9. Considera¸ c˜ oes finais
9.2. Coment´arios finais e perspectivas futuras
O esquema geral no qual os sistemas aniˆonicos encaixam-se - apresentado no cap´ıtulo 2 - ´e na verdade uma descri¸c˜ao das regras de fus˜ao e das regras de braid que os anyons de um determinado sistema obedecem. Esse esquema pode ser formulado matematicamente de maneira mais rigorosa usando-se uma estrutura matem´atica bastante abstrata, e ao mesmo tempo muito poderosa - a estrutura de categorias. Mais precisamente, as regras de fus˜ao, de braid, bem como as regras do pent´agono e do hex´agono, s˜ao codificadas por uma categoria espec´ıfica chamada categoria de fus˜ao (“fusion category”). Uma breve no¸c˜ao sobre categorias de fus˜ao ´e dada a seguir.
Uma categoriaC ´e formada por objetos e morfismos entre esses objetos. O conjunto de todos os objetos de C ´e denotado por Obj(C) enquanto que os morfismos entre dois objetos, por exemplo A, B ∈ Obj(C), ´e denotado por Hom(A, B). Numa categoria existe a no¸c˜ao de composi¸c˜ao de morfismos, isso ´e, dados dois morfismos f ∈ Hom(A, B) e g ∈ Hom(B, C), definimos g◦ f ∈ Hom(A, C) como a composi¸c˜ao deste de g com f. Al´em disso, a regra de composi¸c˜ao deve ser associativa. Existe tamb´em, para cada objeto A ∈ Obj(C), um morfismo identidade, denotado por 1A ∈ Hom(A, A), tal que f ◦ 1A = f . Note que nem
sempre ´e poss´ıvel compor dois morfismos quaisquer, se f ∈ Hom(A, B) e g ∈ Hom(U, V ) a composi¸c˜ao g◦f s´o est´a definida se B = U; analogamente, a composi¸c˜ao f ◦g s´o est´a definida se V = A. Uma categoria C ´e dita ser uma categoria monoidal (ou tensorial) se existir um mapa ⊗ : C × C → C que seja associativo e existir um objeto identidade, denotado por 1, (`a esquerda e `a direita) para tal opera¸c˜ao. Por fim, uma categoria de fus˜ao ´e uma categoria monoidal para qual o objeto identidade seja simples - isto ´e, que n˜ao possua subobjetos n˜ao triviais.
Resumindo, dado um sistema aniˆonico - com regras de fus˜ao e de braid satisfazendo `as regras do pent´agono e do hex´agono - o esquema apresentado no cap´ıtulo 2 representa, na verdade, uma categoria de fus˜ao onde os objetos s˜ao as cargas aniˆonicas. Esse esquema geral, por´em, bem como a categoria de fus˜ao, n˜ao representa um modelo f´ısico microsc´opico. Em geral, existe uma categoria de fus˜ao para cada modelo microsc´opico que suporta anyons como excita¸c˜ao de quasi-part´ıculas. O modelo DQ, por exemplo, descreve excita¸c˜oes aniˆonicas que encaixam-se nesse esquema geral e, cada grupo G (a menos de isomorfismos) leva a uma categoria de fus˜ao diferente. Sendo assim, existe uma importante classe de categoria de fus˜ao que ´e parametrizada pelo grupo G. Nesta categoria, os objetos, que s˜ao as cargas aniˆonicas do modelo DQ, s˜ao parametrizados pelas representa¸c˜oes irredut´ıveis da ´algebra do duplo quˆantico D(G). Apesar disso, existem modelos aniˆonicos que levam a categorias de fus˜ao que n˜ao s˜ao parametrizadas por nenhum grupo, isto ´e, que n˜ao pertencem `a classe das categorias de fus˜ao de grupo. Esse ´e o caso, por exemplo, dos Ising-anyons e dos Fibonacci-
anyons, que n˜ao podem ser descritos pelo modelo duplo quˆantico (para nenhum grupo G). Sendo assim, uma pergunta natural a se fazer neste ponto seria: dada uma categoria de fus˜ao arbitr´aria, existe sempre um modelo microsc´opico que descreva tais excita¸c˜oes? A resposta para essa pergunta ´e sim - conforme explicada a seguir.
Em 2004 um modelo (2D) com vari´aveis de spin localizados nas arestas de uma rede hexagonal foi proposto por M. Levin e X. Wen [47]. Esse modelo, chamado de string-net
model foi proposto para descrever sistemas aniˆonicos e, assim como o ponto de partida do
modelo duplo quˆantico ´e grupo finito G, o ponto de partida do modelo string-net ´e uma categoria de fus˜ao C que descreve as regras de fus˜ao e braid das excita¸c˜oes provenientes deste modelo.
