Esta se¸c˜ao ´e baseada no primeiro artigo publicado para a composi¸c˜ao deste trabalho, [46]. O princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi (3.1) em mecˆanica cl´assica estabelece que as dinˆamicas de um dado sistema podem ser vistas como um movimento geod´esico associado a uma variedade riemanniana.
Em (3.2.23) vimos a forma da lagrangeana de um sistema com grau de liberdade N. As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange desta lagrangeana podem ser escritas da forma
¨
qα+ Γα
βγ˙qβ˙qγ = −gαβ∂βV (q), (4.6.102)
onde Γα
βγ ´e a conex˜ao de Levi-Civita para a m´etrica gαβ. A hamiltoniana de (3.2.23) ´e descrita
por
H(q, p) = 1
2g
αβ(q)p
onde pα = gαβ˙qβ. Para uma energia fixa E, as trajet´orias no espa¸co de fase 2N−dimensional
(qα; p
β) est˜ao inteiramente contidas na hipersuperf´ıcie E =
1
2gαβ(q)pαpβ+ V (q). Seja
DE = {q ∈ M : V (q) ≤ E} (4.6.104)
a regi˜ao onde ficam as trajet´orias no espa¸co, onde, se houver, o bordo pode ser escrito da forma:
∂DE = {q ∈ M : V (q) = E}. (4.6.105)
Veja que nenhuma caracter´ıstica topol´ogica ´e atribu´ıda ao bordo. Se o potencial n˜ao tem pontos cr´ıticos no bordo, com V 6= 0, ent˜ao ∂D ´e uma subvariedade de M de dimens˜ao N − 1. Se a trajet´oria alcan¸ca o bordo ∂D em um ponto q0 sua velocidade se anula neste ponto e a
trajet´oria se aproxima ou se afasta de q0 perpendicularmente ao bordo. Em particular, n˜ao h´a
trajet´oria que perten¸ca ao bordo.
As equa¸c˜oes de movimento dadas em (4.6.102) s˜ao equivalentes `as geod´esicas da geometria riemanniana sobre M definida pela m´etrica de Jacobi:
ˆgαβ(q) = 2(E − V (q))gαβ(q), (4.6.106)
cujas equa¸c˜oes geod´esicas s˜ao dadas por: b ∇uu = d2qα ds2 + bΓ α βγ dqβ ds dqγ ds = 0 (4.6.107) onde u = dq α
ds ´e o vetor tangente ao longo da geod´esica e b∇ e bΓ α
βγ s˜ao respectivamente a derivada
covariante e a conex˜ao de Levi-Civita da m´etrica ˆgαβ e o parˆametro s se relaciona com t da
seguinte forma:
ds
dt = 2(E − V (q)). (4.6.108)
Campos escalares n˜ao minimamente acoplados s˜ao muito comuns em cosmologia. Em par- ticular, eles tˆem sido muito utilizados na descri¸c˜ao de quintessˆencia. A a¸c˜ao a seguir ´e uma forma generalizada da a¸c˜ao desenvolvida em (4.1.1).
Seja φα um campo de escalares onde os valores s˜ao tomados sobre um espa¸co riemanniano
S =
Z
d4x√−g(F (φ)R − gijGαβ(φ)∂
iφα∂jφβ− 2V (φ)), (4.6.109)
onde os ´ındices gregos superiores pertencem a {1, · · · , N }, N a dimens˜ao do espa¸co; os ´ındices embaixo v˜ao de 1 a 4, onde 4 ´e a dimens˜ao do espa¸co-tempo e gij sua m´etrica; R ´e a curvatura
escalar. Para R = Ra
a, obtivemos R = 6 ˙H + 12H2, com H =
˙a
a. A integra¸c˜ao por partes da
a¸c˜ao (4.6.109) nos d´a o seguinte lagrangiano
L(a, ˙a, φα, ˙φα) = a3(−6H2F − 6H ˙φα∂αF + Gαβ(φ) ˙φα˙φβ− 2V (φ)), (4.6.110)
onde o sistema possui N + 1 configura¸c˜oes de (a, φα) cuja a m´etrica lorentziana ´e dada da
seguinte forma: GAB(a, φα) = −6aF | −3a2∂βF − − − − −− −|− − − − − −− −3a2∂βF | a3Gαβ . (4.6.111)
Pela m´etrica acima, temos que a lagrangeana pode ser obtida por
L(φA, ˙φA) = GAB(φ) ˙φA˙φB− 2Vef f(φA), (4.6.112)
onde A ∈ {0, . . . , N}, ˙φA = (a, φα) e V
ef f(φA) = a3V (φα), similar `a lagrangeana dada em
(3.2.23), portanto, det GAB 6= 0.
