Estruturas
Metálicas
EC3 – Parte 1.1 / Volume II
F1 2 F 3 F O 1 F 2 F F3 1 F 2 F 3 F O O O
Série ESTRUTURAS
Prefácio
Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de
Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e
actualizado.
Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto, completo
e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno de Engenharia
Civil.
Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à
especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se ao que se
pensa omitido.
Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos que
possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.
De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de acesso
gratuito e livre.
Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é indispensável para
a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este documentos de apoio, de
qualquer forma, substituir-se à mesma.
INDICE
1. MÉTODOS DE ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
1.1. INTRODUÇÃO ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
1.2. MÉTODOS DE ANÁLISE MATERIAL (OU FÍSICA) GLOBAL DE ESTRUTURAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.2.1. ANÁLISE GLOBAL ELÁSTICA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
1.2.2. ANÁLISE GLOBAL PLÁSTICA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.2.2.1. MOMENTO PLÁSTICO DE UMA RÓTULA PLÁSTICA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.2.2.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE PLÁSTICA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.3. MÉTODOS DE ANÁLISE GEOMÉTRICA GLOBAL DE ESTRUTURAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.3.1. ANÁLISE GLOBAL DE PRIMEIRA ORDEM ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
1.3.2. ANÁLISE GLOBAL DE SEGUNDA ORDEM ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.4. CARGAS CRÍTICAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.5. COMENTÁRIOS ADICIONAIS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.6. RESUMO DAS ANÁLISES GLOBAL GEOMÉTRICA E MATERIAL ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 2. ANÁLISE ESTRUTURAL (EC3) ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
2.3 RESUMO DAS POSSÍVEIS ANÁLISES DO EC3 ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 3. IMPERFEIÇÕES ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 3.1. CONSIDERAÇÃO DAS IMPERFEIÇÕES – BASES ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 3.2. MÉTODO DE APLICAÇÃO CONSIDERANDO O EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
3.2.1. IMPERFEIÇÕES NAS ESTRUTURAS RETICULADAS PARA ANÁLISE GLOBAL ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 3.2.2. IMPERFEIÇÕES DOS SISTEMAS DE CONTRAVENTAMENTO ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 3.2.3. IMPERFEIÇÕES AO NÍVEL DOS ELEMENTOS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 4. COMPORTAMENTO GLOBAL DAS ESTRUTURAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 4.1. MODELOS DE ESTRUTURAS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
4.2. ESTABILIDADE ATRAVÉS DA RIGIDEZ LATERAL ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 4.3. CLASSIFICAÇÃO DE UM PÓRTICO QUANTO À SUA MOBILIDADE (NÓS FIXOS OU MÓVEIS) ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
4.4. CLASSIFICAÇÃO DE PÓRTICOS COMO CONTRAVENTADOS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 4.5. ANÁLISE GLOBAL DE PÓRTICOS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
4.5.1 ANALISE GLOBAL ELÁSTICA DE PÓRTICOS COM E SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
4.5.2. ANÁLISE GLOBAL PLÁSTICA DE PÓRTICOS COM E SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
4.6. RECOMENDAÇÕES ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
5. COMPORTAMENTO DAS LIGAÇÕES ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 5.1. CLASSIFICAÇÃO DAS LIGAÇÕES QUANTO À RIGIDEZ ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 5.2. CLASSIFICAÇÃO DAS LIGAÇÕES QUANTO À RESISTÊNCIA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6. ESTABILIDADE GLOBAL, LOCAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
6.1. ESTABILIDADE DE PÓRTICOS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.1.1. MÉTODO DE HORNE ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.1.2. EXEMPLO PRÁTICO DO MÉTODO DE HORNE ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.2. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
6.2.1. EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PILARES INSERIDOS EM PÓRTICOS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.2.2. EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PÓRTICOS SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.2.3‐ EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PÓRTICOS COM DESLOCAMENTOS LATERAIS ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. BIBLIOGRAFIA ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. ANEXO ‐ ANEXO E DO EC3 1993 (INCLUÍDO NOUTRA PARTE, NA NOVA VERSÃO) ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
INDICE
FIGURA 1 – DIAGRAMA CLÁSSICO ENTRE RELAÇÕES TENSÕES‐DEFORMAÇÕES DO AÇO MACIO. 6 FIGURA 2 – COMPORTAMENTO MATERIAL: POSSÍVEIS RELAÇÕES TENSÕES‐DEFORMAÇÕES. 8 FIGURA 3 ‐ REDISTRIBUIÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS (AS LINHAS RECTAS INCLINADAS DO DIAGRAMA SIMBOLIZAM
OS PONTOS DE MOMENTO NULO) 10
FIGURA 4 ‐ DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NUMA SECÇÃO DEVIDO A UM MOMENTO FLECTOR 13 FIGURA 4A – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA SECÇÃO EM FUNÇÃO DO TIPO DE MOMENTO FLECTOR RESISTENTE. 14
FIGURA 5 – POSSÍVEIS MECANISMOS PLÁSTICOS 15
FIGURA 6 ‐ DIAGRAMA MOMENTO‐ENCURVADURA PARA DISTINTAS SECÇÕES TRANSVERSAIS 16 FIGURA 7A ‐ DIAGRAMA MOMENTO‐ENCURVADURA REAL E SIMPLIFICADO 16
FIGURA 7B ‐ DIAGRAMA CARGA‐DESLOCAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA SEGUNDO A CLASSIFICAÇÃO DA SECÇÃO 17 FIGURA 8 – DIAGRAMAS TENSÕES DEFORMAÇÕES EM CÁLCULO ELÁSTO‐PLÁSTICO E PLÁSTICO. 19 FIGURA 9 – PASSOS DE UMA ANÁLISE MATERIAL NÃO LINEAR SIMPLES (RÍGIDO‐PLÁSTICA). 21 FIGURA 10 – FUNCIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM FUNÇÃO DAS SUAS DIMENSÕES RELATIVAS. 22
FIGURA 10A – FORMAÇÃO DE UMA RÓTULA PLÁSTICA 23
FIGURA 10C – MOMENTO ELÁSTICO E MOMENTO PLÁSTICO DE SECÇÕES 25
FIGURA 10D ‐ ZONA PLÁSTICA NA ROTURA 26
FIGURA 11A – PÓRTICO CONTRAVENTADO E SEM DESLOCAMENTO LATERAIS E PÓRTICO NÃO CONTRAVENTADO E COM
DESLOCAMENTO S LATERAIS. 28
FIGURA 11B – PÓRTICO COM EFEITO “P‐Δ” E PILARES COM EFEITO “P‐Δ”. 29 FIGURA 12 ‐ EXEMPLO DA ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM 30 FIGURA 13 ‐ CURVA CARGA‐DESLOCAMENTO NUM CASO NORMAL. 31 FIGURA 14 ‐ DIAGRAMA CARGA‐DESLOCAMENTO PARA O MÉTODO DO CONTROLO DE DESLOCAMENTO. 32 FIGURA 15 ‐ CURVA CARGA‐DESLOCAMENTO E CARGAS CRÍTICAS NUM CASO NORMAL. 36
FIGURA 16 ‐ EFEITOS DE DEFORMAÇÃO GEOMÉTRICA DA ESTRUTURA 40 FIGURA 16A ‐ O MÉTODO ALTERNATIVO DE DIMENSIONAMENTO DO PÓRTICO E ANALISE APROXIMADA (RULES FOR
MEMBER STABILITY IN EN 1993‐1‐1: BACKGROUND DOCUMENTATION AND DESIGN GUIDELINES, ECCS, 2006). 44
FIGURA 17 – IMPERFEIÇÕES INICIAIS. 47
FIGURA 18 – FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES EM PÓRTICOS 48
FIGURA 19 – IMPERFEIÇÃO INICIAL DOS ELEMENTOS. 48 FIGURA 19A – IMPERFEIÇÃO INICIAL DOS PÓRTICOS (ESQUERDA) E DOS ELEMENTOS (DIREITA). 49 FIGURA 20 – EFEITOS DE TRANSLAÇÃO E TORÇÃO (VISTA EM PLANTA) 49 FIGURA 21 – CRITÉRIO DE ESTABILIDADE PARA PÓRTICOS PLANOS DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS 54
FIGURA 22 – SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO 56
FIGURA 23 – SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO 57
