Na se¸c˜ao anterior apresentei a teoria de representa¸c˜ao das ´algebras semi-simples. Vimos que existe uma rela¸c˜ao um-para-um entre os elementos idepotentes que determinam o centro da ´algebra e os m´odulos irredut´ıveis da mesma. No entanto, em todas as provas apresentadas na se¸c˜ao anterior consideramosA igual a uma soma de ´algebras de matrizes, e n˜ao isomorfa a soma dessas ´algebras. Isso n˜ao tira a generalidade das demonstra¸c˜oes nem dos resultados obtidos, por´em representa um inconveniente de ordem pr´atica quando estamos querendo calcular os elementos do centro de uma dada ´algebra, por exemplo. Por esse motivo, nesta se¸c˜ao vamos apresentar de forma breve e objetiva uma maneira de se determinar os elementos idepotentes do centro de uma ´algebra semi-simples sem precisar mape´a-la numa soma direta de ´algebra de matrizes. Faremos isso baseado na referˆencia [51]; desenvolvendo a teoria de caracteres irredut´ıveis da ´algebra.
Defini¸c˜ao B.7 Seja V um A-m´odulo e seja πV : A → M(dim V, C) a representa¸c˜ao as- sociada ao m´odulo V . Definimos o caracter χV : A → C, associado `a representa¸c˜ao πV, por:
χV(a) := tr (πV(a)) . (B.13)
O caracter de uma representa¸c˜ao ´e dito ser irredut´ıvel se tal representa¸c˜ao for irredut´ıvel. Note que, uma vez que πV(ab) = πV(a)πV(b) e tr(AB) = tr(BA), conclu´ımos
χV(ab) = χV(ba) , ∀a, b ∈ A . (B.14)
Ou seja, os caracteres s˜ao fun¸c˜oes invariantes por permuta¸c˜oes c´ıclicas do produto.
A proposi¸c˜ao a seguir mostra como o caracter de umA-m´odulo V est´a relacionado com os caracteres dos subm´odulos de V .
Proposi¸c˜ao B.5 Seja V um A-m´odulo da forma V = W1 ⊕ W2, sendo W1 e W2 dois subm´odulos de V . Assim, todo v∈ V ´e da forma v = v1+ v2, com vk∈ Wk. Ent˜ao,
χV(a) = χW1(a) + χW2(a) .
Prova: considere πWk as representa¸c˜oes associadas aos subm´odulos Wk. Ent˜ao, da defini¸c˜ao
B.7, sabemos que:
A a¸c˜ao de um elemento de A em um vetor de V , ´e definida por:
πV(a)v = a v = a v1+ a v2 = πW1(a)v1+ πW2(a)v2 ,
logo πV(a) ´e uma matriz bloco da forma:
πV(a) = πW1(a) 0 0 πW2(a) , donde tira-se que:
tr(πV(a)) = tr(πW1(a)) + tr(πW2(a)) ⇒ χV(a) = χW1(a) + χW2(a). (B.15)
Como conseq¨uˆencia da proposi¸c˜ao B.5 e do teorema de Wedderburn, podemos escrever o caracter do m´odulo regular (χA) em fun¸c˜ao dos caracteres dos subm´odulos M (nµ, C), que
aparecem na decomposi¸c˜ao da equa¸c˜ao (B.2), da seguinte maneira: χA(a) =X
µ∈J
χM (nµ,C)(a) , (B.16)
mas, pela proposi¸c˜ao B.3, cada um dos subm´odulos M (nµ, C) pode ainda ser decomposto
numa soma direta de sum´odulos Sµ. Se considerarmos πµ a representa¸c˜ao associada ao
m´odulo (irredut´ıvel) Sµ, conclu´ımos facilmente que πµ(a) = aµ e χµ(a) = tr(aµ), logo
χA(a) =X
µ∈J
nµχµ(a) . (B.17)
Com o aux´ılio da proposi¸c˜ao seguinte, seremos capazes de escrever cada um dos carac- teres irredut´ıveis em fun¸c˜ao do caracter regular χA. Para isso considere que A possa ser escrito da seguinte maneira:
A = W1⊕ W2 ,
sendo W1 e W2 dois A-subm´odulos, tais que W1 e W2 n˜ao possuam nenhum subm´odulo
em comum. Assim, todo a ∈ A ´e da forma a = a1 + a2, com ak ∈ Wk. Em particular a
identidade da ´algebra pode ser escrita como: η = e1+ e2.