Considerando o princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi temos que todas as solu¸c˜oes de Euler- Lagrange de (4.6.109), s˜ao tamb´em solu¸c˜oes de Euler-Lagrange de (4.6.110), o contr´ario n˜ao ocorre. Desta forma, as solu¸c˜oes de (4.6.109) correspondem ao um subconjunto de solu¸c˜oes de (4.6.110) que podem ser obtidas atrav´es da hamiltoniana associada a ela dada por:
H(φA, πA) = GABπAπB+ 2Vef f(φ) =
= a3(−6H2F − 6H ˙φα∂αF + Gαβ(φ) ˙φα ˙φβ+ 2V (φ)), (4.6.113) que ´e constante. Tome H(φA, πA) = E, as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de (4.6.109) implica
que E = 0. Este caso, que ´e chamado de energia restrita, est´a de acordo com as solu¸c˜oes que se esperam das dinˆamicas de (4.6.110).
Verificaremos agora como se apresenta a m´etrica atrav´es das energias restritas de acordo com V . Para V = 0, as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de (4.6.109) s˜ao dadas pelas geod´esicas de (4.6.111), logo
GAB = −2a3V (φ), (4.6.114)
ondes as geod´esicas s˜ao do tipo nulo. Para V < 0 introduzimos a m´etrica b
GAB = 2V GAB, (4.6.115)
e obtemos as mesmas conclus˜oes ao se repetir os mesmos procedimentos utilizados para o princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi cl´assico e vemos que as geod´esicas s˜ao tipo-espa¸co. Para V > 0, introduzimos a m´etrica
b
GAB = −2V GAB, (4.6.116)
tamb´em repetindo os mesmos argumentos anteriores, temos que as geod´esicas s˜ao tipo-tempo, por´em a m´etrica (4.6.111) n˜ao ´e definida positiva, n˜ao podendo assim se obter da energia restrita uma regi˜ao dinamicamente admiss´ıvel D do espa¸co configurado. Pela assinatura lorentziana da m´etrica (4.6.111) a regi˜ao D n˜ao ter´a bordo ou fronteira.
O esquema abaixo apresenta um resumo das m´etricas para as geod´esicas do modelo cos- mol´ogico dado pela a¸c˜ao (4.6.109)
b GAB = GAB, se V = 0 2|V |GAB, se V 6= 0 , (4.6.117) com GAB dado em (4.6.111).
Uma primeira constata¸c˜ao ´e que modelos cosmol´ogicos do tipo de (4.6.109) correspondem a equa¸c˜oes geod´esicas da m´etrica lorentziana dada em (4.6.117) podendo assim se obter in- forma¸c˜oes sobre as dinˆamicas cosmol´ogicas da geometria associada `a m´etrica como levantadas nas se¸c˜oes anteriores deste cap´ıtulo. O estudo das singularidades dinˆamicas podem tamb´em direcionar tais pesquisas no intuito de saber o que evitar se este for o objetivo da pesquisa. A hip´otese de que det GAB 6= 0 neste trabalho tem o objetivo de evitar tais singularidades. Para
N = 1 e Gαβ = 1, teremos det GAB = −6a4(F (φ) + 3 2(F 0 (φ))2) (4.6.118)
e encontrar uma raiz da equa¸c˜ao acima ´e encontrar alguma inevit´avel singularidade, podendo assim, fornecer modelos cosmol´ogicos n˜ao f´ısicos.