FIGURA 24 – CLASSIFICAÇÃO DE PÓRTICOS QUANTO À SUA MOBILIDADE LATERAL. 61 FIGURA 25 ‐ CURVA MOMENTO FLECTOR‐ROTAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO. 62
FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA RELAÇÃO FLEXÃO‐ROTAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO 63
FIGURA 27 – DIAGRAMA MOMENTO‐EXTENSÃO DE ALGUMAS SECÇÕES 63 FIGURA 28 – SIMULAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO SEMI‐RÍGIDA 65
FIGURA 29 – TIPOS DE LIGAÇÕES 65 FIGURA 30 – TIPOS DE MODOS DE INSTABILIDADE DE PÓRTICOS 66 FIGURA 31 – EFEITO COMPARATIVO DO CONTRAVENTAMENTO DE PÓRTICOS NO VALOR CARGA CRÍTICA 67 FIGURA 32 – COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS (LE/L) 71 FIGURA 33 – MODO DE DEFORMAÇÃO PARA PÓRTICOS SEM MOBILIDADE LATERAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ASSOCIADOS. 71 FIGURA 34 – MODO DE DEFORMAÇÃO PARA PÓRTICOS COM MOBILIDADE LATERAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ASSOCIADOS. 71 FIGURA 35 – ENCURVADURA LATERAL DE UM BANZO COMPRIMIDO DE UMA TRELIÇA E EFEITO ELÁSTICO DAS BARRAS VERTICAIS DE DIAGONAIS, NO PLANO DESTA (PARA FORA DO SEU PLANO ESTE EFEITO NÃO EXISTE: VER DESLOCAMENTOS
DE ENCURVADURA F). 72
FIGURA 36 – CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO 72
FIGURA 36A – FORMAS DE ENCURVADURA COM MODOS DE ENERGIA CRESCENTES (DE 1 PARA 3) 73 FIGURA 37 – PÓRTICO SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS 74 FIGURA 39 – PÓRTICO COM DESLOCAMENTOS LATERAIS 75 FIGURA E.2.1 ‐ RAZÃO L/L DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA PARA UM PILAR DE NÓS FIXOS. 87
1. MÉTODOS DE ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS
1.1. Introdução
A verificação da resistência das secções transversais (incluindo da sua estabilidade), da estrutura no seu conjunto, como dos seus diversos elementos, exige conhecer à partida a distribuição dos esforços na estrutura. Sabedores desta repartição de forças, momentos e das cargas que as provocaram, poderemos deduzir a disposição das tensões em qualquer secção que se pretenda. É de salientar que para estruturas metálicas as
ligações são também um outro importante grupo de condicionamento no comportamento da estrutura, bem como
da verificação da sua segurança, durabilidade e funcionalidade.
Designam-se por esforços as forças axiais, forças cortantes, momentos flectores, momentos de torção, etc.
Os esforços numa estrutura isostática podem e devem ser determinados através da simples aplicação das regras de equilíbrio estático, utilizando uma análise global elástica. Os esforços numa estrutura hiperestática podem ser determinados através de uma análise global elástica ou de uma análise global plástica.
Nas estruturas hiperestáticas (sujeitas a mais de três vínculos incógnitos) as equações de equilíbrio estático não são suficientes para resolvê-la, pelo que temos de recorrer a métodos auxiliares, como o das forças ou dos deslocamentos, entre outros.
Contudo, a diferenciação maior é estabelecida quanto à forma do comportamento material e geométrico da estrutura, quando sujeita a determinada carga. Assim, podemos dividir a análise a efectuar em linear (ou de 1ª ordem) ou não linear (ou de 2ª ordem), conforme a estrutura tem, ou não, uma resposta única e constante ao longo da aplicação da carga.
Na análise de 1ª ordem os esforços internos e os deslocamentos são obtidos a partir da geometria inicial indeformada da estrutura; ao contrário, na análise de 2ª ordem os esforços internos são influenciados pela configuração deformada da estrutura.
Como se sabe, genericamente, os materiais só mantêm uma relação linear entre tensões e deformações até um certo valor da tensão instalada (limite de elasticidade), valor a partir do qual essa relação deixa de ser linear, embora o material continue a aceitar acréscimos da sua tensão, mas com um aumento desproporcional da sua deformação (Figura 1).
Assim, se pretendermos aproveitar essa reserva não elástica (a partir do ponto A do diagrama da figura 1) de resistência, temos que efectuar uma análise que tenha essa não linearidade material em consideração, entrando no domínio da elastoplasticidade.
ε
σ
yσ
σ
cσ
2σ
10
A
E
C
D
F
G
Figura 1 – Diagrama clássico entre relações tensões-deformações do aço macio.
Igualmente, e de um modo simplificado, se as variações de geometria não forem significativas, o facto das cargas provocarem deslocamentos na estrutura, pode não justificar ter em conta a posição terminal da estrutura deformada, no cálculo final dos esforços.
Porém, em caso de surgirem excentricidades não desprezáveis nas peças estruturais, os seus esforços devem ser agravados, face ao facto de os esforços axiais produzirem momentos, dado essas excentricidades (e) funcionarem como braços de um binário do tipo N×e. Na verdade, embora não sendo os esforços axiais (N) de compressão os únicos responsáveis pelo agravamento dos momentos flectores nos efeitos geométricos não lineares (2ª ordem), são os seus principais causadores.
Ainda considerando a figura 1, recorde-se ainda que o ponto E corresponde ao fim do domínio da componente elástica sobre a plástica (existindo já uma componente de endurecimento1), o ponto C ao início do patamar de
cedência, o ponto D ao regresso a uma fase elastoplástica, o ponto F à tensão resistente absoluta (elastoplástica) limite e o ponto G ao colapso (ou rompimento do provete).
De um modo sumário e directo, podemos dizer que os esforços de uma estrutura podem ser determinados:
1) Por análise global elástica ou por análise global plástica, isto no que respeita ao comportamento material. Embora a análise global elástica possa ser usada em todos os casos, a análise global plástica somente
1 ) Uma “espécie” de tratamento material, em que se a carga cessasse (descarregamento) num novo ciclo de
serve quando a secção das barras e o aço satisfaçam determinadas condições, definidas nos artigos 3.2.2, 5.2.1, 5.4.3 e 5.6 do EC3;
2) Ou conforme se possa, ou não, desprezar o efeito das deformações na estrutura, esses esforços podem determinar-se segundo métodos distintos, no que se refere ao comportamento geométrico. Se for considerada a geometria inicial da estrutura, ou seja, se forem desprezadas as suas deformações, a análise pode ser de primeira ordem (linear), em caso contrário, a análise deverá ser de segunda ordem (não linear), considerando a geometria da estrutura deformada.
1.2. Métodos de Análise Material (ou Física) Global de Estruturas
1.2.1. Análise Global Elástica
A análise global elástica baseia-se na hipótese de que a relação tensão-deformação do material é linear, em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja o nível de tensão actuante. Em termos práticos, tendo em conta o comportamento do aço macio corrente, a análise global elástica pressupõe que a tensão actuante (ou tensão equivalente obtida através de um critério de cedência) seja inferior à tensão de cedência em qualquer ponto da estrutura.
Assim, quando se aplica a análise global elástica, o comportamento da estrutura, fabricada com um material que obedece à lei de Hooke, é por si mesma linear: as deformações e/ou curvaturas variam linearmente com as cargas aplicadas, ou seja, todo o aumento de deformação é proporcional à tensão que a causa2.
σ = E . ε Sendo: σ - tensão
E – módulo de elasticidade ε - deformações
Nestas condições, podem-se somar pelo princípio da sobreposição das tensões, deformações, esforços e deslocamentos devidos às distintas acções. De resto, este princípio diz que as deformações devidas a várias cargas actuando simultaneamente são iguais à soma das deformações devidas à acção separadamente de cada carga.
