Apêndice: Preliminares de Álgebra
A.8 CATEGORIAS LIVRES
Definição A.30. Os diagramas admitem movimentos sobre vértices, que é a permissão de um nú- mero arbitrário de arestas poderem se mover através de qualquer vértice.
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A.8 Categorias Livres
Nesta seção, falaremos intuitivamente de categorias livres. Este tema é necessário para compre- ender a definição de objetos do tipo Hopf a partir da visão diagramatica de seus morfismos. Esta seção se basea em [Mac98]. Contudo, como categorias não são o foco da dissertação, tentamos ser o mais objetivos possível.
O grafo progressivo G é uma família O de objetos12 e uma família A de arestas. Além de uma par de relações funcionais do tipo A → O :
∂0:A −→ O, ∂0f = domínio de f , ∂1:A −→ O, ∂1f = codomínio de f ,
Definição A.31. Um morfismo D : G → G0 de um grafo é um par de funções D
O :O → O0 e DA :A → A0 tal que D
O∂0f = ∂0DA f e DO∂1f = ∂1DA f para toda aresta f ∈A .
Estas relações funcionais, além da composição, são morfismos da categoria Grafo de todos os pequenos grafos13. Cada grafo pode ser representado por um diagrama de vértices (objetos) e arestas (morfismos), exatamente como na definição de categorias exceto pelo fato que o axioma da compo- sição e o axioma do morfismo identidade não são verificados. Portanto um grafo é frequêntemente chamado de umesquema diagramático ou pré-categoria. Então toda categoria C determina um grafo UC com os mesmos objetos e morfismos, esquecendo que os morfismos são componíveis e esquecendo as identidades.
A partir de um funtor F :C → C0 define-se um morfismo UF : UC → UC0 entre os grafos correspondente a cada categoria. Estas observações define o funtor ‘forgetfull14’ U :Cat → Graph de todas as pequenas categorias para os grafos.
Fixado os objeto O na categoria C . Um O -grafo denotará o conjunto de todos os grafos com O como objetos. Sejam A e B famílias de elemento do tipo O -graphs, o produto deles sobre O é
A ×OB = {hg, f i|∂0g = ∂1f ,g ∈A , f ∈ B}; (A.18)
Este é o conjunto de ‘pares componíveis’ de morfismos ·→ ·f → ·.g Além disso, se definirmos
∂0hg, f i = ∂0f ∂1hg, f i = ∂1g, (A.19)
12Estes serão denotados por vértices do grafo.
13Um grafo é pequeno, se ambos O e A são conjuntos pequenos, ou seja, a princípio não admitimos classes própria. 14Vide a Definição A.6.2.
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então este conjunto é um O -grafo. Este produto de O -grafos é associativo, visto que para quaisquer três O -grafos A , B e C existe um isomorfismo A ×O(B ×OC ) ∼= (A ×OB) ×OC . Além disso, o próprio O é um O -grafo e o isomorfismo A ∼=A ×OO é induzido por f 7→ h f ,∂0f i.
Podemos definir uma categoria com objetos A como um O -grafo equipado com c : A ×
A →OA e i : O → A morfismos de O -grafos (composições e identidades respectivamente) tais que os diagramas: A ×OA ×OA 1×c // c×1 A ×OA c A ×OA c //A O ×OA i×1 // ∼ = A ×OA c A ×OO 1×i oo ∼ = A = //A = //A sejam comutativos.
Portanto, as arestas componíveis hg, f i têm uma composição dada por c(g, f ) e cada objeto b ∈O tem um morfismo identidade dado por i(b) ∈ A .
Todo O -grafo G pode ser usado para ‘gerar’ uma categoria C com objetos em O. Sejam g2: A → B, g1: B → C dois morfismos componíveis em G. Podemos escrever a ‘palavra’ g2g1 que representa a composição dos dos morfismos. Pode-se representar a palavra por
∂0g1→ ∂g1 1g1= ∂0g2→ ∂g2 1g2.
Seguindo a racioncínio, sejam gi com 1 ≤ i ≤ n morfismos de G tais que ∂0gi+1= ∂1gi, te- mos uma ‘palavra’ gn. . .g1. Esta categoria será denotada por C (G) e denomina-se categoria livre gerada pelos grafos G.
Teorema A.8. Seja G = {A ⇒ O} um pequeno grafo. Existe uma pequena categoria C = CG com O como conjunto de objetos e uma morfismo P : G → UC de grafos de G para o grafo subjascente UC de C com a seguinte propriedade. Dada qualquer categoria B e qualquer morfismo D : G → UB de grafos, existe um único funtor D0 :C → B com (UD0) ◦P = D, como no diagrama comutativo C D0 G P // D !! UC UD0 B UB
Em particular, se B tem O como um conjunto de objetos e D é um morfismo de O -grafos, então DO=idO.
