escrever este elemento como H = diag(a1, a2, a3) a matriz diagonal com

a1+ a2+ a3 = 0. Assim, temos a seguinte equação

ad(H)(Eij) = (ai − aj)Eij. (1.3.1)

Esta igualdade mostra que as raízes de a são os funcionais lineares αij = λi− λj para i 6= j,

onde λi é a função que satisfaz λi(diag(a1, a2, a3)) = ai, e que o subespaço associado a cada raiz

αij, com i 6= j, é gαij = hEiji. Dena a câmara de Weyl positiva de a como o conjunto

a+= {diag(a1, a2, a3) ∈ a | a1 > a2 > a3}.

Neste caso, o conjunto das raízes positivas é dado por Π+ = {α12, α13, α23}.

Note que a raíz positiva α13 é combinação das outras duas raízes positivas, isto é, α13 =

λ1 − λ3 = (λ1 − λ2) + (λ2 − λ3) = α12+ α23. Isto implica que o conjunto das raízes simples é

Sabemos que n é formado pela soma dos espaços associados às raízes positivas. Assim, pela equação (1.3.1), temos que,

n= gα12⊕ gα23 ⊕ gα13 = hE12i ⊕ hE23i ⊕ hE13i =      0 ∗ ∗ 0 0 ∗ 0 0 0     

ou seja, n é o conjunto das matrizes triangulares superiores com diagonal nula. Portanto, a decomposição de Iwasawa da álgebra de Lie é

sl_{(3, R) = so(3, R) ⊕ a ⊕ n.}

Agora, vejamos a decomposição de Iwasawa do grupo Sl(3, R). Primeiramente, dado H = diag(a1, a2, a3) ∈ a arbitrário, então

eH =   ea1 _{0 0} 0 ea2 ₀ 0 0 ea3  

e assim, o grupo de Lie A, cuja álgebra de Lie é a, é formado pelas matrizes diagonais com entradas positivas. Do mesmo modo, para X ∈ n arbitrário

eX = ∞ X n=0 Xn n! = Id +   0 ∗ ∗ 0 0 ∗ 0 0 0  + 1 2!   0 ∗ ∗ 0 0 ∗ 0 0 0   2 + 1 3!   0 ∗ ∗ 0 0 ∗ 0 0 0   3 + · · · = Id +   0 ∗ ∗ 0 0 ∗ 0 0 0  + 1 2   0 0 ∗ 0 0 0 0 0 0   =   1 ∗ ∗ 0 1 ∗ 0 0 1  

ou seja, N é o grupo das matrizes diagonais superiores com entradas na diagonal iguais a 1. Portanto, a decomposição de Iwasawa do grupo é Sl(3, R) = SO(3, R)AN.

1.3.1 Grupo de Weyl

Primeiramente, queremos encontrar uma fórmula explícita para a forma de Cartan-Killing, quando restrita à álgebra de Lie a. Dados H1 = diag(a1, a2, a3) ∈ ae H2 = diag(b1, b2, b3) ∈ a, como

αij(H1)αij(H2), para i 6= j, são os autovalores de ad(H1)ad(H2), então o o traço de ad(H1)ad(H2)

é a soma deste autovalores. Assim,

hH1, H2i = tr(ad(H1)ad(H2)) = 2(α12(H1)α12(H2) + α13(H1)α13(H2) + α23(H1)α23(H2)) = 4(a1b1+ a2b2+ a3b3) − 2(a1b2+ a1b3+ a2b1+ a2b3+ a3b1+ a3b2) = 4(a1b1+ a2b2+ a3b3) − 2  (a1+ a2+ a3)(b1+ b2+ b3) − (a1b1+ a2b2+ a3b3)  = 6(a1b1+ a2b2+ a3b3)

pois a1+ a2+ a3 = 0. Logo,

hH1, H2i = 6h(a1, a2, a3), (b1, b2, b3)i_R3

onde h·, ·iR3 é o produto interno canônico de R 3_.

Seja aR3 o subespaço de R

3 dada por

a_R3 = {(a₁, a₂, a₃) ∈ R3| a₁+ a₂+ a₃ = 0}.

Os subespaços a e aR3 se identicam pela relação

diag(a1, a2, a3) ∈ a ←→ 6(a1, a2, a3) ∈ aR3.

Com tal identicação a ∼= a_R3, simplicaremos a notação que aparecerá no decorrer deste

exemplo. A câmara de Weyl será reescrita como

a+= {(a1, a2, a3) ∈ a | a1 > a2 > a3}.

Para a raiz simples α12, podemos escolher um elemento H12 ∈ a dual a este funcional linear,

isto é, α12(·) = hH12, ·i. Observe que se H = (a1, a2, a3) ∈ a, então

α12(H) = a1− a2 = h(1, −1, 0), (a1, a2, a3)iR3 = h 1

6(1, −1, 0), Hi.