Isto não se aplica se a relação tensão-deformação do material não é linear, ou se a estrutura (mesmo que com material que obedeça à lei de Hooke) não se comporte linearmente devido às alterações geométricas causadas pelas cargas aplicadas (o que já obrigará a uma análise de 2.ª ordem, que o mesmo é dizer de não linear geométrica, como adiante veremos, pois o aumento das deformações é superior ao das tensões, por norma).
O princípio da sobreposição, se puder ser aplicado, é especialmente útil para determinar a condição mais desfavorável de cada barra de uma estrutura hiperestática. A acção recíproca entre as diferentes partes da estrutura dificulta saber qual é a carga exacta que produz a condição crítica no cálculo.
A análise global elástica pode ser utilizada no cálculo de esforços e deslocamentos de qualquer estrutura (isostática ou hiperestática), constituída por qualquer tipo de secção (embora com base numa secção efectiva reduzida no caso de secções de classe 4). Em vigas continuas (ou pórticos) é permitida a redistribuição de momentos até um máximo de 15%, desde que:
1. Os esforços internos continuem em equilíbrio com as cargas aplicadas;
2. As secções onde ocorre a redistribuição sejam de classe 1 ou 2 e a encurvadura lateral da viga esteja impedida.
Relativamente a este tipo de análise ainda que, apesar de os esforços serem obtidos através de uma análise global elástica, o dimensionamento dos elementos (dependendo da classe), pode ser efectuado com base na capacidade plástica das secções (classe 1 ou 2 e a encurvadura lateral da viga esteja impedida).
A análise global elástica baseia-se na hipótese de que a relação tensão-deformação do material é linear qualquer que seja o nível de tensões actuantes. Assim, supõe-se que a deformação é proporcional à tensão, ou seja, que o material obedece à lei de Hooke com todas as cargas (Figura 3a).
a) Linear elástico b) Linear elástico-perfeitamente plástico c) Linear elástico-plástico com endurecimento por deformação
d) Perfeitamente plástico (ou rígido-plástico) e) Trilinear
Por outro lado, e referindo-nos a situação de projecto real de estruturas, a análise do material deverá ser sempre uma análise elástica, pois se o limite elástico não for atingido, o estudo estará sempre do lado da segurança. Já no que se refere à análise geométrica de 2ª ordem (ou não linear geométrica), esta deverá ser sempre considerada, pois todas as estruturas de deformam e criam excentricidades, por pequenas que sejam (e sendo efectivamente muito pequenas, os regulamentos podem dispensar a sua consideração, mas contabiliza-las será sempre legítimo e do lado da segurança).
Evidentemente, devem considerar-se as propriedades expectativamente seguras do material, especialmente a tensão de cedência, associada a factores de segurança, quando se estuda se os esforços excedem ou não os da resistência das secções das barras.
Como já foi dito, na análise global elástica de estruturas isostáticas, os esforços determinam-se somente com as equações de equilíbrio estático. Nas estruturas hiperestáticas os esforços das barras devem cumprir as condições de equilíbrio e provocar deformações compatíveis com a continuidade elástica da estrutura, com as condições de apoio e os deslocamentos admissíveis. As equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as forças desconhecidas e necessitam o suplemento de relações geométricas simples entre as deformações da estrutura.
Estas relações denominam-se condições de compatibilidade porque asseguram que sejam compatíveis as deformações geométricas da estrutura deformada.
Também se pretende que os tipos de ligação escolhidos sejam capazes de manter, praticamente sem qualquer alteração, o ângulo inicial entre barras unidas, ou seja, presume-se que as ligações sejam rígidas. Contudo, formulações podem ser adoptadas que tenham em consideração o comportamento das ligações (o assunto será abordado mais à frente em capítulo próprio).
Na análise global elástica as condições de equilíbrio e de compatibilidade expressam-se relativamente à configuração da estrutura indeformada ou deformada, esta última se estivermos a efectuar uma análise geométrica de 2.º ordem (ou não linear geométrica).
Os códigos e normas permitem em certos casos uma distribuição limitada dos momentos. Quer dizer, pode-se modificar o diagrama do momento elástico de uma certa percentagem (5% a 15%, às vezes mais, dos extremos dos momentos elásticos negativos), sempre que os momentos e os esforços internos, que resultem do cálculo, permaneçam em equilíbrio com cargas exteriores aplicadas (Figura 3). Desse modo, apesar de se manter o equilíbrio, viola-se a compatibilidade elástica da estrutura.
Pode pensar-se que este conceito de redistribuição de momentos é um reconhecimento muito limitado do potencial que existe, dentro das estruturas hiperestáticas, para suportar cargas superiores às que são requeridas na resistência máxima à flexão das barras no ponto mais crítico, ou seja, para deslocar o efeito das cargas de pontos de menor resistência para outros de resistência superior. Chama-se à atenção que isto só é possível se
existir uma certa ductilidade no comportamento da secção transversal, que explica o motivo para limitar o processo nos perfis comprimidos.
As secções, como se poderá entender, devem ser das classes 1 ou 2, bem como a encurvadura lateral deve estar impedida.
Diagrama de momentos de flexão elástica
10 % de redistribuição do diagrama de momentos
Figura 3 - Redistribuição do diagrama de momentos (as linhas rectas inclinadas do diagrama simbolizam os pontos de momento nulo)
De notar que se pode manter a hipótese de comportamento de carga-deformação linear tanto na análise elástica de primeira ordem como na de segunda ordem, mesmo quando a resistência da secção é uma resistência plástica, ou seja, de forma a aproveitar o momento plástico da mesma.
Na verdade, a análise linear ou não linear geométrica processa-se a nível da estrutura global e do elemento (peça estrutural), o estudo da secção pode, dentro dos limites regulamentares, ser efectuado de modo independente.
Na classificação das secções transversais, quando se adopta uma análise global elástica, podem usar-se elementos com secções transversais de qualquer classe, desde que o dimensionamento dos elementos tenha em conta a possível limitação da resistência das secções transversais, devida à encurvadura local e as secções satisfaçam as seguintes condições:
- A classificação faz-se para identificar qual o limite imposto a uma secção transversal, pela sua resistência à encurvadura local;
- Poderá admitir-se que a secção transversal absorve o seu momento plástico, quando todos os componentes comprimidos pertencem à classe 1 ou 2;
- Quando todos os componentes comprimidos pertencem à classe 3, poderá determinar-se a sua resistência com base numa distribuição elástica de tensões na secção transversal, limitada pelo valor da tensão de cedência nas fibras extremas;
- Quando um dos componentes comprimidos de uma secção transversal pertence à classe 4, esta secção deverá ser calculada como sendo desta classe, com correspondente redução da área não efectiva.
1.2.2. Análise Global Plástica
Na prática, a análise global plástica emprega-se geralmente para estudar a eficácia do comportamento da estrutura, ou seja, os estados limites após os quais os critérios de comportamento aceites deixam de se cumprir. A análise global plástica é particularmente útil para se investigar as configurações que causam um colapso real da estrutura e para determinar a resistência à rotura, ou os estados limites últimos.
Contudo, para dimensionamento corrente é necessário muito cuidado no uso deste tipo de abordagem, não só em termos da resistência e equilíbrio da estrutura, como no controle das deformações (nem sempre fácil de determinar neste tipo de análise).
Quadro 1 - Métodos de análise global plástica
PLÁSTICA ELASTO-PLÁSTICA
1 – Métodos rigido-plásticos
2 – Métodos elasto-perfeitamente plásticos
1 – Método elasto-plástico
O comportamento tensão-deformação do aço não é infinitamente linear. A figura 2-b representa a relação tensão-deformação de um material ideal perfeitamente elástico, sendo que a lei de Hooke se limita ao campo das tensões σ ≤ fy, (fy é a tensão de cedência do material). Quando atingida o nível de tensão de cedência (σ = fy), o
material cede plasticamente a uma tensão constante de σ = fy. Se a tensão se reduzir em alguns pontos do campo
elástico, o caminho de retorno é uma linha recta paralela à da lei de Hooke, cuja inclinação é o módulo de elasticidade E.
Tanto “E” como “fy”, e toda a relação tensão-deformação, supõem-se iguais em tracção e compressão. Ou seja, a
relação é linear até à tensão de cedência e perfeitamente plástica a partir desse ponto, pelo que temos um comportamento material elástico e perfeitamente plástico.