Para escapar de tais momentˆaneos transtornos, podemos colocar
F (φ) + 3
2(F 0
(φ))2 = 1 (4.6.119)
para o acoplamento conforme e assim podermos sempre empregar o princ´ıpio de Maupertuis- Jacobi.
Cap´ıtulo 5
Cosmologias anisotr´opicas
Foi comentada na Introdu¸c˜ao deste trabalho a aplicabilidade dos sistemas dinˆamicos no estudo qualitativo dos modelos cosmol´ogicos real´ısticos. Ap´os discorrermos sobre a cosmografia, a cosmologia e o trabalho de Townsend e Wohlfarth, sugerimos, como em [47], uma extens˜ao do estudo desenvolvido por esta dupla em [3] incluindo a´ı campos escalares com acoplamento n˜ao m´ınimo e a aplica¸c˜ao do princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi.
Basicamente, o princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi dado no teorema (3.1.4) estabelece que as dinˆamicas de um dado sistema podem ser vistas como um movimento geod´esico associado a uma variedade riemanniana. Sua aplica¸c˜ao tem sido muito utilizada em equa¸c˜oes de campos obtidos das a¸c˜oes de Einstein-Hilbert como dadas em (4.6.109). O caso n˜ao-homogˆeneo e anisotr´opico foi considerado em [6, 7, 39]. Aplica¸c˜oes envolvendo espa¸cos diferenciais distintos no lugar de variedades diferenci´aveis foram discutidas em [5].
Vimos que Townsend e Wohlfarth considera modelos cosmol´ogicos ˜ao-minimamente acopla- dos com campo escalares N−dimensional φαque tomam valores num espa¸co alvo (pseudo)
riemanniano, cuja a m´etrica ´e Gαβ. A a¸c˜ao correspondente ´e dada por
S =
Z
dDx√−g(R − gijG
αβ(φ)∂iφα∂jφβ − 2V (φ)), (5.0.1)
onde R ´e a curvatura escalar padr˜ao do espa¸co-tempo D−dimensional cuja a m´etrica ´e dada por gij. Considerando a m´etrica F LRW homogˆenea e isotr´opica dada por:
ds2 = −dt2+ a2(t)dΣ2
κ, (5.0.2)
onde Σκ representa as se¸c˜oes espaciais (D − 1)−dimensionais de curvatura constante igual a
κ, eles afirmam que as equa¸c˜oes de movimento associadas a (5.0.1) de fato correspondem a
geod´esicas em certos espa¸cos estendidos.
5.1
Caso anisotr´opico com acoplamento n˜ao m´ınimo
Os campos escalares com acoplamento n˜ao m´ınimo tˆem sido bastante utilizados em cos- mologia, principalmente no estudo de quintessˆencia, ver, por exemplo, [33,45, 48, 49].
A a¸c˜ao considerada ´e a mesma (4.6.109), dada por:
S =
Z
d4x√−g(F (φ)R − gijG
αβ(φ)∂iφα∂jφβ− 2V (φ)). (5.1.3)
Integrando-a por partes, obtemos R = 6 ˙H + 12H2+ 6k
a2 com H = ˙a a e o lagrangiano: L(a, ˙a, φα, ˙φα) = a3 µ −6H2F (φ) − 6H ˙φα∂αF (φ) + Gαβ(φ) ˙φα˙φβ+ 6κF (φ) a2 − 2V (φ) ¶ , (5.1.4) no espa¸co de configura¸c˜ao N + 1−dimensional estendido por (a, φα). A saber que para
S = Z dDx√−g(F (φ)R − gijGαβ(φ)∂ iφα∂jφβ − 2V (φ)) (5.1.5) teremos que R = 2(D − 1) ˙H + D(D − 1)H2 + (D − 1) × (D − 2)κ a2.