Deste modo, identicaremos a raiz simples α12 com o seu vetor dual

α1 = (1, −1, 0) ∼= α12.

Analogamente, denotemos a raiz simples α23 como o seu dual

α2 = (0, 1, −1) ∼= α23.

De modo geral, qualquer raiz β ∈ Π se identica com o seu vetor dual (x, y, z). As reexões em torno de uma raiz α são dadas por

rα(β) = β −

2hα, βi hα, αi α isto é, para α1, escolhendo-se uma raiz β = (x, y, z) temos

rα1(x, y, z) = (x, y, z) − (x − y)(1, −1, 0) = (y, x, z).

Do mesmo modo, rα2(x, y, z) = (x, z, y), ou seja, as reexões em torno das raízes são

permu-tações. Logo, o grupo de Weyl é gerado pelas permutações r1 = (12) e r2 = (23) e, portanto,

W = S3 é o grupo de permutação de 3 elementos. Considerando a ordem de Bruhat-Chevalley,

podemos classicar os elementos do grupo de Weyl de acordo com com a quantidade de reexões simples que formam cada elemento:

Ordem 0: 1(x, y, z) = (x, y, z); Ordem 1: r1(x, y, z) = (y, x, z); r2(x, y, z) = (x, z, y); Ordem 2: r2r1(x, y, z) = (y, z, x); r1r2(x, y, z) = (z, x, y); Ordem 3: r1r2r1(x, y, z) = (z, y, x).

Veja que o elemento de tamanho 3 corresponde à involução principal w0, pois é a de tamanho

máximo, e que w0 também admite como decomposição minimal r2r1r2, além de ser a reexão rα13

em torno da raiz α13∼= α1+ α2 = (1, 0, −1).

Agora queremos uma descrição do grupo de Weyl da forma W ∼= M∗/M, onde M∗ = NormK(a)

e M = CentrK(a). Seja, k ∈ SO(3, R) e H ∈ a tal que

k =   a b c d e f g h i   e H = diag(x, y, z).

Inicialmente, determinaremos o conjunto M∗ _{a partir do grupo de Weyl visto como o grupo de}

permutação W = S3. Dado um elemento w ∈ W = S3, a equação (1.1.7) diz que w = Ad(k)|a

com k ∈ M∗

⊂ SO(3, R). Assim, para todo H ∈ a, tem-se que Ad(k)H = w(H) e, como Ad(k)H = k−1Hk, segue que

kH = w(H)k.

Como exemplo do cálculo, consideremos o elemento r1. Assim,

  a b c d e f g h i     x 0 0 0 y 0 0 0 z  =   y 0 0 0 x 0 0 0 z     a b c d e f g h i   ou seja,   ax by cz dx ey f z gx hy iz  =   ay by cy dx ex f x gz hz iz  .

Tomando H ∈ a arbitrário, devemos ter que a = c = d = e = g = h = 0. Daí, pelo fato de k ser uma matriz ortogonal, então

  0 b 0 d 0 0 0 0 i     0 b 0 d 0 0 0 0 i   t = Id implicando que k =   0 ±1 0 ±1 0 0 0 0 ±1  ∈ SO(3, R)

cujos sinais de k são escolhidos de modo que det(k) = 1, ou seja, são as matrizes   0 −1 0 1 0 0 0 0 1   ,   0 1 0 −1 0 0 0 0 1   ,   0 1 0 1 0 0 0 0 −1   ,   0 −1 0 −1 0 0 0 0 −1  .

Logo, obtem-se os representantes k para cada w ∈ W: ˆ 1(x, y, z) = (x, y, z); k =   ±1 0 0 0 ±1 0 0 0 ±1  ∈ SO(3, R); ˆ r1(x, y, z) = (y, x, z): k =   0 ±1 0 ±1 0 0 0 0 ±1  ∈ SO(3, R); ˆ r2(x, y, z) = (x, z, y): k =   ±1 0 0 0 0 ±1 0 ±1 0  ∈ SO(3, R); ˆ r2r1(x, y, z) = (y, z, x): k =   0 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 0  ∈ SO(3, R); ˆ r1r2(x, y, z) = (z, x, y): k =   0 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0  ∈ SO(3, R); ˆ r1r2r1(x, y, z) = (y, x, z): k =   0 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0  ∈ SO(3, R).

Assim, o conjunto M∗ _{possui 24 elementos, pois temos 6 grupos com 4 matrizes cada.}

Ob-servemos que o conjunto M é dado pelos elementos k que xam a, ou seja, estão relacionados à reexão identidade 1. Logo,

M =      1 0 0 0 1 0 0 0 1   ,   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   ,   −1 0 0 0 −1 0 0 0 1   ,   −1 0 0 0 1 0 0 0 −1      . (1.3.2) Portanto, o grupo de Weyl W = M∗_{/M possui 6 classes de equivalência. Escolhendo um}