A relação tensão-deformação ideal, embora seja somente um modelo matemático, assemelha-se muito ao comportamento do aço macio estrutural, e é também uma aproximação razoável a muitos materiais continuamente endurecidos por deformação que se utilizam em engenharia de estruturas.
Supor uma plasticidade perfeita depois de atingir a tensão de cedência, equivale a desprezar os efeitos do endurecimento por deformação e está pelo lado da segurança.
De facto, o endurecimento actua como uma espécie de tratamento de melhoria da resistência elástica: a peça sujeita-se a uma deformação plástica (permanente), passando o seu limite elástico para o valor da tensão plástica alcançada, sendo o trajecto de descarregamento paralelo à anterior recta elástica. Na próxima solicitação o valor de cedência elástica será precisamente o valor plástico atingido. Obviamente que este processo tem limites, se outro não fosse seria o próprio limite plástico do material.
A análise global plástica (aplicável apenas a estruturas hiperestáticas) só pode ser usada quando as secções transversais das peças e o material aço satisfizerem os requisitos definidos anteriormente e especificados no EC3, ponto 3.2.2 (para o aço), 5.2.1, 5.4.3. e 5.6. (para secções). O projecto de estruturas ao usar a análise global plástica, deve também satisfazer os outros requisitos estabelecidos no EC3.
Deste modo, este tipo de análise pressupõe a plastificação de algumas zonas da estrutura (por exemplo através da formação de rótulas plásticas) e só pode ser efectuada se a estrutura verificar determinadas condições, relativas à estabilidade global e local da estrutura, bem como as características do próprio material. À frente serão identificados integralmente esses pressupostos obrigatórios do EC3.
Vejamos uma secção com área A que possua eixo de simetria e experimente uma flexão no plano da simetria (Figura 4).
Se o momento de flector é pequeno, a tensão e a deformação variam linearmente através da largura. Ao aumentar o momento, a tensão de cedência chega a uma das fibras superiores, e ao aumentá-lo mais, a tensão de cedência chega à fibra inferior.
Se continuarmos a aumentar o momento flector, a cedência estende-se para as fibras internas não só superiores como inferiores.
Continuando ainda a aumentar o momento, a tensão de cedência estende-se totalmente ao longo das fibras interiores, até se encontrarem todas as zonas em cedência. Neste estado diz-se que a secção é totalmente plástica, ou seja, todas as suas fibras plastificaram, a secção não poderá absorver mais qualquer acréscimo de tensão que seja: atingiu o seu limite de resistência por completo.
O valor do momento máximo, chamado momento plástico, deduz-se das condições de equilíbrio. Dado que não existe força axial, o eixo neutro da secção transversal divide-a em duas áreas iguais A/2; a tracção e a
compressão resultantes são iguais e formam um par igual ao momento máximo, o de esgotamento no estado perfeitamente plástico, ou seja:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
y __c __t pl0
,
5
A
f
z
z
M
•
z
__c - Distância ao centro da zona de tracção, relativamente ao eixo neutro. •z
__t - Distância ao centro da zona de compressão, relativamente ao eixo neutro.(Elástica – fibra extrema inferior) (Elastoplástica total) (Plástica – fibra extrema superior)
(Plástica)
Numa secção de dupla simetria, as distâncias __ c
z
e __ tz
são iguais, de tal modo que_
z
A
5
,
0
(com _z
= __ cz
+ __ tz
) é o primeiro momento da área S (em volta do eixo de flexão) e o momento plástico é:Mpl = 2 S fy = Wpl fy
Sendo Wpl = 2S o módulo da secção plástica, em relação ao eixo em causa (reparar que: Wpl = 2S = S/v, sendo v
= h/2 =
_
z
, com v a distância do eixo neutro à fibra mais tensionada – neste caso indiferente se em tracção ou compressão, o que só é verdade em secções simétricas em relação ao eixo que se considera, y no caso).O momento-flector máximo que esta secção, pode suportar sem nunca ultrapassar a tensão de cedência, é:
Mel = Wel fy
• Wel – o módulo da secção elástica em volta do mesmo eixo.
O aumento relativo da resistência que se obtém permitindo a cedência total da secção mede-se pelo factor de forma:
α = Mpl / Mel = Wpl / Wel
Que, por exemplo, é igual a 1,5 numa secção rectangular, a 1,7 numa secção circular maciça, e varia de 1.12 a 1.18 em perfis I, H e U, flexionados em volta do seu eixo principal “yy”.
Figura 4A – Distribuição de tensões na secção em função do tipo de momento flector resistente.
Registe-se que nas secções normalizadas de perfis metálicos (como I, H e U) o aproveitamento total do material em fase plástica (permitir que se atinja o momento plástico), traduz-se num rendimento pouco significativo. Isto
sucede porque a sua grande fatia de resistência está nos banzos, sendo que todas as fibras dos mesmos estão numa tensão próxima da de cedência, dada a sua proximidade da fibra mais externa que se encontra efectivamente nesta tensão máxima admissível, considerando o máximo do regime elástico (σ = fy).
Ao aumentar a carga sobre uma estrutura produz-se cedência em alguns pontos e experimenta deformações elasto-plásticas. Aumentando-se a carga, a estrutura alcança um estado totalmente plástico no qual se forma um número de secções plenamente plásticas, suficiente para transformar a estrutura num sistema plástico isostático. Este sistema colapsa se continuar a ser carregado, transformando-se num mecanismo plástico hipoestático (Figura 5 - c, b e d).
É necessário estudar o mecanismo de colapso e conhecer a magnitude da carga que o ocasiona para determinar o factor de carga em análise. Ou, também, se o factor de carga está especificado, pode-se calcular a estrutura de modo que a carga de colapso seja igual ou superior ao produto do factor de carga pela carga de serviço de referência.
A análise plástica supõe, portanto e antes de mais, a distribuição de tensões plásticas dentro da secção (formação de rótulas plásticas), mas também uma redistribuição do momento-flector suficiente para que se desenvolvam todas as rótulas plásticas necessárias à existência do mecanismo plástico.
Quando se atinge a cedência numa secção, o seu valor efectivo de rigidez à flexão, EI, desce gradualmente (Figura 6). De facto, o módulo efectivo do material fluído é nulo quando se presume um comportamento perfeitamente plástico, para além da cedência, sendo aí o fim da absorção de momento pela rótula plástica.
Figura 6 - Diagrama momento-encurvadura para distintas secções transversais
Figura 7A - Diagrama momento-encurvadura real e simplificado
Uma vez que se produz esta rótula, a estrutura comporta-se, sujeita a carga adicional, como se tivéssemos introduzido uma rótula real na secção plastificada. O aparecimento da primeira rótula plástica na estrutura ocasiona a redução da hiperestaticidade inicial em um grau (cada rótula plástica adicional tem o mesmo efeito).
O colapso produz-se quando se tenham formado as suficientes rótulas plásticas para que a estrutura hiperestática inicial se torne gradualmente menos hiperestática e, finalmente, se converta num mecanismo (hipoestaticidade) (ver exemplo 1).
Numa estrutura hiperestática, em análise plástica, o processo de redistribuição do momento é afectado pelo modo de formação das rótulas, não sendo, por isso, linear.
Figura 7B - Diagrama carga-deslocamento de uma viga contínua segundo a classificação da secção
Para que uma estrutura possa redistribuir tensões dentro da secção e entre as secções (da mesma peça ou de outras peças), não deve ocorrer nenhuma outra forma de falha antes do mecanismo de colapso para que possa chegar à carga limite. Para que se permita a análise plástica devem cumprir-se as seguintes condições:
1. Que o aço tenha uma ductilidade adequada para que possa desenvolver-se a resistência plástica dos perfis (Figura 2-b a 2-e);
2. Os elementos permitam a formação de rótulas plásticas com capacidade de rotação suficiente para permitir a necessária redistribuição de momentos flectores;
3. As secções transversais dos elementos onde se formam as rótulas plásticas tenham a capacidade rotativa suficiente, sem desvio local nem lateral (encurvadura), para permitir a formação do mecanismo de colapso e a correspondente redistribuição de momentos (Figura 7A e 7B). Se necessário procede-se ao contraventamento lateral da zona da rótula;
4. Que a carga da estrutura seja predominantemente estática para que um ciclo curto de fadiga não ocasione um defeito;
5. Nas estruturas de edifícios em que as rotações pretendidas não sejam calculadas, todos os elementos onde se formem rótulas plásticas, devem possuir secções transversais da Classe 1 (e simétricas), na zona de desenvolvimento destas rótulas.