Introduzindo a m´etrica lorentziana dada por
GAB = −6aF −3a2∂βF −3a2∂ αF a3Gαβ , (5.1.6)
sobre o espa¸co de configura¸c˜ao e A, B ∈ {1, . . . , N + 1}. O lagrangeano dado por (5.1.4) ser´a dado por
L(φA, ˙φA) = G
onde φA = (a, φα) e V
ef f = a3V (φ) − κaF (φ).
A partir dos estudos introduzidos no cap´ıtulo anterior, temos que o hamiltoniano associado a (5.1.4) ´e da forma
H(φA, π
A) = GABπAπB+ 2Vef f(φA), (5.1.8)
que ´e uma constante de movimento, onde πA = GAB ˙φB. Por outro lado, as equa¸c˜oes de Euler-
Lagrange de (5.1.3) faz com que H = 0 (energia restrita).
A m´etrica dada em (5.1.6) ´e bastante para afirmar que det GAB 6= 0. Como exemplo,
podemos tomar N = 1 = Gαβ, desta forma, teremos
det GAB = −6a4(F (φ) +
3 2(F
0
(φ))2). (5.1.9)
Como os pontos de singularidades n˜ao s˜ao objetos de nossa pesquisa, vamos admitir que det GAB 6= 0. O lagrangeano dado em (5.1.7) ´e desenvolvido a partir do princ´ıpio de Maupertuis-
Jacobi e para Vef f = 0 suas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange j´a correspondem `as geod´esicas tipo-
tempo de (5.1.6); para Vef f 6= 0, introduzimos a (pseudo)m´etrica de Jacobi
b
GAB = 2|Vef f|GAB (5.1.10)
e de acordo com o princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi, as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de (5.1.7) cor- respondem `as geod´esicas de (5.1.10) pela reparametriza¸c˜ao por s, como sugerido em (4.6.108). Da energia restrita podemos ainda obter:
b GAB dφA ds dφB ds = − Vef f |Vef f| , (5.1.11)
implica que as geod´esicas s˜ao tipo-tempo ou tipo-espa¸co para os respectivos Vef f > 0 e Vef f < 0.
Como uns dos objetivos da pesquisa, vamos apresentar nesta se¸c˜ao a an´alise dos modelos cosmol´ogicos n˜ao isotr´opicos. Ainda tomando a a¸c˜ao (5.1.3), vamos considerar uma m´etrica de Bianchi I, D−dimensional dada por
ds2 = −dt2+
D−1X i=1
a2
i(t)dxi, (5.1.12)
cuja curvatura escalar ´e dada por
R = 2 ÃD−1 X i=1 ( ˙Hi+ Hi2) + D−1X i=1,j>i HiHj ! , (5.1.13)
com Hi =
˙ai ai
. Efetuando novamente a integra¸c˜ao por partes de (5.1.3), obtemos o seguinte lagrangeano: L = ÃD−1 Y i=1 ai ! Ã −2F (φ) D−1X i=1,j>i HiHj − 2 ÃD−1 X i=1 Hi ! ˙φα∂ αF (φ) + Gαβ(φ) ˙φα˙φβ− 2V (φ) ! (5.1.14) sobre o espa¸co de configura¸c˜ao (N + D − 1)−dimensional, estendido para (ai, φα). Para D = 4, introduzimos a seguinte m´etrica:
GAB =
0 −a3F −a2F −a2a3∂βF
−a3F 0 −a1F −a1a3∂βF
−a2F −a1F 0 −a1a2∂βF
−a2a3∂αF −a1a3∂αF −a1a2∂αF a1a2a3Gαβ
(5.1.15)
sobre o espa¸co de configura¸c˜ao, onde A, B ∈ {1, . . . , N + 3}. O lagrangeano dado em (5.1.14) pode ser comparado com o dado em (5.1.7), pondo φA= (a
1, a2, a3, φα) e
Vef f(φA) = a1a2a3V (φα). (5.1.16)
A assinatura da m´etrica ´e dada por (3, N ). A an´alise geom´etrica e dinˆamica depende de det GAB. Para N = 1 = Gαβ, temos que
det GAB = −2(a1a2a3F (φ))2 µ F (φ) + 3 2(F 0 (φ))2 ¶ . (5.1.17)
A an´alise da singularidade para modelos isotr´opicos passa tamb´em pela an´alise de F (φ) = 0. O caso onde a singularidade ´e n˜ao isotr´opica ´e descrito em [50].
