Caso Isotr´opico com Temperatura Constante

Nesta se¸c˜ao iremos mostrar que o sistema pode ser reduzido para o caso par- ticular de solidifica¸c˜ao isotr´opica de uma substˆancia pura a temperatura constante (caso

isot´ermico). Para isso, a Equa¸c˜ao (5.14) sofrer´a algumas altera¸c˜oes, como veremos a se- guir, e a Equa¸c˜ao (5.15) deixar´a de ser considerada. Assumindo que o sistema ´e isotr´opico, de acordo com a equa¸c˜ao (5.16), ǫ′

= 0 e os dois primeiros termos do lado direito da equa¸c˜ao (5.14) se cancelam e ǫ passa ter valor constante. Ou seja, a Equa¸c˜ao (5.14) se reduz `a forma,

τ∂ψ ∂t = ǫ

2

∇2ψ + g(ψ). (5.18)

ou, substituindo o valor de g(ψ), τ∂ψ

∂t = ǫ

2

∇2ψ + ψ(1 − ψ)(ψ − 0.5 + m). (5.19) Como o processo tamb´em passa ser isot´ermico, m tamb´em passar´a a ser constante. Para este caso, ´e apresentado na Figura (23) o avan¸co da frente de solidifica¸c˜ao para ǫ = 0.01 e m = 1.

100 200 300

400 500 600

Figura 23: Solidifica¸c˜ao isotr´opica com temperatura constante em 600 passos de tempo.

Assim, descrevemos dois tipos de solidifica¸c˜ao de uma substˆancia pura: uma anisotr´opica onde ocorre uma dire¸c˜ao preferencial no processo de solidifica¸c˜ao devido a tens˜ao interfacial na interface s´olido-l´ıquido e a isotr´opica, com temperatura constante em que se minimiza a energia superficial e, por consequˆencia, temos um crescimento circular[74].

Medimos a taxa de crescimento do per´ımetro para ambas as configura¸c˜oes, isotr´opica e anisotr´opica. Como pode ser verificado na Figura (24), para o caso isotr´opico a fun¸c˜ao cresce linearmente com o tempo enquanto que no caso anisotr´opico o per´ımetro aumenta de acordo com uma fun¸c˜ao quadr´atica.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Perímetro

Caso Anisotrópico − f(x)=a₀+a₁x+a₂x2 (a₀=59.1267, a₁= 0.424815,a₂=0.00078439) Dados Ajuste da Curva 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 100 200 300 400 500 600 Perímetro Tempo

Caso Isotrópico − f(x)=a₀+a₁x (a₀=32.9017, a₁=0.0612181) Dados

Ajuste da Curva

Figura 24: Curvas de varia¸c˜ao do per´ımetro em fun¸c˜ao tempo para o processo de soli- fica¸c˜ao. A figura superior mostra que a taxa de varia¸c˜ao do per´ımetro cresce de forma quadr´atica para o caso de solidifica¸c˜ao anisotr´opica enquanto que a figura inferior, para o caso solidifica¸c˜ao isotr´opica e isot´ermica, a a taxa de varia¸c˜ao cresce forma linear.

6 CRESCIMENTO DENDR´ITICO EM UM MEIO HETEROGˆENEO

´

E muito comum encontrar problemas com obst´aculos em seu dom´ınio, como ´e o caso de escoamento em meios porosos [75, 76]. Tamb´em podem haver obst´aculos ao se fundir metais atrav´es do surgimento de defeitos durante o processo de solidifica¸c˜ao. Esses afetam muitas das propriedades f´ısicas e mecˆanicas, influenciando, por exemplo, na resistˆencia e na cor do cristal met´alico. Denomina-se defeito de solidifica¸c˜ao toda heterogeneidade surgida durante o resfriamento de um material fundido. Um tipo de heterogeneidade f´ısica 1 _{no processo de solidifica¸c˜ao ´e o surgimento de microporosidades}

devido ao aprisionamento de bolhas de g´as dentro da pe¸ca met´alica. Para se obter me- lhores propriedades mecˆanicas tem sido desenvolvido modelos para prever a forma¸c˜ao de heterogeneidade a partir de microporosidade em solidifica¸c˜ao de metais [77, 78, 79]. Nesse cap´ıtulo iremos adicionar heterogeneidade ao processo de solifica¸c˜ao dendr´ıtica e verificar como isso afeta a forma e taxa de crescimento .