Para se cumprirem estas condições, deve-se colocar condições ao tipo de aço e às proporções das barras e secções transversais.
Actualmente permite-se o cálculo plástico para as classes correntes de aço macio, enquanto que para outras classes se requer uma longitude mínima da parte horizontal do diagrama de cedência e uma relação mínima entre a resistência máxima de tracção e a tensão de cedência (endurecimento por deformação).
As proporções da aba dos banzos e a alma das barras que tenham rótulas plásticas devem sujeitar-se a certos limites, que são mais restritos para aços de classe superior. Como a cedência reduz muito a rigidez, as barras que tenham rótulas plásticas são especialmente propensas a serem instáveis. Portanto, o limite de esbelteza de tais elementos estruturais é muito restrito e obriga a contraventá-los lateralmente, sobretudo onde existem as rótulas plásticas.
O descrito anteriormente supõe que a resistência à rotura por flexão de um perfil se define somente pelo seu momento plástico. Sem obstáculo, a carga axial e a forma de o corte também tem um efeito interactivo.
Numa estrutura submetida a cargas específicas cuja magnitude aumenta até à rotura, a sequência da formação de rótulas é fixa. Não obstante, factores tais como imperfeições iniciais, assentamentos, variação da resistência do material das barras, tensões residuais, efeitos térmicos, etc., podem mudar a sequência, mas normalmente não o bastante para afectar significativamente a carga de colapso plástico.
Este tipo de análise plástica baseia-se no comportamento não linear do material, incluindo a admissão que os efeitos de segunda ordem são desprezáveis. Estes métodos de análise valem-se dos teoremas fundamentais do cálculo plástico, que desprezam as curvas elásticas relativamente às plásticas, e concentram as deformações plásticas onde existem rótulas plásticas. Os seus métodos são portanto rígido-plásticos (Figura 2-d).
Outros métodos dependem menos de idealizações tão rígidas e simples, sendo mais realistas relativamente às curvaturas e deformações causadas pela relação tensão-deformação do material. Estes últimos métodos chamam-se elastoplásticos e distinguem-chamam-se do método elástico e perfeitamente plástico (ou rigido-plástico), caracterizando-se:
a) Por uma parte inclinada (fase elástica) e outra horizontal (fase completamente plástica) da curva de cedência infinita (Figura 2-b);
b) Por uma parte inclinada (fase elástica) e outra de leve pendente da zona de cedência (fase elásto-plástica, com endurecimento) (Figura 2-c);
c) Por uma parte inclinada (fase elástica), uma horizontal (fase completamente plástica) e outra caracterizada por um campo de deformação-endurecimento que se segue a esta parte horizontal da curva de longitude limitada (fase elásto-plástica com endurecimento) (Figura 2-e).
Assim, podem-se adoptar relações ainda mais precisas, como o caso de refinados programas de elementos finitos que actualmente permitem prolongar a cedência e valer-se do conceito de zonas plásticas em vez de rótulas plásticas. d d 10 000 y d E = = d d f y f d E = E f y = E d d = infinito 0 d E d = = d d = E = 0
Elásto-plástico
Elasto-perfeitamente plástico
Rígido-plástico
Relação bilinear tensões-deformações
fy ε σ tg =α ddσε= E α
Relação bilinear tensões-deformações alternativa
fy ε σ tg =α d dσε= E α β tg =β ddσε=10 000E
De uma forma condensada, e no que à análise plástica diz respeito, podemos então dizer sumariamente:
a) Na análise rígido-plástica desprezam-se as deformações elásticas dos materiais, surgindo apenas um claro comportamento plástico a partir da tensão de cedência (ou momento plástico);
b) Na análise elasto-perfeitamente plástica admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ou tensão de cedência), tornando-se a seguir perfeitamente plástica;
c) Na análise elasto-plástica admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ou tensão de cedência), tomando a seguir um comportamento com endurecimento (elasto-plástico).
A análise plástica de segunda ordem (análise não linear material) requer geralmente trabalhar com programas informáticos poderosos, que necessitam de cuidado e experiente acompanhamento (assente na correcta entrada de dados e na criteriosa apreciação de resultados – finais mas também processuais).
Convém destacar, uma vez mais, que por ser a análise plástica essencialmente não linear, o princípio da sobreposição não é aplicável.
Consolidemos com o exemplo seguinte os conceitos apresentados.
Considere-se que numa estrutura porticada simples (figura 9) o momento plástico (Mpl) é igual para as secções
de vigas e pilares (com valor de 300 KN.m) pelo que as rótulas se podem formar tanto nas vigas como nos pilares.
1. Assim, suponhamos que num 1.º carregamento (com carga uniformemente distribuída na viga de valor
q) se atinge a 1.ª rótula plástica no vértice entre o topo do pilar da esquerda e o extremo da viga desse
lado: Fase I, que corresponde à figura 9-a). A partir deste momento esta secção não poderá absorver mais momento flector, pelo que o efeito de qualquer carga terá que ser absorvido pelas restantes secções da estrutura;
2. Continuemos o carregamento com um incremento de carga Δq1, que provoca o acréscimo de momentos
flectores ao longo da estrutura, conforme figura 9-b). Então, ao diagrama anterior (Fase I, provocada por q) temos que somar a acção desta nova solicitação (Δq1), para actualizar o diagrama de esforços:
estamos no final da Fase II, figura 9-c;
3. Continuemos, de novo, o carregamento com um incremento de carga Δq2, que provoca o acréscimo de
momentos flectores ao longo da estrutura, conforme figura 9-d. Então, ao diagrama anterior (Fase II, provocada por q+Δq1) temos que somar a acção desta nova solicitação (Δq2), para actualizar o
diagrama de esforços: estamos no final da Fase III, figura 9-e;
4. A novidade é que com a Fase III se formou um mecanismo na viga, pelo que não poderá esta estrutura continuar a ser carregada: está atingido o seu limite de carregamento, que é q+Δq1+Δq2.
300 300
+
100 125 150 100q
150=
25 150 150 150q
a)
b)
c)
1 50+
q
q
1 250 2q
25=
+
300 125 300 300 125 2q
q
+
+
q
1 300 300 300 125 300 300 125 300 125 300 300 125 300 250 1q
q
+
300d)
e)
Figura 9 – Passos de uma análise material não linear simples (rígido-plástica).
O que se pretendeu foi mostrar e explicar, passo a passo, o processo incremental de aplicação de carga e respectiva formação de rótulas plásticas. O exercício foi simples, mas pode-se generalizar a qualquer situação, independentemente da sua complexidade ou número de barras.
Em situações práticas correntes não é habitual existir uma igualdade, ou proximidade, entre as secções de vigas e pilares, sendo que o funcionamento das estruturas porticadas ocorre mais próximo da ilustração caricatural (propositadamente exacerbada) explicitada na figura 10.
R R q M M q R R
Viga com grande rigidez face aos pilares: m ais perto
do sim plesmente apoiado. Viga com pequena rigidez
face aos pilares: m ais perto do encastram ento.
Figura 10 – Funcionamento de estruturas em função das suas dimensões relativas.
Nestes dois exemplos, os esforços transversos são iguais, mas os momentos maiores são negativos nas vigas com grandes encastramentos e os positivos quando as vigas funcionam como simplesmente apoiadas.
Considerando que os esforços vão sempre para as zonas mais rígidas das estruturas e que as rótulas, na situação ideal, dever-se-ão formar nas vigas, estas deviam possuir rigidez inferior há dos pilares: pois que de outro modo os mecanismos se formam, preferencialmente nestes últimos, podendo levar ao colapso global da estrutura (pelo contrário, se as rótulas se formarem nas vigas, estas ficam isostáticas, ou mesmo que formem um mecanismo o colapso é meramente local).