A an´alise dinˆamica possibilita descartar grande n´umero de classes de modelos cosmol´ogicos que n˜ao s˜ao vi´aveis do ponto de vista te´orico e/ou real´ıstico. Este ´ultimo deve exibir, como mencionado no corpo deste trabalho, um comportamento dinˆamico onde se possa fazer uma an´alise qualitativa destes modelos. Aqui a inviabilidade ocorre quando det GAB = 0, mas, out-
ras an´alises podem ser feitas para este caso. Geometricamente, tais singularidades implicam que nenhuma geod´esica pode ser estendida al´em dos pontos singulares e poderiam ser comparadas com um tipo de singularidade associada a um modelo cosmol´ogico no futuro isotr´opico ou n˜ao isotr´opico. A identifica¸c˜ao de tais singularidades na an´alise dinˆamica ´e consideravelmente mais
simples que na aproxima¸c˜ao geom´etrica. Para campos escalares m´ultiplos, a an´alise dinˆamica ´e bem mais trabalhosa e aproxima¸c˜ao geom´etrica no presente pode ser at´e mesmo mais aplic´avel. A an´alise dinˆamica mais comum ´e a classifica¸c˜ao da estabilidade de uma dada solu¸c˜ao. Os pontos fixos assintoticamente est´aveis de de Sitter s˜ao particularmente relevantes para descrever a fase do universo recente em expans˜ao acelerada. Estes pontos fixos correspondem a limites isotr´opicos tais que φα e H s˜ao constantes, φA(s) = (a
0eHt(s), φα0). A an´alise geom´etrica
apresentada aqui pode ser utilizada na identifica¸c˜ao de tais pontos. Para tanto, vamos conside- rar a equa¸c˜ao geod´esica de desvio que controla a tendˆencia local das geod´esicas numa mesma vizinha¸ca de convergirem ou divergirem para cada ordem
˙φA∇
A˙φB∇BnD = RABCD nA˙φB˙φC, (5.1.18)
onde RD
ABC´e o tensor curvatura da m´etrica de Jacobi e nA´e um vetor ortogonal a ˙φAapontando
para a dire¸c˜ao do desvio. Para N = 1 = G, com Vef f(φ) > 0, a geod´esica correspondente ao
ponto fixo de de Sitter tem ˙φA= ((a
0H/2Vef f)eHt, 0). O ´unico componente n˜ao nulo de (5.1.18)
implica que
¨
n(s) = −R2121n(s)( ˙φ(1))2. (5.1.19)
A estabilidade da solu¸c˜ao de de Sitter requer que o vetor n(s) seja limitado para s → ∞ e, como
R2
121 n˜ao pode ser negativo, n˜ao ´e necess´ario procurar pontos fixos em regi˜oes onde R2121 < 0.
Neste caso, teremos
R2 121 = 3aF 2Vef f à ¤Vef f Vef f − ∂aVef f∂aVef f V2 ef f − F F 00 − 1 2(F 0 )2 a3(F (φ) + 3 2(F 0 (φ))2)2 ! . (5.1.20) Para F = 1, temos R2121 = 3V 00 (φ0) 2a5V2(φ 0) ,
sobre o ponto fixo φ0 com a hip´otese de estabilidade V
00
(φ0) > 0 satisfeita. Os casos onde
R2
121 > 0 e R1212 < 0 s˜ao discutidos a partir do fato das regi˜oes possu´ırem ou n˜ao pontos fixos
de De Sitter, respectivamente. Diante do exposto, vemos que de fato este trabalho oferece mais uma possibilidade de an´alise de casos anisotr´opicos.