A ´algebra de grupo usada para construir a TCK ´e um exemplo de uma ´algebra de Hopf involutiva, e, a mesma constru¸c˜ao pode ser feita para ´algebras de Hopf em geral. Recente- mente, descobriu-se que o espa¸co de v´acuo do modelo DQ baseado na ´algebra de grup´oide (que ´e uma exemplo de uma ´algebra de Hopf fraca [48]) ´e isomorfo ao espa¸co de v´acuo do modelo string-net [49]; ou seja, pelo menos a princ´ıpio, pode-se obter os espa¸cos de v´acuo do modelo string-net a partir do modelo DQ. A ´algebra chamada de ´algebra de grup´oide ´e bastante similar `a ´algebra de grupo, por´em com a diferen¸ca de que essa ´e definida a partir de um grup´oide G ao inv´es de um grupo. Sendo assim, ´e esperado que se possa definir um modelo an´alogo `a TCK considerando-se a ´algebra de grup´oide de um grup´oideG ao inv´es da ´algebra de grupo. Na se¸c˜ao 8.4 do cap´ıtulo anterior, apresentamos um exemplo onde conside- ramos um grup´oide ao inv´es de um grupo. No caso apresentado, consideramos um grup´oide formado por dois grupos desconexos G1 e G2. Conforme vimos, esse modelo leva a um su-
perposi¸c˜ao de dois modelos duplo quˆanticos, cada um parametrizado por um grupo. Mesmo no caso em que os grupos s˜ao todos iguais e abelianos, isto ´e, G1 = G2 = Z2, por exemplo, o
modelo permite descrever excita¸c˜oes aniˆonicas com regras de fus˜ao n˜ao-abelianas. Isso mos- tra que estudar o modelo duplo quˆantico baseado em grup´oides pode trazer resultados novos e, possivelmente, a realiza¸c˜ao de novas fases topol´ogicas. Resultados preliminares indicam que esses modelos s˜ao capazes de descrever excita¸c˜oes aniˆonicas confinadas e n˜ao-confinadas. Por´em, esses aspectos ainda precisam ser investigados com mais cuidado.
Por fim, embora esse n˜ao seja o assunto desta tese, gostar´ıamos de mencionar que o formalismo utilizado para obter um modelo quˆantico de muitos corpos a partir de uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao invariante de gauge cl´assica na rede ´e baseado no uso de tensor networks. Isso por sua vez torna as manipula¸c˜oes alg´ebricas mais simples e permite, por exemplo, a inclus˜ao de campos de mat´eria nos modelos quˆanticos de muitos corpos. A forma como obtemos um modelo quˆantico foi partindo-se de uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao cl´assica na rede que pode ser pensada como uma generaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao das teorias de gauge puras na rede, isto ´e, teorias de gauge onde s´o existem campos de gauge - representados pelos elementos do grupo G vivendo nas arestas da rede. H´a, entretanto, modelos de gauge na rede onde existem tamb´em graus de liberdade de mat´eria vivendo nos v´ertices da rede. A intera¸c˜ao dos campos de gauge com os campos de mat´eria se d˜ao pelo transporte paralelo realizado pelos elementos do grupo de gauge sobre os vetores que representam os graus de liberdade de mat´eria. Em [30], mostramos que, tal como a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao das teorias de gauge puras, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de modelos com mat´eria em trˆes dimens˜oes pode tamb´em ser representada por uma tensor network. Com isso, conseguimos obter uma representa¸c˜ao em termos de tensor network para a matriz de transferˆencia. Essa por sua vez pode ser
pensada como um operador de evolu¸c˜ao temporal para tempo imagin´ario donde se obt´em uma hamiltoniana de muitos corpos - semelhante `as hamiltonianas obtidos nos modelos analisados neste trabalho - com a diferen¸ca, por´em, de que esses modelos quˆanticos possuem graus de liberdade de mat´eria al´em dos graus de liberdade usuais. Em particular, analisamos alguns exemplos que representam a inclus˜ao de campos de mat´eria no modelo duplo quˆantico; apresentamos uma formula¸c˜ao do toric code com campos de mat´eria que, diferentemente do caso usual, n˜ao possui n´ıvel fundamental degenerado, mas, mesmo assim, descreve excita¸c˜oes de quasi-part´ıculas localizadas nos v´ertices, plaquetas e arestas da rede.