Infelizmente, nota-se que nas estruturas vulgares as vigas têm normalmente dimensões maiores do que os pilares (dimensionadas com preocupação nas cargas gravíticas: carga permanente e sobrecarga), o que faz com que as rótulas se formem nos pilares. Assim, e para se conseguir este objectivo (rótulas nas vigas), estas tem de ter uma rigidez menor do que a dos pilares.
1.2.2.1. Momento plástico de uma rótula plástica
A formação de uma rótula plástica consiste na plastificação das fibras longitudinais de um elemento à flexão, a partir dos pontos mais afastados do eixo neutro até à plastificação completa da secção.
Em materiais dúcteis, como o aço macio utilizado nas estruturas metálicas correntes, o processo de formação de rótula plástica inclui uma fase elástica, uma fase elasto – plástica e uma fase correspondente à plastificação
planas, as extensões mantêm-se proporcionais à distância ao eixo neutro, e como tal, nas fases elasto-plástica e plástica deixa de haver proporcionalidade entre tensões e extensões.
c c b M e.n. h = c = - c < -< c = -c = = - c = c Compressão Tensão
Fase elástica Fase elásto-plastica Fase plástica (M= Melastico) (Melastico< M< Mplastico) (M= Mplastico)
Figura 10A – Formação de uma rótula plástica
O processo de plastificação de uma secção é um processo gradual que, teoricamente, só fica completo para uma curvatura infinita da peça. No entanto, quando a altura da zona elástica (junto ao eixo neutro) é pequena pode-se admitir que a secção se encontra totalmente plastificada. O processo de formação de uma rótula plástica é ilustrado na figura 10B.
Numa secção submetida a flexão, a fase elasto - plástica pode ser quantificada através da relação entre o momento plástico e o momento elástico, a qual se designa por factor de forma.
Este parâmetro assume valores reduzidos em secções adequadas à flexão (≈ 1.15 em perfis em “I” e ≈ 1.5 em secções rectangulares). Em aplicações práticas, em secções com um factor de forma baixo (como as secções em I) pode admitir-se que a formação de uma rótula plástica é instantânea, pois com a plastificação dos banzos atinge-se praticamente o momento de cedência (momento plástico da secção).
M M p M e e M E I 1 p
Figura 10B – Processo de formação de uma rótula plástica
No cálculo do momento plástico de uma secção (admitindo tensões de cedência à tracção e à compressão idênticas como acontece com o aço) o eixo neutro em regime plástico só é baricentrico se a secção for de simetria, como acontece com secções rectangulares, secções em I de banzos iguais, etc..
No caso de secções não simétricas, como a secção em T, há uma migração do eixo neutro de forma a dividir a secção em áreas iguais.
Considerando os diagramas de tensões normais representados na figura 10C, o momento plástico de uma secção em I de banzos iguais é dado por:
f
W
f
f
M
p yd
S
y pl yA
.
.
.
2
.
.
2
.
2
=
=
=
A - área da secçãofy - tensão de cedência do material
d - distância entre o centro de gravidade de meia secção e o eixo neutro Wpl - módulo plástico de flexão, igual a 2 vezes o momento elástico de meia
eixo de acção
G
f
ye. n. elástico
e. n. elástico
yf
f
y yf
F
c tF
d
d
eixo de acção G c A t A e. n. elástico fy c F t F y f dc dt e. n. elástico fyFigura 10C – Momento elástico e momento plástico de secções
O momento plástico de uma secção em T é dado por:
(
S
S
)
f
W
f
d
f
A
d
f
A
M
p = c . y . c + t . y . 1 = y . c + t = y . plAc - área comprimida da secção
At -área traccionada da secção
fy - tensão de cedência do material
dc - distância entre o centro de gravidade da área comprimida e o eixo neutro
dt - distância entre o centro de gravidade da área traccionada e o eixo neutro
Wpl - o módulo plástico de flexão, igual à soma dos momentos estáticos das áreas Ac e At em
Zona plástica na rotura
Q L 2 L2 Mel.Rd pl.Rd M + ΔL curvatura zona plástica rótula plástica Q 2 u Q 2 u Qu - Carga últimaFigura 10D - Zona plástica na rotura
1.2.2.2. Teoremas fundamentais da análise plástica
A análise plástica de estruturas submetidas fundamentalmente a esforços de flexão pressupõe a verificação de requisitos fundamentais como:
¾ Materiais com comportamento dúctil;
¾ Secções suficientemente compactas (preferencialmente secções de classe 1 segundo o EC3) e devidamente contraventadas lateralmente.
Os métodos de análise plástica de estruturas baseiam-se essencialmente nos seguintes teoremas fundamentais:
Se para uma dada carga é possível encontrar uma distribuição de momentos estaticamente admissível e satisfazendo as condições de cedência (momento actuante menor que o momento plástico), então essa carga é menor ou igual que a carga de colapso.
Teorema do limite superior
Se para um dado mecanismo, o trabalho das forças exteriores é igual ao trabalho desenvolvido na formação das rótulas plásticas, então a carga correspondente às forças exteriores é maior ou igual que a carga de colapso.
Teorema da unicidade
Se para uma determinada carga são verificadas todas as condições anteriores (Teoremas do limite inferior e do limite superior), então essa é a carga de colapso.
1.3. Métodos de Análise Geométrica Global de Estruturas
A determinação de deslocamentos e esforços nas estruturas metálicas depende do tipo de análise efectuado, nomeadamente se de 1.ª ou 2.ª ordem no que à alteração de geometria e rigidez concerne. De qualquer modo, independente do tipo de análise, os parâmetros principais a considerar são:
1. Características físicas de deformabilidade ou de rigidez;
2. Tipo de grandeza das cargas ou deformações impostas (como variações de temperatura e assentamentos de apoio);
3. Estabilidade global da estrutura, das suas peças, secções e ligações; 4. Resistência das secções transversais e ligações;
5. Tipo e grandeza das imperfeições.
1.3.1. Análise Global de Primeira Ordem
Na análise de primeira ordem, somente é usada a geometria inicial da estrutura e são desprezadas as deformações causadas pelo processo de carregamento, por serem pequenas e porque os deslocamentos resultantes pouco afectam a geometria da estrutura, pouco variando as forças que actuam nas barras.
As tensões resultantes e os componentes de reacção podem-se determinar segundo os métodos gerais. Tradicionalmente, o primeiro é o método da flexibilidade (ou das forças), no qual se libertam forças para que a estrutura seja isostática, sendo as incógnitas, os esforços. Estes determinam-se partindo do princípio que a estrutura libertada experimenta deformações irregulares que se corrigem aplicando as forças adicionais necessárias.
A segunda formulação é a da rigidez (ou dos deslocamentos), na qual se restringe a deformação para impedir a rotação das ligações, determinando-se as forças necessárias para originar a restrição. Então permite-se que se produzam deformações nas ligações até que tenham desaparecido as restrições fictícias. Uma vez que se conhecem as deformações, determinam-se os esforços presentes na estrutura por sobreposição dos efeitos das deformações separadas.
A estrutura pode ser analisada pelo método das forças ou dos deslocamentos. A utilização do método das forças apoia-se em determinar as forças necessárias para restaurar a regularidade de geometria. A análise consiste em usar várias equações simultaneamente, tantas quanto as forças desconhecidas, que são as que se devem libertar para tornar a estrutura isostática.
No método dos deslocamentos as incógnitas são as possíveis deformações e rotações das ligações. O número de forças de restrição que se acrescentam à estrutura é igual ao número de deformações possível das ligações e, igualmente, a análise faz-se usando um sistema de equações.
A análise de primeira ordem pode ser usada, por exemplo, para uma análise global nos casos em que a estrutura não tem mobilidade horizontal expressiva, está devidamente contraventada (impedida de deslocamentos laterais, figura 11), ou se os métodos de cálculo prevêem indirectamente os efeitos de segunda ordem, dispensando uma metodologia teoricamente rigorosa (que normalmente obriga a um processo incremental e iterativo, provavelmente mais delicado de controlar e mais moroso).
