Cargas Críticas

Outro conceito importante, em termos da verificação da segurança de uma estrutura, é sabermos até que ponto estamos próximos do seu colapso, comparativamente ao carregamento a que estamos a sujeitar, ou seja a carga para além da qual a estrutura colapsa.

Assim, carga crítica de uma estrutura corresponde ao último valor, de uma qualquer forma de carregamento, para o qual ainda é possível o equilíbrio, ou seja: qualquer que fosse o acréscimo infinitesimal de carga somado a esse presente estado de tensão a estrutura perderia, globalmente, o seu equilíbrio, entrando em colapso.

Daqui se depreende que essa carga corresponde a um equilíbrio indiferente, situação da qual a estrutura já não regressará mesmo que seja retirada a totalidade da carga aplicada, ou seja, à remoção da perturbação não corresponde o regresso ao estado inicial.

A este fenómeno corresponde, intrinsecamente, uma deformada dessa estrutura associada ao nível de energia que conduziu a esse estado, designando-se esta por modo de encurvadura.

Em termos matemáticos, o estudo destes fenómenos está ligado à busca dos valores e vectores próprios da estrutura que se relacionam, directamente, com a matriz geométrica3_{. A sua determinação e a da configuração de}

instabilidade correspondente podem, pois, ser obtidas a partir de um modelo que inclua os efeitos de 2ª ordem, bastando adaptar as equações e equilíbrio que lhe servem de base, com vista a conseguir-se traduzir a situação de equilíbrio indiferente pretendida.

Muito embora se possam obter tantos valores e vectores próprios quantos os números de graus de liberdade do sistema estrutural, em termos práticos só os mais baixos (ou mesmo somente o mais baixo) tem interesse determinar, já que são os que correspondem à menor energia necessária para conduzir a estrutura à perda generalizada de equilíbrio.

Admitindo um qualquer carregamento que se pretende estudar, vai procurar-se um factor de carga λc que,

multiplicado por essa solicitação inicial, traduzirá a carga crítica da estrutura e que corresponde ao valor próprio mais baixo. Quanto mais baixo for este valor (próximo de 1), mais risco tem a estrutura de colapso.

λ = Pc / P

Pc – carga crítica.

P – carga usada na estrutura.

Ou seja: vamos aferir um parâmetro de carga λc, pelo qual se devem multiplicar as acções aplicadas no sistema

em análise, de forma a não ser possível encontrar uma solução única de equilíbrio4_.

Em termos muito grosseiros, e formalmente errados, mas com vista a simplificar uma visualização inicial do conceito, o que se pretende é conhecer a quebra de rigidez da estrutura (da matriz de rigidez linear clássica KL)

quando sofre um aumento de estado de tensão de compressão que a conduz à instabilidade (redução da matriz KL pela matriz de rigidez não linear ou geométrica KNL = KG). Se λ for o factor por que temos que multiplicar a

KG para anular KL esse será o parâmetro de carga crítica:

K = KL - λ KG

Em termos matemáticos correctos, como a matriz geométrica é proporcional às forças internas existentes na estrutura:

[ [KL] + λc [KG] ] {u} = λc {f}

Deste modo, e uma vez que essa matriz depende linearmente dos valores dos esforços instalados em cada uma das barra da estrutura, uma situação de equilíbrio indiferente será expressa segundo o método dos deslocamentos por:

[ [KL] + λc [KG] ] {u} = 0

Soluções não nulas desta equação poderão ser obtidas se:

det ( [ [KL] + λc [KG] ) = 0

Como se disse, por esta via encontra-se um problema clássico de determinação de valores e vectores próprios associados a [KL] e [KG]. Sendo de salientar que a resolução desta equação terá de ser feita, em geral, por

métodos iterativos, pois consiste na obtenção das raízes de um polinómio de grau igual ao das dimensões das matrizes [KL] e [KG].

4 _{Dado o equilíbrio ser indiferente, existem, consequentemente, tantas formas de equilíbrio quantos os graus de}

liberdade do sistema. Numa situação de equilíbrio estável, que corresponde a todos os instantes imediatamente antes deste, só é possível uma única configuração de equilíbrio (que não é mais que a deformada proporcional da

Como só se conhecem métodos para o cálculo das raízes de um polinómio se o grau for igual ou inferior a quatro, a solução do problema terá que ser obtida recorrendo a processos iterativos.

Convém aqui recordar as condições e hipóteses a que está sujeita, em geral, a análise:

1. Admite-se que o sistema de barras carece de qualquer imperfeição geométrica, muito embora a geometria possa ser actualizada em resultado dos sucessivos cálculos de deslocamentos efectuados;

2. Durante todo o processo supõe-se que o comportamento material é contínuo, homogéneo, isotrópico e perfeitamente elástico e linear;

3. Não se considera a possibilidade de encurvadura nas barras por flexão ou torção;

4. Todas as barras encurvam simultaneamente.

Esta última hipótese não exclui, completamente, uma possibilidade de encurvadura local, muito embora, se tal suceder, não poderá conduzir ao colapso da estrutura. Isto é fácil de aceitar, já que de outro modo essa ocorrência deveria ser detectada, directamente, pela análise.

Em geral as estruturas correntes afastam-se de situações perto do colapso global e, por conseguinte, total. Contudo, alguns dos processos de deformação não linear que uma estrutura pode sofrer podem conduzir a instabilidade, desde que em qualquer momento possa existir uma perda de equilíbrio.

O caso mais frequente na generalidade das estruturas construídas é que a solicitação a que estão sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento da deformação, sem que tal situação alguma vez atinja valores exagerados.

Neste caso, a curva de carga crítica é sempre decrescente, ou seja: conforme o nível de

Se esta curva interceptar a da análise não linear, esse ponto corresponderá a um valor unitário para o factor de carga crítica, pelo que o nível de carga até este ponto aplicado bastará para conduzir a estrutura ao colapso geométrico, devendo ser esta reequacionada.

O EC3 estabelece condições sob as quais o perigo de uma instabilidade global não poderá ocorrer, assunto que será adiante tratado, sendo também esta problemática das cargas críticas uma forma do estudo da própria mobilidade da estrutura (de nós fixos ou móveis, que o mesmo é dizer com deslocamentos horizontais desprezáveis ou não).

Figura 15 - Curva carga-deslocamento e cargas críticas num caso normal.