6.1 Constru¸c˜ao do Operador de Congelamento

Com objetivo de criar heterogeneidade no processo de solidifica¸c˜ao dendr´ıtica, seguindo [80], criamos um operador eF (operador de congelamento) que tem a finalidade de bloquear alguns pontos ao longo do dom´ınio, fazendo com que os dendritos contornem esses bloqueios ao evolu´ırem no tempo. O operador eF ´e constru´ıdo a partir de uma m´ascara na forma de matriz pela qual ´e preenchida com os valores 1 ou 0. Quando o valor 1 for selecionado, o ponto do dom´ınio em quest˜ao interage com os seus vizinhos, e, por outro lado, se o valor 0 for selecionado, o ponto cancela a intera¸c˜ao com seus vizinhos.

No processo de discretiza¸c˜ao, a derivada temporal desempenha um papel fun- damental na constru¸c˜ao do operador congelamento. De forma simplificada, a Equa¸c˜ao (5.14) discretizada pode ser escrita como,

τ δt(ψ

t+1

i,j − ψi,jt ) = Si,jt , (6.1)

onde Si,j ´e correspondente a discretiza¸c˜ao espacial do lado direito de (5.14. J´a ψi,j cor-

responde a posi¸c˜ao gen´erica do parˆametro de ordem em um ponto do dom´ınio, onde o sub´ındice i corresponde a localiza¸c˜ao em linha do ponto do dom´ınio e o sub´ındice j cor- responde a localiza¸c˜ao em coluna do ponto do dom´ınio, como ´e ilustrado na Figura (25).

1

ψ1,1 ψ1,2 ψ1,3 ψ1,4 ψ1,5

ψ2,1 ψ2,2 ψ2,3 ψ2,4 ψ2,5

ψ3,1 ψ3,2 ψ3,3 ψ3,4 ψ3,5

ψ4,1 ψ4,2 ψ4,3 ψ4,4 ψ4,5

Figura 25: Posi¸c˜ao do parˆametro de ordem em dado ponto do dom´ınio.

Verifique que se o lado direito de (6.1) for nulo, ψi,j permanece inalterado ao

longo do tempo, ou seja, ψt+1_i,j = ψt

i,j. Mas, para fazermos o lado direito de (6.1) nulo,

devemos multiplic´a-lo por zero. Ao lidarmos com uma equa¸c˜ao de um sistema gen´erico, s´o precisamos criar um operador matricial ( e_{F ≡ e}Fi,j) que age de forma a fazer o lado direito

da Equa¸c˜ao (5.14 , associado a um ponto P , nulo. Para fazer isso, primeiro criamos uma m´ascara que define os valores 1 para os pontos n˜ao bloqueados e 0 para os pontos bloqueados (ver Figura (26) ).

0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Figura 26: Representa¸c˜ao de uma m´ascara associada ao operador ˜F . (Neste caso, os pontos das fronteiras do dom´ınio est˜ao bloqueados.)

Ent˜ao, para finalmente bloquearmos pontos no dom´ınio do sistema, devemos alterar a Equa¸c˜ao (5.14), que agora toma a forma,

τ δt(ψ

t+1

i,j − ψi,jt ) = eF ◦ Si,jt , (6.2)

ou seja, o operador eF age somente no lado direito da equa¸c˜ao fazendo o produto de Hadamard com o operador Si,j. Como podemos ver, comparando as Equa¸c˜oes (6.1) e

(6.2), a a¸c˜ao do operador ˜F n˜ao implica em uma mudan¸ca dr´astica na equa¸c˜ao e, se j´a existe implementado um c´odigo de uma equa¸c˜ao, o uso do operador ˜F ´e uma boa op¸c˜ao para bloquear pontos neste programa, com m´ınimas altera¸c˜oes no c´odigo original.

Na Figura (27) temos uma ilustra¸c˜ao de um dom´ınio 300 × 300 com blocos de tamanho 30 × 30 bloqueados e distribu´ıdos de forma aleat´oria e na Figura (28) podemos ver que o crescimento dendr´ıtico n˜ao penetra esses blocos, contornando-os.