Resumindo, a análise de primeira ordem usa a geometria inicial da estrutura e pode ser utilizada nos casos de estruturas reticuladas contraventadas, reticuladas não contraventadas sem deslocamentos laterais com significado (nós fixos) e também em métodos de cálculo nos quais os efeitos de segunda ordem sejam considerados indirectamente.
Figura 11A – Pórtico contraventado e sem deslocamento laterais e pórtico não contraventado e com deslocamento s laterais.
1.3.2. Análise Global de Segunda Ordem
A análise de segunda ordem tem em conta a influência da deformação da estrutura e, por isso, deve fazer-se referência à geometria deformada em carga, podendo ser utilizada para análise global em todos os casos
incluindo estruturas reticuladas com deslocamentos laterais. Neste caso, os esforços internos dependem da configuração deformada da estrutura, obtida pela divisão da carga total em parcelas, actualizando a geometria da estrutura de cada vez que cada incremento de carga é aplicado.
Conforme figura abaixo, temos dois tipos base de deformação em estruturas: (i) um do tipo global, em que se contabiliza o deslocamento geral da estrutura, designado por efeito “P-Δ” (ou “P BIG” delta na figura); (ii) outro que tem em consideração a deformada ao nível dos elementos, sobretudo pilares comprimidos, designado por efeito “P-δ” (ou “P little” delta na figura). “P” aqui significa o esforço axial de compressão.
Figura 11B – Pórtico com efeito “P-Δ” e pilares com efeito “P-δ”.
De uma forma preliminar, estamos em condições de afirmar que com a análise não linear geométrica se pretende aferir e determinar o agravamento nas deformações e, consequentemente, nos esforços que uma estrutura sofre ao longo do seu processo de carregamento. Quer sejam esses acréscimos nos esforços resultado directo das novas e sucessivas excentricidades criadas pelos movimentos próprios da estrutura em deformação ou pela alteração da rigidez gerada pelo significativo valor que as forças internas venham a assumir, estamos, em qualquer dos casos, perante fenómenos que podemos considerar de efeitos de segunda ordem ou de não linearidade geométrica.
Na verdade, a análise de segunda ordem (ou não linear geométrica) não contabiliza apenas as alterações geométricas da estrutura, atendendo à sua deformação provocada pelas cargas, mas também a perda de rigidez significativa que afecta as peças comprimida, sobretudo (como semelhança temos a carga crítica de Euler, em que uma coluna vertical rectilínea sujeita apenas a uma carga de compressão centrada, instabiliza, por perda de rigidez/equilíbrio, a partir de um determinado valor dessa acção).
Quando for necessário contar com os efeitos de segunda ordem (não linearlidade geométrica), aplicar-se-á uma análise não linear apoiada em cálculos interactivos. Como neste caso não é permitido o princípio da sobreposição, deve recorrer-se a uma distribuição de cargas específica, que se incrementa por passos mediante um factor de carga (Figura 12).
Quase todos os regulamentos e normas permitem tratar a determinação dos esforços das barras nas estruturas de geometria regular de forma directa (um único cálculo), mediante análises elástica que se amplia, se necessário, para incluir efeitos da instabilidade. Este procedimento parece incompatível com o rigor técnico, ao não ser aplicável o principio da sobreposição, porém oferece aos projectistas a possibilidade de se socorrerem de programas correntes de análise de pórticos, ou seja, elásticos (linear geométrico) e lineares (linear material, propriamente dito), que poderão servir pelo menos no ante-projecto.
Em termos materiais o comportamento pode ou não manter-se linear, variando ou não as suas grandezas físicas ao longo se todo o processo de cálculo (módulos de elasticidade longitudinal, coeficiente de Poisson, etc.). No caso de uma análise conjunta não linear geométrica e material o cálculo torna-se pesado, moroso e exige programas computacionais elaborados.
Figura 12 - Exemplo da análise de segunda ordem
Vários factores concorrem para o desenvolvimento destes comportamentos não lineares e pela sua maior participação no fenómeno destacam-se:
• Geometria global da estrutura, dos seus elementos e das suas secções; • Condições de apoio (ligações ao exterior);
• Condições de continuidade dos elementos (ligações interiores); • Propriedades dos materiais.
O caso normal é aquele que ocorre na generalidade das estruturas construídas, em que a solicitação a que estão sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento moderado da sua deformação que, podendo ser mais ou menos acentuada, nunca deve atingir valores que comprometam a sua utilização. Queremos com isto dizer que, muito embora não se mantenha linear a relação entre cargas e deslocamentos, existirá sempre entre estes uma
Nestes casos nunca se chega a atingir uma situação de instabilidade estrutural sem cedência significativa dos materiais constituintes.
Uma forma de constituir uma análise não linear geométrica é por adição à matriz de rigidez linear de uma outra matriz designada, habitualmente, de matriz de rigidez geométrica ou, simplesmente, matriz geométrica. Sendo este conjunto nomeado por matriz tangente e tendo a sua equação formal elementar a seguinte aparência:
[KT] {U} = ([KL] + [KG] ) {U} = {P}
Sendo: [KT] – Matriz de rigidez tangente ou, simplesmente, matriz de rigidez.
[KL] – Matriz de rigidez linear ou, simplesmente, matriz linear.
[KG] – Matriz de rigidez geométrica ou, simplesmente, matriz geométrica.
{P} – Vector das cargas totais.
{U} – Vector dos deslocamentos nodais (totais), devidos a {P}.
Esta matriz geométrica pode ser complementada por outras matrizes do mesmo género ou terceiras acessórias, deduzidas para cada formulação.
Figura 13 - Curva carga-deslocamento num caso normal.
O uso da matriz geométrica tem duas capitais e distintas vantagens sobre as funções de estabilidade (que são factores que se multiplicam directamente pelos termos da matriz de rigidez linear):
1. Um significado físico mais perceptível, porquanto se demarca da matriz de rigidez linear a função de produzir os efeitos de 2ª ordem;
2. A exclusividade no cálculo de cargas críticas e modos de instabilidade associados.
A solução da formulação acima apresentada, passa pela associação de dois procedimentos: incrementos parciais de carga total seguidos de processo iterativo que equilibre a parte da carga aplicada com os correspondentes correctos deslocamentos. De facto, se a relação entre cargas e deslocamentos fosse sempre linear, bastaria aplicar a carga total e obter os correspondentes deslocamentos finais, de forma directa.
Contudo, dado não existir linearidade entre estas duas grandezas, conforme a figura 13, é necessário acompanhar o trajecto da curva que relaciona as forças com os deslocamentos, o que só é possível por tentativas que se vão aproximando dessa curva por diminuição do erro entre passos sucessivos.
Em termos meramente ilustrativos podemos visualizar um tipo de procedimento faseado na figura 14 (designado por método do controlo de deslocamento).
Figura 14 - Diagrama carga-deslocamento para o método do controlo de deslocamento.
Podemos dividir e definir as técnicas utilizadas frequentemente em dois grandes grupos:
1) Técnicas incrementais - baseiam-se na descrição do comportamento da estrutura através do somatório de cálculos linearizados, correspondentes à utilização da matriz de rigidez tangente, para incrementos de carga ou de deslocamento tão pequenos quanto se queira. Daí que o carregamento total é dividido num número previamente fixado ou que se vai estabelecendo em função do comportamento do processo de incrementos de carga, sendo para cada um deles efectuado um cálculo linear. Trata-se, pois, de substituir um comportamento não linear através de uma aproximação efectuada por um somatório de cálculos a elasticidade constante, com base na matriz tangente obtida no final do cálculo anterior;
2) Técnicas iterativas – pretendem, sempre, o estabelecimento do equilíbrio entre cargas aplicadas e deslocamentos correntes, ou seja: a correspondência entre forças e deformações. Pode tal proporção ser atingida de harmonia, ou não, com o relativo estado de tensão estabilizado. Quer isto dizer que esse equilíbrio pode ser fundamentado em equações que regem o sistema sem preocupações na sua trajectória
de evolução, ou, pelo contrário, com base em formulações mais completas e sensíveis às diversas mudanças das suas variáveis de estado, tanto geométricas como materiais.