Como já mencionamos, podemos representar esta categoria livre como ‘palavras’ f1f2. . .fn, onde fi−1 e fi são componíveis. Cabe ressaltar que a palavra vazia /0 é a unidade para a concate- nação e pode ser pensada como ΛA0 : A → A. Podemos representar uma palavra da categoria livre
pela concatenação de (1,1) -diagramas dada por:
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A.8.1 Notação Dual de Penrose
Como vimos antes, um morfismo f de uma categoria é representado por dom( f )→f im( f ). A notação dual a esta foi introduzida por [Pen56] para podermos representar os morfismos por
dom( f )
−→ f im( f )−→ .
Com esta notação, um caminho na categoria gráfica Gra f (C ) seria representado por: A0
−→ f0−→A1 f1−→ . . .A2 −→An fn−→An+1
Obs.: A.8.1. Na categoria Gra f (C ) os seguintes diagramas são distintos. A representação à es- querda é orientado com dois vértices e o à direita trata-se de um grafo orientado de apenas um vértice.
A
→ f →B g→c 6= →A f ◦ g→C
embora a composição na categoria original dos morfismos g, f seja igual ao morfismo g ◦ f . Este diagramas são diferentes, porque seus grafos são distinto e a categoria livre considera só a estrutura dos grafos e não a estrutura algébrica da categoria original. Contornamos este problema tomando o quociente da assinatura Σ pelo conjunto dos morfismos que são idênticos na categoria. Para isto, definimos a equivalência
→g1→g2→ . . . →gn→ ∼ →g1◦g2◦ . . . ◦gn→ .
Temos com resultado que os diagramas acima passam a serem equivalentes no quociente Σ/ ∼ . Preliminares: Uma categoria C possui sua estrutura dada por: objetos, morfismos (em parti- cular, identidades) e as composições destes morfismos. Uma categoria C com estrutura adicional possui, além da estrutura categórica composicional, uma estrutura a mais. Por exemplo, estruturas como o produto tensorial, trançamento, noção de dualidade, traço, estruturas aditivas nos morfismos, entre outras.
Denotaremos as visualizações por grafos dos tensores de uma categoria livre por gra f (C ) e rotularemos os diagramas como segue:
{Objetos deC } ←→ {Objetos degraph(C ) são representados como um rótulo em arestas dos diagramas emgraph(C ) que têm propriedades VR}
{Morfismos deC } ←→ {Rótulos em vértices dos diagramas}.
Ou seja, A composição de morfismos é representada como um grafo onde suas arestas e seus vértices são rotulados conforme afirmamos anteriormente.
A0 // f
0 A1 // f1 A2 //. . . An−1// fn An //
Esta palavra ou caminho anterior trata-se de um morfismo de homgraph(C )(A0,An), onde os elemen- tos Aj são objetos em C e fj ∈homC(Aj−1,Aj). A identidade de objetos A é representada por um diagrama em graph(C ) em qualquer das formas equivalentes a seguir.
A0
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Desta forma, levamos um elemento f ∈ hom(A ,B) no diagramático →A f →,B que é o diagrama A → f → B segundo a notação de Penrose.
Composição em graph(C ) é a colagem horizontal de diagramas componíveis que podemos entender como sendo dois diagramas onde o rótulo da saída de um é igual ao rótulo da entrada do outro. Depois de fazer está colagem, podemos fazer o redimensionamento deste diagrama e mergulhá-lo como antes.
A
→ f →B g→C ≡ (→B g→) ◦ (C →A f →).B
Assim, a composição é interpretada como a colagem de diagramas em graph(C ). Temos que graph(C ) os seguintes diagramas
A
→ f →B g→C 6= →A g◦C f →,C →A idAC →A 6= →A
em graph(C ) são distintos, pois são distintos como grafos.
Definiremos as seguintes relações de equivalência no conjunto graph(C ) : A
→ f →B g→C ∼ →A g◦C f →,C →A idAC →A ∼ → .A
Estas duas relações juntas, para todos f , g componíveis na categoria C , denotaremos por ∼R. Além disso, denomina-se a parte a esquerda das equivalências de estrutura gráfica e a parte a direita das relações de estrutura simbólica.
graph(C )/∼R ∼= C
Em geral, podemos considerar as versões gráficas e simbólicas como distintas ou identificá-las. Em geral, trabalharemos com a identificação acima. Para formalizar o conceito de categoria quociente ,temos a seguinte proposição:
Proposição A.19. (vide capítulo 2, seção 8 [Mac98]) Para uma dada categoria C, seja R uma função que associa a cada par de objetos a, b de C uma relação binária Ra,b no conjunto dos morfismos C(a,b). Então existe uma categoria quociente C /R e um funtor Q = QR :C → C /R tais que:
(i) Se fRa,bf0∈C , então Q f = Q f0;
(ii) Se H :C → D é qualquer funtor de C para qual f Ra,bf0 implica H f = H f0 para todo f e f0, então existe um único funtor H0:C /R → D com H0◦QR =H. Mais ainda, o funtor QR é uma bijeção em objetos.
Assim consideramos a álgebra quociente C (G)/R, onde R é definida pelas igualdades a se- guir:
(→A f →B g→)C R (→A g ◦ f →)C (→A idA→)A R (→).A
Agora a justaposição em gra f (G) funciona como a composição de morfismos em C . Em outras palavras, temos que −→A0 f