Cap´ıtulo 6
Considera¸c˜oes finais
Neste trabalho, analisamos alguns resultados recentes sobre a interpreta¸c˜ao geod´esica das equa¸c˜oes de movimento de certos modelos cosmol´ogicos `a luz do Princ´ıpio de Maupertuis- Jacobi e da chamada geometria de Eisenhart. Nossos estudos permitiram a extens˜ao destas interpreta¸c˜oes geod´esicas para uma classe de modelos cosmol´ogicos muito maior do que a origi- nal que nos serviu de motiva¸c˜ao. Do ponto de vista matem´atico, nossos resultados enriquecem a discuss˜ao sobre singularidades da m´etrica de Jacobi e suas implica¸c˜oes dinˆamicas. Por exemplo, a m´etrica de Jacobi ´e singular no bordo da regi˜ao acess´ıvel no espa¸co de configura¸c˜ao, ver equa¸c˜ao (4.6.104). No entanto, esta singularidade parece n˜ao ter nenhuma implica¸c˜ao dinˆamica. Foi proposta uma interpreta¸c˜ao destas bordas como fronteiras de sistemas do tipo bilhares [51]. Este ´e um tema de car´ater matem´atico que poderia ser explorado daqui por diante.
Do ponto de vista f´ısico, a abordagem geod´esica se destaca como uma alternativa vi´avel da classifica¸c˜ao dinˆamica usual. Uma poss´ıvel aplica¸c˜ao deste trabalho que se encontra j´a em andamento, ´e a an´alise geod´esica dos resultados apresentados em [52], validados ap´os a aplica¸c˜ao do Teorema de Hartman-Gr¨obman, apresentado no apˆendice A.
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Apˆendice A
Demonstra¸c˜ao do Teorema de
Hartman-Gr¨obman
Como dissemos no corpo do trabalho, este teorema garante que o estudo dos pontos fixos para o desenvolvimento do trabalho ´e pertinente1.
A.1
O Teorema
Nesta se¸c˜ao vamos enunci´a-lo com clareza para que, no decorrer da demonstra¸c˜ao, sejam expl´ıcitas as ferramentas e hip´oteses para sua prova.
Teorema A.1.1 (Hartman-Gr¨obman) Sejam f : Rn → Rn um difeomorfismo C1 com
f (0) = 0 um ponto fixo hiperb´olico, com A = Df0 . Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de 0
e um homeomorfismo h de U para alguma outra vizinhan¸ca de 0, tal que A ◦ h = h ◦ f, para todo z suficientemente perto de 0. Em outras palavras, fn = h−1 ◦ An ◦ h perto de 0, ent˜ao existe uma composi¸c˜ao tal que, uma fun¸c˜ao n˜ao linear perto de um ponto fixo ´e linear nesta vizinhan¸ca.
1 A demonstra¸c˜ao apresentada aqui segue as linhas de [53].
A.2
A Demonstra¸c˜ao
Primeiramente vamos enunciar o seguinte lema:
Lema A.2.1 Seja E um espa¸co de Banach. Suponha que L : E → E ´e linear com ||L|| < a < 1 e G : E → E ´e um isomorfismo que satisfaz ||G−1|| ≤ a < 1. Ent˜ao, para I =identidade, I + L e I + G s˜ao isomorfismos que satisfazem ||(I + L)−1|| ≤ 1
(1 − a) e ||(I + G)
−1|| ≤ a
(1 − a). Prova do lema: Seja y ∈ E e tome x ∈ E de modo que (I + L)x = y, ou seja, x = y − Lx. A fun¸c˜ao x 7→ µ(x) = y − Lx ´e uma contra¸c˜ao , pois,
||µ(x1) − µ(x2)|| = ||y − Lx1− y + Lx2||
= ||L(x1− x2)||
≤ ||L|| · ||x1− x2||
< a||x1− x2||.