Resumindo, a análise de segunda ordem serve para todos os casos sem restrição, pode ser usada para uma análise global indiscriminadamente.
1.4. Cargas Críticas
Outro conceito importante, em termos da verificação da segurança de uma estrutura, é sabermos até que ponto estamos próximos do seu colapso, comparativamente ao carregamento a que estamos a sujeitar, ou seja a carga para além da qual a estrutura colapsa.
Assim, carga crítica de uma estrutura corresponde ao último valor, de uma qualquer forma de carregamento, para o qual ainda é possível o equilíbrio, ou seja: qualquer que fosse o acréscimo infinitesimal de carga somado a esse presente estado de tensão a estrutura perderia, globalmente, o seu equilíbrio, entrando em colapso.
Daqui se depreende que essa carga corresponde a um equilíbrio indiferente, situação da qual a estrutura já não regressará mesmo que seja retirada a totalidade da carga aplicada, ou seja, à remoção da perturbação não corresponde o regresso ao estado inicial.
A este fenómeno corresponde, intrinsecamente, uma deformada dessa estrutura associada ao nível de energia que conduziu a esse estado, designando-se esta por modo de encurvadura.
Em termos matemáticos, o estudo destes fenómenos está ligado à busca dos valores e vectores próprios da estrutura que se relacionam, directamente, com a matriz geométrica3. A sua determinação e a da configuração de
instabilidade correspondente podem, pois, ser obtidas a partir de um modelo que inclua os efeitos de 2ª ordem, bastando adaptar as equações e equilíbrio que lhe servem de base, com vista a conseguir-se traduzir a situação de equilíbrio indiferente pretendida.
Muito embora se possam obter tantos valores e vectores próprios quantos os números de graus de liberdade do sistema estrutural, em termos práticos só os mais baixos (ou mesmo somente o mais baixo) tem interesse determinar, já que são os que correspondem à menor energia necessária para conduzir a estrutura à perda generalizada de equilíbrio.
Admitindo um qualquer carregamento que se pretende estudar, vai procurar-se um factor de carga λc que,
multiplicado por essa solicitação inicial, traduzirá a carga crítica da estrutura e que corresponde ao valor próprio mais baixo. Quanto mais baixo for este valor (próximo de 1), mais risco tem a estrutura de colapso.
λ = Pc / P
Pc – carga crítica.
P – carga usada na estrutura.
Ou seja: vamos aferir um parâmetro de carga λc, pelo qual se devem multiplicar as acções aplicadas no sistema
em análise, de forma a não ser possível encontrar uma solução única de equilíbrio4.
Em termos muito grosseiros, e formalmente errados, mas com vista a simplificar uma visualização inicial do conceito, o que se pretende é conhecer a quebra de rigidez da estrutura (da matriz de rigidez linear clássica KL)
quando sofre um aumento de estado de tensão de compressão que a conduz à instabilidade (redução da matriz KL pela matriz de rigidez não linear ou geométrica KNL = KG). Se λ for o factor por que temos que multiplicar a
KG para anular KL esse será o parâmetro de carga crítica:
K = KL - λ KG
Em termos matemáticos correctos, como a matriz geométrica é proporcional às forças internas existentes na estrutura:
[ [KL] + λc [KG] ] {u} = λc {f}
Deste modo, e uma vez que essa matriz depende linearmente dos valores dos esforços instalados em cada uma das barra da estrutura, uma situação de equilíbrio indiferente será expressa segundo o método dos deslocamentos por:
[ [KL] + λc [KG] ] {u} = 0
Soluções não nulas desta equação poderão ser obtidas se:
det ( [ [KL] + λc [KG] ) = 0
Como se disse, por esta via encontra-se um problema clássico de determinação de valores e vectores próprios associados a [KL] e [KG]. Sendo de salientar que a resolução desta equação terá de ser feita, em geral, por
métodos iterativos, pois consiste na obtenção das raízes de um polinómio de grau igual ao das dimensões das matrizes [KL] e [KG].
4 Dado o equilíbrio ser indiferente, existem, consequentemente, tantas formas de equilíbrio quantos os graus de
liberdade do sistema. Numa situação de equilíbrio estável, que corresponde a todos os instantes imediatamente antes deste, só é possível uma única configuração de equilíbrio (que não é mais que a deformada proporcional da
Como só se conhecem métodos para o cálculo das raízes de um polinómio se o grau for igual ou inferior a quatro, a solução do problema terá que ser obtida recorrendo a processos iterativos.
Convém aqui recordar as condições e hipóteses a que está sujeita, em geral, a análise:
1. Admite-se que o sistema de barras carece de qualquer imperfeição geométrica, muito embora a geometria possa ser actualizada em resultado dos sucessivos cálculos de deslocamentos efectuados;
2. Durante todo o processo supõe-se que o comportamento material é contínuo, homogéneo, isotrópico e perfeitamente elástico e linear;
3. Não se considera a possibilidade de encurvadura nas barras por flexão ou torção;
4. Todas as barras encurvam simultaneamente.
Esta última hipótese não exclui, completamente, uma possibilidade de encurvadura local, muito embora, se tal suceder, não poderá conduzir ao colapso da estrutura. Isto é fácil de aceitar, já que de outro modo essa ocorrência deveria ser detectada, directamente, pela análise.
Em geral as estruturas correntes afastam-se de situações perto do colapso global e, por conseguinte, total. Contudo, alguns dos processos de deformação não linear que uma estrutura pode sofrer podem conduzir a instabilidade, desde que em qualquer momento possa existir uma perda de equilíbrio.
O caso mais frequente na generalidade das estruturas construídas é que a solicitação a que estão sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento da deformação, sem que tal situação alguma vez atinja valores exagerados.
Neste caso, a curva de carga crítica é sempre decrescente, ou seja: conforme o nível de
Se esta curva interceptar a da análise não linear, esse ponto corresponderá a um valor unitário para o factor de carga crítica, pelo que o nível de carga até este ponto aplicado bastará para conduzir a estrutura ao colapso geométrico, devendo ser esta reequacionada.
O EC3 estabelece condições sob as quais o perigo de uma instabilidade global não poderá ocorrer, assunto que será adiante tratado, sendo também esta problemática das cargas críticas uma forma do estudo da própria mobilidade da estrutura (de nós fixos ou móveis, que o mesmo é dizer com deslocamentos horizontais desprezáveis ou não).
Figura 15 - Curva carga-deslocamento e cargas críticas num caso normal.
1.5. Comentários adicionais
Deve observar-se que as hipóteses feitas na análise global devem conciliar-se com a conduta prevista nas ligações. Os pressupostos feitos no cálculo das barras também devem coincidir com o método da análise global (ou serem moderadas relativamente a este) e a conduta prevista das ligações.
Os códigos e normas em vigor exigem que a análise global preveja a influência das tensões residuais e imperfeições geométricas, como a falta de verticalidade, falta de rectidão, falta de ajustamento e as pequenas excentricidades inevitáveis que existem nas ligações reais.
Podem aplicar-se imperfeições geométricas apropriadas com valores que mostrem todos os tipos de imperfeição, como adiante se explicitará.
1.6. Resumo das análises global geométrica e material
Numa breve súmula dos conceitos apresentados podemos sintetizar:
1. Os esforços numa estrutura determinam-se através de uma análise global elástica ou plástica, quanto ao estudo material, e de 1ª ou 2ª ordem, quanto ao estudo geométrico. Por outras linguagens mas com o mesmo significado:
Pode ser feita uma análise de 1ª ou 2ª ordem, tanto para a análise geométrica como material (1.ª ordem = elástica; 2ª ordem = plástica);
Pode ser feita uma análise de linear (1ª ordem) ou não linear (2ª ordem), tanto para a análise geométrica como material;
2. A análise global somente se pode fazer segundo a análise de primeira ordem utilizando a geometria inicial da estrutura, nas seguintes condições:
2.1. A estrutura é contraventada (EC3 – 4.4.3);
2.2. A estrutura é pouco sensível aos efeitos de 2ª ordem, ou seja, é rígida ao deslocamento horizontal (também designada de nós fixos ou “non sway”) (EC3 – 4.4.2);
D Curva da Cargas Críticas