Proposi¸c˜ao B.6 Para todo w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2, tem-se que:
e1w1 = w1 , e1w2 = 0 ,
e2w1 = 0 , e2w2 = w2 . (B.18)
Prova: primeiramente notemos que o mapa θ : W2 → W1, definido por θ(w2) = w2w1, ´e
um A-homeomorfismo. No entanto, como W1 e W2 n˜ao possuem subm´odulos em comum,
n˜ao resta outra possibilidade se n˜ao θ ≡ 0, ou seja, w1w2 = 0, para todo wk ∈ Wk. Em
particular, e1w2 = e2w1 = 0. Note que, para todo a ∈ A, tem-se que ηa = a, portanto,
podemos escrever:
(e1+ e2)(a1+ a2) = a1+ a2 ⇒ e1a1+ e1a2+ e2a1+ e2a2 = a1+ a2 ⇒ e1a1+ e2a2 = a1+ a2 ,
de onde tiramos as rela¸c˜oes:
Segue da equa¸c˜ao (B.17) que:
χA(eνa) =
X
µ∈J
nµχµ(eνa) ,
mas da proposi¸c˜ao B.6 tem-se que eνa = aν, e χµ(aν) = δ(µ, ν)tr(aµ), ou seja,
χµ(a) =
1 nµ
χA(eµa) . (B.19)
O tensor Mab, da defini¸c˜ao 7.14, com z = η, ´e uma forma bilinear invers´ıvel sempre
que a ´algebra em quest˜ao ´e semi-simples. Chamamos de gab a forma bilinear inversa de Mab,
isto ´e, Maxgxb = δ(a, b). Com o tensor gab e os caracteres irredut´ıveis da ´algebra ´e poss´ıvel
escrever os geradores idepotentes do centro da ´algebra.
Proposi¸c˜ao B.7 Considere novamente a decomposi¸c˜ao da ´algebra em termos de W1 e W2, conforme definido na proposi¸c˜ao anterior e considere { ˆφi : i = 1,· · · , dim A} uma base de
A. Ent˜ao os elementos ek, nesta base, s˜ao dados por:
ek = dim AX
i,j=1
gijχWk( ˆφi) ˆφj . (B.20)
Prova: vamos mostrar a validade desta proposi¸c˜ao para e1, a prova para e2 ´e an´aloga.
Lembrando que e1 ∈ A, e ent˜ao e1 = λlφˆl. Considere o mapa linear θu : A → A, definido
por:
θu(a) = gijψˆu( ˆφi) ˆφje1a
com u ∈ {1, 2, · · · , dim A} e { ˆψi : i = 1,· · · , dim A} a base do espa¸co vetorial dual tal que
ˆ ψi( ˆφ
j) = δ(i, j). Note que θu tamb´em pode ser escrito como:
θu(a) = (gijψˆu( ˆφi) ˆφje1) a ,
em que a a¸c˜ao nesse caso ´e a do m´odulo regular, sendo assim o tra¸co desse mapa fica: tr(θu) = χA(gijψˆu( ˆφi) ˆφje1) = gijψˆu( ˆφi)χA( ˆφje1) ,
onde usando a proposi¸c˜ao B.5 e o fato de que ˆψu( ˆφ
i) = δ(i, u), obtemos:
tr(θu) = giuχW1( ˆφi) .
Por outro lado, o mapa θu tamb´em pode ser escrito em fun¸c˜ao das constantes de estrutura
da ´algebra, na nota¸c˜ao de diagramas de Kuperberg esse assume a forma exibida na figura B.1(a). Onde se calcularmos o tra¸co, conforme pode ser visto na figura B.1(b), obtemos:
tr(θu) = ˆψu(e1) = λu .
Segue ent˜ao que tr(θu) = giuχ
W1( ˆφi) = λ u e, portanto: e1 = dim AX i,j=1 gijχW1( ˆφi) ˆφj . (B.21)
(a) Diagrama de Kuperberg do mapa θu.
(b) Diagrama de Kuperberg de tr(θu).
Figura B.1.: mapa θu em fun¸c˜ao das constantes de estrutura da ´algebra.
Embora as proposi¸c˜oes B.6 e B.7 digam respeito `a decomposi¸c˜ao da ´algebra em dois subm´odulos, essas s˜ao v´alidas tamb´em para um n´umero arbitr´ario de subm´odulos. Pelo teorema de Wedderburn sabemos que se a ´algebra ´e semi-simples esta admite a decomposi¸c˜ao da equa¸c˜ao (B.2), e ent˜ao o caracter regular assume a forma mostrada na equa¸c˜ao (B.17). Sabemos tamb´em que os elementos eµ, referentes a cada um desses m´odulos, s˜ao na verdade
os geradores idepotentes zµ do centro da ´algebra. Portanto, pela proposi¸c˜ao B.7, esses
elementos s˜ao determinados por:
zµ= dim AX
i,j=1
gijχM (nµ,C)( ˆφi) ˆφj .
Das das proposi¸c˜oes B.3 e B.5 podemos ainda escrever χM (nµ,C)( ˆφi) = nµχµ( ˆφi) e com isso
conclu´ımos que: zµ = nµ dim A X i,j=1 gijχµ( ˆφi) ˆφj . (B.22)
Esses s˜ao os geradores idepotentes do centro da ´algebra. A equa¸c˜ao acima diz que esses podem ser facilmente determinados uma vez conhecidos todos os m´odulos irredut´ıveis da ´algebra. Teorema de Wedderburn Representações irredutíveis Caracteres irredutíveis Idepotentes do centro eq. (B.11) prop. B.4 eq. (B.5) prop. B.1 prop. B.3 eq. (B.21) eq. (B.18) def. B.7
Como vimos existem algumas propriedades e quantidades bastantes relevantes para a teoria de representa¸c˜ao de uma ´algebra semi-simples, como por exemplo: os geradores idepo- tentes do centro, as representa¸c˜oes irredut´ıveis da ´algebra e a decomposi¸c˜ao de Wedderburn. Para finalizar este apˆendice o diagrama na figura B.2 ilustra as maneiras de se obter as outras propriedades/quantidades das ´algebras semi-simples conhecendo-se uma delas.