Uma contra¸c˜ao num espa¸co de Banach tem ponto fixo x. Logo, se ||y|| = 1, temos que ||x|| ≤
||y|| + ||Lx|| ≤ 1 + a||x||, logo ||x|| ≤ 1 1
1 − a e tamb´em (I + L)−1y = x. Logo,
||(I + L)−1|| = sup||y||=1{(I + L)−1y} ≤
1 1 − a. Ver a parte de G
Seja Rn = Es ⊕ Eu, onde Es e Eu s˜ao respectivamente auto-espa¸cos est´aveis e inst´aveis
de uma matriz hiperb´olica A. Tome As = A|Es e Au = A|Eu com uma adequada escolha de
norma de forma a podermos assumir que ||As|| ≤ a < 1 e ||(Au)||−1 ≤ a < 1. Seja agora C0
b(Rn)
o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas limitadas de Rn em Rn que formam um espa¸co de Banach.
Ent˜ao
C0
b(Rn) = Cb0(Es) ⊕ Cb0(Eu),
tal que w = ws + wu, onde ws(z) ∈ Es e wu(z) ∈ Eu, ∀ z ∈ Rn. Em tempo, definamos w = max(||ws||, ||wu||).
Defini¸c˜ao A.2.2 Uma fun¸c˜ao L : E → E ´e lipschitziana se existe k < ∞ tal que ||Lz1− Lz2|| ≤ k||z1− z2|| ∀ z1, z2 ∈ E.
Teorema A.2.3 Se φ1, φ2 ∈ Cb0(Rn) com constante de Lipschitz k < ² = (1 − a)/||A−1|| para alguma matriz hiperb´olica A, ent˜ao A + φ1 e A + φ2 s˜ao conjugadas sobre Rn.
Prova: Devemos encontrar um difeomorfismo h tal que h ◦ (A + φ1) = (A + φ2) ◦ h de modo
que h = I + w para algum w ∈ C0
b(Rn). Desta forma, teremos: h ◦ (A + φ1) = (A + φ2) ◦ h
⇔ (I + w) ◦ (A + φ1) = (A + φ2) ◦ (I + u)
⇔ A + φ1+ w ◦ (A + φ1) = A + A ◦ w + φ2◦ (I + w)
⇔ φ1− φ2◦ (I + w) = A ◦ w − w ◦ (A + φ1)
. (A.2.1)
Desta express˜ao tiramos L(w) = Aw − w(A + φ1), que podemos reescrever
L(w) = A(w − A−1w(A + φ
1)).
Devemos, agora mostrar que A−1L ´e invers´ıvel e portanto teremos que L ´e invers´ıvel. De posse
deste resultado teremos:
P w := L−1(φ
1− φ2◦ (I + w)) = w. (A.2.2)
Para w = ws+ wu. Considerando a restri¸c˜ao de A−1L a C0
b(Es(Rn)) que equivale `a restri¸c˜ao
de I − G, onde
G : C0
b(Es(Rn)) → Cb0(Es(Rn)) ws 7→ A−1ws(A + φ
1). (A.2.3)
Vamos mostrar que G ´e invers´ıvel. Para tanto, vamos verificar que
z 7→ (A + φ1)(z) (A.2.4)
´e um homeomorfismo. Se
(A + φ1)z1 = (A + φ1)z2,
ent˜ao
logo ² < ||A−1||−1. Portanto, z
1 = z2 e com isto (A.2.4) ´e injetiva. Encontrar z tal que
(A + φ1)(z) = w ´e equivalente a encontrar um ponto fixo de
z 7→ A−1w − A−1φ
1(z), (A.2.5)
como ||A−1||² < 1, (A.2.5) ´e uma contra¸c˜ao e, portanto, tem um ponto fixo. Logo, (A.2.4) ´e
sobrejetiva. De volta `a fun¸c˜ao (A.2.3) temos que ela ´e invers´ıvel e sua inversa ´e dada por: