Princ´ıpio de Fermat estendido

A m´etrica de Jacobi ´e degenerada no bordo E−V (q) = 0 do espa¸co onde ocorre o movimento. Trata-se de uma singularidade m´etrica. Ao ocorrer tal singularidade o obst´aculo principal ´e a instabilidade. Pode-se considerar a m´etrica de Jacobi

gJ = 2E − V (q)g (3.2.114)

como a m´etrica induzida pelo mergulho num espa¸co euclidiano plano cuja m´etrica ´e dada por

ds2 _{= g} ijdqidqj+ (qn+1)2− (qn+2)2 (3.2.115) onde, qi _{= p}ip_{2E − V (q)} qn+1 ₌ 1 2(r 2_{− 1)}p_{2E − V (q)} qn+2 ₌ 1 2(r2+ 1) p 2E − V (q) r2 _{= g} ijpipj.

A geometria de Jacobi ´e agora realizada pelo cone nulo

gijqiqj + (qn+1)2− (qn+2)2 = 0, (3.2.116)

com o v´ertice do cone sendo o in´ıcio do bordo singular dado por ∂D na m´etrica de Jacobi. Por outro lado, existe uma descri¸c˜ao consistente do c´alculo de quantidades geom´etricas e funcionais invariantes da m´etrica no v´ertice. Para elucidar este fato vamos admitir que o cone ´e um espa¸co plano exceto no v´ertice, onde sua curvatura ´e singular. Obviamente, calculando por meios comuns da geometria riemanniana n˜ao se pode descobrir o tipo de cada singularidade, se s˜ao remov´ıveis ou n˜ao. Outros meios devem ser utilizados para se obter tais respostas, [38].

Consideremos o espa¸co M com m´etrica de Eisenhart, dada por gE, para um sistema

mecˆanico indefinido simples e seja gE estacion´aria com respeito ao vetor de Killing tipo-tempo Y e M admite uma divis˜ao global em espa¸co-tempo U × R adaptada a Y. Esta divis˜ao se

daria, por exemplo, da forma (q1, . . . , qn, t) com (q1, . . . , qn, t) ∈ U, um aberto de Rn, t ∈ R e Y = ∂/∂u. A propriedade de Killing de Y dada pelo fato de que os coeficientes da m´etrica de M n˜ao dependem da vari´avel de tempo t. A existˆencia do vetor de Killing pode ser utilizado

para construir um espa¸co quociente ME/Gu, onde Gu´e um grupo de simetria gerado pelo vetor

de Killing. A m´etrica sobre ME/Gu ´e estabelecida pelo teorema a seguir. Ele se apresenta

como uma extens˜ao tipo-tempo do princ´ıpio de Fermat em relatividade geral.

Teorema 3.2.3 Seja (M, g) um espa¸co-tempo estacion´ario com uma assinatura lorentziana

(−, +, +, +) ent˜ao o problema as geod´esicas sobre o espa¸co-tempo (n + 1)−dimensional

δ µZ ds2 n+1 ¶ = 0 (3.2.117)

pode ser reduzido ao problema das geod´esicas sobre o espa¸co-tempo n−dimensional fict´ıcio con- formemente semelhante ao espa¸co espa¸co riemanniano com a m´etrica

d¯l2 ₌ 1 + hg00 −g00 dl2 _δ µZ d¯l2 n ¶ = 0, (3.2.118) onde dl2 _{= g}

ijdqidqj q = g00du2+ dl2 - m´etrica do espa¸co-tempo h =constante; h > 0 para

Cap´ıtulo 4

Modelos cosmol´ogicos e o Princ´ıpio de

Maupertuis-Jacobi

Neste cap´ıtulo apresentamos os recentes resultados de Townsend e Wohlfarth, [3], re- interpretando geometricamente as equa¸c˜oes de movimento de certos modelos cosmol´ogicos. Mostraremos que estes resultados decorrem, de fato, de uma generaliza¸c˜ao do princ´ıpio de Maupertuis-Jacobi, o que permite sua extens˜ao para o caso de modelos cosmol´ogicos mais gerais.

4.1

Cosmologias multiescalares

Uma generaliza¸c˜ao poss´ıvel dos modelos de quintessˆencia discutidos na se¸c˜ao (2.3) corres- ponde aos modelos multiescalares, conhecidos na F´ısica tamb´em como modelos sigma n˜ao- lineares. Estes modelos consistem em N campos escalares φα_{, φ}α _{: M → Σ, α = 1, . . . , N,}

que tomam valores numa variedade riemanniana Σ e possui m´etrica Gαβ. Supondo um po-

tencial de auto-intera¸c˜ao V (φα_{) para os campos escalares, temos a seguinte a¸c˜ao para o caso}

minimamente acoplado: S = Z dd_x√_−g µ 1 2R − 1 2g mn_G αβ(φ)∂mφα∂nφβ− V (φ) ¶ , (4.1.1)

O principal resultado de Townsend e Wohlfarth, [3], o qual reproduziremos a seguir, foi mostrar que as equa¸c˜oes de movimento obtidas a partir de (4.1.1) com as hip´oteses de isotropia e

homogeneidade do espa¸co-tempo e correspondem `as geod´esicas num espa¸co de dimens˜ao (N +1) cuja assinatura de Lorentz ´e (1, N ). Tais geod´esicas s˜ao tipo-tempo se V > 0, tipo-luz ou nulo se V = 0 e tipo-espa¸co se V < 0.

Sobre a a¸c˜ao acima, estamos interessados em solu¸c˜oes onde as geod´esicas ou elementos de linha tenham a m´etrica de F LRW para um espa¸co-tempo homogˆeneo e isotr´opico cujas coordenadas padr˜ao s˜ao:

ds2 _{= −dt}2_{+ S(t)}2_dΣ2

k, (4.1.2)

onde S(t) ´e fator escala e Σk representa as se¸c˜oes espaciais (d − 1)−dimensional de curvatura

constante k.

Se ∂tS > 0, o universo est´a em expans˜ao e se ∂t2S > 0, a expans˜ao ´e acelerada [3]. Todas as

trajet´orias para cosmologias flat podem ser determinadas explicitamente. Em particular, para o caso N = 1 com potencial exponencial do tipo

V = V0e−2aϕ, (4.1.3)

identificam-se valores cr´ıticos e hipercr´ıticos, pelos quais o conjunto das trajet´orias passam por uma mudan¸ca qualitativa, que explicitaremos mais adiante, onde a constante de acopla- mento ´e dada por a. Os referidos valores s˜ao dados, respectivamente, por:

αc = r 2 d − 2 e αh = r 2(d − 1) d − 2 . (4.1.4)

Abaixo do valor cr´ıtico, (a < αc), o universo tende assintoticamente a uma fase de expans˜ao

acelerada. Acima deste valor, existem somente fases de acelera¸c˜ao transit´oria. Este cap´ıtulo, tal como o artigo de Townsend e Wohlfarth, objetiva determinar caracter´ısticas das cosmologias com potenciais escalares mais gerais.

Vamos admitir que

(D2

tφ)α := ∂t2φα+ Γβγα ∂tφβ∂tφγ, (4.1.5)

onde Γα

βγ ´e a conex˜ao de Levi-Civita para a m´etrica G do espa¸co e aα(φ) = −

1 2

∂ log |V |

chamada de fun¸c˜ao caracter´ıstica do potencial V , a partir da qual, temos a 1−forma do espa¸co dual ao campo de vetores a. Os campos escalares obedecem as equa¸c˜oes:

D2_tφ + (d − 1)H∂tφ = 2V a, (4.1.7)

onde H = ∂tS/S correspondem ao parˆametro de Hubble. A restri¸c˜ao, ou v´ınculo de energia,

de Friedmann ´e dada por

S2_[|∂

tφ|2+ 2V − (d − 1)α−2c H

2_{] = (d − 1)α}−2

c k, (4.1.8)

onde a norma |∂tφ| ´e a induzida pela m´etrica do espa¸co, dada por |∂tφ|2 = ∂tφ · ∂tφ = Gαβ∂tφα∂tφβ. A equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao ´e obtida diferenciando (4.1.8) e substituindo a equa¸c˜ao

de campo escalar (4.1.7) e tem a forma:

∂_t2S = 2S d − 1[α

2

cV − |∂tφ|2], (4.1.9)

onde αc ´e dado em (4.1.4). Vemos que a acelera¸c˜ao ocorre somente quando V > 0.

Tomemos agora uma nova coordenada do tempo de forma que

dτ = |V |12dt. (4.1.10)

Supondo

S(t) = eβ(τ )_{, (4.1.11)}

A nova condi¸c˜ao de expans˜ao ´e dada por ˙β > 0 e a nova condi¸c˜ao de acelera¸c˜ao ´e dada por ¨

β + ˙β2− ˙β(a · ˙φ) > 0, (4.1.12)

com os pontos representando a diferencia¸c˜ao em τ. A nova equa¸c˜ao do campo escalar ´e dada por:

D2

τφ = (a · ˙φ) ˙φ − (d − 1) ˙β ˙φ + 2 · sign V a, (4.1.13)

a nova restri¸c˜ao de Friedmann ´e dada por:

e2β(τ )_{|V |}h_{| ˙φ|}2_{− (d − 1)α}−2

c ˙β2 + 2 · sign V

i

= (d − 1)α−2

c k, (4.1.14)

Portanto, a equa¸c˜ao de acelera¸c˜ao ´e dada por ¨

β = − 2

d − 1| ˙φ|

2_{− ˙β}2_{+ ˙β(a · ˙φ) +} 2α2c

e a condi¸c˜ao (4.1.12) pode ser reescrita da forma:

| ˙φ|2 < α2_c· sign V , (4.1.16)

satisfeito se e somente se V > 0